廣東省惠州市惠州中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．可以表示為(

)．A． B． C． D．3．復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．4．下表是離散型隨機(jī)變量的概率分布，則（）1234PA． B． C． D．5．如圖，已知等腰直角三角形，是一個平面圖形的直觀圖，斜邊，則這個平面圖形的面積是（

）A． B．1 C． D．6．甲、乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為和，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中情況下，則甲擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．7．某學(xué)校周一安排有語文、數(shù)學(xué)、英語、政治、歷史、地理、體育七節(jié)課，要求體育課不排在第一節(jié)課，數(shù)學(xué)不排在第四節(jié)課，則這天課表的不同排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．對于非零向量，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．已知圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的取值范圍為B．圓關(guān)于直線對稱C．若直線被圓截得的弦長為，則D．若，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則11．已知在的二項展開式中，第項為常數(shù)項，則（

）A． B．展開式中系數(shù)的絕對值最大的項是第項C．含的項的系數(shù)為 D．展開式中有理項的項數(shù)為三、填空題（本大題共3小題）12．若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為13．函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為．

14．已知，則：被除的余數(shù)是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列的前n項和為，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．16．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且.（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.17．如圖，四邊形是正方形，平面，，，分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的大?。?8．已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動，過點(diǎn)作軸的垂線段為垂足，為線段的中點(diǎn)（當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過圓與軸的交點(diǎn)時，規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)重合）．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)作直線，與圓相交于兩點(diǎn)，與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程．19．已知函數(shù)，(1)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性；(3)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象與的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，證明：

參考答案1．【答案】C【詳解】因為，，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，故的最小值是3.故選C2．【答案】C【詳解】＝，故選C﹒3．【答案】C【詳解】由于是純虛數(shù)，所以，所以.故選C.4．【答案】B【詳解】由題意可得：，解得，所以．故選B.5．【答案】D【詳解】因為為等腰直角三角形，，，所以，所以對應(yīng)的原平面圖形如下，其中，，所以這個平面圖形的面積,故選D.6．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，設(shè)甲擊中目標(biāo)為事件，乙擊中目標(biāo)為事件，目標(biāo)被擊中為事件，則，，則目標(biāo)是被甲擊中的概率為故選D7．【答案】B【詳解】學(xué)校安排七節(jié)課程可看做是用個不同的元素填個空的問題，要求體育不排在第一節(jié)課，數(shù)學(xué)不排在第四節(jié)課的排法可分兩類．體育課排在第四節(jié)，則滿足了體育課不在第一節(jié)，同時滿足了數(shù)學(xué)課不在第四節(jié)，排法種數(shù)是種；體育課不排第四節(jié)，數(shù)學(xué)課也不排在第四節(jié)，先排第四節(jié)，不能是體育和數(shù)學(xué)，有種，再排第一節(jié)，除了選定的和體育也有種，剩下個全排，種．所以這天課表的不同排法種數(shù)為種．故選B.8．【答案】A【詳解】顯然函數(shù)是上的增函數(shù)，也是奇函數(shù)，因為在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故故選A9．【答案】BD【詳解】A.若，則,故錯誤；B.若，則，所以成立，故正確；C.當(dāng)為零向量時，滿足，但是推不出，故錯誤；D.若，則，可得，整理即可得到，故正確；故選BD10．【答案】BD【詳解】圓的方程為，所以，得，故A錯誤因為圓的圓心在直線上，所以圓關(guān)于直線對稱，故B正確圓心到直線的距離，又弦長為，可得圓的半徑為，得，故C錯誤當(dāng)時，可得圓的方程為，則圓心，半徑為，，所以切線長為，故D正確．故選BD11．【答案】ABC【詳解】該二項式展開式的通項為，因為第項為常數(shù)項，所以當(dāng)時，，解得,故A正確，由，解得，所以展開式中系數(shù)的絕對值最大的項是第，故B正確．含的項得，即，所求的系數(shù)為，故C正確．根據(jù)通項公式，由題意得，令，，則，即，，應(yīng)為偶數(shù)，可取，，，即可取，，，第項，第項與第項為有理項．故D錯誤．故選ABC.12．【答案】7【詳解】因為樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為.13．【答案】【詳解】由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)時，由可得，此時；當(dāng)時，由可得，此時.綜上所述，解集為.14．【答案】【詳解】因為，所以令時，，令時，，所以，又，所以除以的余數(shù)是15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合上式，∴.（2）由（1）得，，∴．16．【答案】（1）；（2），.【詳解】（1）由題意：，∵，∴，，又，，則切線方程為：.（2）由（1）可知：，由或；由，又∵；∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.則的極大值為，的極小值為，且，，故，.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題知分別為的中點(diǎn)，所以是的中位線，即，又平面，平面，所以平面.（2）平面，而，平面，所以，，由于四邊形是正方形，所以，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，又，分別為的中點(diǎn)，則，所以，，，，，設(shè)平面的一個法向量，則，取，，，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，，則，設(shè)平面與平面夾角的大小為，所以，又，所以，即平面與平面夾角的大小為.18．【答案】(1)點(diǎn)的軌跡是橢圓，方程為(2)或【詳解】（1）點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)，由點(diǎn)是的中點(diǎn)，得，，因為在圓上，所以，可得，即，所以點(diǎn)的軌跡是橢圓。（2）若直線的斜率不存在，則，將代入中，解得，則，將代入中，解得，則，而，舍去；若直線的斜率存在，設(shè)為，則，由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線的距離，則，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，，由，得，解之得．綜上所述，直線的方程為或．19．【答案】(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【詳解】（1）易知令，得，所以在上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減．所以的最小值為由恒成立知，，故.（2）由題知，定義域為，所以；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，得，所以在，上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，所以在，上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減；綜上可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單