第一章數(shù)列§2等差數(shù)列2.1等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用素養(yǎng)目標(biāo)?定方向1．了解等差數(shù)列通項(xiàng)與一次函數(shù)的關(guān)系，理解公差d的幾何意義．2．掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用．3．掌握等差中項(xiàng)的概念及應(yīng)用．1．通過對(duì)等差中項(xiàng)概念及公差d的幾何意義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．必備知識(shí)?探新知等差數(shù)列的單調(diào)性與圖象

知識(shí)點(diǎn)

1(1)等差數(shù)列的圖象由an＝dn＋(a1－d)，可知其圖象是直線y＝dx＋(a1－d)上的一些_____________，其中_________是該直線的斜率.(2)從函數(shù)角度研究等差數(shù)列的性質(zhì)與圖象由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其圖象是直線y＝dx＋(a1－d)上的一些_____________，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)是正整數(shù)，其中公差d是該直線的_______，即自變量每增加1，函數(shù)值增加d.當(dāng)d>0時(shí)，{an}為___________；當(dāng)d<0時(shí)，{an}為___________；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}為_________.等間隔的點(diǎn)公差d等間隔的點(diǎn)斜率遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列[提醒]

等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，想一想：已知等差數(shù)列{an}的兩項(xiàng)am，an，如何用am，an表示公差d？并解釋公差d的幾何意義．練一練：1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(2)若{an}是等差數(shù)列，則an＝am＋(n－m)d.(

)(3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(

)2．在等差數(shù)列{an}中，a3＝5，a7＝1，則數(shù)列{an}的公差d＝_____.√√√－1等差數(shù)列的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)

2(1)等差中項(xiàng)如果在a與b之間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成___________，那么A叫作a與b的等差中項(xiàng)，A＝______.(2)如果{an}是等差數(shù)列，正整數(shù)m，n，p，q，t滿足m＋n＝p＋q＝2t，則有am＋an＝ap＋aq＝2at.[提醒]

在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)an(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)an－1與后一項(xiàng)an＋1的等差中項(xiàng)，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．等差數(shù)列練一練：1．若等差數(shù)列{an}的公差為d，則{3an＋2}是(

)A．公差為d的等差數(shù)列B．公差為2d的等差數(shù)列C．公差為3d的等差數(shù)列D．非等差數(shù)列[解析]

設(shè)bn＝3an＋2，則bn＋1－bn＝3an＋1＋2－3an－2＝3(an＋1－an)＝3d.C2．在等差數(shù)列{an}中，若a3＝2，a5＝7，則a7＝_______.[解析]

由等差數(shù)列的性質(zhì)得a7＋a3＝2a5，則a7＋2＝2×7，得a7＝12.12關(guān)鍵能力?攻重難題|型|探|究

若{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.[解析]

方法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，題型一等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣an＝am＋(n－m)d的應(yīng)用典例1方法二：∵{an}為等差數(shù)列，∴a15，a30，a45，a60，a75也為等差數(shù)列．設(shè)其公差為d，則a15為首項(xiàng)，a60為第4項(xiàng)，∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4.∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.方法三：∵a60＝a15＋(60－15)d，

等差數(shù)列{an}中，a2＝3，a8＝6，則a10＝_____.[解析]

方法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?7方法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，則a13＝(

)A．9 B．12C．15 D．18(2)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝_______；(3)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，則a2＋a8＝(

)A．150 B．160C．200 D．300題型二用性質(zhì)am＋an＝ap＋aq(m,n,p,q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解題典例2AD35[分析]

(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出2a9＝a5＋a13，然后將值代入即可求出結(jié)果．(2)方法一：求a5＋b5?各設(shè)出公差?利用通項(xiàng)公式；方法二：求a5＋b5?{an}，{bn}都是等差數(shù)列?{an＋bn}也構(gòu)成等差數(shù)列．(3)求a2＋a8的值?a3＋a7＝a4＋a6＝2a5?a5?a2＋a8＝2a5.[解析]

(1)∵{an}是等差數(shù)列，∴2a9＝a5＋a13，故a13＝2×6－3＝9.(2)方法一：設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，因?yàn)閍3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.方法二：因?yàn)閿?shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列．所以數(shù)列{an＋bn}也構(gòu)成等差數(shù)列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.(3)方法一：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，∴5a5＝750，∴a5＝150，∴a2＋a8＝2a5＝300.方法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，∴a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝750，∴a1＋4d＝150，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2(a1＋4d)＝300.[規(guī)律方法]

等差數(shù)列運(yùn)算的兩條常用思路(1)根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a1，d的方程(組)，確定a1，d，然后求其他量．(2)利用性質(zhì)巧解，觀察等差數(shù)列中的項(xiàng)的序號(hào)，若滿足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ar.特別提醒：遞增等差數(shù)列d>0，遞減等差數(shù)列d<0，解題時(shí)要注意數(shù)列的單調(diào)性對(duì)d取值的限制．

(1)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，則a3＋a6＋a9的值為(

)A．30 B．27C．24 D．21(2)已知等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10＝_______.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?A24[解析]

(1)(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)＝2(a2＋a5＋a8)，即58＋(a3＋a6＋a9)＝88，所以a3＋a6＋a9＝30.(2)方法一：∵a1＋3a8＋a15＝120，∴5a8＝120，∴a8＝24，∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝24.方法二：∵a1＋3a8＋a15＝120，∴a1＋3(a1＋7d)＋(a1＋14d)＝120，∴a1＋7d＝24，∴2a9－a10＝a1＋7d＝24.

成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)之積為40，求這四個(gè)數(shù)．[分析]已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，有多種設(shè)法，但如果四個(gè)數(shù)的和已知，常常設(shè)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更簡單．再通過聯(lián)立方程組求解．題型三等差數(shù)列中的對(duì)稱設(shè)項(xiàng)典例3[規(guī)律方法]

三個(gè)數(shù)或四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，設(shè)未知量的技巧如下：(1)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，可設(shè)中間一項(xiàng)為a，再用公差為d向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)為a－d，a＋d，再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，這樣可減少計(jì)算量．

(2023·龍巖高二檢測)設(shè)三個(gè)數(shù)成單調(diào)遞減的等差數(shù)列，三個(gè)數(shù)的和為12，三個(gè)數(shù)的積為48，求這三個(gè)數(shù)．[解析]

設(shè)這三個(gè)數(shù)為a＋d，a，a－d(d>0)，對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?易|錯(cuò)|警|示對(duì)等差數(shù)列的定義理解不透徹而致誤

已知數(shù)列{an}是無窮數(shù)列，則“2a2＝a1＋a3”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[錯(cuò)解]

C典例4B[誤區(qū)警示]

應(yīng)用定義法判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，必須要判定或證明an＋1－an或an－an－1(n≥2)等于一個(gè)常數(shù)，不能只對(duì)數(shù)列的部分項(xiàng)進(jìn)行說明，對(duì)部分項(xiàng)說明不能保證數(shù)列中的每一項(xiàng)都滿足等差的要求．[正解]

B課堂檢測?固雙基1．在等差數(shù)列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的兩個(gè)實(shí)根，則a5＋a8＝(

)A．3 B．5C．－3 D．－5[解析]

a5＋a8＝a3＋a10＝3.A2．在等差數(shù)列{an}中，a2＋a3＝4，a5＋a6＝8，則a4＝(

)C．3 D．2[解析]

因?yàn)?a2＋a3)＋(a5＋a6)＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)＝4a4＝12，所以a4＝3.C3．(多選)已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為28，中間兩項(xiàng)的積為40，則這四個(gè)數(shù)依次為(

)A．－2,4,10,16 B．16,10,4，－2C．2,5,8,11 D．11,8,5,2[解析]

設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，所以這四個(gè)數(shù)依次為－2,4,10,16或16,1