新高考第一輪復(fù)習(xí)資料：立體幾何與空間向量

目錄

§1空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積

§2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

§3直線、平面平行的判定與性質(zhì)

§4直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

§5空間向量及其運(yùn)算

§6立體幾何中的向量方法（一）——證明平行與垂直

§7立體幾何中的向量方法（二）——求空間角和距離

高考專題突破高考中的立體幾何問題

1

§1空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積

:最新考綱；1.利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)

特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)2了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)

算公式(不要求記憶公式).

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

上\

圖形

/

亳L__目______

底面互相平行且全等多邊形互相平行

相交于一點(diǎn)但不

側(cè)棱平行且相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

一定相等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

\\\\,

圖形/__/—,1-1

平行、相等且垂直

母線相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

于底面

軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓

側(cè)面

矩形扇形扇環(huán)

展開圖

2

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺(tái)

\\'P\

\.\____

側(cè)面展開圖Jl-1/--------

zrJ—'--HI---/-------

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=271rlS圓錐側(cè)=71rlS圓臺(tái)側(cè)=兀（r1+廠［）/

3.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

幾何彳

柱體（棱柱和圓柱）S表面積=S側(cè)+2S底V=S&-h

V=|sa-h

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=S側(cè)+S底

V=g（S上+S卜S上S下）li

臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）S表面積——S側(cè)+S上+S下

4Q

球S=4兀F曠=列?3

概念方法微思考；

1.底面是正多邊形的棱柱是正棱柱嗎？為什么？

提示不一定.因?yàn)榈酌媸钦噙呅蔚闹崩庵攀钦庵?

2.如何求不規(guī)則幾何體的體積？

提示求不規(guī)則幾何體的體積要注意分割與補(bǔ)形，將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體

求解.

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.（X）

（2）有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.（X）

（3）棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.（V）

（4）錐體的體積等于底面積與高之積.（X）

（5）已知球。的半徑為R,其內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為“，則7?=當(dāng)”.（V）

（6）圓柱的一個(gè)底面積為S,側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2兀S.（X）

題組二教材改編

3

2.已知圓錐的表面積等于12兀cn?,其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為（）

3

A.1cmB.2cmC.3cmD.]cm

答案B

解析S表=兀產(chǎn)+?！?兀戶+兀r2r=3兀戶=12兀，

產(chǎn)=4,r=2.

3.在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為.（填寫所有正確的序號(hào)）

答案③⑤

題組三易錯(cuò)自糾

4.體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

32

A.127tC.8兀D.4兀

答案A

解析由題意可知正方體的棱長(zhǎng)為2,其體對(duì)角線為2小即為球的直徑，所以球的表面積為4兀笈=（2田2%=

1271,故選A.

5.如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的

比為.

答案1：47

解析設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,它截出棱錐的體積Vi=1x^X^aX^X^c=^aZ?c,剩下

147

的幾何體的體積V2=abc—^abc=-^abc,所以Vi：L=1：47.

4

題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征」aI=三I

1.以下命題：

①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐;

②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；

③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；

④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析由圓錐、圓臺(tái)、圓柱的定義可知①②錯(cuò)誤，③正確.對(duì)于命題④，只有用平行于圓錐底面的平面去

截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，④不正確.

2.給出下列四個(gè)命題：

①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱；

②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；

③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體；

④底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱.

其中不正確的命題為.（填序號(hào)）

答案①②③

解析對(duì)于①，平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能是矩形，故①錯(cuò)；對(duì)于②，對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)

棱未作說明（如圖），故②錯(cuò)；對(duì)于③，若底面不是矩形，則③錯(cuò)；④由線面垂直的判定，可知側(cè)棱垂直于底

面，故④正確.

綜上，命題①②③不正確.

思維升華空間幾何體概念辨析題的常用方法

（1）定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面

等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定.

（2）反例法：通過反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析.

題型二空間幾何體的表面積與體積

闞扇

命題點(diǎn)1空間幾何體的表面積

例1（2018?全國(guó)I）已知圓柱的上、下底面的中心分別為5,。2,過直線。1。2的平面截該圓柱所得的截面是

面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.12吸兀B.12兀

5

C.8W兀D.IOTI

答案B

解析設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x,

則由/=8,得尤=24^,

.?.5?1柱表=25廟+5例=2/兀乂(也)2+2兀乂地><2吸=12兀故選8.

命題點(diǎn)2求簡(jiǎn)單幾何體的體積

例2如圖，正三棱柱ABC—A181G的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為小，。為的中點(diǎn)，則三棱錐A一囪。。

的體積為()

答案C

解析如題圖，

因?yàn)椤鰽8C是正三角形，

且。為BC中點(diǎn)，則AD±BC.

又因?yàn)锽8i_L平面ABC,AOU平面ABC,

故88iJ_AZ),且881nBe=8,BBi,8CU平面BCC向，

所以平面BCGBi,

所以A。是三棱錐A-BiDCi的高.

所以V三棱錐A—

=gx小X/=1.

思維升華空間幾何體表面積、體積的求法

(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.

(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

(3)體積可用公式法、轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等求解.

跟蹤訓(xùn)練1如圖，直三棱柱ABC—4SG的各條棱長(zhǎng)均為2,。為棱BiG上任意一點(diǎn)，則三棱錐。一A/C

的體積是.

6

答案手

解析VD-AiBC=VBi-AiBC

=VAi—BiBC=gxSABiBCx/=半.

題型三與球有關(guān)的切、接問題二

例3已知直三棱柱ABC—AiBiG的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若AB=3,AC=4,ABLAC,AAi=12,

則球。的半徑為()

A3yB.2-\/10C.￥D.3y[lb

答案C

解析如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，

則垂足為BC的中點(diǎn)M.

又AAf=^BC=1,

OM=2AAi=6,

所以球0的半徑R=OA=\JO+62=號(hào).

引申探究

1.本例若將直三棱柱改為“棱長(zhǎng)為4的正方體”，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？

解由題意可知，此正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為其外接球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)即為其內(nèi)切球的直徑.設(shè)該

正方體外接球的半徑為R,內(nèi)切球的半徑為r.

又正方體的棱長(zhǎng)為4,故其體對(duì)角線長(zhǎng)為4仍，

44/-3/-

從而V外接球=1兀&=-7rx(2\3)=32小冗,

-404'32兀

V內(nèi)切球=§兀尸=]兀X2、=-".

2.本例若將直三棱柱改為“正四面體”，則此正四面體的表面積習(xí)與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為多少？

7

解正四面體棱長(zhǎng)為4,則正四面體表面積為S1=4X坐.〃2=方次，其內(nèi)切球半徑〃為正四面體高的;，即廣

=）坐〃=坐〃，因此內(nèi)切球表面積為S2=4兀/=詈，則

43"OD2兀4兀

~6

3.本例中若將直三棱柱改為“側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都是3小的正四棱錐”，則其外接球的半徑是多少？

解依題意，得該正四棱錐底面對(duì)角線的長(zhǎng)為六「義6=6,高為、y（3也）2—8義6）2=3,

因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3,所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球

的半徑為3.

思維升華“切”“接”問題的處理規(guī)律

（1）“切”的處理

首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來(lái)解決，截面過球心.

（2）“接”的處理

抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.

跟蹤訓(xùn)練2（2018?全國(guó)III）設(shè)A,B,C,。是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其

面積為”門，則三棱錐。一ABC體積的最大值為（）

A.12^3B.18^3C.24^3D.54^3

答案B

解析由等邊△ABC的面積為崎，可得生"=也，

所以AB=6,

所以等邊AABC的外接圓的半徑為r*AB=2p

設(shè)球的半徑為R,球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d,則d=N群一戶=716—12=2.

所以三棱錐。一ABC高的最大值為2+4=6,

所以三棱錐D—ABC體積的最大值為gx”/§><6=l隊(duì)。.

1.將一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（）

A.一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐B.兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱

C.兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái)D.一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐

答案D

解析從較短的底邊的端點(diǎn)向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個(gè)直角三角形，一個(gè)矩形,

8

所以一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個(gè)圓柱，兩個(gè)圓錐所組成的幾何體,

如圖：

2.用長(zhǎng)為8,寬為4的矩形做側(cè)面圍成一個(gè)圓柱，則圓柱的軸截面的面積為（）

A.32B—C—D-

717171

答案B

QOO

解析若8為底面周長(zhǎng)，則圓柱的高為4,此時(shí)圓柱的底面直徑為'其軸截面的面積為一；若4為底面周

7171

長(zhǎng)，則圓柱的高為8,此時(shí)圓柱的底面直徑為?4，其軸截面的面積為3當(dāng)2.

兀兀

3.（2018?遼寧部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體模擬）在一個(gè)密閉透明的圓柱筒內(nèi)裝一定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、

水平、傾斜放置時(shí)，指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是（）

A.圓面B.矩形面

C.梯形面D.橢圓面或部分橢圓面

答案C

解析將圓柱桶豎放，水面為圓面；將圓柱桶斜放，水面為橢圓面或部分橢圓面；將圓柱桶水平放置，水

面為矩形面，所以圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀不可能是梯形面，故選C.

4.棱長(zhǎng)為a的正四面體的表面積是（）

Ar^-a2B求a?C坐a?D市a2

答案D

解析棱長(zhǎng)為。的正四面體的四個(gè)面都是正三角形，正四面體的表面積是4X坐/

5.（2019?江西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）《算術(shù)書》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存

最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典著，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，

該術(shù)相當(dāng)于給出圓錐的底面周長(zhǎng)/與高九計(jì)算其體積V的近似公式V=表外，它實(shí)際上是將圓錐體積公式

中的圓周率兀近似取3,那么，近似公式丫心意為相當(dāng)于將圓錐體積公式中的兀近似?。ǎ?/p>

.22「25

A.-B.~g-

157355

C--50-DT13

答案C

解析丫=%戶%=$*^^20=^^12①

9

由吉心器，得兀心端，故選C.

6.（2018?四川棠湖中學(xué)月考）用一個(gè)平面去截正方體，則截面不可能是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.正方形D.正六邊形

答案A

解析用一個(gè)平面去截正方體，則截面的情況為:

①截面為三角形時(shí)，可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形、直角三角形;

②截面為四邊形時(shí)，可以是梯形（等腰梯形）、平行四邊形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形;

③截面為五邊形時(shí)，不可能是正五邊形；

④截面為六邊形時(shí)，可以是正六邊形.

7.給出下列命題:

①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；

②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；

③在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；

④存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體.

其中正確命題的序號(hào)是.

答案②③④

解析①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，若三棱錐

的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面所在的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；③正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱

的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體4B1C1D1中的三棱錐Ci—A8C,

四個(gè)面都是直角三角形.

/

8.如圖所示，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高

度恰好升高r,貝哈=.

答案￥

解析由水面高度升高廠，得圓柱體積增加了兀肥廣，恰好是半徑為廠的實(shí)心鐵球的體積，因此有%廣=兀氏2兀

10

,,R2^3

故胃3-

9.一個(gè)六棱錐的體積為2小，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為

答案12

解析設(shè)六棱錐的高為/?,則丫=；S〃，

所以與X坐X4X6人=2小,解得力=1.

設(shè)六棱錐的斜高為〃'，

則層+（?。?=〃2,故a=2.

所以該六棱錐的側(cè)面積為3x2X2X6=12.

10.（2017?全國(guó)II）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球0的表面積為.

答案14兀

解析???長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)都在球。的球面上，

長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度就是其外接球的直徑.

設(shè)球的半徑為R,則2R=嚴(yán)存存=/.

.?.球O的表面積為5=4兀7?2=4兀*。^）2=]4兀.

11.若圓錐的表面積是15兀，側(cè)面展開圖的圓心角是60。，求圓錐的體積.

解設(shè)圓錐的底面半徑為廣，母線為/,

貝!|2兀7=^兀/,得l—6r.

又S4t=nr2+nr-6r=7nr2=15n,得廠=\^^,

圓錐的高〃=qp—/2=736戶一戶=y[35-r

5小,

V=^.rh=；兀義與X5小=25,兀

12.若E,尸是三棱柱ABC—481G側(cè)棱831和CG上的點(diǎn)，且BiE=CF三棱柱的體積為優(yōu)，求四棱錐

A—BEPC的體積.

解如圖所示，連接ABi,ACi.

因?yàn)锽iE=CF,所以梯形8EFC的面積等于梯形BiEFCi的面積.

11

又四棱錐A—BEFC的高與四棱錐A—BiEFCi的高相等,

所以VA-BEFC=VA_BiEFCi

=-y

2VA—BB^C.

又%八

—

匕iBC-A與G'h—m,

ni

所以V1遇G=￡，

2m

所以匕一四CQ.=匕8C—431G一匕一A^G-'

上zI,_12m_m

所以VA—BEFC~2w~^~~~39

即四棱錐ABEFC的體積是竽

13.已知邊長(zhǎng)為a的菱形ABC。中，ZABC=6Q°,將該菱形沿對(duì)角線AC折起，使8Z）=a,則三棱錐D—A8C

的體積為（）

答案D

解析在邊長(zhǎng)為。的菱形A8CD中，/ABC=60。，將該菱形沿對(duì)角線AC折起，使BO=a,則三棱錐。一ABC

為正四面體，。在底面的射影為正三角形的中心O,h=0D=

7D@-O*=yJ+2—上層

/二I1

7-I---------1

所以三棱錐A-ABC的體積為丫=蛆=,甘2號(hào)=塔.

14.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4m,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓

錐表面爬行一周后回到點(diǎn)尸處.若該小蟲爬行的最短路程為46m,則圓錐底面圓的半徑等于m.

答案1

12

解析把圓錐側(cè)面沿過點(diǎn)P的母線展開成如圖所示的扇形,

口I

由題意0P=4,PP'=4小,

42+42—(4\[2)2

則cosNPOP'=-/—=0,且NPOP，是三角形的內(nèi)角,

ZA<4A4

IT

所以/POP，=，

設(shè)底面圓的半徑為r,

Jr

則271r=1義4,所以r=l.

15.已知過球面上A,B,C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且A2=18,BC^24,AC=30,

求球的表面積和體積.

解因?yàn)锳B：BC：AC=18：24：30=3：4：5,

所以△ABC是直角三角形，NB=9Q°.

又球心。在截面△ABC上的投影。'為截面圓的圓心，

也即是RtAABC的外接圓的圓心，

所以斜邊AC為截面圓。'的直徑（如圖所示），

設(shè)C=r,OC=R,

則球半徑為R,截面圓半徑為廠，

在RtZWCO中，由題設(shè)知sin/。'CO=^ocr=2,

v

所以NO'CO=30°,所以石=cos30。=+~,

Jt\z

又2r=AC=30=r=15,

代入（*）得R=1S「.

所以球的表面積為

5=4%尺2=4兀*（1麗）2=1200兀

13

4

球的體積為V—^nR3

=%X(lS\/5)3=400隊(duì)國(guó).

16.如圖，△ABC內(nèi)接于圓。，AB是圓。的直徑，四邊形DC8E為平行四邊形，OC,平面ABC,AB=4,

EB=2y[3.

⑴求證：ACD-,

(2)設(shè)AC=x,叭尤)表示三棱錐B—ACE的體積，求函數(shù)V(x)的解析式及最大值.

⑴證明?..四邊形。CBE為平行四邊形，

C.CD//BE,BC//DE.

：￡)C_L平面ABC,8CU平面ABC,C.DCLBC.

是圓。的直徑，：.BC±AC,且。CCAC=C,

DC,ACU平面ADC,

.?.8C_L平面ADC.

'：DE//BC,；.。石_1平面4。。.

(2)解：￡>C_L平面ABC,DC//BE,

平面ABC.

在Rt^ABE中，AB=4,EB=2y[3.

在RtAABC中，；AC=x,

2C=116—<(0<x<4),

SAABC=；AC.BC=；X716—x2,

V(x)=V三棱程B-ABC='V^16—X2(0<X<4).

f+16—必

=64,

當(dāng)且僅當(dāng)/=16—x2,即尤=2吸時(shí)取等號(hào),

...當(dāng)x=2限時(shí)，體積有最大值理3

14

§2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

；最新考綱；1.借助長(zhǎng)方體模型，在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、

面位置關(guān)系的定義2了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空

間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

1.四個(gè)公理

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

2.直線與直線的位置關(guān)系

（1）位置關(guān)系的分類

'平行直線

共面直線

相交直線

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)

（2）異面直線所成的角

①定義：設(shè)。，6是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)。作直線///a,b'//b,把療與》所成的銳角（或

直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

②范圍：（0，.

3.直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.

4.平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.

5.等角定理

空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

4既念方法微思考；

1.分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線嗎？

提示不一定.因?yàn)楫惷嬷本€不同在任何一個(gè)平面內(nèi).分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線可能平行或相交.

2.空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角一定相等嗎？

提示不一定.如果這兩個(gè)角開口方向一致，則它們相等，若反向則互補(bǔ).

15

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

（1）如果兩個(gè)不重合的平面a,4有一條公共直線a,就說平面a,萬(wàn)相交，并記作

（V）

⑵兩個(gè)平面a,0有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說a,￡相交于過A點(diǎn)的任意一條直線.（X）

（3）如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.（X）

（4）經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.（V）

（5）沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.（X）

（6）若a,b是兩條直線，a,￡是兩個(gè)平面，且aUa,bU.,則a,6是異面直線.（X）

題組二教材改編

2.如圖所示，在正方體ABCHA/C1Q1中，E,尸分別是AB,的中點(diǎn)，則異面直線與EF所成角

的大小為（）

A.30°

C.60°D.90°

答案C

解析連接Bid,DiC,則215〃所,故/。向C即為所求的角.又BiDi=BiC=DiC,：.4BiDiC為等邊

三角形，NZ）i6C=60°.

3.如圖，在三棱錐ATCD中，E,F,G,反分別是棱AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，則

（1）當(dāng)AC,8。滿足條件時(shí)，四邊形EFGH為菱形；

（2）當(dāng)AC,8。滿足條件時(shí)，四邊形E/GH為正方形.

答案（1）AC=8。（2）AC=8。且AC_LB。

解析（1）：四邊形￡尸6”為菱形，

:.EF=EH,：.AC=BD.

(2)V四邊形EFGH為正方形，:.EF=EH且EF±EH,

'：EF//AC,EH//BD,AEF=^AC,EH=^BD,

.?.AC=B。且AC_LBD

題組三易錯(cuò)自糾

16

4.a是一個(gè)平面，機(jī)，w是兩條直線，A是一個(gè)點(diǎn)，若tnQa,nC.a,J!LA^m,A^a,則機(jī)，〃的位置關(guān)系

不可能是（）

A.垂直B.相交

C.異面D.平行

答案D

解析依題意，mC\a—A,nUa,

二根與w可能異面、相交（垂直是相交的特例），一定不平行.

5.如圖，aCB=l,A,BGa,C^p,且CM直線A8n/=M,過A,B,C三點(diǎn)的平面記作y,則/與￡的

交線必通過（）

A.點(diǎn)A

B.點(diǎn)8

C.點(diǎn)C但不過點(diǎn)M

D.點(diǎn)C和點(diǎn)M

答案D

解析VABCy,M^AB,:.MG?.

又MGl,

根據(jù)公理3可知，M在y與￡的交線上.

同理可知，點(diǎn)C也在y與￡的交線上.

6.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB,CD,EF,G//在原正方體中互為異面的對(duì)數(shù)為

答案3

解析平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化，則AB,CD,EF和GH在原正方體中，顯然A2

與CD,EF與GH,AB與GW都是異面直線，而與EF相交，CD與G8相交，CD與所平行.故互為

異面的直線有且只有3對(duì).

17

題型一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用

例1如圖所示，在正方體A8CD—A1BQO1中，E,E分別是和AA的中點(diǎn).求證:

⑴E,C,Di，尸四點(diǎn)共面;

Q)CE,DiF,DA三線共點(diǎn).

證明(1)如圖，連接所，CDi,AiB.

；E,P分別是AB,A4i的中點(diǎn)，

：.EF//BAi.

又Ai8〃DiC,：.EF//CDi,

：.E,C,Di,尸四點(diǎn)共面.

(2y：EF//CDi,EF<CDi,

；.CE與。i尸必相交，

設(shè)交點(diǎn)為尸，如圖所示.

則由尸eCE,CEU平面ABCD,得pe平面ABCD.

同理尸6平面ADDiAi.

又平面A3C￡)n平面ADDiAr=DA,

.,.PG直線ZM,CE,DiF,D4三線共點(diǎn).

思維升華共面、共線、共點(diǎn)問題的證明

(1)證明共面的方法：①先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②證兩平面重合.

(2)證明共線的方法：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同

一條特定直線上.

(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).

跟蹤訓(xùn)練1如圖，在空間四邊形ABC。中，E,P分別是A3,AD的中點(diǎn)，G,以分別在BC,CD±,且

BG:GC=DH：HC=1：2.

18

(1)求證：E,F,G,H四點(diǎn)共面；

⑵設(shè)EG與切交于點(diǎn)尸，求證：P,A,C三點(diǎn)共線.

證明(1)VE,尸分別為AB,A。的中點(diǎn)，

C.EF//BD.

?.?在△BCD中，器=器』

：.GH//BD,：.EF//GH.

：.E,F,G,H四點(diǎn)共面.

(2)；EGCFH=P,PGEG,EGU平面ABC,

平面ABC.同理Pe平面ADC.

：.P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn).

又平面ABCH平面ADC^AC,

：.P^AC,：.P,A,C三點(diǎn)共線.

題型二判斷空間兩直線的位置關(guān)系......"師生共研

例2(1)若直線/i和L是異面直線，人在平面a內(nèi)，已在平面/內(nèi)，/是平面a與平面￡的交線，則下列命題

正確的是()

A./與/1，/2都不相交

B./與/i，B都相交

C./至多與/1,心中的一條相交

D./至少與/1,/2中的一條相交

答案D

解析由直線71和，2是異面直線可知/1與6不平行，故/1,6中至少有一條與/相交.故選D.

(2)如圖，在正方體ABCD—AiSGA中，點(diǎn)E,尸分別在A。，AC上，且4E=2EDCF=2FA,則所與

BDi的位置關(guān)系是()

A.相交但不垂直

B.相交且垂直

C.異面

19

D.平行

答案D

解析連接。iE并延長(zhǎng)，與4。交于點(diǎn)M,由AiE=2ED,可得M為A。的中點(diǎn)，

連接BF并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)N,因?yàn)镃B=2出，可得N為的中點(diǎn)，所以M,N重合，所以所和BG

“h?ME1MF1北zMEMF匕一、,?

共面，且￡2)]=/，BF=2,所以ED]=BF，所以

思維升華空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定.異面直線可采用直接法或反證

法；平行直線可利用三角形（梯形）中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；垂直關(guān)系往往

利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來(lái)解決.

跟蹤訓(xùn)練2（1）已知直線m6分別在兩個(gè)不同的平面a,￡內(nèi)，則“直線a和直線6相交”是“平面a和平

面夕相交”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若直線a和直線6相交，則平面a和平面￡相交；若平面a和平面￡相交，那么直線a和直線6可

能平行或異面或相交，故選A.

（2）如圖所示，正方體ABC。一A向CQ1中，M,N分別為棱Cid,GC的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：

①直線AM與CG是相交直線；

②直線AM與BN是平行直線；

③直線BN與MBi是異面直線；

④直線AM與。Di是異面直線.

其中正確的結(jié)論為.（注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上）

答案③④

解析因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDO1G外，點(diǎn)M在平面CDDiG內(nèi)，直線CG在平面CDAG內(nèi)，CG不過點(diǎn)M,

所以AM與CG是異面直線，故①錯(cuò)；取。A中點(diǎn)￡,連接AE,則BN〃AE,但AE與AM相交，故②錯(cuò)；

因?yàn)閲枧c8N都在平面8CG81內(nèi)，M在平面BCG/外，不過點(diǎn)以，所以與是異面直線，故

20

③正確；同理④正確，故填③④.

題型三求兩條異面直線所成的角+師生共研

例3(2019?青島模擬)如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱A8CD—AiBCQi中，441=248=2,

則異面直線AiB與ADi所成角的余弦值為(

A.1B.|

C.|D.1

答案D

解析連接BG,易證BG〃A￡)i,則/48Ci即為異面直線48與AOi所成的角.連接4G,由48=1,

4

A^+BCf-AiCf-

441=2,易得4。1=也，AiB=BCi=小,故cosN4BG=5即異面直線AiB與ADi

2XA1BXBQ

所成角的余弦值為三4

」___

引申探究

QAA.

將上例條件“A4i=2A8=2”改為“A8=l,若異面直線48與A￡)i所成角的余弦值為行”，試求的值.

1U/\.D

AA.

解設(shè)A/=/>0),則AAi=tAB.

VAB=1,.\AAi=t.

2

VAiCi=V2,A1B=yjt+l=BCi,

.4序+BCi6

,*C0SZA1BC1=2XA1BXBC1

產(chǎn)+1+產(chǎn)+1—29

-2義、/尸+1義、/產(chǎn)+1—1。

思維升華用平移法求異面直線所成的角的三個(gè)步驟

(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；

(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；

21

(3)三求：解三角形，求出所作的角.

跟蹤訓(xùn)練3(2018?全國(guó)II)在正方體ABC。一481GQ1中，E為棱CCi的中點(diǎn)，則異面直線AE與C7)所成角

的正切值為()

A也R近2口亞

/>..2-D?22-L^.2

答案c

解析如圖，因?yàn)锳8〃C。,

所以AE與CD所成角為/EAA

在RtAABE中，設(shè)AB=2,

貝IBE=y[5,

則tan/EA8=^^=^^,

AnZ

所以異面直線AE與CO所成角的正切值為竽.

立體幾何中的線面位置關(guān)系

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解

決數(shù)學(xué)問題.

例如圖所示，四邊形ABE尸和ABCD都是梯形，BC//ADMBC=^AD,BE〃琬且BE*%G,〃分別

為孫，尸力的中點(diǎn).

(1)證明：四邊形8CHG是平行四邊形；

(2)C,D,F,E四點(diǎn)是否共面？為什么？

(1)證明由已知EG=GA,FH=HD,

可得GH//AD且GH=^AD.

又BC//AD且BC=^AD,

；.GH〃BC且GH=BC,

22

四邊形BCHG為平行四邊形.

（2）解BE//AF且BE=%尸,G為孫的中點(diǎn)，

:.BE〃FG且BE=FG,

四邊形8EFG為平行四邊形，：.EF//BG.

由（1）知BG//CH.

：.EF//CH,：.EF與CH共面.

又DGFH,：.C,D,F,E四點(diǎn)共面.

素養(yǎng)提升平面幾何和立體幾何在點(diǎn)線面的位置關(guān)系中有很多的不同，借助確定的幾何模型，利用直觀想

象討論點(diǎn)線面關(guān)系在平面和空間中的差異.

1.四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)為（）

A.4B.3

C.2D.1

答案A

解析首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個(gè)平面，所以最多可以確定四個(gè)平面.

2.a,b,c是兩兩不同的三條直線，下面四個(gè)命題中，真命題是（）

A.若直線a,6異面，b,c異面，則a,c異面

B.若直線a,6相交，b,c相交，則a,c相交

C.若?！?,則a,6與c所成的角相等

D.若a_L6,Z?,Lc,則a〃c

答案C

解析若直線a,b異面,b,c異面，則a,c相交、平行或異面；若6相交，6,c相交，則a,c相交、

平行或異面；若b±c,則a,c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確.故選C.

3.如圖所示，平面aC平面/=/,Ada,BGa,ABC\l=D,C&,則平面ABC與平面￡的交線是（）

A.直線AC

B.直線AB

C.直線CD

D.直線BC

答案C

23

解析由題意知，DGl,IUB，所以。

又因?yàn)?。GAB,所以。G平面ABC,

所以點(diǎn)。在平面ABC與平面￡的交線上.

又因?yàn)镃G平面43C,C^p,

所以點(diǎn)C在平面/與平面ABC的交線上，

所以平面ABcn平面B=CD.

4.如圖所示，ABCD-AiBCbDi是長(zhǎng)方體，。是囪。的中點(diǎn)，直線4C交平面ABQi于點(diǎn)則下列結(jié)論

正確是（）

A.A,M,。三點(diǎn)共線

B.A,M,0,4不共面

C.A,M,C,O不共面

D.B,Bi，O,M共面

答案A

解析連接4G,AC,則AiG〃AC,

?,?Ai,Ci,A,C四點(diǎn)共面，

.,.AiCU平面ACG4,

VMEAiC,平面ACGAi,

又MG平面A8Q],

在平面ACCiAi與平面ASA的交線上，

同理A,O在平面ACGAi與平面A?。的交線上.

；.A,M,。三點(diǎn)共線.

5.（2017?全國(guó)II）已知直三棱柱ABC4121cl中，ZABC=120°,AB=2,BC^CC^l,則異面直線AS與8G

所成角的余弦值為（）

A近R返「返D近

答案C

解析方法一將直三棱柱ABC-AiBiCi補(bǔ)形為直四棱柱ABCD-AiBiCiD,,如圖①所示，連接AD,,BD,

BD.

24

圖①

由題意知/ABC=120。，AB=2,BC=CCi=l,

所以AA=8G=啦，ABI=4ZDAB=60°.

在△AB。中，由余弦定理知B￡>2=AB2+AO2—2XABXAOXcosND48=22+12—2X2XlXcos60。=3,所

以BD=4所以

又AS與AOi所成的角即為ABi與8G所成的角6,

ABM+AD—BM5+2—3

所以cos0—

2XA8iXg2義小X啦—5-

故選C.

方法二以Bi為坐標(biāo)原點(diǎn)，B1G所在的直線為無(wú)軸，垂直于B1G的直線為y軸，8修所在的直線為z軸建

立空間直角坐標(biāo)系，如圖②所示.

圖②

由已知條件知Bi(0,0,0),8(0,0,1),Q(l,0,0),A(-l,小,1),則病產(chǎn)(1,0,

—1),ABi=(l,一小，—1).

所以cos〈矗I,BC.)=叱產(chǎn)=7^=卑

lABiUBCil]5*弋2

所以異面直線AB,與BQ所成角的余弦值為邛.

故選C.

6.正方體AG中，與面A8CD的對(duì)角線AC異面的棱有條.

答案6

解析如圖，在正方體AG中，與面ABC。的對(duì)角線AC異面的棱有BB1,DDi,小后，AiA,GG,BG,

共6條.

25