湖南省衡陽(yáng)縣2024-2025學(xué)年高二創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)班下學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題1．已知,,.則M是()A. B. C. D.2．設(shè)，，若，則()A. B.0 C.6 D.3．已知復(fù)數(shù)，，且為純虛數(shù)，則()A. B.2 C. D.4．已知,則,,.今有一批數(shù)量龐大的零件.假設(shè)這批零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)（單位：毫米）服從正態(tài)分布,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取N個(gè),這N個(gè)零件中恰有K個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間,,試以使得最大的N值作為N的估計(jì)值,則N為()A.50 B.55 C.59 D.645．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且為等差數(shù)列,若,,則()A.13 B.26 C.30 D.336．將5名學(xué)生分配到3個(gè)社區(qū)當(dāng)志愿者,每個(gè)社區(qū)至少分配1名學(xué)生,則不同的分配方法種數(shù)是()A.24 B.50 C.72 D.1507．已知事件A與事件B相互獨(dú)立且,則()A. B. C. D.8．已知函數(shù),其中.若函數(shù)在上為增函數(shù),則的最大值為()A. B. C. D.2二、多項(xiàng)選擇題9．下列說法中,正確的命題是()A.由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線必經(jīng)過樣本點(diǎn)中心B.,C.若,,,則D.在列聯(lián)表中,若每個(gè)數(shù)據(jù)a,b,c,d均變成原來的2倍,則也變成原來的2倍（,其中）10．現(xiàn)有4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子和4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的小球,要求把4個(gè)小球全部放進(jìn)盒子中,則()A.沒有空盒子的方法共有24種B.可以有空盒子的方法共有128種C.恰有1個(gè)盒子不放球的方法共有144種D.沒有空盒子且恰有一個(gè)小球放入自己編號(hào)的盒子的方法有8種11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線過點(diǎn),M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則()A.B.當(dāng)時(shí),t的最小值為C.點(diǎn)M到直線的距離的最小值為2D.當(dāng)時(shí),直線ON的斜率的最大值為三、填空題12．有8張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8.現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為__________.13．的展開式中的系數(shù)為________.(用數(shù)字作答)14．點(diǎn)M，N分別是曲線和直線上任意一點(diǎn)，則的最小值為___________.四、解答題15．在一個(gè)不透明的盒子中裝有除顏色外其余完全相同的若干個(gè)小球,其中有m個(gè)白球,m個(gè)黑球,2個(gè)黑白相間的球,且從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球,摸到黑白相間的球的概率為.（1）從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球,求在摸出的球上帶有黑色的條件下,摸出黑白相間的球的概率;（2）從盒子中1次隨機(jī)取出1個(gè)球,取出后不放回,共取2次,設(shè)取出的黑球數(shù)量為X,求X的分布列與期望.16．如圖,在直三棱柱中,,,P是四邊形（不含邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)且.（1）求證:平面;（2）求平面與平面所成角的余弦值的取值范圍.17．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）若,求a的取值范圍.18．2023年11月19日，以“激發(fā)創(chuàng)新活力，提升發(fā)展質(zhì)量”為主題的第二十五屆中國(guó)國(guó)際高新技術(shù)成果交易會(huì)（以下簡(jiǎn)稱“高交會(huì)”）在深圳閉幕，作為“中國(guó)科技第一展”的高交會(huì)距今已有25年的歷史.福田展區(qū)的專業(yè)展設(shè)有新一代信息技術(shù)展、環(huán)保展、新型顯示展、智慧城市展、數(shù)字醫(yī)療展、高端裝備制造展等六類.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了每個(gè)展區(qū)的備受關(guān)注率〔一個(gè)展區(qū)中受到所有相關(guān)人士（或企業(yè)）關(guān)注的企業(yè)數(shù)與該展區(qū)的參展企業(yè)數(shù)的比值〕，如下表：展區(qū)類型新一代信息技術(shù)展環(huán)保展新型顯示展智慧城市展數(shù)字醫(yī)療展高端裝備制造展展區(qū)的企業(yè)數(shù)量/家6036065045070990備受關(guān)注率0.200.100.240.300.100.20（1）從參展的6個(gè)展區(qū)的企業(yè)中隨機(jī)選取一家企業(yè)，求這家企業(yè)是“新型顯示展”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)的概率（2）若視備受關(guān)注率為概率，某電視臺(tái)現(xiàn)要從“環(huán)保展”“智慧城市展”“高端裝備制造展”3個(gè)展區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)展區(qū)，再?gòu)某槌龅?個(gè)展區(qū)中各抽取一家企業(yè)進(jìn)行采訪，求采訪的兩家企業(yè)都是備受關(guān)注的企業(yè)的概率.（3）從“新一代信息技術(shù)展”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)和“數(shù)字醫(yī)療展”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)中，任選2家接受記者采訪.記X為這2家企業(yè)中來自“新一代信息技術(shù)展”展區(qū)的企業(yè)數(shù)量，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．已知點(diǎn)在橢圓上，設(shè)A，B，F(xiàn)分別為橢圓C的上，下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且點(diǎn)B到直線的距離為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求直線和的斜率之和.(3)過點(diǎn)的直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)P，Q作直線的垂線，垂足分別為，，設(shè)，，的面積分別為，，是否存在實(shí)數(shù)，使得，，總成等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

答案1．答案：D解析：由,即,則,所以,又,.故選:D.2．答案：D解析：，，且，，解得，故選D.3．答案：C解析：，則，，則為純虛數(shù)，故，解得，．故選：C．4．答案：C解析：由已知可得,.又,所以,則,設(shè),則,所以,所以.,所以,所以.所以以使得最大的N值作為N的估計(jì)值,則N為59.故選：C.5．答案：D解析：因?yàn)?,所以,,因?yàn)闉榈炔顢?shù)列,所以數(shù)列的公差為,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為,所以,故,故選:D.6．答案：D解析：可以分組為1、1、3,或1、2、2兩種情況,若分組為1、1、3,則有;若分組為1、2、2,則有;則不同分法為種.故選:D7．答案：B解析：因,則,因事件A與事件B相互獨(dú)立,故,于是.故選：B.8．答案：A9．答案：ACD解析：選項(xiàng)A,根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)可知,由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線必經(jīng)過樣本點(diǎn)中心,故選項(xiàng)A正確的;選項(xiàng)B,根據(jù)具有線性關(guān)系的期望和方差的性質(zhì)可知,是正確的,是錯(cuò)誤的,應(yīng)該是,故選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的;選項(xiàng)C,由全概率公式可知：,代入,,,可得：,解得,故選項(xiàng)C是正確的;選項(xiàng)D,在列聯(lián)表中,若每個(gè)數(shù)據(jù)a,b,c,d均變成原來的2倍,則,可得也變成原來的2倍,故選項(xiàng)D是正確的;故選：ACD.10．答案：ACD解析：對(duì)于A:4個(gè)球全放4個(gè)盒中,沒有空盒子的放法共種,A正確;對(duì)于B:可以有空盒子,有4個(gè)球,每個(gè)球有4種放法,共種,B錯(cuò)誤;對(duì)于C:恰有1個(gè)空盒子,說明另外3個(gè)盒子都有球,而球共4個(gè),必然有1個(gè)盒子中放了2個(gè)球,先將4個(gè)盒中選1個(gè)作為空盒,再將4個(gè)球中選出2個(gè)球綁在一起,再排列共種,C正確;對(duì)于D:恰有一個(gè)小球放入自己編號(hào)的盒中,從4個(gè)盒4個(gè)球中選定一組標(biāo)號(hào)相同得球和盒子,另外3個(gè)球3個(gè)盒標(biāo)號(hào)不能對(duì)應(yīng),則共種,故D正確.故選:ACD11．答案：ABD解析：根據(jù)拋物線的定義,的準(zhǔn)線為,由題意準(zhǔn)線過,可求出,拋物線的方程為,選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,C,D,可設(shè)拋物線上的點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)為,對(duì)于B選項(xiàng),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.選項(xiàng)B正確;對(duì)于C選項(xiàng),直線與拋物線的位置關(guān)系如下圖所示:到直線的距離,當(dāng)時(shí),.選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),可根據(jù)向量共線作出示意圖:根據(jù)定義求出拋物線的焦點(diǎn),由得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.選項(xiàng)D正確.故選:ABD12．答案：解析：法一：由題意知，從8張卡片中隨機(jī)抽出3張的基本事件總數(shù)為.因?yàn)樗袛?shù)字之和為36，所以要使3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等，則3張卡片上的數(shù)字之和為18.羅列出“抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等”的基本事件情況：①“3，7，8”和“1，2，4，5，6”；②“4，6，8”和“1，2，3，5，7”；③“5，6，7”和“1，2，3，4，8”共3種情況，所以“抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等”的概率.法二：由題意知，從8張卡片中隨機(jī)抽出3張的基本事件總數(shù)為.因?yàn)樗袛?shù)字之和為36，所以要使3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等，則3張卡片上的數(shù)字之和為18.考慮抽出的3張卡片上的數(shù)字之和為18，則相當(dāng)于從，，，，，0，1，2中選擇3個(gè)數(shù)，使其和為0.若中間數(shù)為0，則有2種情況；若中間數(shù)為1，則有1種情況.所以“抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等”的概率.13．答案：解析：的通項(xiàng)公式為,令得,,此時(shí),令得,,此時(shí),故的系數(shù)為故答案為:14．答案：解析：設(shè)是的切線，切點(diǎn)為，則解得則，則的最小值即為兩平行線與間的距離，即.15．解析：（1）由從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球,摸到黑白相間的球的概率為,得,解得,盒子中帶有黑色的球有6個(gè),其中黑白相間的球有2個(gè),所以在摸出的球上帶有黑色的條件下,摸出黑白相間的球的概率.（2）依題意,X的可能值為0,1,2,則,,,所以X的分布列為:X012P數(shù)學(xué)期望.16．解析：（1）因?yàn)?,,所以,所以,所以,由三棱柱是直三棱柱,得平面,又平面,所以,因?yàn)?,平面,所以平面.（2）由于,且平面,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,且P是四邊形（不含邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),.所以,,即,設(shè),,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,則,令,則,,所以平面的法向量為.設(shè)平面的法向量為,則,令,則,所以平面的法向量為.設(shè)平面與平面所成角為則,令,則,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以,所以.所以平面與平面所成角的余弦值的取值范圍.17．解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?,當(dāng)時(shí),,在定義域上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.綜上所述,時(shí),在定義域上單調(diào)遞減;時(shí),在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí),函數(shù),,符合題意,由（1）可知,當(dāng)時(shí),在定義域上單調(diào)遞減,所以,故不滿足.當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,要想滿足,滿足即可.,即,化簡(jiǎn)得,即,綜以a的取值范圍是.18．解析：（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表，所有展區(qū)的企業(yè)數(shù)量為，其中“新型顯示展”展區(qū)備受關(guān)注的企業(yè)數(shù)量為.所以所求概率為.（2）用事件A，B，C分別表示從3個(gè)展區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)展區(qū)為“環(huán)保展與智慧城市展”“環(huán)保展與高端裝備制造展”“智慧城市展與高端裝備制造展”，事件D表示“采訪的兩家企業(yè)都是備受關(guān)注的企業(yè)”，則.（3）“新一代信息技術(shù)展”展區(qū)中備受關(guān)注的企業(yè)數(shù)量為，“數(shù)字醫(yī)療展”展區(qū)中備受關(guān)注的企業(yè)數(shù)量為.易知X所有可能的取值為0，1，2.所以，，