江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題1.已知，則（）A. B. C.1 D.0【正確答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，求得得解.【詳解】由，可得，即，又，則，所以.故選：D.2.文娛晚會中，學(xué)生的節(jié)目有6個，已經(jīng)排好出場順序，現(xiàn)臨時增加2個教師的節(jié)目，如果教師的節(jié)目既不排在第一個，也不排在最后一個，并且6個學(xué)生的節(jié)目先后出場順序不變，則晚會的出場順序的種數(shù)為（）A.30 B.42 C.56 D.3960【正確答案】A【分析】將教師的兩個節(jié)目按照題目要求依次安排到學(xué)生的節(jié)目中，再利用分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】根據(jù)題意，學(xué)生的節(jié)目有6個，已經(jīng)排好出場順序，這6個節(jié)目之間有5個空位，因為教師的節(jié)目既不排在第一個，也不排在最后一個，則先將第一個教師節(jié)目安排到5個空位中，有5種方法；再將第二個教師的節(jié)目安排到7個節(jié)目之間的6個空位中，有6種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得，共有種方法.故選：A.3.已知曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（）A. B. C.1 D.【正確答案】D【分析】求，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求的值.【詳解】由題意得，函數(shù)的定義域為，且，∴，∵曲線在點處的切線與直線垂直，∴，即，故.故選：D.4.已知定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題意利用導(dǎo)數(shù)計算可得該函數(shù)單調(diào)性，即可將不等式轉(zhuǎn)化為，從而得到，即可得解.【詳解】令，則，則當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，由，則，又，即不等式等價于，即，即有，解得.故選：D.5.函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由有解，結(jié)合三角函數(shù)的值域來求得正確答案.【詳解】，因為函數(shù)在上不單調(diào)，所以函數(shù)有零點，所以方程

有根，所以函數(shù)與

有交點（且交點非最值點），因為函數(shù)的值域為，所以

.故選：D6.已知函數(shù)，當(dāng)時恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】問題化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)的最小值，即可得參數(shù)范圍.【詳解】由，得在上恒成立，令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即.故選：D7.設(shè)奇函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，且在上，若，則實數(shù)m的取值范圍是.A. B. C. D.【正確答案】B【分析】構(gòu)造輔助函數(shù)，由是奇函數(shù)，，可知是奇函數(shù)，求導(dǎo)判斷的單調(diào)性，，即，解得的取值范圍．【詳解】解：令，，函數(shù)為奇函數(shù)，時，，函數(shù)在為減函數(shù)，又由題可知，，，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，，即，，．故選：．本題主要考查判斷函數(shù)的奇偶性、利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．8.已知函數(shù)，記則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)定義法可得函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，由此可比較函數(shù)值的大小.【詳解】∵函數(shù)定義域為，，∴為奇函數(shù)，故.由題意得，.∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，∴，即在上單調(diào)遞增.∵，∴.故選：B.二、多選題9.已知函數(shù)是上的可導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，則下列結(jié)論不正確的是（）A.分別是極大值點和極小值點 B.分別是極大值點和極小值點C.在區(qū)間上是增函數(shù) D.在區(qū)間上是減函數(shù)【正確答案】ABD【分析】根據(jù)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性和極值點的情況，即可對每個選項進行判斷.【詳解】根據(jù)的圖象可知：當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，且不恒為零，單調(diào)遞增；對AB：根據(jù)單調(diào)性可知，只有極小值點，沒有極大值點，故AB錯誤；對CD：根據(jù)單調(diào)性可知，在單調(diào)遞增，在也單調(diào)遞增，故C正確，D錯誤.故選：ABD10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是偶函數(shù)B.若是增函數(shù)，則C.當(dāng)時，函數(shù)恰有兩個零點D.當(dāng)時，函數(shù)恰有兩個極值點【正確答案】BD【分析】利用奇偶性定義計算可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立求得的范圍判斷B；結(jié)合B結(jié)論判斷C；利用零點存在性定理判斷異號零點的個數(shù)即可判斷.【詳解】A，因為，則，故A錯誤；B，若為增函數(shù)，則恒成立，故恒成立，令，則可得為偶函數(shù)，又，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上，在上，即在上遞減，在上遞增，故當(dāng)時，取得最小值，所以，故B正確；C，當(dāng)時，為奇函數(shù)，且，當(dāng)時，恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，，即只有一個零點，故C錯誤；D，當(dāng)時，為奇函數(shù)，故先考慮時，函數(shù)極值存情況，則，令，因為單調(diào)遞增，則，故單調(diào)遞增，且，，故存使得，因此，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故為函數(shù)在上的唯一極小值點，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知，當(dāng)時，存在為函數(shù)在上的唯一極大值點，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A.若有三個零點，則 B.C.是的極小值點 D.當(dāng)時，則【正確答案】ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性并求出、，結(jié)合零點定義逐項判斷可得答案.【詳解】因為函數(shù)，所以，令，解得，或，當(dāng)，或，，當(dāng)，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，對于A，由得，即，，因為在上單調(diào)遞減，所以在上只有一個零點，因為，在上單調(diào)遞增，可得在上只有一個零點，因為，在上單調(diào)遞增，可得在上只有一個零點，綜上，有三個零點，故A正確；對于B，，，所以，故B正確；對于C，是的極大值點，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，則，解得，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍是______．【正確答案】【分析】由題意，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞減，由，進而可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，進而可得.【詳解】，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減，又，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，的取值范圍是.故13.已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則滿足的的取值范圍是______．【正確答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)得出單調(diào)性，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得出，最后計算求解.詳解】設(shè)，則．由當(dāng)時，，得，即，故在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，所以，即．因為為上的偶函數(shù)，所以，即，計算得，所以，解得或．故答案為.14.設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最大值是______；【正確答案】【分析】不等式恒成立等價于，構(gòu)造函數(shù)，易得在上單調(diào)遞增，故原問題等價于在時恒成立，從而易得的范圍.【詳解】對任意的，不等式恒成立，整理可得，設(shè)，則可知在上單調(diào)遞增，又因為，，且，則在時恒成立，設(shè)，則可知在上單調(diào)遞增，則的最小值為，則，解得，所以的最大值是.故答案為.方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．四、解答題15.已知函數(shù)在處的切線平行于軸．（1）求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)的極小值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)切線斜率為0計算求參；（2）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求解函數(shù)的單調(diào)性進而得出函數(shù)的極小值即可.【小問1詳解】由可得，則，由于，故，【小問2詳解】，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極小值為16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，證明函數(shù)在單調(diào)遞增；（2）若函數(shù)在有極值，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求函數(shù)的零點個數(shù)．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）1個【分析】（1）求導(dǎo)通過，即可求證；（2）由題意可得在有變號的根，再由的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理構(gòu)造不等式求解即可；（3）由切線方程求得，再通過函數(shù)的單調(diào)性即可求解；【小問1詳解】當(dāng)時，由，可得，因，則，又因為，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增；【小問2詳解】，因為函數(shù)在有極值，所以在有變號的根，又因為在單調(diào)遞增，則，即，所以，解得，故實數(shù)a的取值范圍為；【小問3詳解】因為函數(shù)在點處的切線方程為，所以，且，解得．故則，當(dāng)時，，即在單調(diào)遞增，因，所以在沒有零點；當(dāng)時，，即在沒有零點．綜上所述，函數(shù)的零點個數(shù)為1個．17.已知函數(shù).（1）若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個都小于0的極值點，求實數(shù)a的取值范圍.【正確答案】（1）函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，（2）【分析】（1）求得，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系可求得函數(shù)的單調(diào)間；（2）分析可知關(guān)于方程有兩個不相等的負(fù)數(shù)根、，利用一元二次方程根的分布可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解之即可.【小問1詳解】因為，則函數(shù)的定義域為，所以，令，得；令，得或，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，.【小問2詳解】因為，所以，又因為有兩個都小于的極值點，所以有兩個不相等的負(fù)數(shù)根、，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．18.已知，函數(shù)，其中…為自然對數(shù)的底數(shù).（1）證明：函數(shù)在上有唯一零點；（2）記為函數(shù)在上的零點，證明.【正確答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】1）先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理證明結(jié)論；（2）先根據(jù)零點化簡不等式，轉(zhuǎn)化求兩個不等式恒成立，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定最值，即可證得不等式.【小問1詳解】在上單調(diào)遞增，，所以由零點存在定理得在上有唯一零點；【小問2詳解】，，令一方面：，在單調(diào)遞增，，，另一方面：，所以當(dāng)時，成立，因此只需證明當(dāng)時，因為當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，在單調(diào)遞減，，，綜上，.方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．19.已知，函數(shù)在處取得極值．（1）求a；（2）證明：對任意的m，，都有；（3）若存在實數(shù)，使得成立，求k的最小整數(shù)值．【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）5．【分析】（1）先求導(dǎo)，由在處取得極值，得解出驗證即可；（2）設(shè)，驗證的單調(diào)遞增，即有，即可得證；（3）存在實數(shù)，使得