山東省青島市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.某質(zhì)點(diǎn)的位移y(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=t2+2t，當(dāng)t=1時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（）A.4 B.3 C.2 D.12.在(x﹣2)5的展開式中，x2的系數(shù)為（）A.﹣40 B.40 C.﹣80 D.803.根據(jù)分類變量x與y的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2=8.988．依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，正確的結(jié)論為()(附：x0.01=6.635，x0.005=7.879，x0.001=10.828)A.變量與不獨(dú)立B.變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.001C.變量與獨(dú)立D.變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.0014.隨著我國鐵路的發(fā)展，列車的正點(diǎn)率有了顯著的提高．據(jù)統(tǒng)計(jì)，途經(jīng)某車站的只有和諧號和復(fù)興號列車，且和諧號列車的列次為復(fù)興號列車的列次的3倍，和諧號列車的正點(diǎn)率為0.98，復(fù)興號列車的正點(diǎn)率為0.99，則一列車能正點(diǎn)到達(dá)該車站的概率為（）A.0.9825 B.0.9833 C.0.9867 D.0.98755.相關(guān)變量x，y的散點(diǎn)圖如下.若剔除點(diǎn)A后，剩下數(shù)據(jù)得到的統(tǒng)計(jì)中，較剔除之前值變大的是（）A.y的平均值 B.相關(guān)系數(shù) C.決定系數(shù)R2 D.殘差的平方和6.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)參加100米比賽，決出第1名到第5名的名次．比賽結(jié)束后甲說：“我不是第1名”，乙說：“我不是第5名”．根據(jù)以上信息，這5人的名次排列情況種數(shù)為（）A.72 B.78 C.96 D.1207.我們將服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量．概率論中有一個(gè)重要的結(jié)論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機(jī)變量Y～B(n,p)，當(dāng)n充分大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量Y可以由正態(tài)隨機(jī)變量X來近似，且正態(tài)隨機(jī)變量X的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年證明了p=12的特殊情形，1812年，拉普拉斯對一般的p進(jìn)行了證明．現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過60次的概率為()(附：若X～N(μ,σ2)，則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σA.0.1587 B.0.0228 C.0.0027 D.0.00148.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，對于任意的實(shí)數(shù)x都有，且x>0時(shí)，f′(x)>f(x)．若a=f(1)e，b=f(ln2)2，c=3f(ln1A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.c>b>a二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.一批產(chǎn)品中有3個(gè)正品，2個(gè)次品.現(xiàn)從中任意取出2件產(chǎn)品，記事件A：“2個(gè)產(chǎn)品中至少有一個(gè)正品”，事件B：“2個(gè)產(chǎn)品中至少有一個(gè)次品”，事件C：“2個(gè)產(chǎn)品中有正品也有次品”，則下列結(jié)論正確的是（）A.事件A與事件B為互斥事件 B.事件B與事件C是相互獨(dú)立事件C.P(AB)=P(C) D.P(C|A)=210.若隨機(jī)變量X～N(0,σ2)，f(x)=P(X≤x)，則（）A.f(-x)=1-f(x) B.f(2x)=2f(x)C.P(|X|<x)=2f(x)-1(x>0) D.若f(1+x1?x)>f(2)，則111.已知函數(shù)f(x)=13x3-A.單調(diào)減區(qū)間為(-2,1) B.在區(qū)間[-3,3]上的最小值為?C.圖象關(guān)于點(diǎn)(12,?112)中心對稱三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機(jī)變量的方差D(X)=1，則隨機(jī)變量Y=3X+2的方差D(Y)=13．某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(噸)與所需某種原材料的質(zhì)量y(噸)的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集4組對應(yīng)數(shù)據(jù)(x,y)，如下表所示．（殘差=觀測值-預(yù)測值）x3456y2.534根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.7x+a．據(jù)此計(jì)算出在樣本(4,3)處的殘差為，則表中m的值為______．14.如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著10排相互平行但錯開的小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，假定其每次碰到小木釘后，向左下落的概率為14，向右下落的概率為3四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)已知二項(xiàng)式(2x-1)n展開式中，前二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和是11.(1)求n的值；(2)求其二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和的差；(3)求上述展開式中所有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和.16.(15分)已知函數(shù)f(x)=-4alnx+x2-1(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1）處的切線的方程；(2)探究f(x)的最小值；(3)當(dāng)a>0時(shí)，求f(x)的最小值的極值．17.(15分)某車企為考察選購新能源汽車的款式與性別的關(guān)聯(lián)性，調(diào)查100人購買情況，得到如下列聯(lián)表：新能源汽車A款新能源汽車B款總計(jì)男性5010x女性251540總計(jì)y25100(1)求x，y；(2)根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為選購該新能源汽車的款式與性別有關(guān)聯(lián)？(3)假設(shè)用樣本估計(jì)總體，用頻率估計(jì)概率，所有人選購汽車的款式情況相互獨(dú)立.若從購買者中隨機(jī)抽取3人，設(shè)被抽取的3人中購買了B款車的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望.附：，.α0.100.050.0100.005xα2.7063.8416.6357.87918.(17分)某鄉(xiāng)村企業(yè)希望通過技術(shù)革新增加產(chǎn)品收益，根據(jù)市場調(diào)研，技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)x(單位：萬元)和增加收益y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如下表：x4681012y2742555660為了進(jìn)一步了解技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)x對增加收益y的影響，通過對表中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分別提出了兩個(gè)回歸模型：①，②．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算模型①中y與x的相關(guān)系數(shù)r(結(jié)果精確到0.01)；(2)若0.95≤|r|≤1，則選擇模型①；否則選擇模型②．根據(jù)(1)的結(jié)果，試建立增加收益y關(guān)于技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)x的回歸模型，并預(yù)測x=16時(shí)y的值(結(jié)果精確到0.01)．附：i）回歸直線的斜率、截距的最小二乘估計(jì)以及相關(guān)系數(shù)分別為：，，ii）參考數(shù)據(jù)：設(shè)，，，，，．19.(17分)定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)滿足：若對任意x1，x2∈D，且x1>x2，都有，則稱f(x)是D上的“好函數(shù)”．(1)若f(x)=ax2是[0,+∞)上的“好函數(shù)”，求a的取值范圍．(2)(ⅰ)證明：g(x)=lnx是(0,+∞)上的“好函數(shù)”．(ⅱ)設(shè)n∈N*，證明：ln(2n+1)>1+12+13+14數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題1.選A.解析：因y=t2+2t，所以y′=2t+2，所以y′|t=1=2×2+2=6，所以當(dāng)t=1時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為4m/s.故選A.2.選C.解析：在(x﹣2)5的展開式中，含x2的項(xiàng)為，故x2的系數(shù)為﹣80．故選C.3.選C解析：因?yàn)?，所以依?jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為變量與獨(dú)立.故選C.4.選A.解析：依題意，設(shè)到達(dá)該車站列車為和諧號列車的概率為，為復(fù)興號列車的概率為，則一列車能正點(diǎn)到達(dá)該車站的概率為.故選A.5.選C.解析：由散點(diǎn)圖可知，去掉點(diǎn)后，，的線性相關(guān)加強(qiáng)，且是負(fù)相關(guān)，故樣本的相關(guān)系數(shù)變小，決定系數(shù)變大，殘差平方和變小，樣本數(shù)據(jù)y的平均值也變小.故選C6.選B.解析：當(dāng)甲是第5名時(shí)，共有種；當(dāng)甲不是第5名時(shí)，共有種；綜上，共有78種.故選B.7.選B.解析：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，設(shè)硬幣正面向上次數(shù)為，則，所以，，由題意，，且，，因?yàn)椋岳谜龖B(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)超過60次的概率為，故選B.8.選C.解析：令，對于任意的實(shí)數(shù)都有，即為偶函數(shù)；；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；又，，即.故選C.二、選擇題9.選CD.解析：因?yàn)槭录c事件可以同時(shí)發(fā)生，故A錯誤；事件包含事件，所以事件與事件不是相互獨(dú)立事件，故B錯誤；因?yàn)?，所以，故C正確；，故D正確；故選CD10.選ACD.解析：對于A，隨機(jī)變量滿足正態(tài)分布，且，故，故A正確；對于B，當(dāng)x=0時(shí)，此時(shí)，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故f(x)單調(diào)遞增，故，即，解得，故D正確.故選ACD11.選BCD.解析：對于A，，故，所以在和上，f'x>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(-1,2)上，f'x<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，故A錯誤；對于D，由A知，函數(shù)f(x)的極大值為，極小值，則，故D正確；對于B，，結(jié)合函數(shù)在[-3,3]的單調(diào)性可知，故B正確；對于C，，所以，故函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故C正確.故選BCD.三、填空題12.9解析：因?yàn)殡S機(jī)變量X的方差D(X)=1，隨機(jī)變量Y=3X+2.所以D(Y)=D(3X+2)=32D(X)=9.13.4.5解析：因?yàn)闃颖?4.3)處的殘差為-0.15，即，所以，所以回歸方程為：，因?yàn)?，，因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)在回歸直線上，所以，解得m=4.5.14.8解析：小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率為14，向右下落的概率為34，小球掉入0號格子，需要向左10次，則概率為；小球掉入1號格子，需要向左9次，向右1次，則概率為；小球掉入2號格子，需要向左8次，向右2次，則概率為；小球掉入3號格子，需要向左7次，向右3次，則概率為；依此類推，小球掉入k(k=0,1,2,…,10)號格子，需要向10-k左次，向右k次，概率為，設(shè)小球掉入k號格子的概率最大，顯然，則，即，即，解得，又k為整數(shù)，∴k=8，則小球落入8號格子的概率最大.四、解答題15.(13分)已知二項(xiàng)式(2x-1)n展開式中，前二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和是11.(1)求n的值；(2)求其二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和的差；(3)求上述展開式中所有偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和.解：(1)因?yàn)槎?xiàng)式展開式中，前二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和是11，所以，······································································································2分得到1+n=11，解得n=10.···························································································3分(2)由二項(xiàng)式性質(zhì)得二項(xiàng)式系數(shù)之和為210=1024，·······························································5分令，可得各項(xiàng)系數(shù)之和為，···································································7分所以二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和的差為1024-1=1023.···············································8分(3)令f(x)=(2x-1)10，則，·············································10分，································12分所以.································································13分16.(15分)已知函數(shù)f(x)=-4alnx+x2-1.(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1）處的切線的方程；(2)探究f(x)的最小值；(3)當(dāng)a>0時(shí)，求f(x)的最小值的極值．解：(1)當(dāng)時(shí)，，，·······································1分則f(1)=0，，·······································3分所以切線的方程為.·······································4分(2)定義域?yàn)椋?，······································?分當(dāng)時(shí)，，則f(x)在上單調(diào)遞增，故f(x)沒有最小值；·····························7分當(dāng)時(shí)，f(x)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，·······································8分所以.·······································9分綜上所述：當(dāng)時(shí)，f(x)沒有最小值；當(dāng)時(shí)，f(x)最小值為；··················10分(3)由(2)可得，設(shè)，····································11分則，····································12分令，得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，·································13分當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，·······································14分所以的極大值為，無極小值．······································15分解：(1)函數(shù)f(x)=ax3+bx2-6x+9(a，b∈R)，則，·················1分由題意得，解得，········································3分當(dāng)時(shí)，，令，解得.············4分則當(dāng)單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增，············································6分所以x=1是極小值點(diǎn)，符合題意，故.······································7分(2)由(1)知，·······································8分則當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增，········10分當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值f(1)=4，··································································12分當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，而f(-1)=8，f(2)=17，···························14分故f(x)在[-1,2]上值域?yàn)閇4,17].··········································15分17.(15分)某車企為考察選購新能源汽車的款式與性別的關(guān)聯(lián)性，調(diào)查100人購買情況，得到如下列聯(lián)表：新能源汽車A款新能源汽車B款總計(jì)男性5010x女性251540總計(jì)y25100(1)求x，y；(2)根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為選購該新能源汽車的款式與性別有關(guān)聯(lián)？(3)假設(shè)用樣本估計(jì)總體，用頻率估計(jì)概率，所有人選購汽車的款式情況相互獨(dú)立.若從購買者中隨機(jī)抽取3人，設(shè)被抽取的3人中購買了B款車的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望.附：，.0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879解：(1)由題意得，.·········································2分(2)零假設(shè)為H0：選購新能源汽車的款式與性別無關(guān)聯(lián).··························3分根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，··············6分根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，·····························7分可以認(rèn)為選購車的款式與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；············8分(3)隨機(jī)抽取1人購買B款車的概率為，·····························································10分被抽取的3人中購買了B款車的人數(shù)X的可能取值為0,12,3，·············································11分由題意得，··································································································13分由二項(xiàng)分布的期望公式得.··································································15分18.(17分)某鄉(xiāng)村企業(yè)希望通過技術(shù)革新增加產(chǎn)品收益，根據(jù)市場調(diào)研，技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)x(單位：萬元)和增加收益y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如下表：x4681012y2742555660為了進(jìn)一步了解技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)x對增加收益y的影響，通過對表中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分別提出了兩個(gè)回歸模型：①，②．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算模型①中y與x的相關(guān)系數(shù)r(結(jié)果精確到0.01)；(2)若0.95≤|r|≤1，則選擇模型①；否則選擇模型②．根據(jù)(1)的結(jié)果，試建立增加收益y關(guān)于技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)x的回歸模型，并預(yù)測x=16時(shí)y的值(結(jié)果精確到0.01)．附：i）回歸直線的斜率、截距的最小二乘估計(jì)以及相關(guān)系數(shù)分別為：，，ii）參考數(shù)據(jù)：設(shè)，，，，，．解：(1)因?yàn)?，························?分，····························2分所以，······················3分，······················4分，······················6分模型①中，相關(guān)系數(shù)，······················8分(2)因?yàn)?，所以選擇模型②，························10分令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，······················11分由于，······················13分，······················14分所以關(guān)于的線性回歸方程為，即，······················15分當(dāng)x=16時(shí)，(萬元)，··············