Page162023年高一自主招生考試數(shù)學(xué)試卷（滿分：150分）一?選擇題（本大題共7小題，每小題6分，共42分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，把正確的選項(xiàng)填在答題卡答題欄中）1.將4046減去它的，再減去余下的，再減去余下的，再減去余下的，依次類推，直至最后減去余下的，則最后余下的數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】由已知，4046減去它，余下，再減去余下的，余下的數(shù)為，以此類推，直至最后減去余下的，最后計(jì)算出結(jié)果.【詳解】令，則第一次余下的數(shù)為，第二次余下的數(shù)為，第三次余下的數(shù)，依次類推，最后余下的數(shù)為.故選：C.2.若正實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)不等式為，得到，即可求解.【詳解】由不等式組，因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，于是，所以，所以.故選：B.3.若實(shí)數(shù)滿足等式，則（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】移項(xiàng)化簡(jiǎn)得，根據(jù)非負(fù)性求解即可.【詳解】由條件知，根據(jù)非負(fù)性可知，所以，故選：A.4.在中，，點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，連，則長(zhǎng)的最大值是（）.A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連，畫出圖形后找到的軌跡即點(diǎn)在以為直徑的圓上（與在直線同側(cè)），再利用圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離最大值求出即可.【詳解】要使長(zhǎng)取到最大，則點(diǎn)與點(diǎn)位于直線兩側(cè).延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連，則，于是點(diǎn)在以為直徑的圓上（與在直線同側(cè)），設(shè)圓心為，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，長(zhǎng)取到最大，最大值為，故選：B5.已知三個(gè)實(shí)數(shù)，它們中的任何一個(gè)數(shù)加上其余兩數(shù)積的6倍總等于7，則這樣的三元數(shù)組共有（）組.A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由題意，列方程組，解方程組即可.【詳解】由條件知，①-②得，，所以或，當(dāng)時(shí)，代入③得，又代入①得，消去得，解得，或，于是，或.當(dāng)時(shí)，，解得或，于是或.綜上，共有5組.故選：C6.如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，以為底邊在其右側(cè)作等腰，使，連，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意，得為等腰三角形，得，根據(jù)相似得.【詳解】由條件知，所以，所以，又公共，所以，所以也是等腰三角形，于是發(fā)現(xiàn)，所以，于是，故選：D.7.四邊形中，是其兩對(duì)角線，是等邊三角形，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用補(bǔ)形法，把同一頂點(diǎn)引出的三條邊轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，由勾股定理可得直角三角形，即可得到答案.【詳解】以為邊在四邊形外作等邊，連，則由邊角邊全等定理證明，所以，又，于是，所以，故選：A.二?填空題（本大題共7小題，每小題7分，共49分）8.已知19個(gè)連續(xù)整數(shù)的和為380，則緊接在這19個(gè)數(shù)后面的21個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是__________.【答案】1050【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】設(shè)19個(gè)連續(xù)整數(shù)中最小的整數(shù)是，則最大的整數(shù)是，于是根據(jù)題意可知，解得，所以緊接在這19個(gè)數(shù)后面的21個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別為，于是這21個(gè)數(shù)的和是.故答案為：1050.9.已知，則__________.【答案】42【解析】【分析】利用一元二次求根公式得到滿足的方程，進(jìn)而對(duì)題目要求的式子進(jìn)行拼湊與滿足的方程相近的式子，進(jìn)而求解出答案.【詳解】由條件得，又.故答案為：.10.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知因式，適當(dāng)陪湊，提出公因式，即可分解.【詳解】.故答案為：.11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，連，若線段分別交曲線于點(diǎn)（異于點(diǎn)），若，則的值為__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，先根據(jù)已知條件求出，由此確定，再結(jié)合已知條件確定，由此確定，構(gòu)成方程解出，進(jìn)而求出即可.【詳解】由條件知，所以，設(shè)，則，，又，，所以，，所以，又因?yàn)?，，所以，，，于是，點(diǎn)在曲線上，所以，因此，解得或，因?yàn)辄c(diǎn)異于點(diǎn)，所以（舍），所以，于是.故答案為：12.把兩個(gè)半徑為8和一個(gè)半徑為9的圓形紙片放在桌面上，使它們兩兩相外切，若要用一個(gè)圓形紙片把這三個(gè)圓形紙片完全蓋住，則這個(gè)大圓形紙片的最小半徑等于__________.【答案】18【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合，可知大圓O的圓心一定在三個(gè)圓心的等腰三角形底邊高線上，各邊線段容易由兩圓相外切可得長(zhǎng)度，從而利用勾股定理可以解得半徑.【詳解】如圖，若圓B和圓C半徑為8，圓A的半徑為9，則三角形是等腰三角形，要使大圓O的紙片的半徑最小，只需這個(gè)大圓O的紙片與三個(gè)小圓形紙片均內(nèi)切，由圖可知圓心O在高線上，則設(shè)圓O的最小半徑大小為，由圖形可知：，，再利用勾股定理得：，解得.故答案為：13.在菱形中，，點(diǎn)分別在邊上，將沿著對(duì)折，使點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)，若，則的面積等于__________.【答案】【解析】【分析】因?yàn)檎郫B性質(zhì)，過(guò)F點(diǎn)作FP垂直于BD交BD于點(diǎn)P，設(shè)，由等量關(guān)系即可表示出FP、PG、GF的長(zhǎng)度，可由勾股定理求出BP的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到的面積.【詳解】作于點(diǎn)，設(shè)，則，在Rt中，，即，解得，所以，作于點(diǎn)，設(shè)，則，在Rt中，，即，解得，所以，所以的面積等于.故答案：.14.對(duì)于任意不為0的實(shí)數(shù)定義一種新運(yùn)算“#”：①；②，則關(guān)于的方程的根為__________.【答案】4或【解析】【分析】根據(jù)新定義，依題意令，得，令，得，得到方程，求解即可.【詳解】令，因，由得，令，由得，于是，所以，因此方程可化為，解方程得兩根分別為4或.故答案為：4或.三?解答題（本大題共4小題，共59分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，演算或推演步驟）15.（1）解方程：；（2）求所有的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程的兩根均為整數(shù).【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）借助換元法令，結(jié)合因式分解可得，再分及討論即可得；（2）借助韋達(dá)定理及整數(shù)的性質(zhì)可得或，再分類計(jì)算即可得.【詳解】（1）原方程可化為，令，則原方程可化為，于是，整理得，所以，于是或，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，原方程的根為或；（2）不妨設(shè)兩根為，有，則根據(jù)韋達(dá)定理可知，于是，所以，因?yàn)檎麛?shù)，，于是也為整數(shù)，且，所以或，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，有，符合要求，當(dāng)時(shí)，有，符合要求，故實(shí)數(shù)的值為或.16.如圖，點(diǎn)是正方形的邊上一動(dòng)點(diǎn)（異于），連，以為對(duì)角線作正方形與交于點(diǎn)，連.（1）求證：三點(diǎn)共線；（2）若，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依題意，，得，，即可證明；（2）利用，得，得，，即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】證明：在正方形和正方形中，，所以，即，所以，所以，又，所以三點(diǎn)共線【小問(wèn)2詳解】因，設(shè)，則，因公共，所以，所以，于是即，解得，所以，于是.17.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且在軸上截得的線段長(zhǎng)為.（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)在拋物線上，且在其對(duì)稱軸右側(cè)，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，若是以為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將拋物線向左平行移動(dòng)3個(gè)單位得到拋物線，直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，若分別為線段和線段的中點(diǎn)，連，求證：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）（2）或（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意列方程組即可求出拋物線方程；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，可證得，得到，根據(jù)其坐標(biāo)得到，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo).（3）求出拋物線方程，聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得到點(diǎn)，同理得到點(diǎn)，由待定系數(shù)法可求出直線方程，從而命題得證.【小問(wèn)1詳解】由條件可知，又，解得，所以拋物線的解析式為.【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，設(shè)，則，，因，所以，又，所以，于是.所以，解得或（舍），或或（舍），所以點(diǎn)或.【小問(wèn)3詳解】將拋物線向左平行移動(dòng)3個(gè)單位得到拋物線，聯(lián)立得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，故點(diǎn)，聯(lián)立得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，故點(diǎn)，設(shè)，則，解得，所以，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，即直線過(guò)定點(diǎn).18.如圖，等邊內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)是等邊三角形（點(diǎn)在直線兩側(cè)），直線與直線交于點(diǎn).（1）判斷的大小是否為定值？若是定值，求出其大??；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）若，求線段長(zhǎng)的最小值.【答案】（1）是定值，（2）【解析】【分析】（1）先證明全等，再通過(guò)四點(diǎn)共圓即可；（2）根據(jù)