第1講平均數(shù)（一）

一、知識要點

把幾個不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過移多補少，使它們完全相等，求得的

相等的數(shù)就是平均數(shù)。

如何靈活運用平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系解答一些稍復雜的問題呢？

下面的數(shù)量關(guān)系必須牢記：

平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量X平均數(shù)

二、精講精練

【例題1】有4箱水果，已知蘋果、梨、橘子平均每箱42個，梨、橘子、桃平均每

箱36個，蘋果和桃平均每箱37個。一箱蘋果多少個？

【思路導航】（1）1箱蘋果+1箱梨+1箱橘子=42、3=136（個）；

（2）1箱桃+1箱梨+1箱橘子=36、3=108（個X3）1箱蘋果+1箱桃=37、2=72（個）

由（1）（2）兩個等式可知：

1箱蘋果比1箱桃多126-108=18（個），再根據(jù)等式（3）就可以算出：1箱桃有（74

-18）+2=28（個），1箱蘋果有28+18=46（個I

1箱蘋果和1箱桃共有多少個：37x2=74（個）

1箱蘋果比1箱桃多多少個：42x3-36=18（個）

1箱蘋果有多少個：28+18=46（個）

練習1：

1.一次考試，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二

人平均分95分。問：甲、丁各得多少分？

2.甲、乙、丙、丁四人稱體重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重

126千克，丙、丁二人的平均體重是40千克。求四人的平均體重是多少千克？

3.甲、乙、丙三個小組的同學去植樹，甲、乙兩組平均每組植樹18棵，甲、丙兩組

平均每組植樹17棵，乙、丙兩組平均每組植樹19棵。三個小組各植樹多少棵？

[例題2]一次數(shù)學測驗，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92

分；男生平均每人90.5分。求這個班男生有多少人？

【思路導航】女生每人比全班平均分高92-91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均

分低91.2-90.5=0.7（分I全體女生高出全班平均分0.8x21=16.8（分）,應(yīng)補給每個

男生0.7分，16.8里包含有24個0.7,即全班有24個男生。

練習2:

姓名：—

1.兩組學生進行跳繩比賽，平均每人跳152下。甲組有6人，平均每人跳140下，乙

組平均每人跳160下。乙組有多少人？

2.有兩塊棉田，平均每畝產(chǎn)量是92.5千克，已知一塊地是5畝，平均每畝產(chǎn)量是101.5

千克；另一塊田平均每畝產(chǎn)量是85千克。這塊田是多少畝？

3.把甲級和乙級糖混在一起，平均每千克賣7元，乙知甲級糖有4千克，平均每千克

8元；乙級糖有2千克，平均每千克多少元？

【例題3】某3個數(shù)的平均數(shù)是2.如果把其中一個數(shù)改為4,平均數(shù)就變成了3。被

改的數(shù)原來是多少？

【思路導航】原來三個數(shù)的和是2x3=6,后來三個數(shù)的和是3x3=9,9比6多出了

3.是因為把那個數(shù)改成了4。因此，原來的數(shù)應(yīng)該是4-3=10

練習3:

1.已知九個數(shù)的平均數(shù)是72.去掉一個數(shù)之后，余下的數(shù)的平均數(shù)是78。去掉的數(shù)是

多少？

2.有五個數(shù)，平均數(shù)是9。如果把其中的一個數(shù)改為1.那么這五個數(shù)的平均數(shù)為8。

這個改動的數(shù)原來是多少？

3.甲、乙、丙、丁四位同學，在一次考試中四人的平均分是90分?？墒牵自诔?/p>

數(shù)時，把自己的分錯抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在這次考試中

得了多少分？

【例題4】五一班同學數(shù)學考試平均成績91.5分，事后復查發(fā)現(xiàn)計算成績時將一位

同學的98分誤作89分計算了。經(jīng)重新計算，全班的平均成績是91.7分，五一班有多少

名同學？

【思路導航】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成績上升91.7-

91.5=0.2（分、9里面包含有幾個0.2.五一班就有幾名同學。

練習4:

1.五（1）班有40人，期中數(shù)學考試，有2名同學去參加體育比賽而缺考，全班平均

分為92分。缺考的兩位同學補考均為100分，這次五（1）班同學期中考試的平均分是多

少分？

2.某班的一次測驗，平均成績是91.3分。復查時發(fā)現(xiàn)把張靜的89分誤看作97分計

算，經(jīng)重新計算，該班平均成績是91.1分。問全班有多少同學？

3.五個數(shù)的平均數(shù)是18,把其中一個數(shù)改為6后，這五個數(shù)的平均數(shù)是16。這個改

動的數(shù)原來是多少？

【例題5］把五個數(shù)從小到大排列，其平均數(shù)是38。前三個數(shù)的平均數(shù)是27,后三

2-

個數(shù)的平均數(shù)是48。中間一個數(shù)是多少？

【思路導航】先求出五個數(shù)的和：38x5=190,再求出前三個數(shù)的和：27x3=81.后三

個數(shù)的和：48x3=144。用前三個數(shù)的和加上后三個數(shù)的和，這樣，中間的那個數(shù)就算了

兩次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中間的一個數(shù)。

練習5：

1.甲、乙、丙三人的平均年齡為22歲，如果甲、乙的平均年齡是18歲，乙、丙的平

均年齡是25歲,那么乙的年齡是多少歲？

2.十名參賽者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。

那么第5人和第6人的平均分是多少分？

3.下圖中的。內(nèi)有五個數(shù)ARGClE,口內(nèi)的數(shù)表示與它相連的所有。中的平均

數(shù)。求C是多少？一一

姓名：—

第2講平均數(shù)

二、精講精練

【例題1】小明前幾次數(shù)學測驗的平均成績是84分，這次要考100分，才能把平均

成績提高到86分。問這是他第幾次測驗？

【思路導航】100分比86分多14分，這14分必須填補到前幾次的平均分84分中去，

使其平均分成為86分。每次填補86-84=2（分），14里面有7個2.所以，前面已經(jīng)測驗

了7次，這是第8次測驗。

練習1:

1.老師帶著幾個同學在做花，老師做了21朵，同學平均每人做了5朵。如果師生合

起來算，正好平均每人做了7朵。求有多少個同學在做花？

2.一位同學在期中測驗中，除了數(shù)學外，其它幾門功課的平均成績是94分，如果數(shù)

學算在內(nèi)，平均每門95分。已知他數(shù)學得了100分，問這位同學一共考了多少門功課？

3.兩組同學進行跳繩比賽，平均每人跳152次。甲組有6人，平均每人跳140次，如

果乙組平均每人跳160次，那么，乙組有多少人？

【例題2】小亮在期末考試中，政治、語文、數(shù)學、英語、自然五科的平均成績是

89分，政治、數(shù)學兩科平均91.5分，政治、英語兩科平均86分，英語比語文多10分。

小亮的各科成績是多少分？

【思路導航】因為語文、英語兩科平均分84分，即語文+英語=168分，而英語比語

文多10分，即英語-語文=10分，所以，語文是（168-10尸2=79分，英語是79+10=89

分。又因為政治、英語兩科平均86分，所以政治是86x2-89=83分；而政治、數(shù)學兩科

平均分91.5分，數(shù)學是91.5x2-83=100分；最后根據(jù)五科的平均成績是89分可知，自

然分是89x5-（79+89+83+100）=94分。

練習2:

1.甲、乙、丙三個數(shù)的平均數(shù)是82.甲、乙兩數(shù)的平均數(shù)是86,乙、丙兩數(shù)的平均數(shù)

是77。乙數(shù)是多少？甲、丙兩個數(shù)的平均數(shù)是多少？

2.小華的前幾次數(shù)學測驗的平均成績是80分，這一次得了100分，正好把這幾次的

平均分提高到85分。這一次是他第幾次測驗？

3.五個數(shù)排一排，平均數(shù)是9。如果前四個數(shù)的平均數(shù)是7,后四個數(shù)的平均數(shù)是10,

那么，第一個數(shù)和第五個數(shù)的平均數(shù)是多少？

【例題3］兩地相距360千米，一艘汽艇順水行全程需要10小時，已知這條河的水

流速度為每小時6千米。往返兩地的平均速度是每小時多少千米？

【思路導航】用往返的路程除以往返所用的時間就等于往返兩地的平均速度。顯然，

4-

要求往返的平均速度必須先求出逆水行全程時所用的時間。因為360+10=36（千米）是順

水速度，它是汽艇的靜水速度與水流速度的和，所以，此汽艇的靜水速度是36-6=30（千

米X而逆水速度=靜水速度-水流速度，所以汽艇的逆水速度是30-6=24（千米I逆水

行全程時所用時間是360+24=15（小時）,往返的平均速度是360x2+（10+15）=28.8

（千米I

練習3：

1.甲、乙兩個碼頭相距144千米，汽船從乙碼頭逆水行駛8小時到達甲碼頭，已知汽

船在靜水中每小時行駛21千米。求汽船從甲碼頭順流行駛幾小時到達乙碼頭？

2.一艘客輪從甲港駛向乙港，全程要行165千米。已知客輪的靜水速度是每小時30

千米，水速每小時3千米?，F(xiàn)在正好是順流而行，行全程需要幾小時？

3.甲船逆水航行300千米，需要15小時，返回原地需要10小時；乙船逆水航行同樣

的一段水路需要20小時，返回原地需要多少小時？

【例題4］幼兒園小班的20個小朋友和大班的30個小朋友一起分餅干，小班的小朋

友每人分10塊，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均數(shù)多2塊。求一共分掉多少

塊餅干？

【思路導航】只要知道了大、小班小朋友分得的平均數(shù)，再乘（30+20）人就能求出

餅干的總塊數(shù)。因為大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均數(shù)多2塊，30個小朋友一

共多2x30=60（塊），這60塊平均分給20個小班的小朋友，每人可得60+20=3（塊X

因此，大、小班小朋友分得平均塊數(shù)是10+3=13（塊），一共分掉13x（30+20）=650（塊I

練習4:

1.數(shù)學興趣小組里有4名女生和3名男生，在一次數(shù)學競賽中，女生的平均分是90

分，男生的平均分比全組的平均分高2分，全組的平均分是多少分？

2.兩組同學跳繩，第一組有25人，平均每人跳80下；第二組有20人，平均每人比

兩組同學跳的平均數(shù)多5下，兩組同學平均每人跳幾下？

3.一個技術(shù)工帶5個普通工人完成了一項任務(wù)，每個普通工人各得120元，這位技術(shù)

工人的收入比他們6人的平均收入還多20元。問這位技術(shù)工得多少元？

【例題5】王強從A地到B地，先騎自行車行完全程的一半，每小時行12千米。剩

下的步行，每小時走4千米。王強行完全程的平均速度是每小時多少千米？

【思路導航】求行完全程的平均速度，應(yīng)該用全程除以行全程所用的時間。由于題中

沒有告訴我們A地到B地間的路程，我們可以設(shè)全程為24千米（也可以設(shè)其他數(shù)），這樣，

就可以算出行全程所用的時間是12+12+12+4=4（小時），再用24。4就能得到行全程的

平均速度是每小時6千米。

姓名：—

練習5：

1.小明去爬山，上山時每小時行3千米，原路返回時每小時行5千米。求小明往返的

平均速度。

2.運動員進行長跑訓練，他在前一半路程中每分鐘跑150米，后一半路程中每分鐘跑

100米。求他在整個長跑中的平均速度。

3.把一份書稿平均分給甲、乙二人去打，甲每分鐘打30個字，乙每分鐘打20個字。

打這份書稿平均每分鐘打多少個字？

6-

第3講長方形、正方形的周長

一、知識要點

同學們都知道，長方形的周長=（長+寬）X2.正方形的周長=邊長X4。長方形、正

方形的周長公式只能用來計算標準的長方形和正方形的周長。如何應(yīng)用所學知識巧求表面

上看起來不是長方形或正方形的圖形的周長，還需同學們靈活應(yīng)用已學知識，掌握轉(zhuǎn)化的

思考方法，把復雜的問題轉(zhuǎn)化為標準的圖形，以便計算它們的周長。

二、精講精練

【例題1】有5張同樣大小的紙如下圖（a）重疊著，每張紙都是邊長6厘米的正方

形，重疊的部分為邊長的一半，求重疊后圖形的周長。

【思路導航】根據(jù)題意，我們可以把每

個正方形的邊長的一半同時向左、右、上、6厘米

下平移（如圖b）,轉(zhuǎn)化成一個大正方形，這

個大正方形的周長和原來5個小正方形重疊

后的圖形的周長相等。因此，所求周長是18

x4=72厘米。

練習1:

1.下圖由8個邊長都是2厘米的正方形組成，求這個圖形的周長。

2.下圖由1個正方形和2個長方形組成，求這個圖形的周長。

3.有6塊邊長是1厘米的正方形，如例題中所說的這樣重疊著，求重疊后圖形的周長。

20cm

9cm

15cm

【例題2】一塊長方形木板，沿著它的長度不同的兩條邊各截去4厘米，截掉的面積

為192平方厘米?，F(xiàn)在這塊木板的周長是多少厘米？

【思路導航】把截掉的192平方厘米分成人及C

三塊（如圖），其中AB的面積是192-4x4=176（平方厘

米），把A和B移到一起拼成一個寬4厘米的長方形，而此

長方形的長就是這塊木板剩下部分的周長的一半。176+

4=44（厘米）,現(xiàn)在這塊木板的周長是44x2=88（厘米X

練習2:

姓名：—

1.有一個長方形，如果長減少4米，寬減少2米，面積就比原來減少44平方米，且

剩下部分正好是一個正方形。求這個正方形的周長。I一

2.有兩個相同的長方形，長是8厘米，寬是3厘米，如果按下圖疊放

在一起，這個圖形的周長是多少？一

3.有一塊長方形廣場，沿著它不同的兩條邊各劃出2米做綠化帶，剩

下的部分仍是長方形，且周長為280米。求劃去的綠化帶的面積是多少平方米？

【例題3］已知下圖中，甲是正方形，乙是長方形，整個圖形的周長是多少？

【思路導航】從圖中可以看出，整個圖形的周長由六條

線段圍成，其中三條橫著，三條豎著。三條橫著的線段和是甲

（a+b）x2.三條豎著的線段和是bx2O所以，整個圖形的|乙

周長是（a+b）x2+bx2.即2a+4b。

練習3:

1.有一張長40厘米，寬30厘米的硬紙板，在四個角上各剪去一個同樣大小的正方形

后準備做一個長方體紙盒，求被剪后硬紙板的周長。

2.一個長12厘米，寬2厘米的長方形和兩個正方形正好拼成下圖（1）所示長方形，

求所拼長方形的周長。

3.求下面圖形（圖2）的周長（單位：厘米X

圖（1）

【例題4】下圖是邊長為4厘米的正方形，求正方形中陰影部分的周長。

【思路導航】我們把陰影部分周長中左邊的5條線段全部平移到左邊,

其和正好是4厘米。再把下面的線段全部平移到下面，其和也正好是4厘米。

因此，陰影部分的周長與邊長是4厘米的正方形的周長是相等的。

練習4:

1.求下面圖形的周長（單位：厘米X

2.在（）里填上">"、"<"或"=%甲的周長（）乙的周長

3.下圖中的每一小段的長度都相等，求圖形的周長。

8-

22Jf*

［例題5］如下圖,陰影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的長方形的

周長。

【思路導航】根據(jù)題意可知，最大長方形的寬就是正方形的邊

長。因為BC=EF,CF=DE,所以,AB+BC+CF=AB+FE+ED=9+6=15

（厘米），這正好是最大長方形周長的一半。因此，最大長方形的周

長是（9+6）x2=30（厘米I

練習5：

1.下面三個正方形的面積相等，剪去陰影部

分的面積也相等，求原來正方形的周長發(fā)生了什

么變化？（單位：厘米）

2.下面是一個零件的平面圖，圖中每條短線段都是5厘米，零件長35厘米，高30厘

米。這個零件的周長是多少厘米？

3.有兩個相同的長方形，長7厘米，寬3厘米，如下圖重疊著，求重疊圖形的周長。

姓名：一

10-

第4講長方形、正方形的面積

一、知識要點

長方形的面積=長、寬，正方形的面積=邊長X邊長。掌握并能運用這兩個面積公式，

就能計算它們的面積。

但是，在平時的學習過程中，我們常常會遇到一些已知條件比較隱蔽、圖形比較復雜、

不能簡單地用公式直接求出面積的題目。這就需要我們切實掌握有關(guān)概念，利用“割補”、

"平移"、"旋轉(zhuǎn)”等方法，使復雜的問題轉(zhuǎn)化為普通的求長方形、正方形面積的問題，從

而正確解答。

二、精講精練

【例題1】已知大正方形比小正方形邊長多2厘米，大正方形比小正方形的面積大

40平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米？

【思路導航】從圖中可以看出，大正方形的面積比小正方形的面積大

出的40平方厘米,可以分成三部分，其中A和B的面積相等。因此，用40

平方厘米減去陰影部分的面積，再除以2就能得到長方形A和B的面積，

再用A或B的面積除以2就是小正方形的邊長。求到了小正方形的邊長，

計算大、小正方形的面積就非常簡單了。

練習1:

1.有一塊長方形草地，長20米，寬15米。在它的四周向外筑一條寬

2米的小路，求小路的面積。

2.正方形的一組對邊增加30厘米，另一組對邊減少18厘米，結(jié)果得到一個與原正方

形面積相等的長方形。原正方形的面積是多少平方厘米？

3.把一個長方形的長增加5分米，寬增加8分米后，得到一個面積比原長方形多181

平方分米的正方形。求這個正方形的邊長是多少分米？

【例題2】一個大長方形被兩條平行于它的兩條邊的線段分成四個較小的長方形，其

中三個長方形的面積如下圖所求，求第四個長方形的面積。:

【思路導航】因為AExCE=6,DExEB=35，把兩個式子相乘AExCE

A”^一fi

xDExEB=35X6,而CEXEB=14，所以AEXDE=35X6+14=15O

D

練習2:

1.下圖一個長方形被分成四個小長方形，其中三個長方形的面積分別是24平方厘米、

30平方厘米和32平方厘米，求陰影部分的面積。

2.下面一個長方形被分成六個小長方形，其中四個長方形的面積如圖所示（單位：平

方厘米），求A和B的面積。

姓名：_

3.下圖中陰影部分是邊長5厘米的正方形，四塊完全一樣的長方形的寬是8厘米，求

整個圖形s而初

15A12

4524B

【例題3】把20分米長的線段分成兩段，并且在每一段上作一正方形，已知兩個正

方形的面積相差40平方分米，大正方形的面積是多少平方分米？

【思路導航】我們可以把小正方形移至大正方形A

里面進行分析。兩個正方形的面積差40平方分米就是

B

圖中的A和B兩部分，如圖。如果把B移到原來小正U-----------

2020

方形的上面，不難看出，A和B正好組成一個長方形，

此長方形的面積是40平方分米，長20分米，寬是40+20=2（分米），即大、小兩個正方

形的邊長相差2分米。因此，大正方形的邊長就是（20+2）+2=11（分米），面積是11x

11=121（平方分米X

練習3：

1.一塊正方形，一邊劃出1.5米，另一邊劃出10米搞綠化，剩下的面積比原來減少

了1350平方米。這塊地原來的面積是多少平方米？

2.一個正方形，如果它的邊長增加5厘米，那么，面積就比原來增加95

平方厘米。原來正方形的面積是多少平方厘米？

3.有一個正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米寬的小路，路面面積是

80平方米。求草坪的面積。

【例題4】有一個正方形ABCD如下圖，請把這個正方形的面積擴大1倍，并畫出來。

【思路導航】由于不知道正方形的邊長和面積，所以，也沒有辦法計

算出所畫正方形的邊長或面積。我們可以利用兩個正方形之間的關(guān)系進行

分析。以正方形的四條邊為準，分別作出4個等腰直角三角形，如圖中虛

線部分，顯然，虛線表示的正方形的面積就是原正方形面積的2倍。

練習4:

1.四個完全一樣的長方形和一個小正方形組成了一個大正方形，如果大、小正方形的

面積分別是49平方米和4平方米，求其中一個長方形的寬。

2.正圖的每條邊都垂直于與它相鄰的邊，并且28條邊的長都相等。如果此圖的周長

是56厘米，那么，這個圖形的面積是多少？

12-

3.正圖中，正方形ABCD的邊長4厘米求長方形EF（T）的面和一

【例題5］有一個周長是72厘米的長方形，它是由三個大小相等的正方形拼成的。

一個正方形的面積是多少平方厘米？

【思路導航】三個同樣大小的正方形拼成的長方形，它的周長是原正方形邊長的8倍,

正方形的邊長為72+8=9（厘米），一個正方形的面積就是9x9=81（平方厘米X

練習5：1.五個同樣大小的正方形拼成一個長方形，這個長方形的周長是36厘米，求

每個正方形的面積是多少平方厘米？

2.有一張長方形紙，長12厘米，寬10厘米。從這張紙上剪下一個最大的正方形后，

剩下部分的周長是多少厘米？A|-----

3.有一個小長方形，它和一個正方形拼成了一個大長方形ABCD（如下圖），

已知大長方形的面積是35平方厘米且周長比原來小長方形的周長多10厘米。BI-----L

求原來小長方形的面積。

姓名：_

第5講分類數(shù)圖形

一、知識要點

我們在數(shù)數(shù)的時候，遵循不重復、不遺漏的原則，不能使數(shù)出的結(jié)果準確。但是在數(shù)

圖形的個數(shù)的時候，往往就不容易了。分類數(shù)圖形的方法能夠幫助我們找到圖形的規(guī)律，

從而有秩序、有條理并且正確地數(shù)出圖形的個數(shù)。

二、精講精練

【例題1】下面圖形中有多少個正方形？

【思路導航】圖中的正方形的個數(shù)可以分類數(shù)，如由一個小正方

形組成的有6x3=18個，2x2的正方形有5x2=10個，3x3的正方

形有4x1=4個。因此圖中共有18+10+4=32個正方形。

練習1:

1.下圖中共有多少個正方形？

2.下圖中共有多少個正方形？

3.下圖中共有多少個正方形，多少個三角形？

【例題2】下圖中共有多少個三角形？

【思路導航】為了保證不漏數(shù)又不重復，我們可以分類來數(shù)三角形，然后再把數(shù)出的

各類三角形的個數(shù)相加。

(1)圖中共有6個小三角形；

(2)由兩個小三角形組合的三角形有3個；

(3)由三個小三角形組合的三角形有4個；

(4)由六個小三角形組合的三角形有1個。

所以共有6+3+4+1=14個三角形。

練習2:

1.下面圖中共有多少個三角形？

2.數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形。

3.數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形？

14-

【例題3】數(shù)出下圖中所有三角形的個數(shù)。

【思路導航】和三角形AFG一樣形狀的三角形有5個；和三角形

ABF一樣形狀的三角形有10個；和三角形ABG一樣形狀的三角形有5

個；和三角形ABE一樣形的三角形有5個；和三角形AM)一樣形狀的三

角形有5個，共35個三角形。

練習3：

數(shù)出下面圖形中分別有多少個三角形。

【例題4】如下圖，平面上有12個點，可任意取其中四個點圍成一個正方形，這樣

的正方形有多少個？°

【思路導航】把相鄰的兩點連接起來可以得到下面圖形，從圖

中可以看出：

(1)最小的正方形有6個；

(2)由4個小正方形組合而成的正方形有2個；

(3)中間還可圍成2個正方形。

所以共有6+2+2=10個。

練習4:

1.下圖中共有8個點，連接任意四點圍成一個長方形，一共能圍成多少個長方形？

2.下圖中共有6個點，連接其中的三點圍成一個三角形，一共能圍成多少個三角形？

3.下圖中共有9個點，連接其中的四個點圍成一個梯形，一共能圍成多少個梯形？

姓名：_

【例題5］數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個三角形？

【思路導航】我們可以分類來數(shù)：

1.單一的小三角形有16個；2.兩個小三角形組合的有10個；

3.四個小三角形組合的有8個；4.八個小三角形組合的有2個。

所以，圖中一共有16+10+8+2=36個三角形。

練習5：

1.圖中共有（）個三角形。

2.圖中共有（）個三角形。

3.圖中共有（）個正方形。

16-

第6講尾數(shù)和余數(shù)

一、知識要點

自然數(shù)末位的數(shù)字稱為自然數(shù)的尾數(shù)；除法中，被除數(shù)減去商與除數(shù)積的差叫做余數(shù)。

尾數(shù)和余數(shù)在運算時是有規(guī)律可尋的，利用這種規(guī)律能解決一些看起來無從下手的問題。

二、精講精練

【例題1】寫出除213后余3的全部兩位數(shù)。

【思路導航】因為213=210+3.把210分解質(zhì)因數(shù)：210=2x3x5x7,所以，符號題

目要求的兩位數(shù)有2x5=10,2x7=14,3x5=15,3x7=21.5x7=35,2x3x5=30,2x3

x7=42.一共有7個兩位數(shù)。

練習1:

1.寫出除109后余4的全部兩位數(shù)。

2.178除以一個兩位數(shù)后余數(shù)是3.適合條件的兩位數(shù)有哪些？

3.寫出除1290后余3的全部三位數(shù)。

【例題2】(1)125x125x125x......-125[100個25]積的尾數(shù)是幾？

(2)(21x26)x(21x26)x……x(21x26)[100個(21*26)]積的尾數(shù)是幾？

【思路導航】(1)因為個位5乘5,積的個位仍然是5,所以不管多少個125相乘，

個位還是5;

(2)每個括號里21乘26積的個位是6,我們只要分析100個6相乘，積的尾數(shù)是幾

就行了。因為個位6乘6,積的個位仍然是6,所以不管多少個(26)連乘，積的個

位還是6O

練習2:

1.21x21x21x……x21]50個21]積的尾數(shù)是幾？

2.1.5x1.5x1.5x......x1.5[200個1.5]積的尾數(shù)是幾？

3.(12x63)x(12X63)x(12X63)x……x(12x63)[1000個(12x63)]

積的尾數(shù)是幾？

【例題3】(1)4x4x4x...x4[50個4]積的個位數(shù)是幾？

(2)9x9x9x...x見51個9]積的個位數(shù)是幾?

【思路導航】(1)我們先列舉前幾個4的積，看看個位數(shù)在怎樣變化，1個4個位就

是4;4x4的個位是6;4x4x4的個位是4;4x4x4x4的個位是6由此可見,積的

尾數(shù)以"4,6"兩個數(shù)字在不斷重復出現(xiàn)。50+2=25沒有余數(shù)，說明50個4相乘，積的

個位是6。

(2)用上面的方法可以發(fā)現(xiàn)，51個9相乘時，積的個位是以"9,1"兩個數(shù)字不斷

姓名：—

重復，51+2=25……1.余數(shù)是1.說明51個9本乘積的個位是9。

練習3：

1.24x24x24x...x24[2001個24],積的尾數(shù)是多少？

2.1x2x3x...x98X99,積的尾數(shù)是多少?

3.94、94x94x...x94[102個94]-49、49、...x49[101個49],差的個位是多少？

【例題4】把1/7化成小數(shù)，那么小數(shù)點后面第100位上的數(shù)字是多少？

【思路導航】因為1/7=0.142857142857.....化成的小數(shù)是一個無限循環(huán)小數(shù)，循

環(huán)節(jié)"142857”共有6個數(shù)字。由于100-6=16......4,所以，小數(shù)點后面的第100位是第

17個循環(huán)節(jié)的第4個數(shù)字，是8。

練習4:

1.把1/11化成小數(shù)，求小數(shù)點后面第2001位上的數(shù)字。

2.5/7寫成循環(huán)小數(shù)后，小數(shù)點后第50個數(shù)字是幾？

3.有一串數(shù)：5、8、13、21、34、55、89......,其中，從第三個數(shù)起，每個數(shù)恰好是

前兩個數(shù)的和。在這串數(shù)中，第1000個數(shù)被3除后所得的余數(shù)是多少？

【例題5】555...55[2001個5]+13.當商是整數(shù)時,余數(shù)是幾？

【思路導航】如果用除法硬除顯然太麻煩，我們可以先用豎式來除一除，看一看余數(shù)

在按怎樣的規(guī)律變化。平姿…

13/555555.,.

152

26

95

91

65

65

-0

從豎式中可以看出，余數(shù)是按3、9、4、6、0、5這六個數(shù)字不斷重復出現(xiàn)。2001+

6=333......3.所以，當商是整數(shù)時，余數(shù)是4。

練習5：

1.444...4-6[100個4],當商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？

2.當商是整數(shù)時，余數(shù)各是幾？

(1)666...6+4[100個6]

(2)444...4+74[200個4]

18-

(3)888...8+7[200個8]

(4)111...R7[50個1]

姓名：—

第7講一般應(yīng)用題（一）

一、知識要點

一般復合應(yīng)用題往往是有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，有的已知條件是間

接的，數(shù)量關(guān)系比較復雜，敘述的方式和順序也比較多樣。因此，一般應(yīng)用題沒有明顯的

結(jié)構(gòu)特征和解題規(guī)律可循。解答一般應(yīng)用題時，可以借助線段圖、示意圖、直觀演示手段

幫助分析。在分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系時，我們可以從條件出發(fā)，逐步推出所求問題（綜合

法）；也可以從問題出發(fā)，找出必須的兩個條件（分析法X在實際解時，可以根據(jù)題中的

已知條件，靈活運用這兩種方法。

二、精講精練

【例題1】五年級有六個班，每班人數(shù)相等。從每班選16人參加少先隊活動，剩下

的同學相當于原來4個班的人數(shù)。原來每班多少人？

【思路導航】從每班選16人參加少先隊活動，6個班共選16x6=96（人）剩下的同

學相當于原來4個班的人數(shù)，那么，96人就相當于原來（6-4）個班人人數(shù)，所以，原來

每班96+2=48（人X

練習1:

1.五個同學有同樣多的存款，若每人拿出16元捐給“希望工程"后，五位同學剩下

的錢正好等于原來3人的存款數(shù)。原來每人存款多少？

2.把一堆貨物平均分給6個小組運，當每個小組都運了68箱時，正好運走了這堆貨

物的一半。這堆貨物一共有多少箱？

3.老師把一批樹苗平均分給四個小隊栽，當每隊栽了6棵時，發(fā)現(xiàn)剩下的樹苗正好是

原來每隊分得的棵數(shù)。這批樹苗一共有多少棵？

［例題2］某車間按計劃每天應(yīng)加工50個零件，實際每天加工56個零件。這樣，不

僅提前3天完成原計劃加工零件的任務(wù)，而且還多加工了120個零件。這個車間實際加工

了多少個零件？

【思路導航】如果按原計劃的天數(shù)加工，加工的零件就會比原計劃多56x3+120=288

（個I為什么會多加工288個呢？是因為每天多加工了56-50=6（個》因此，原計劃加

工的天數(shù)是288+6=48（天），實際加工了50x48+120=1520（個）零件。

練習2:

1.汽車從甲地開往乙地，原計劃每小時行40千米，實際每小時多行了10千米，這樣

比原計劃提前2小時到達了乙地。甲、乙兩地相距多少千米？

2.小明騎車上學，原計劃每分鐘行200米，正好準時到達學校，有一天因下雨，他每

分鐘只能行120米，結(jié)果遲到了5分鐘。他家離學校有多遠？

20-

3.加工一批零件，原計劃每天加工80個，正好按期完成任務(wù)。由于改進了生產(chǎn)技術(shù)，

實際每天加工100個，這樣，不僅提前4天完成加工任務(wù)，而且還多加工了100個。他們

實際加工零件多少個？

【例題3】甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6個零件，乙中途停了15天沒

有加工。40天后，乙所加工的零件個數(shù)正好是甲的一半。這時兩人各加工了多少個零件？

【思路導航】甲工作了40天，而乙停止了15天沒有加工，乙只加工了25天，所以

他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲20天加工的零件和乙25天加工的零件同樣多。

由于甲每天比乙多加工6個，20天一共多加工6x20=120（個I這120個零件相當于乙

25-20=5（天）加工的個數(shù)，乙每天加工120+（25-20）=24（個X乙一共加工了24、25=600

（個）,甲一共加工了600x2=1200（個）

練習3:

1.甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10個。途中乙因事休息了5天，20

天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2倍，這時兩人各加工帽子多少個？

2.甲、乙兩車同時從AB兩地相對開出，甲車每小時比乙車多行20千米。途中乙因

修車用了2小時，6小時后甲車到達兩地中點，而乙車才行了甲車所行路程的一半。KB

兩地相距多少千米？

3.甲、乙兩人承包一項工程，共得工資1120元。已知甲工作了10天，乙工作了12

天，且甲5天的工資和乙4天的工資同樣多。求甲、乙每天各分得工資多少元？

【例題4】服裝廠要加工一批上衣，原計劃20天完成任務(wù)。實際每天比計劃多加工

60件，照這樣做了15天，就超過原計劃件數(shù)350件。原計劃加工上衣多少件？

【思路導航】由于每天比計劃多加工60件,15天就比原計劃的15天多加工60x15=900

（件），這時已超過計劃件數(shù)350件，900件中去掉這350件，剩下的件數(shù)就是原計劃（20

-15）天中的工作量。所以，原計劃每天加工上衣（900-350）+（20-15）=110（件）,

原計劃加工110x20=2200（件X

練習4:

1.用汽車運一堆煤，原計劃8小時運完。實際每小時比原計劃多運1.5噸，這樣運了

6小時就比原計劃多運了3噸。原計劃8小時運多少噸煤？

2.汽車從甲地開往乙地，原計劃10小時到達。實際每小時比原計劃多行15千米，行

了8小時后，發(fā)現(xiàn)已超過乙20千米。甲、乙兩地相距多少千米？

3.小明看一本書，原計劃8天看完。實際每天比原計劃少看了4頁。這樣，用10天

才看完了這本書。這本書一共有多少頁？

［例題5］王師傅原計劃每天做60個零件，實際每天比原計劃多做20個，結(jié)果提前

姓名：—

5在完成任務(wù)。王師傅一共做了多少個零件？

【思路導航】按實際做法再做5天，就會超產(chǎn)（60+20）x5=400（個I為什么會超

產(chǎn)400個呢？是因為每天多生產(chǎn)了20個，400里面有幾個20,就是原計劃生產(chǎn)幾天。400

+20=20（天），因此，王師傅一共做了60x20=1200（個）零件。

練習5：

1.食堂準備了一批煤，原計劃每天燒0.8噸，實際每天比原計劃節(jié)約了0.1噸，這樣

比原計劃多燒了2天。這批煤一共有多少噸？

2.造紙廠生產(chǎn)一批紙，計劃每天生產(chǎn)13.5噸，實際每天比原計劃多生產(chǎn)1.5噸，結(jié)

果提前2.5天完成了任務(wù)。實際用了多少天？

3.機床廠生產(chǎn)一批機床，原計劃每天生產(chǎn)15臺，實際每天生產(chǎn)18臺，這樣比原計劃

提前3天完成了任務(wù)。這批機床一共有多少臺？

22-

第8講一般應(yīng)用題（二）

一、知識要點

較復雜的一般應(yīng)用題，往往具有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，但是，再復

雜的應(yīng)用題都可以通過“轉(zhuǎn)化”向基本的問題靠攏。因此，我們在解答一般應(yīng)用題時要善

于分析，把復雜的問題簡單化，從而正確解答。

二、精講精練

【例題1】工程隊要鋪設(shè)一段地下排水管道，用長管子鋪需要25根，用短管子鋪需

要35根。已知這兩種管子的長相差2米，這段排水管道長多少米？

【思路導航】因為每根長管子比每根短管子長2米，25根長管子就比25根短管子長

50米。而這50米就相當于（35-25）根短管子的長度。因此，每根短管子的長度就是50

+（35-25）=5（米），這段排水管道的長度應(yīng)是5x35=175（米X

練習1:

1.生產(chǎn)一批零件，甲單獨生產(chǎn)要用6小時，乙單獨生產(chǎn)要用8小時。如果甲每小時比

乙多生產(chǎn)10個零件，這批零件一共有多少個？

2.一班的小朋友在操場上做游戲，每組6人。玩了一會兒，他們覺得每組人數(shù)太少便

重新分組，正好每組9人，這樣比原來減少了2組。參加游戲的小朋友一共有多少人？

3.甲、乙二人同時從A地到B地，甲經(jīng)過W小時到達了B地，比乙多用了4小時。

已知二人的速度差是每小時5千米，求甲、乙二人每小時各行多少千米？

【例題2】甲、乙、丙三人拿出同樣多的錢買一批蘋果，分配時甲、乙都比丙多拿

24千克。結(jié)帳時，甲和乙都要付給丙24元，每千克蘋果多少元？

【思路導航】三人拿同樣多的錢買蘋果應(yīng)該分得同樣多的蘋果。24x2+3=16（千克）,

也就是丙少拿16千克蘋果，所以得到24x2=48元。每千克蘋果是48+16=3（元I

練習2:

1.甲和乙拿出同樣多的錢買相同的鉛筆若干支，分鉛筆時，甲拿了13支，乙拿了7

支，因此，甲又給了乙6角錢。每支鉛筆多少錢？

2.春游時小明和小軍拿出同樣多的錢買了6個面包，中午發(fā)現(xiàn)小紅沒有帶食品，結(jié)果

三人平均分了這些面包，而小紅分別給了小明和小軍各2.2元錢。每個面包多少元？

3.“六一"兒童節(jié)時同學們做紙花，小華買來了7張紅紙，小英買來了和紅紙同樣價

格的5張黃紙。老師把這些紙平均分給了小華、小英和另外兩名同學，結(jié)果另外兩名同學

共付給老師9元錢。老師把9元錢怎樣分給小華和小英？

【例題3】甲城有177噸貨物要跑一趟運到乙城。大卡車的載重量是5噸，小卡車的

載重量是2噸，大、小卡車跑一趟的耗油量分別是10升和5升。用多少輛大卡車和小卡

姓名：—

車來運輸時耗油最少？

【思路導航】大汽車一次運5噸，耗油10升，平均運1噸貨耗油10+5=2（升）；小

汽車一次運2噸，耗油5升，平均運1噸貨耗油5+2=2.5（升I顯然，為耗油量最少應(yīng)

該盡可能用大卡車。177+5=35（輛）......2噸，余下的2噸正好用小卡車運。因此，用

35輛大汽車和1輛小汽車運耗油量最少。

練習3:

1.五名選手在一次數(shù)學競賽中共得404分，每人得分互不相同，并且都是整數(shù)。如果

最高分是90分，那么得分最少的選手至少得多少分？

2.用1元錢買4分、8分、1角的郵票共15張，那么最多可以買1角的郵票多少張？

3.某班有60人，其中42人會游泳，46人會騎車，50人會溜冰，55人會打乒乓球。

可以肯定至少有多少人四項都會？

【例題4】有一棟居民樓，每家都訂2份不同的報紙，該居民樓共訂了三種報紙，其

中北京日報34份，江海晚報30份，電視報22份。那么訂江海晚報和電視報的共有多少

家？

【思路導航】這棟樓共訂報紙34+30+22=86（份），因為每家都訂2份不同的報紙，所

以一共有86+2=43家。在這43家居民中，有34家訂了北京日報，剩下的9家居民一定

是訂了江海晚報和電視報。

練習4:

1.五（1）班全體同學每人帶2個不同的水果去慰問解放軍叔叔，全班共帶了三種水

果，其中蘋果40個，梨32個，桔子26個。那么，帶梨和桔子的有多少個同學？

2.在一次慶祝‘六一”兒童節(jié)活動中，一個方隊的同學每人手里都拿兩種顏色的氣球，

共有紅、黃、綠三種顏色。其中紅色有56只，黃色的有60只，綠色的有46只。那么，

手拿紅、綠兩種氣球的有多少個同學？

3.學校開設(shè)了音樂、球類和美術(shù)三個興趣小組，第一小隊的同學們每人都參加了其中

的兩個小組，其中9人參加球類小組，6人參加美術(shù)小組，7人參加音樂小組的活動。參

加美術(shù)和音樂小組活動的有多少個同學？

[例題5]一艘輪船發(fā)生漏水事故，立即安裝兩臺抽水機向外抽水，此時已進水800

桶。一臺抽水機每分鐘抽水18桶，另一臺每分鐘抽水14桶，50分鐘把水抽完。每分鐘進

水多少桶？

【思路導航】50分鐘內(nèi)，兩臺抽水機一共能抽水（18+14）x50=1600（桶X1600

桶水中，有800桶是開始抽之前就漏進的，另800桶是50分鐘又漏進的,因此，每分鐘

漏進水800+50=16（桶X

24-

練習5:

1.一個水池能裝8噸水，水池里裝有一個進水管和一個出水管。兩管齊開，20分鐘能

把一池水放完。已知進水管每分鐘往池里進水0.8噸，求出水管每分鐘放水多少噸？

2.某工地原有水泥120噸。因工程需要，又派5輛卡車往工地送水泥，平均每輛卡車

每天送25噸，3天后工地上共有水泥101噸。這個工地平均每天用水泥多少噸？

3.一堆貨物重96噸，甲隊用16小時運完，乙隊用24小時運完。如果讓兩隊同時合

運，幾小時運完？

姓名：—

第9講一般應(yīng)用題（三）

一、知識要點

解答一般應(yīng)用題時，可以按下