振動力學(xué)與控制基礎(chǔ)課程內(nèi)容課程概述01導(dǎo)論02數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換03數(shù)學(xué)工具——矩陣的特征值和特征向量04課程概述01一、課程概述內(nèi)容概述1教學(xué)內(nèi)容2教學(xué)方法3教學(xué)進(jìn)程4考核形式與基本要求5推薦教材和參考書6課程名稱（中英文）：中文名稱：振動力學(xué)與控制基礎(chǔ)英文名稱：Fundamentalsofvibrationmechanicsandcontrol學(xué)時與學(xué)分：

先修課程：總學(xué)時：40（理論學(xué)時：36學(xué)時；實(shí)驗(yàn)學(xué)時：4學(xué)時）學(xué)分：2.5微積分,動力學(xué)，復(fù)變函數(shù)與積分變換，材料力學(xué)(可變形理論）一、課程概述課程教學(xué)目的：集中質(zhì)量系統(tǒng)（離散系統(tǒng)）及分布參數(shù)系統(tǒng)（連續(xù)體系統(tǒng)）的動力學(xué)建模及分析方法機(jī)械系統(tǒng)的自由及受迫振動的動力學(xué)分析方法結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自由振動及受迫振動分析方法內(nèi)容概述11）課程緒論和數(shù)學(xué)工具2）振動的基本概念與單自由度系統(tǒng)振動3）多自由度系統(tǒng)建模及振動分析

4）連續(xù)體系統(tǒng)：拉壓桿軸向振動、軸的扭轉(zhuǎn)振動5）連續(xù)體系統(tǒng)：梁的橫向振動、薄板的振動問題6）振動控制方法

一、課程概述教學(xué)內(nèi)容21）雙語教學(xué)課堂講授以國外優(yōu)秀原版教材和國家級規(guī)劃教材內(nèi)容相結(jié)合，采用雙語課件和雙語授課，輔以經(jīng)典參考書為學(xué)生自學(xué)。2）啟發(fā)式教學(xué)和課堂討論教學(xué)方法課堂上結(jié)合實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)振動問題，吸引學(xué)生注意力和興趣，然后展開課程敘述。在教師的主導(dǎo)下，同學(xué)針對不同的振動系統(tǒng)動力學(xué)模型的建立、求解方案展開討論。3）課堂均采用多媒體和黑板相結(jié)合的教學(xué)手段一、課程概述教學(xué)方法31）1-4周共計(jì)20課時課程：完成單自由度章節(jié)2）5-10周共計(jì)20課時課程：多自由度和連續(xù)體，需熟練矩陣的特征值、特征向量知識一、課程概述教學(xué)進(jìn)程4課程成績=實(shí)驗(yàn)報(bào)告（10%）+課后作業(yè)（40%）+期末考試（50%）

一、課程概述考核形式與基本要求5RaoS.Mechanicalvibration5theditionRaoS.《機(jī)械振動第5版》一、課程概述推薦教材和參考書6振動是一個古老而又現(xiàn)代化的話題，目前收錄振動噪聲類研究的國內(nèi)外期刊有很多很多很多很多….國內(nèi)：振動與沖擊，振動工程學(xué)報(bào)….國際：JournalofSoundandVibration;ASMEJournalofVibrationandAcoustics;ASMEJournalofAppliedMechanics;NonlinearDynamics;AppliedPhysicsLetters;PhysicalReviewLetters;MechanicalSystemsandSignalProcessing;SignalProcessing;InternationalJournalofMechanicalScience;SmartMaterialsandStructures;AIAAJournal;AerospaceScienceandTechnology;ActaAstronautica;AppliedAcoustics……Nature;Science以及其子刊;AppliedMaterials等材料類期刊一、課程概述推薦教材和參考書6導(dǎo)論02振動的定義與起源1振動的危害與振動噪聲的控制2振動的影響3利用振動的實(shí)例4振動分析的四個基本問題5振動分析的一般方法6振動的分類7振動的運(yùn)動學(xué)分析8二、導(dǎo)論所謂振動，廣義地講，指一個物理量在它的平均值附近不停地經(jīng)過極大值和極小值而反復(fù)變化。機(jī)械振動指機(jī)械或結(jié)構(gòu)在它的靜平衡位置附近的往復(fù)彈性運(yùn)動。一般來說，任何具有彈性和慣性的力學(xué)系統(tǒng)均可能產(chǎn)生機(jī)械振動。振動的定義與起源1二、導(dǎo)論振動系統(tǒng)發(fā)生振動的原因是外界對系統(tǒng)的激勵或作用。如果外界對每個系統(tǒng)的作用使得該系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時系統(tǒng)的幾何位置稱為系統(tǒng)的靜平衡位置。機(jī)械振動中的平衡位置是系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置。系統(tǒng)在振動時的位移通常是比較小的（小變形）。二、導(dǎo)論振動的定義與起源1在機(jī)械振動中，把外界對振動系統(tǒng)的激勵或作用稱為振動系統(tǒng)的激勵或輸入。如作用在結(jié)構(gòu)上的外力，道路不平對行駛車輛的影響等。而系統(tǒng)對外界影響的反應(yīng)，如振動系統(tǒng)某部位產(chǎn)生的位移、速度、加速度及應(yīng)力等，稱為振動系統(tǒng)的響應(yīng)或輸出。二、導(dǎo)論振動的定義與起源1振動是指一個物體或系統(tǒng)在平衡位置周圍沿著某一路徑的往復(fù)運(yùn)動。振動問題的研究歷史悠久，從公元前1500年的豎琴弦振動開始，古希臘學(xué)者探索了弦振動與弦長、張力的關(guān)系。17世紀(jì)，伽利略通過單擺和自由落體公式探討了振動周期，牛頓定律和微積分理論的成熟推動了振動理論的發(fā)展。泰勒和拉格朗日進(jìn)一步研究了弦振動，歐拉和伯努利提出了梁振動理論。20世紀(jì)計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使得復(fù)雜系統(tǒng)的振動問題得到精確解答，振動問題研究逐漸獨(dú)立成振動力學(xué)。二、導(dǎo)論振動的定義與起源1汽車在不平路面上行駛時所產(chǎn)生的劇烈顛簸；艦船在波浪的作用下的俯仰運(yùn)動、側(cè)擺運(yùn)動；建筑物在地震波的作用下所產(chǎn)生的劇烈晃動；車輛通過時，橋梁的劇烈振動；機(jī)床的切削顫振；飛行時機(jī)翼的顫動；輸電線的舞動等二、導(dǎo)論振動的危害與振動噪聲控制2塔科馬海峽大橋由于卡門渦街效應(yīng)而坍塌，其本質(zhì)是風(fēng)吹過橋面時，形成了卡門渦街，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了渦振現(xiàn)象，在短時間內(nèi)，結(jié)構(gòu)就被破壞。二、導(dǎo)論振動的危害與振動噪聲控制2對于工程實(shí)際中的結(jié)構(gòu)振動問題，人們關(guān)心振動會不會使結(jié)構(gòu)的位移、速度、加速度等物理量過大。因?yàn)槲灰七^大可能引起結(jié)構(gòu)各個部件之間的相互干涉。比如汽車的輪軸與大梁會因?yàn)榫嚯x振動而頻繁碰撞，造成大梁過早損壞并危及行車安全。由于汽車行駛中如果垂直振動加速度過大，將會影響汽車的平順性，給乘員帶來不適或危及所載貨物的安全。振動過大也會造成結(jié)構(gòu)的應(yīng)力過大，即產(chǎn)生過大的動應(yīng)力，有時這種動應(yīng)力比靜應(yīng)力大的多，容易使結(jié)構(gòu)早期破壞。二、導(dǎo)論振動的影響3道路振動壓路機(jī)鐵路碎石道床搗固車建筑工地使用的風(fēng)鎬按摩椅、等按摩設(shè)備樂器振動能量采集—新型發(fā)電技術(shù)二、導(dǎo)論利用振動的實(shí)例4響應(yīng)分析：在已知系統(tǒng)參數(shù)和外界激勵條件下求系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)：已知外界激勵條件下，設(shè)計(jì)合理的系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)達(dá)到要求系統(tǒng)識別：即根據(jù)激勵和響應(yīng)確定系統(tǒng)的參數(shù)環(huán)境預(yù)測：即根據(jù)系統(tǒng)特性和響應(yīng)確定激勵的性質(zhì)激勵(輸入)響應(yīng)(輸出)

振動系統(tǒng)二、導(dǎo)論振動分析的四個基本問題5理論分析方法：包括各種近似分析方法。力學(xué)模型和運(yùn)動方程數(shù)值分析方法：利用編程或商業(yè)軟件。有限元軟件實(shí)驗(yàn)分析方法：借助實(shí)驗(yàn)設(shè)備和分析儀器完成。測量振動系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)二、導(dǎo)論振動分析的一般方法6二、導(dǎo)論振動的分類7自由振動系統(tǒng)受到一個初始擾動后產(chǎn)生振動，但在后續(xù)運(yùn)動過程中不受外激勵力作用，這樣的振動稱為自由振動。自由振動的特點(diǎn)是除了初始擾動之外，系統(tǒng)在振動過程中沒有外界能量輸入。二、導(dǎo)論振動的分類7受迫振動系統(tǒng)在外力作用下所作的振動稱為受迫振動二、導(dǎo)論振動的分類7無阻尼振動和阻尼振動在振動理論中把消耗能量的機(jī)制或裝置稱為阻尼。如果系統(tǒng)振動過程中沒有阻尼作用（無能量消耗），即無阻尼振動，反之則稱為有阻尼振動。工程實(shí)際中阻尼總是存在。二、導(dǎo)論振動的分類7線性振動與非線性振動如果振動系統(tǒng)的所有元件即彈簧、質(zhì)量和阻尼都遵循線性規(guī)律，這個系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)，其振動稱為線性振動。反之，如果系統(tǒng)元件中只要有一個不遵循線性規(guī)律，則這個系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，其振動稱為非線性振動。對于線性系統(tǒng)，疊加原理成立。非線性振動是一個極其復(fù)雜的課題，而本課程講的是理論完備的、服務(wù)于大多數(shù)設(shè)計(jì)的線性振動。二、導(dǎo)論振動的分類7確定性振動與隨機(jī)振動作用于振動系統(tǒng)的激勵都是確定性的，且系統(tǒng)也是確定性的，則系統(tǒng)的振動必然是確定性的。有些情況下引起的激勵不是確定性的，如在風(fēng)激勵，海浪振動，路面不平等激勵隨時間變化無法確定，但服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。這些為隨機(jī)激勵，激發(fā)的振動為隨機(jī)振動。二、導(dǎo)論振動的分類7二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8周期振動中最簡單最基本的是簡諧振動

簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程

我們一般用來作討論。

A和是待定常數(shù)，需要根據(jù)初始條件來決定，它就是簡諧振動的運(yùn)動方程。

x可作廣義理解:

位移、電流、場強(qiáng)、溫度…二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8

彈簧振子模型平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)彈性恢復(fù)力（線性恢復(fù)力）二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8

F=-kx

動力學(xué)方程

二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8

取

二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8

周期、頻率、圓頻率

周期

頻率

圓頻率

圖

描述簡諧振動的三個重要參量

二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8固有圓頻率：僅由振動系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)所決定頻率固有圓頻率固有周期彈簧振子

單擺

復(fù)擺

周期和頻率僅與振動系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)

二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8

二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8初相

二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8位相差兩振動位相之差

＝

2－

1當(dāng)

=2k

,k=0,±1,±2…兩振動步調(diào)相同,稱同相當(dāng)

=(2k+1)

,k=0,±1,±2...兩振動步調(diào)相反,稱反相0<

<

2超前于

1或

1滯后于

2

位相差反映了兩個振動不同程度的參差錯落諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系

二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8以

為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動為簡諧運(yùn)動.當(dāng)時簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8以

為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動為簡諧運(yùn)動.時簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8振動的運(yùn)動學(xué)分析8二、導(dǎo)論二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8簡諧振動的合成關(guān)于簡諧振動合成的結(jié)論是下一章討論波的疊加的基礎(chǔ)，也是討論光的干涉和衍射時的依據(jù)，所以本節(jié)內(nèi)容在波動現(xiàn)象的研討中具有重要意義。一、方向相同，頻率相同設(shè)兩振動互不影響，則由運(yùn)動的合成可知，質(zhì)點(diǎn)的合成運(yùn)動仍在這一直線上，它離開平衡位置的位移為現(xiàn)在利用旋轉(zhuǎn)矢量法求出這個合成結(jié)果。二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8即A1、A2

兩個矢量的合矢量在x

軸上的投影就是x=x1+x2

很容易分析：平行四邊形在旋轉(zhuǎn)中不變形，因而合矢量A

的長度不變且以同樣的勻角速度旋轉(zhuǎn)。所以

x

可寫為時刻矢量A

與

x

軸的夾角。

xOQ2Q1QA1AA2振動的運(yùn)動學(xué)分析8二、導(dǎo)論合振幅的大小不僅和兩個單獨(dú)簡諧振動（可稱為為分振動）的振幅有關(guān)而且和它們的相位差有關(guān)。有關(guān)的這一項(xiàng)稱為干涉項(xiàng)，這是一個非常重要的結(jié)果。舉兩個特例：（1）兩分振動同相，即（2）兩分振動反相，即這是合振幅最小的情形，振動減弱了。（3）兩分振動的相位差為其它值時，合振動的振幅二、方向相同，頻率不同振動的運(yùn)動學(xué)分析8二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8二、導(dǎo)論振動的運(yùn)動學(xué)分析8二、導(dǎo)論數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換03復(fù)數(shù)的概念1復(fù)數(shù)的表示法2復(fù)變函數(shù)、極點(diǎn)與零點(diǎn)3拉普拉斯變換4典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換5拉普拉斯變換的基本性質(zhì)6拉普拉斯反變換7頻率特性8三、數(shù)學(xué)工具—拉普拉斯變換復(fù)數(shù)的概念1三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換復(fù)數(shù)s=+j

（有一個實(shí)部

和一個虛部

，

和

均為實(shí)數(shù)）兩個復(fù)數(shù)相等：當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等。一個復(fù)數(shù)為零：當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時為零。

復(fù)數(shù)的表示法2三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換對于復(fù)數(shù)s=

+j

復(fù)平面：以

為橫坐標(biāo)(實(shí)軸)、

為縱坐標(biāo)(虛軸)所構(gòu)成的平面稱為復(fù)平面或[s]平面。復(fù)數(shù)s=

+j

可在復(fù)平面[s]中用點(diǎn)(

,

)表示：一個復(fù)數(shù)對應(yīng)于復(fù)平面上的一個點(diǎn)。

o復(fù)平面[s]

1

2j

1

2s1=1+j

1s2=2+j

2復(fù)數(shù)的表示法2三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換

①復(fù)數(shù)的向量表示法

復(fù)數(shù)s=

+j

可以用從原點(diǎn)指向點(diǎn)(

,

)的向量表示。向量的長度稱為復(fù)數(shù)的模：

向量與

軸的夾角

稱為復(fù)數(shù)s的復(fù)角：

o

1

2j

s1s2r1=|s1|r2=|s2|復(fù)數(shù)的表示法2三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換

o

1

2j

s1s2r1=|s1|r2=|s2|

②復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示法與指數(shù)表示法

根據(jù)復(fù)平面的圖示可得：

=rcos

，

=rsin

復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示法：s=r(cos

+jsin

)歐拉公式：

復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法：復(fù)變函數(shù)、極點(diǎn)與零點(diǎn)3三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換以復(fù)數(shù)s=

+j

為自變量構(gòu)成的函數(shù)G(s)稱為復(fù)變函數(shù)：

G(s)

=u+jv式中：u、v分別為復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部。2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)分子為零分母為零

當(dāng)復(fù)變函數(shù)表示成復(fù)變函數(shù)、極點(diǎn)與零點(diǎn)3三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換以復(fù)數(shù)s=

+j

為自變量構(gòu)成的函數(shù)G(s)稱為復(fù)變函數(shù)：

G(s)

=u+jv式中：u、v分別為復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部。通常，在線性控制系統(tǒng)中，復(fù)變函數(shù)G(s)是復(fù)數(shù)s的單值函數(shù)。即：對應(yīng)于s的一個給定值，G(s)就有一個唯一確定的值與之相對應(yīng)。當(dāng)s=-zi時，G(s)=0，則si=-zi稱為G(s)的零點(diǎn)；(b)當(dāng)s=-pj時，G(s)→∞，則sj=-pj稱為G(s)的極點(diǎn)。例：當(dāng)s=

+j

時，求復(fù)變函數(shù)G(s)

=s2+1的實(shí)部u和虛部v2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的實(shí)部復(fù)變函數(shù)的虛部解：

G(s)＝s2+1＝(

+j

)2+1

＝

2+

j(2

)-

2+1＝(

2

-

2+1)+

j(2

)

復(fù)變函數(shù)、極點(diǎn)與零點(diǎn)3三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)拉普拉斯變換的定義4三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉氏變換是控制工程中的一個基本數(shù)學(xué)方法，其優(yōu)點(diǎn)是能將時間函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)拉氏變換后，變成復(fù)變量s的乘積，將時間表示的微分方程，變成以s表示的代數(shù)方程。復(fù)變量原函數(shù)象函數(shù)拉氏變換符號拉普拉斯變換：在一定條件下，把實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)f(t)變換到復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的復(fù)變函數(shù)F(s)

。

設(shè)有時間函數(shù)f(t)，當(dāng)t<0

時，f(t)＝0；在t≥0時定義函數(shù)f(t)

的拉普拉斯變換為：

拉氏變換是否存在取決于定義的積分是否收斂。拉氏變換存在的條件：

①當(dāng)t≥0時，f(t)分段連續(xù)，只有有限個間斷點(diǎn)；

②當(dāng)t→∞時，f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即在復(fù)平面上，對于Res

>a的所有復(fù)數(shù)s(Res表示s的實(shí)部)都使積分式絕對收斂，故Res

>a是拉普拉斯變換的定義域，a稱為收斂坐標(biāo)。式中：M、a為實(shí)常數(shù)。

2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)拉普拉斯變換的定義4三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換

(1)單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)定義：其拉普拉斯變換為：

典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換52.2.3典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換且:2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換(2)單位脈沖函數(shù)

單位脈沖函數(shù)定義：其拉普拉斯變換為：2.2.3典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換(3)單位速度函數(shù)（單位斜坡函數(shù)）

單位速度函數(shù)定義：其拉普拉斯變換為：2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換(4)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)表達(dá)式：式中：a是常數(shù)。其拉普拉斯變換為：2.2.3典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換兩式相減2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換由歐拉公式，正弦函數(shù)表達(dá)為：(5)正弦信號函數(shù)正弦信號函數(shù)定義：其拉普拉斯變換為：2.2.3典型時間函數(shù)的拉普拉斯變換兩式相加2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換其拉普拉斯變換為：由歐拉公式，余弦函數(shù)表達(dá)為：(6)余弦信號函數(shù)余弦信號函數(shù)定義：2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換證明：則：2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì)6

(1)線性定理若

、

是任意兩個復(fù)常數(shù)，且：(2)平移定理若：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)證明：則：2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì)6(3)微分定理若：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)證明：則：f(0)是t=0時的f(t)值同理，對于二階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì)6(3)微分定理推廣到n階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：如果：函數(shù)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零，即則：2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì)6(4)積分定理同理，對于n重積分的拉普拉斯變換：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)若：函數(shù)f(t)各重積分的初始值均為零，則有注：利用積分定理，可以求時間函數(shù)的拉普拉斯變換；利用微分定理和積分定理，可將微分-積分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程。2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì)6(5)終值定理若：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)則：證明：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，有由于，上式可寫成寫出左式積分2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì)6(6)初值定理若：則：證明：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，有由于，上式可寫成或者2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì)6(7)卷積定理兩個時間函數(shù)f1(t)、f2(t)卷積的拉普拉斯變換等于這兩個時間函數(shù)的拉普拉斯變換。2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)式中：稱為函數(shù)f1(t)與f2(t)的卷積而2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì)62.2

拉普拉斯變換簡寫為：2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7

(1)拉普拉斯反變換的定義將象函數(shù)F(s)變換成與之相對應(yīng)的原函數(shù)f(t)的過程，稱之為拉普拉斯反變換。其公式：拉氏反變換的求算有多種方法，如果是簡單的象函數(shù)，可直接查拉氏變換表；對于復(fù)雜的，可利用部分分式展開法。如果把f(t)的拉氏變換F(s)分成各個部分之和，即2.2.5拉普拉斯反變換假若F1(s)、F2(s)，…，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換很容易由拉氏變換表查得，那么當(dāng)F(s)

不能很簡單地分解成各個部分之和時，可采用部分分式展開將F(s)

分解成各個部分之和，然后對每一部分查拉氏變換表，得到其對應(yīng)的拉氏反變換函數(shù)，其和就是要得的F(s)

的拉氏反變換f(t)

函數(shù)。2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7(2)部分分式展開法在系統(tǒng)分析問題中，F(xiàn)(s)常具有如下形式：2.2.5拉普拉斯反變換式中A(s)和B(s)是s的多項(xiàng)式，

B(s)的階次較A(s)階次要高。對于這種稱為有理真分式的象函數(shù)F(s)，分母B(s)

應(yīng)首先進(jìn)行因子分解，才能用部分分式展開法，得到F(s)

的拉氏反變換函數(shù)。2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7將分母B(s)

進(jìn)行因子分解，寫成：2.2.5拉普拉斯反變換式中，p1，p2，…，pn稱為B(s)的根，或F(s)的極點(diǎn)，它們可以是實(shí)數(shù)，也可能為復(fù)數(shù)。如果是復(fù)數(shù)，則一定成對共軛的。當(dāng)A(s)的階次高于

B(s)時，則應(yīng)首先用分母B(s)去除分子A(s)，由此得到一個s的多項(xiàng)式，再加上一項(xiàng)具有分式形式的余項(xiàng)，其分子s多項(xiàng)式的階次就化為低于分母s多項(xiàng)式階次了。2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7

(1)分母B(s)無重根此時，F(xiàn)(s)總可以展成簡單的部分分式之和。即式中，ak(k=1,2,…,n)是常數(shù)，系數(shù)ak稱為極點(diǎn)s=-pk處的留數(shù)。2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7ak

的值可以用在等式兩邊乘以(s+pk)，并把s=-pk代入的方法求出。即2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7在所有展開項(xiàng)中，除去含有ak的項(xiàng)外，其余項(xiàng)都消失了，因此留數(shù)ak可由下式得到因?yàn)閒(t)時間的實(shí)函數(shù)，如p1和p2是共軛復(fù)數(shù)時，則留數(shù)

1和

2也必然是共軛復(fù)數(shù)。這種情況下，上式照樣可以應(yīng)用。共軛復(fù)留數(shù)中，只需計(jì)算一個復(fù)留數(shù)

1(或

2)，而另一個復(fù)留數(shù)

2(或

1)，自然也知道了。2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7例題1

求F(s)的拉氏反變換，已知解由留數(shù)的計(jì)算公式，得2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7因此查拉氏變換表，得2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7解：分母多項(xiàng)式可以因子分解為進(jìn)行因子分解后，可對F(s)展開成部分分式例題2

求L-1[F(s)]，已知2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7由留數(shù)的計(jì)算公式，得由于

2與

1共軛，故2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7所以2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7查拉氏變換表，得2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7

(2)分母B(s)有重根若有三重根，并為p1，則F(s)的一般表達(dá)式為式中系數(shù)

2,

3,…,

n仍按照上述無重根的方法(留數(shù)計(jì)算公式)，而重根的系數(shù)

11,

12,

13可按以下方法求得。2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換72.2.5拉普拉斯反變換依此類推，當(dāng)p1為k重根時，其系數(shù)為：2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7例題3

已知F(s)，求L-1[F(s)]。解p1=

-1，p1有三重根。2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7由上述公式2.2.5拉普拉斯反變換2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7查拉氏變換表，有2.2.5拉普拉斯反變換因此，得：2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7利用拉氏變換解微分方程的步驟：

(1)對給定的微分方程等式兩端取拉氏變換，變微分方程為s

變量的代數(shù)方程。(2)對以s

為變換的代數(shù)方程加以整理，得到微分方程求解的變量的拉氏表達(dá)式。對這個變量求拉氏反變換，即得在時域中（以時間t為參變量）微分方程的解。采用拉氏反變換的方法，可以求得線性定常微分方程的全解(補(bǔ)解和特解)。求解微分方程，可以采用數(shù)學(xué)分析方法(經(jīng)典方法)，也可以采用拉氏變換方法。采用拉氏變換法求解微分方程是帶初值進(jìn)行運(yùn)算的，許多情況下應(yīng)用更為方便。2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7例題

解方程利用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程其中：解：將方程兩邊取拉氏變換，得將代入，并整理，得所以2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7%函數(shù)f(t)f=-1.25+3.5*t*exp(-2*t)+1.25*exp(-2*t);%定義符號symsts%利用laplace函數(shù)求拉氏變換F=laplace(f,t,s)%整理結(jié)果顯示方式simplify(F)pretty(ans)用MATLAB計(jì)算拉氏變換利用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換7%函數(shù)f(t)F=(s-5)/(s*(s+2)^2);%定義符號symsts%反求拉氏變換ilaplace(F)%整理結(jié)果顯示方式pretty(ans)用MATLAB計(jì)算拉氏變換利用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程2.2.5拉普拉斯反變換2.2

拉普拉斯變換2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換拉普拉斯反變換72.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換頻率特性8將線性系統(tǒng)某輸出量拉氏變換象函數(shù)對某輸入量拉氏變換象函數(shù)的比值定義為該輸出量對該輸入量的傳遞函數(shù)，即

2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)三、數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換頻率特性8用因式Cω-jDω乘以分子和分母，得

實(shí)頻特性

虛頻特性

數(shù)學(xué)工具——矩陣的特征值和特征向量042.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)四、數(shù)學(xué)工具——矩陣的特征值和特征向量

移項(xiàng)可得

存在非零解的充分必要條件是

2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)四、數(shù)學(xué)工具——矩陣的特征值和特征向量

例題

2.2

拉普拉斯變換2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)四、數(shù)學(xué)工具——矩陣的特征值和特征向量

講解完畢感謝聆聽2024單自由度振動系統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容引言01單自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模02單自由度振動系統(tǒng)求解03單自由度系統(tǒng)自由振動特性0405單自由度系統(tǒng)受迫振動特性引言01一、引言振動系統(tǒng)的自由度數(shù)是指在振動過程中能完全確定系統(tǒng)在空間的幾何位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。只需一個獨(dú)立坐標(biāo)就可完全確定其幾何位置的系統(tǒng)，稱為單自由度系統(tǒng)。單自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模02二、單自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模0mx靜平衡位置彈簧原長位置c

系統(tǒng)動能

彈性勢能

重力勢能二、單自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模

總勢能

靜平衡關(guān)系系統(tǒng)耗散功

二、單自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模

拉格朗日方程

二、單自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模

廣義力為

得到一般單自由度振動系統(tǒng)運(yùn)動微分方程的通式

二、單自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模例試求圖示系統(tǒng)的勢能，x為質(zhì)量塊偏離平衡位置的絕對位移，以系統(tǒng)靜平衡位置為勢能零點(diǎn)。

彈性勢能重力勢能總勢能靜平衡關(guān)系二、單自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模

需要注意的是，上述系統(tǒng)勢能計(jì)算方法僅適用于不存在基礎(chǔ)支承運(yùn)動的系統(tǒng)或者存在基礎(chǔ)支承運(yùn)動的系統(tǒng)中不直接受基礎(chǔ)支承運(yùn)動影響的質(zhì)量塊與彈簧。二、單自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模動能勢能零勢能位置1lmak/2k/2例求系統(tǒng)做小角度微幅振動的運(yùn)動微分方程

動能：勢能：k1k2m1m2l1l2l3x二、單自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模例求系統(tǒng)做微幅振動的運(yùn)動微分方程杠桿是不計(jì)質(zhì)量的剛體

復(fù)擺剛體質(zhì)量m對懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量重心C

求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率a0C二、單自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模例解：固有頻率：實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一個方法若已測出物體的固有頻率，則可求出，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量：a0C二、單自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模

動能勢能

m二、單自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模例

二、單自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模

靜平衡狀態(tài)

動能勢能二、單自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模

動能勢能單自由度振動系統(tǒng)求解03三、單自由度振動系統(tǒng)求解

三、單自由度振動系統(tǒng)求解

拉普拉斯變換

三、單自由度振動系統(tǒng)求解

（1）

杜哈美（Duhamel）積分三、單自由度振動系統(tǒng)求解

總響應(yīng)

三、單自由度振動系統(tǒng)求解

（2）

三、單自由度振動系統(tǒng)求解

總響應(yīng)

三、單自由度振動系統(tǒng)求解系統(tǒng)總響應(yīng)包括了系統(tǒng)的瞬態(tài)振動及穩(wěn)態(tài)振動。由于阻尼的影響，系統(tǒng)振動的振幅將隨時間延續(xù)逐漸減小，不久后便會消失，稱為瞬態(tài)振動或瞬態(tài)響應(yīng)。由于激勵持續(xù)作用而產(chǎn)生一種持續(xù)的等幅振動，稱為穩(wěn)態(tài)振動或穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)在剛受到外界激勵時，其振動響應(yīng)是上述瞬態(tài)振動和穩(wěn)態(tài)振動之和。在經(jīng)過充分長的時間間隔后，瞬態(tài)振動趨于零，這一階段被稱為瞬態(tài)階段，以后則進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段，系統(tǒng)只有穩(wěn)態(tài)振動。因此，在分析系統(tǒng)的受迫振動響應(yīng)時，通常關(guān)注的是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。三、單自由度振動系統(tǒng)求解

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)三、單自由度振動系統(tǒng)求解

三、單自由度振動系統(tǒng)求解

三、單自由度振動系統(tǒng)求解例一個受簡諧激勵的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)

運(yùn)動微分方程為

解三、單自由度振動系統(tǒng)求解

對于響應(yīng)的前兩項(xiàng)，其為初始條件引起的自由振動響應(yīng)；第三項(xiàng)與第四項(xiàng)表示受激勵情況下，系統(tǒng)自由伴隨振動以及受迫振動響應(yīng)，其與系統(tǒng)的固有頻率有關(guān)。因此，系統(tǒng)的振動響應(yīng)是由自由振動響應(yīng)，自由伴隨振動響應(yīng)以及受迫振動響應(yīng)疊加而成。三、單自由度振動系統(tǒng)求解

三、單自由度振動系統(tǒng)求解例

解

三、單自由度振動系統(tǒng)求解

三、單自由度振動系統(tǒng)求解

三、單自由度振動系統(tǒng)求解

將方波激勵展開為傅里葉級數(shù)

三、單自由度振動系統(tǒng)求解求得各個微分方程的解并加和，即可得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。接下來，求解傅里葉級數(shù)中的相關(guān)系數(shù)。

三、單自由度振動系統(tǒng)求解對于任意周期載荷激勵，都可將其先展開成傅里葉級數(shù)，從而根據(jù)疊加原理將問題轉(zhuǎn)化為對若干個單自由度運(yùn)動微分方程求解，然后，將所得到的解進(jìn)行疊加，進(jìn)而得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。三、單自由度振動系統(tǒng)求解

此時運(yùn)動微分方程可表示為

三、單自由度振動系統(tǒng)求解

三、單自由度振動系統(tǒng)求解

該方程的解為

提升機(jī)系統(tǒng)重物重量鋼絲繩的彈簧剛度重物以的速度均勻下降求：繩的上端突然被卡住時，（1）重物的振動頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力Wv三、單自由度振動系統(tǒng)求解例解：振動頻率重物勻速下降時處于靜平衡位置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡住瞬時重物所在位置則t=0時，有：振動解：W靜平衡位置kxWv三、單自由度振動系統(tǒng)求解振動解：繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起的動張力之和：動張力幾乎是靜張力的一半由于為了減少振動引起的動張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度Wv三、單自由度振動系統(tǒng)求解單自由度系統(tǒng)自由振動特性04四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性

無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)

無阻尼自由振動系統(tǒng)固有的數(shù)值特征，與系統(tǒng)是否正在振動著以及如何進(jìn)行振動的方式都毫無關(guān)系不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，與系統(tǒng)過去所受到過的激勵和考察開始時刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性無阻尼自由振動無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止初始條件的說明：初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性勢能，有初始速度即轉(zhuǎn)入了動能四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性無阻尼自由振動初始條件：固有頻率從左到右：時間位置四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性無阻尼自由振動固有頻率計(jì)算的另一種方式：在靜平衡位置：則有：對于不易得到m和k

的系統(tǒng)，若能測出靜變形，則用該式計(jì)算是較為方便的0mx靜平衡位置彈簧原長位置四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性無阻尼自由振動－最常用的一種阻尼力學(xué)模型是粘性阻尼例如：在流體中低速運(yùn)動或沿潤滑表面滑動的物體，通常就認(rèn)為受到粘性阻尼－實(shí)際系統(tǒng)的機(jī)械能不可能守恒，存在各種各樣的阻力－振動中將阻力稱為阻尼：摩擦阻尼，電磁阻尼，介質(zhì)阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼－盡管已經(jīng)提出了許多數(shù)學(xué)上描述阻尼的方法，但是實(shí)際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動固有頻率相對阻尼系數(shù)四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動

阻尼固有頻率有阻尼的自由振動頻率有阻尼系統(tǒng)響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)自由振動響應(yīng)

三種情況：欠阻尼過阻尼臨界阻尼四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動

（1）欠阻尼振動解：阻尼固有頻率阻尼自由振動周期：T0：無阻尼自由振動的周期阻尼自由振動的周期大于無阻尼自由振動的周期四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動欠阻尼響應(yīng)圖形振動解：欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動ξ=0ξ<1時間位置四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動欠阻尼響應(yīng)圖形振動解：欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動不同阻尼，振動衰減的快慢不同不同阻尼大小的振動衰減情況阻尼大，則振動衰減快阻尼小，則衰減慢四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動評價(jià)阻尼對振幅衰減快慢的影響與t

無關(guān)，任意兩個相鄰振幅之比均為衰減振動的頻率為，振幅衰減的快慢取決于，這兩個重要的特征反映在特征方程的特征根的實(shí)部和虛部減幅系數(shù)定義為相鄰兩個振幅的比值：四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動減幅系數(shù)：含有指數(shù)項(xiàng)，不便于工程應(yīng)用實(shí)際中常采用對數(shù)衰減率：四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動實(shí)驗(yàn)求解利用相隔

j

個周期的兩個峰值進(jìn)行求解得：當(dāng)較小時（）四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動

（2）過阻尼振動解：

四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動過阻尼

過阻尼振動解：一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生響應(yīng)圖形四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動（3）臨界阻尼四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動

響應(yīng)：自由振動解：

也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動，但比過阻尼衰減快些臨界阻尼系數(shù)響應(yīng)圖形tx(t)臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動，但比過阻尼衰減快些三種阻尼情況比較：欠阻尼過阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動小結(jié)：動力學(xué)方程欠阻尼過阻尼臨界阻尼按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動，比過阻尼衰減快振幅衰減振動四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動例：阻尼緩沖器靜載荷P去除后質(zhì)量塊越過平衡位置的位移為初始位移的10％求：緩沖器的相對阻尼系數(shù)kcx0x0Pm平衡位置四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動解：由題知設(shè)求導(dǎo)：設(shè)在時刻t1

質(zhì)量越過平衡位置到達(dá)最大位移，這時速度為：即經(jīng)過半個周期后出現(xiàn)第一個振幅x1kcx0x0Pm平衡位置四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動由題知解得：四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動例：剛桿質(zhì)量不計(jì)求：（1）寫出運(yùn)動微分方程（2）臨界阻尼系數(shù)，阻尼固有頻率小球質(zhì)量mlakcmb四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動解：廣義坐標(biāo)lakcmb四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動

動能勢能

耗散功

運(yùn)動微分方程阻尼固有頻率：無阻尼固有頻率：lakcmb四、單自由度系統(tǒng)自由振動特性有阻尼自由振動

單自由度系統(tǒng)受迫振動特性05五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解可寫為

五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動

五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動

稱為動力放大系數(shù)，是評估機(jī)械系統(tǒng)動態(tài)工作環(huán)境的重要指標(biāo)之一。為了分析系統(tǒng)的特性，以頻率比為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)、以阻尼比ζ為參數(shù)畫出一組曲線，稱為幅頻響應(yīng)曲線。

可見：①.<<1時，即激振力頻率0遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率，無論阻尼的大小如何，動力放大系數(shù)，振幅近似等于F0作用下的靜位移，該區(qū)域振幅B

主要由彈簧常數(shù)k控制，故稱為“彈簧控制區(qū)”。②.>>1時，即0

遠(yuǎn)大于時，無論阻尼大小如何，，此時

圖2-28五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動當(dāng)0接近時

說明共振時，如無阻尼，振幅將隨時間無限的增大，拍的周期稱為無窮大，如圖2-33。圖2-33五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性簡諧激勵引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性偏心質(zhì)量引起的受迫振動

系統(tǒng)在豎直方向上的運(yùn)動微分方程為

五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性偏心質(zhì)量引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性偏心質(zhì)量引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性偏心質(zhì)量引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性支承運(yùn)動引起的受迫振動

系統(tǒng)振動在不少情況下是由支承運(yùn)動引起的。如：地面的振動會引起它上面機(jī)器的振動；汽車駛過不平的路面產(chǎn)生的振動。五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性支承運(yùn)動引起的受迫振動五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性支承運(yùn)動引起的受迫振動

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅放大因子

五、單自由度系統(tǒng)受迫振動特性支承運(yùn)動引起的受迫振動講解完畢感謝聆聽2024離散多體動力學(xué)教學(xué)內(nèi)容引言01無阻尼多自由度系統(tǒng)振動03多自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模02有阻尼多自由度系統(tǒng)振動04引言01一、引言?大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)是連續(xù)的，連續(xù)系統(tǒng)具有無限個自由度，常表達(dá)為偏微分方程，很難解，需要離散化！?在做一些振動控制和分析時，可用離散化的多自由度系統(tǒng)近似表示連續(xù)體系統(tǒng)，能夠快速定位系統(tǒng)的動力學(xué)內(nèi)涵。與單自由度系統(tǒng)相比，多自由度振動系統(tǒng)帶來的一些變化有：(1)系統(tǒng)的固有頻率不是一個，而是多個；(2)引入了固有振型的概念；固有振型關(guān)于質(zhì)量和剛度矩陣的加權(quán)正交性是線性振動理論的精髓；(3)在研究方法上大量使用線性代數(shù)和矩陣?yán)碚摲矫娴闹R；一、引言多自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模02二、多自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模1系統(tǒng)的動能、勢能與耗散功對于n自由度系統(tǒng)廣義坐標(biāo)

：廣義坐標(biāo)速度

：系統(tǒng)總動能

：

二、多自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模1系統(tǒng)的動能、勢能與耗散功系統(tǒng)總勢能：

系統(tǒng)總耗散功：

二、多自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模2運(yùn)動微分方程推導(dǎo)用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動微分方程

二、多自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模2運(yùn)動微分方程推導(dǎo)

所以

二、多自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模2運(yùn)動微分方程推導(dǎo)

所以

二、多自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模2運(yùn)動微分方程推導(dǎo)

所以

二、多自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模2運(yùn)動微分方程推導(dǎo)綜合上述各式，可得多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為

二、多自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模3運(yùn)動微分方程矩陣表達(dá)矩陣表達(dá)式

二、多自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模二、多自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模二、多自由度振動系統(tǒng)動力學(xué)建模練習(xí)推導(dǎo)圖示多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。無阻尼多自由度系統(tǒng)振動03三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動1特征值問題實(shí)際工程問題中的阻尼形式較為復(fù)雜，先考慮無阻尼多自由度系統(tǒng)

其齊次方程通解形式：代入齊次方程：

特征方程：

特征值：

固有頻率：

三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動1特征值問題

要研究特征值問題的意義：（1）了解多自由度系統(tǒng)的主要振動“形態(tài)”（模態(tài)）

（2）用這些“形態(tài)”的組合來表示多自由度系統(tǒng)的振動響應(yīng)

三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動2特征值問題的解

剛度動力矩陣柔度動力矩陣三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動2特征值問題的解特征值和特征向量

n個特征值

2特征值問題的解三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動2特征值問題的解三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動2特征值問題的解三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動2特征值問題的解三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動2特征值問題的解三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動2特征值問題的解三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動2特征值問題的解三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動3主振型的正交性三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動3主振型的正交性三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動3主振型的正交性三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動3主振型的正交性三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動4展開定理三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動4展開定理三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動

4展開定理三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動4展開定理三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動4展開定理三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動5模態(tài)疊加法三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動5模態(tài)疊加法三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動

5模態(tài)疊加法三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動

5模態(tài)疊加法三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動

5模態(tài)疊加法三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動

其中

或

得到全響應(yīng)解5模態(tài)疊加法三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動如果將振型矩陣作正則化處理，則

5模態(tài)疊加法三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動綜上所述，利用模態(tài)疊加法計(jì)算無阻尼多自由度系統(tǒng)振動的步驟如下：

三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動5模態(tài)疊加法三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動5模態(tài)疊加法

三、無阻尼多自由度系統(tǒng)振動5模態(tài)疊加法

有阻尼多自由度系統(tǒng)振動04四、有阻尼多自由度系統(tǒng)振動

四、有阻尼多自由度系統(tǒng)振動1簡化阻尼將阻尼矩陣簡化為質(zhì)量矩陣與剛度矩陣線性組合

四、有阻尼多自由度系統(tǒng)振動1簡化阻尼四、有阻尼多自由度系統(tǒng)振動2一般性阻尼四、有阻尼多自由度系統(tǒng)振動2一般性阻尼四、有阻尼多自由度系統(tǒng)振動2一般性阻尼四、有阻尼多自由度系統(tǒng)振動2一般性阻尼四、有阻尼多自由度系統(tǒng)振動2一般性阻尼四、有阻尼多自由度系統(tǒng)振動四、有阻尼多自由度系統(tǒng)振動四、有阻尼多自由度系統(tǒng)振動四、有阻尼多自由度系統(tǒng)振動四、有阻尼多自由度系統(tǒng)振動本章習(xí)題習(xí)題1

本章習(xí)題習(xí)題2為了隔離機(jī)器產(chǎn)生的振動，將機(jī)器安裝在一大的基座上，基座由彈簧支承，如下圖所示。試求機(jī)器和基座在圖示平面內(nèi)的運(yùn)動方程。本章習(xí)題習(xí)題3應(yīng)用拉格朗日方程推導(dǎo)圖示系統(tǒng)的動力學(xué)方程。本章習(xí)題習(xí)題4

講解完畢感謝聆聽2024連續(xù)體振動——弦、桿、軸振動力學(xué)與控制基礎(chǔ)0.引言連續(xù)體振動方程推導(dǎo)連續(xù)體振動初始條件與邊界條件的確定連續(xù)體振動求解與分析基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的波動方程統(tǒng)一解法總結(jié)目錄0引言連續(xù)系統(tǒng)：具有分布質(zhì)量和分布彈性的系統(tǒng)，即結(jié)構(gòu)的慣性、彈性以及阻尼都是連續(xù)分布的。如如弦、桿、軸、梁、板等。連續(xù)系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)可用時間和坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來描述：

基本假設(shè)如下：1.線彈性，本構(gòu)滿足線性關(guān)系2.小變形3.材料是均勻連續(xù)的，且各向同性0引言拉伸產(chǎn)生縱向振動扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動拉伸產(chǎn)生橫向振動1連續(xù)體振動方程推導(dǎo)--弦的橫向振動方程

該弦微段的平衡方程為對微幅振動，有弦微段的受力

若不考慮橫向力，則弦自由振動微分方程表示為

波動方程

1連續(xù)體振動方程推導(dǎo)--桿的縱向振動方程基本假設(shè)如下：（1）

只考慮桿的縱向振動，即桿只有縱向變形（2）

垂直于桿軸線的任一橫截面在振動時仍保持平面且和原截面保持平行（3）

每個橫截面內(nèi)的各點(diǎn)只沿桿軸線方向運(yùn)動

桿微段的平衡方程為

1連續(xù)體振動方程推導(dǎo)--桿的縱向振動方程根據(jù)材料力學(xué)，有

代入桿微段的平衡方程后，且考慮均勻的等截面直桿，即桿的彈性模量以及橫截面積均為常數(shù)，可得

若不考慮軸向外力，則桿自由振動微分方程表示為

波動方程

1連續(xù)體振動方程推導(dǎo)--軸的扭轉(zhuǎn)振動方程基本假設(shè)如下：（1）理想彈性體；（2）

軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)振動過程中仍保持平面，即忽略扭轉(zhuǎn)振動時截面的翹曲

根據(jù)動量矩定理，軸微段的平衡方程為

1連續(xù)體振動方程推導(dǎo)--軸的扭轉(zhuǎn)振動方程根據(jù)材料力學(xué)，有

代入軸微段的平衡方程后，且考慮均勻的圓軸，即軸的密度，剪切模量以及橫截面積均為常數(shù)，可得

若不考慮外扭矩，則軸的自由振動微分方程表示為

波動方程

1連續(xù)體振動方程推導(dǎo)--總結(jié)弦的橫向振動

桿的縱向振動軸的扭轉(zhuǎn)振動

自由振動

波動方程

2

連續(xù)體振動初始條件與邊界條件的確定基本定義：

利用該方法只需對靠近邊界區(qū)域薄切一刀，進(jìn)而對這兩個位置的微元進(jìn)行受力分析，即可得到相應(yīng)邊界滿足的等式關(guān)系。切刀法可以很好地解決系統(tǒng)不同邊界處存在質(zhì)量塊、彈性約束的邊值問題。邊界條件確定方法--切刀法2

連續(xù)體振動初始條件與邊界條件的確定--弦(1)初始條件

(2)邊界條件

a.兩端固定

b.兩端銷釘連接

弦兩端端點(diǎn)不能承受橫向力，即

2

連續(xù)體振動初始條件與邊界條件的確定--弦弦邊界處，應(yīng)變始終為零，即c.兩端自由

d.彈性連接若彈性連接在弦右側(cè)，采用切刀法，在弦右側(cè)邊界薄切一刀，此時對微元受力分析，可知

若彈性連接在弦左側(cè)，邊界條件可表示為

2

連續(xù)體振動初始條件與邊界條件的確定--桿(1)初始條件

(2)邊界條件

a.兩端固定

b.兩端自由桿邊界處，應(yīng)變始終為零，即

2

連續(xù)體振動初始條件與邊界條件的確定--桿c.彈性連接若彈性連接在桿右側(cè)，采用切刀法，在桿右側(cè)邊界薄切一刀，此時對微元受力分析，可知若彈性連接在桿左側(cè)，邊界條件可表示為

2

連續(xù)體振動初始條件與邊界條件的確定--桿d.慣性載荷若慣性載荷在桿右側(cè)，采用切刀法，在桿右側(cè)邊界薄切一刀，此時對微元受力分析，可知若彈性連接在桿左側(cè)，邊界條件可表示為

2

連續(xù)體振動初始條件與邊界條件的確定--軸(1)初始條件

(2)邊界條件

a.兩端固定

b.兩端自由軸邊界處，剪應(yīng)變始終為零，即

2

連續(xù)體振動初始條件與邊界條件的確定--軸c.彈性連接若彈性連接在軸右側(cè)，采用切刀法，在軸右側(cè)邊界薄切一刀，此時對微元受力分析，可知若彈性連接在軸左側(cè)，邊界條件可表示為

2

連續(xù)體振動初始條件與邊界條件的確定--軸d.慣性載荷若慣性載荷在軸右側(cè)，采用切刀法，在軸右側(cè)邊界薄切一刀，此時對微元受力分析，可知若彈性連接在軸左側(cè)，邊界條件可表示為

3

連續(xù)體振動求解與分析弦、桿、軸振動微分方程統(tǒng)一為

求解

通解特解自由振動受迫振動3

連續(xù)體振動求解與分析（1）自由振動

采用分離變量法，假設(shè)方程的解為

，化簡可得

寫作兩個常微分方程形式，有

解得

3

連續(xù)體振動求解與分析a.兩端固支

3

連續(xù)體振動求解與分析前3階振型為

3

連續(xù)體振動求解與分析

由三角函數(shù)正交性，可得

3

連續(xù)體振動求解與分析b.兩端自由

3

連續(xù)體振動求解與分析

由三角函數(shù)正交性，可得

3

連續(xù)體振動求解與分析c.一端固定一端自由

3

連續(xù)體振動求解與分析

由三角函數(shù)正交性，可得

3

連續(xù)體振動求解與分析主振型的正交性

正交性

作差3

連續(xù)體振動求解與分析作差可得

由于不同階數(shù)下系統(tǒng)模態(tài)頻率是互異的，故正交性得證。

3

連續(xù)體振動求解與分析（2）受迫振動采用分離變量法，假設(shè)方程的解為

，根據(jù)模態(tài)疊加法，連續(xù)體系統(tǒng)的受迫振動表示為

代入微分方程，可得

3

連續(xù)體振動求解與分析根據(jù)杜哈梅積分，可得微分方程的解為

通解特解故，連續(xù)體受迫振動的解為

3

連續(xù)體振動求解與分析

故，弦的運(yùn)動形式為3

連續(xù)體振動求解與分析

得到頻率方程

3

連續(xù)體振動求解與分析圖解法

分解

3

連續(xù)體振動求解與分析特殊情況

這一結(jié)果與單自由度系統(tǒng)的結(jié)果相同，說明在計(jì)算基頻時，如果桿本身質(zhì)量比懸掛的質(zhì)量小得多時，可以略去桿的質(zhì)量，此時桿扮演了彈簧。3

連續(xù)體振動求解與分析特殊情況

3

連續(xù)體振動求解與分析

由此，桿的頻率方程為

桿的固有圓頻率解得

3

連續(xù)體振動求解與分析

代入

3

連續(xù)體振動求解與分析

3

連續(xù)體振動求解與分析特殊情況

3

連續(xù)體振動求解與分析

由此，軸的頻率方程為

軸的固有圓頻率解得

3

連續(xù)體振動求解與分析

代入

3

連續(xù)體振動求解與分析

由此，桿的頻率方程為

桿的固有圓頻率解得

根據(jù)杜哈梅積分的解

3

連續(xù)體振動求解與分析

其中，

桿的振動響應(yīng)為4

基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的波動方程統(tǒng)一解法弦、桿、軸自由振動微分方程統(tǒng)一為波動方程

傳統(tǒng)求解方法：分離變量構(gòu)造試探解

對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，試探解往往很難構(gòu)造，且構(gòu)造精度較低。為避免試探解的構(gòu)造過程，以求解波動方程為例，結(jié)合深度學(xué)習(xí)的知識，介紹基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Physics-InformedNeuralNetwork，PINN）的求解方法。4

基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的波動方程統(tǒng)一解法什么是PINN？PINN其主要包含兩個信息，即物理信息“PI”和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)“NN”，體現(xiàn)了可認(rèn)知和可測量2個方面?？烧J(rèn)知表現(xiàn)為方程的物理信息提供了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要逼近的目標(biāo)，從而為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提供了可解釋性；可測量則是指對物理信息的數(shù)值化測度，即通過模擬、計(jì)算和實(shí)驗(yàn)等方式獲得體現(xiàn)方程物理信息的數(shù)據(jù)，最終以數(shù)據(jù)驅(qū)動方式訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)從“NN”向“PI”的逼近。PI與NN對于一個PDE的關(guān)系如圖。4

基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的波動方程統(tǒng)一解法PINN對于一個PDE的求解流程如下：（1）確定訓(xùn)練數(shù)據(jù)集:給出PDE初邊值問題的形式，采用隨機(jī)抽樣方法和超立方拉丁抽樣方法隨機(jī)確定初始數(shù)據(jù)、邊值數(shù)據(jù)和內(nèi)部配置采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)所對應(yīng)的訓(xùn)練樣本數(shù)目；（2）構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：定義D層全連接前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。每一層隱藏層都采用非線性激活函數(shù)，如Sigmoid激活函數(shù)、tanh激活函數(shù)、ReLU激活函數(shù)、LeakyReLU激活函數(shù)等，它們構(gòu)成了所需要訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)；（3）構(gòu)建損失函數(shù)：根據(jù)所考慮的問題構(gòu)建相應(yīng)的損失函數(shù)來度量預(yù)測值和實(shí)際值之間的差異。對于參數(shù)發(fā)現(xiàn)這類反問題，只需要將PDE中所有的參數(shù)作為與網(wǎng)絡(luò)參數(shù)類似的可學(xué)習(xí)參數(shù)，從而利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)求解PDE中的未知參數(shù)。常見的損失函數(shù)有均方誤差、平均絕對誤差、HuberLoss/SmoothL1Loss、Log-CoshLoss等；（4）訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：通過優(yōu)化損失函數(shù)來訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以最小化誤差；（5）得到PDE解4

基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的波動方