一、函數(shù)與方程思想1/17思想解讀應(yīng)用類型函數(shù)思想,就是用運(yùn)動(dòng)和改變觀點(diǎn),分析和研究數(shù)學(xué)中數(shù)量關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系或結(jié)構(gòu)函數(shù),利用函數(shù)圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題取得處理數(shù)學(xué)思想.方程思想,就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者結(jié)構(gòu)方程,經(jīng)過解方程或方程組,或者利用方程去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題取得處理數(shù)學(xué)思想.1.函數(shù)與不等式相互轉(zhuǎn)化,對(duì)函數(shù)y=f(x),當(dāng)y>0時(shí),就化為不等式f(x)>0,借助于函數(shù)圖象和性質(zhì)可處理相關(guān)問題,而研究函數(shù)性質(zhì)也離不開不等式.2.數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)函數(shù),用函數(shù)觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題.3.解析幾何中許多問題,需要經(jīng)過解二元方程組才能處理.4.立體幾何中相關(guān)線段、面積、體積計(jì)算,經(jīng)常需要利用列方程或建立函數(shù)表示式方法加以處理.思想解讀2/17總綱目錄應(yīng)用一

處理不等式問題應(yīng)用二處理最值或范圍問題3/17應(yīng)用一

處理不等式問題例

(河南鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)(一))已知函數(shù)f(x)=lnx.(1)證實(shí):f(x)≤x-1;(2)若對(duì)任意x>0,不等式f(x)≤ax+

-1恒成立,求實(shí)數(shù)a取值范圍.解析(1)證實(shí):令g(x)=f(x)-(x-1)=lnx-x+1(x>0),則g'(x)=?-1.當(dāng)x=1時(shí),g'(x)=0,所以當(dāng)0<x<1時(shí),g'(x)>0,當(dāng)x>1時(shí),g'(x)<0,即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;在(1,+∞)上單調(diào)遞減.所以g(x)≤g(1)=0,故f(x)≤x-1.4/17(2)記h(x)=ax+

-lnx,

(結(jié)構(gòu)函數(shù))則在(0,+∞)上,h(x)≥1,h'(x)=a+

-

=

=

(x>0),①若0<a≤

,則-1+

≥1,x∈(0,1)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,h(x)<h(1)=2a-1≤0,這與在(0,+∞)上h(x)≥1矛盾;5/17②若

<a<1,則0<-1+

<1,x∈(1,+∞)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,而h(1)=2a-1<1,這與在(0,+∞)上h(x)≥1矛盾;③若a≥1,則-1+

≤0,x∈(0,1)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,x∈(1,+∞)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,∴h(x)min=h(1)=2a-1≥1,即h(x)≥1恒成立.④若a=0,則h'(x)=

,x∈(0,1)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,x∈(1,+∞)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,∴h(x)≤h(1)=-1<0,這與在(0,+∞)上h(x)≥1矛盾.⑤若a<0,則-1+

<0,x∈(0,1)時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,x∈(1,+∞)時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,∴h(x)≤h(1)=2a-1<0,這與在(0,+∞)上h(x)≥1矛盾.綜上,實(shí)數(shù)a取值范圍是[1,+∞).6/17【技法點(diǎn)評(píng)】處理(2)關(guān)鍵是將不等式化為ax+

-lnx≥1,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)h(x)=ax+

-lnx,x∈(0,+∞).將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)h(x)在(0,+∞)上最小值大于或等于1恒成立來處理.7/17跟蹤集訓(xùn)

f(x)=ax3-3x+1對(duì)于x∈[-1,1]總有f(x)≥0成立,則a=

.8/17解析若x=0,則不論a取何值,f(x)≥0顯然成立;當(dāng)x>0,即x∈(0,1]時(shí),f(x)=ax3-3x+1≥0可化為a≥

-

.設(shè)g(x)=

-

,則g'(x)=

,所以g(x)在區(qū)間

上單調(diào)遞增,在區(qū)間

上單調(diào)遞減,所以g(x)max=g

=4,從而a≥4;當(dāng)x<0,即x∈[-1,0)時(shí),f(x)=ax3-3x+1≥0可化為a≤

-

,設(shè)g(x)=

-

,易知g(x)在區(qū)間[-1,0)上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(-1)=4,從而a≤4,綜上,a=4.答案49/17應(yīng)用二

處理最值或范圍問題例已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)右焦點(diǎn)為F(1,0),如圖所表示,設(shè)左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,且

·

=

·

.

(1)求橢圓C方程;(2)過點(diǎn)F直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),試確定

·

取值范圍.10/17∵

·?=?·?,∴(1,0)·(-1,b)=(a,b)·(1,-b),即b2-a-1=0.又∵b2=a2-1,∴a2-a-2=0,

(列出方程)解得a=2(a=-1舍去).∴a2=4,b2=3,∴橢圓C方程為

+

=1.(2)①若直線l斜率不存在,則l:x=1,此時(shí)M

,N

,

·

=-

.②若直線l斜率存在,設(shè)l:y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),則由

消去y得解析(1)由題意知,A(-a,0),B(0,b),11/17(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,

(列出方程)∴x1+x2=

,x1x2=

.∴

·

=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(1+k2)[x1x2-(x1+x2)+1]=

.

(轉(zhuǎn)化為函數(shù))∵k2≥0,∴0<

≤1,∴3≤4-

<4,∴-3≤

·

<-

.總而言之,

·

取值范圍為

.12/17【技法點(diǎn)評(píng)】本題利用了函數(shù)與方程思想,首先由已知條件列出關(guān)于

a,b方程,求出a,b值,在求

·

范圍時(shí)轉(zhuǎn)化為關(guān)于k函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)求解.13/17跟蹤集訓(xùn)1.已知正四棱錐S-ABCD中,SA=2

,那么當(dāng)該棱錐體積最大時(shí),它高為

()A.1

B.

C.2

D.3答案

C設(shè)正四棱錐S-ABCD底面邊長為a(a>0),則高h(yuǎn)=

=

,所以體積V=

a2h=

.設(shè)y=12a4-

a6(a>0),則y'=48a3-3a5.令y'>0,得0<a<4;令y'<0,得a>4.故函數(shù)在(0,4)上單調(diào)

遞增,在(4,+∞)上單調(diào)遞減.可知當(dāng)a=4時(shí),y取得最大值,即體積V取得最

大值,此時(shí)h=

=2,故選C.14/172.(河南洛陽統(tǒng)考)直線y=a分別與曲線y=2(x+1),y=x+lnx交于點(diǎn)A,B,

則|AB|最小值為

.15/17解析在y=2(x+1)中,令y=a,即2(x+1)=a,所以x=

-1.設(shè)方程x+lnx=a根為t,則t+lnt=a,則|AB|=

=

=

.設(shè)g(t)=

-

+1(