江蘇省蘇州市昆山經(jīng)濟開發(fā)區(qū)2024-2025學年高二下學期3月月考數(shù)學檢測試題注意事項：1.本張試卷總分為150分，考試時間為120分鐘.2.答題前，務必將自己的姓名、考生號填寫在答題卡上.3.請將答案填涂填寫在答題卷上，寫在試卷上無效.一、單選題：本大題共8題，每題5分，共計40分.1.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.和【正確答案】B【分析】先求得函數(shù)的定義域，然后利用導數(shù)求得的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】的定義域為，且，所以當時，，單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B本小題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎題.2.設f(x)是可導函數(shù)，且，則（）A.2 B. C.-1 D.-2【正確答案】B【分析】由已知及導數(shù)的定義求即可.【詳解】由題設，.故選：B3.函數(shù)的導數(shù)為（）A.B.C.D.【正確答案】B【分析】利用導數(shù)的運算法則以及復合函數(shù)求導法則可求出原函數(shù)的導數(shù).【詳解】．故選：B.4.已知函數(shù)在上無極值，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求得導函數(shù)，根據(jù)無極值的條件，利用判別式解得的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)在上無極值,所以在上無變號零點，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：C.5.用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（）A.240 B.360 C.480 D.600【正確答案】C【分析】先涂區(qū)域②③④，再討論①與④的顏色是否相同，結合計數(shù)原理運算求解.【詳解】將區(qū)域標號，如下圖所示：因為②③④兩兩相鄰，依次用不同的顏色涂色，則有種不同的涂色方法，若①與④的顏色相同，則有1種不同的涂色方法；若①與④的顏色不相同，則有3種不同的涂色方法；所以共有種不同的涂色方法.故選：C.6.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)條件得出存在，使成立，即存在，使成立，構造函數(shù)，，求出的最值即可解決問題.【詳解】因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，，變形得，因為，所以，所以當，即時，，所以，故選：D．7.若對任意的，且，都有成立，則的最大值為（）A. B.1 C.e D.【正確答案】A【分析】將已知不等式變形為，令，將問題轉化為在上單調(diào)遞增，利用導數(shù)可求得單調(diào)性，由此可得的最大值.【詳解】由可得，由,且,所以，即，令，則在上單調(diào)遞增，所以，令，則,當時，，此時在上單調(diào)遞增；當時，，此時在上單調(diào)遞減；所以，故.故選：A.關鍵點點睛：本題解題關鍵是將恒成立的不等式變形為同一函數(shù)不同函數(shù)值之間大小關系的比較問題，通過構造函數(shù)的方式，將問題轉化為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)的問題.8.已知函數(shù)，，當時，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)圖象的上方，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】將已知不等式變形為，可得出，令，利用導數(shù)求出的取值范圍，可得出，然后分、、三種情況討論，在第一種情況下，直接驗證即可；在第二、三種情況下，結合參變量分離法可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可知，對任意的，，即，即，因為，故，故，令，其中，則，由可得，由可得，所以，由題意可得恒成立，當時，顯然該不等式成立，此時，；當時，則，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，；當時，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則.綜上所述，，即實數(shù)的取值范圍是.故選：D.結論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.二、多選題：本大題共3題，每題6分，共計18分.9.已知函數(shù)那么下列說法正確的是（）A.，在點處有相同的切線B.函數(shù)有一個極值點C.對任意恒成立D.，的圖象有且只有兩個交點【正確答案】BD【分析】對于A，利用導數(shù)證明切線斜率不同否定即可，對于B，構造新函數(shù)，用導數(shù)判斷極值點即可，對于C，舉反例否定即可，對于D，先將交點問題轉化為零點問題，求出確定的零點，并證明其唯一性，再利用零點存在性定理找到另一個零點即可.【詳解】對于A，，，，故A錯誤.對于B，令，，令，，令，，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無極大值，故函數(shù)有一個極值點，故B正確:對于C，，顯然，故C錯誤:對于D，若，的圖象有且只有兩個交點，則有2個零點，，結合，顯然，故是函數(shù)的一個零點，而易知，且在上單調(diào)遞減，故在該區(qū)間上不存在其它零點，而易知上單調(diào)遞增，且，故由零點存在性定理得一定存在作為零點，綜上有2個零點，也即，的圖象有且只有兩個交點，故D正確.故選：BD10.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.在處取得極大值B.有兩個不同的零點C.D.當時，方程有兩解【正確答案】ACD【分析】A.利用導數(shù)法求解判斷；B.由A畫出函數(shù)圖象判斷；C.根據(jù)在遞減，結合判斷；D.由A知：畫出函數(shù)的圖象判斷.【詳解】A.，當時，，遞增；當時，，遞減，所以在處取得極大值，故正確；B.由A畫出函數(shù)圖象如圖所示：當時，，當時，，當時，，又，所以只有一個零點，故錯誤；C.因為在遞減，又，則，而，令，則，當時，，遞減，又，則，即，即，所以，故正確；D.由A知：函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象知：當時，方程有兩解，故正確，故選：ACD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當時，在上是增函數(shù)B.當時，在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為C.若在上為減函數(shù)，則D.當時，若函數(shù)有且只有一個零點，則【正確答案】BD【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性判斷A；導數(shù)的幾何意義求切線方程，進而求交點坐標，即可求三角形面積判斷B；問題化為在上恒成立，應用導數(shù)研究右側的最小值，即可得參數(shù)范圍判斷C；問題化為有唯一解，應用導數(shù)研究右側的單調(diào)性和值域判斷D.【詳解】對于A，為增函數(shù)，時趨向負無窮，時趨向正無窮，所以存在使，故上在上為減函數(shù)，錯；對于B，由題設，則，且，所以在處的切線方程為，切線與軸的交點坐標為，與軸交點坐標為，所以在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為，對；對于C，因為函數(shù)在上為減函數(shù)，則在上恒成立，即，令，則，易知時，時，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，錯；對于D，函數(shù)有且只有一個零點，即有唯一解，則，令且，則，令，顯然在上為增函數(shù)，，則，使得，易知時，時，則在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，則，當時，，所以有且只有一個解時，，即，對.故選：BD關鍵點點睛：對于C、D，化為在上恒成立、有唯一解為關鍵.三、填空題：本大題共3題，每題5分，共計15分.12.已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為__________．【正確答案】【分析】利用導數(shù)的運算求出原函數(shù)的導函數(shù)，應用導數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】由題設，且，則，所以曲線在點處的切線方程為，即.故13.設，函數(shù)，若恰有兩個零點，則的取值范圍是______【正確答案】【分析】分離參數(shù)，問題轉化為直線與函數(shù)圖象有兩個交點，求導分析單調(diào)性，畫出的圖象，數(shù)形結合即可得到的取值范圍.【詳解】∵，∴.當時，由得，，當時，由得，，令，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，當時，，函數(shù)在上是減函數(shù)，當時，，由得，由得，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且當時，函數(shù)極小值為，當時，，當時，，函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，此時函數(shù)有兩個零點，∴實數(shù)的取值范圍是.故答案為.關鍵點點睛：解決此題的關鍵是分離參數(shù)，把問題轉化為直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，在畫函數(shù)圖象的過程中常借助導數(shù)分析單調(diào)性.14.已知是函數(shù)的導函數(shù)，在定義域內(nèi)滿足，且，若，則實數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】由，得，利用，可求得，利用導數(shù)證明在上遞增，等價于，由單調(diào)性可得結果.【詳解】由，得，，令，，，，令，當時，，當時，在上遞減，在上遞增，，在上遞增，，，可得，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.利用導數(shù)研究抽象函數(shù)不等式，實質是利用導數(shù)研究對應函數(shù)單調(diào)性，而對應函數(shù)需要構造.構造輔助函數(shù)常根據(jù)導數(shù)法則進行：如構造，構造，構造，構造等.四、解答題：本大題共5題，共計77分.15.已知函數(shù)，且當時，有極值－5．（1）求的值；（2）求在上的值域．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先求導函數(shù)，再根據(jù)極值點列方程求解即可；（2）求出導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)正負得出單調(diào)性寫出極值和最值即可得出值域【小問1詳解】由，得，又當時，有極值－5，所以，解得所以，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．所以當時，有極小值．所以．【小問2詳解】由（1）知．令，得，的值隨的變化情況如下表：－4－134

+0－0+

單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值－5單調(diào)遞增由表可知在上的最大值為，最小值為，即在上的值域為．16.已知函數(shù)（1）若直線與曲線相切，求a的值；（2）若存在，使得，求a的取值范圍．【正確答案】（1）（2）．【分析】（1）求，設切點為，根據(jù)可得a的值.（2）根據(jù)的范圍確定函數(shù)定義域，結合導函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用可求a的取值范圍．【小問1詳解】∵，∴．設切點為，則，即，解得．【小問2詳解】當時，由得，∴的定義域為．由得，當時，，當時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴．∵存在，使得，∴，結合，解得．當時，由得，∴的定義域為．由得，當時，，當時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∴．∵存在，使得，∴，結合，解得．綜上，的取值范圍為．17.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，為函數(shù)的導函數(shù).（1）若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若方程有兩個不等實根，求a的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設，利用在區(qū)間上有變號零點，列不等式來求得的取值范圍.（2）由分離常數(shù)，利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)來求得的取值范圍.【小問1詳解】，設，若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則在區(qū)間上有變號零點，在上單調(diào)遞增，所以，解得.所以a的取值范圍是.小問2詳解】若有兩個不等實根，，即不是的根.所以當時，有兩個不等實根，令，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，當時，，所以，是的極小值點，且極小值為，當時，；當時，，畫出函數(shù)的大致圖形，則的取值范圍是，所以的取值范圍是18.已知函數(shù).（1）當時，求在區(qū)間上的最小值；（2）若，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用換元法，結合對勾函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質即可求得在區(qū)間上的最小值.（2）先求得的最大值和最小值，對進行分類討論，由此列不等式來求得的取值范圍.【小問1詳解】當時，，令，則由，可知的取值范圍為，故原函數(shù)可化為，由對勾函數(shù)性質，可知在上單調(diào)遞增，因此在時取到最小值，此時，所以當時，在上取到最小值.【小問2詳解】依題意，故當時，因為，總存在，使得，設在上取值的集合為集合，則有.當時，顯然有在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，由可知，解得當時，由基本不等式，當且僅當時等號成立，因此有，即，因為時，，故時，在上單調(diào)遞增，此時，由此可得無解，綜上，實數(shù)的取值范圍為.方法點睛：對于二次函數(shù)，可以根據(jù)二次函數(shù)對稱軸、開口方向、給定區(qū)間來求得最大值和最小值.對于含參數(shù)的最值問題，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論要做到不重不漏，全面分析各種情況.19.已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若對任意，有恒成立，求整數(shù)m的最小值．【正確答案】（1）極大值為，無極小值．（2）分類討論，答案見解析.（3）1【分析】（1）求導，通過導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，然后可得；（2）求導，分，討論可得；（3）參變分離，將問題轉化為在上恒成立問題，記，利用導數(shù)求函數(shù)的最大值所在區(qū)間可得.【小問1詳解】的定義域為，當時，，令，解得當時，，則在上單調(diào)遞增；當時，，則在上單調(diào)遞減．