7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)習(xí)導(dǎo)入·

形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，規(guī)定i2=-1·

全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}

叫做復(fù)數(shù)集.·

z=a+bi

其中a

叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，

b叫做復(fù)數(shù)z的虛部.·

a+bi與c+di

相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c

且b=d.注：復(fù)數(shù)如果能比較大小，說明它是實(shí)數(shù)虛數(shù)集純虛數(shù)集復(fù)數(shù)集實(shí)數(shù)集思考1:

類比實(shí)數(shù)的表示，可以用什么來表示復(fù)數(shù)?析：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi

都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(a,b)唯一確定；反之也對.由此你能想到復(fù)數(shù)的幾何表示方法嗎?新知探究實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示.一一對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)(形)思考：在幾何上，我們用什么來表示實(shí)數(shù)?實(shí)數(shù)(

數(shù)

)這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，

x

軸叫做實(shí)軸，y

軸叫做虛軸。如圖，點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z=a+bi可用點(diǎn)Z(a,b)

表示.新知1

復(fù)平面yb

Z:a+biO

a

X虛軸復(fù)數(shù)z=a+bi

<一

一

對

應(yīng)

復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b).實(shí)軸實(shí)軸上的點(diǎn)(a,0)

→b=0實(shí)軸上的點(diǎn)都是實(shí)數(shù)個(gè)

實(shí)

軸

b0Z:a+bix虛軸思考2:實(shí)軸上的點(diǎn)對應(yīng)的都是什么數(shù)?新知探究復(fù)平面a虛軸上的點(diǎn)(0,b)當(dāng)b≠0

時(shí)虛軸上的點(diǎn)都是純虛數(shù)當(dāng)b=0

時(shí)，該點(diǎn)為(0,0)

此時(shí)對應(yīng)實(shí)數(shù)0復(fù)平面?zhèn)€y實(shí)

軸

b

Z:a+bi0

a

x虛軸新知探究思考3

:虛軸上的點(diǎn)對應(yīng)的都是什么數(shù)?示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，這樣就可以用平面向量來表示復(fù)數(shù)

.如圖所示,設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi,連接OZ,

顯然向量OZ

由點(diǎn)Z唯一確定；反過來，點(diǎn)

Z也可以由向量OZ唯一確定.新知2思考4

:能用平面向量表示復(fù)數(shù)嗎?在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對來表

我們常把復(fù)數(shù)z=a+bi

說成點(diǎn)Z

或說成向量OZ,并且規(guī)定，

相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù).新知探究

一一對應(yīng)復(fù)數(shù)z=a+bi-

復(fù)平面中的點(diǎn)Z(a,b)一一對應(yīng)平面向量OZ一一對應(yīng)新知3圖中向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi

的模或絕對值，記作|z|

或|a+bi

|.即|z|=|a+bi|=

√a2+b2,

其中a,b∈R.復(fù)數(shù)不可以比較大??；復(fù)數(shù)的模是個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，任意兩復(fù)數(shù)的?？梢员容^大小。例2:設(shè)復(fù)數(shù)Z?=4+3i,Z?=4-3i.(1)在復(fù)平面內(nèi)畫出復(fù)數(shù)z?,z?對應(yīng)的點(diǎn)和向量；(2)求復(fù)數(shù)Z?,z?

的模，并比較它們的模的大小.解：(1)當(dāng)如圖，復(fù)數(shù)Z?,Z?對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z?,Z?,

對應(yīng)的向量分別為OZ?,OZ?

.(2):|z?I=|4+3|=√42+32=5,|z?|=|4-3|=√42+(-3)2=5.所以|z?|=|z?|.新知探究思考5類比向量你能歸納出復(fù)數(shù)的模的幾何意義嗎?復(fù)數(shù)

z=a+bi(a,b∈R)

的模

z|表示復(fù)數(shù)在平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)

到原點(diǎn)的距離或復(fù)數(shù)所對應(yīng)向量的模Z

的集合是什么圖形?(1)|z|=1;

(2)1<|z|<2.解：(1)

|z|=1的點(diǎn)Z

的集合是以原點(diǎn)O

為圓心，以1為半徑的圓，(2)不等式1<

|z|<2可化為不等式即，是以原點(diǎn)0為圓心，以1及2為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界

.例3

:設(shè)z∈C,在復(fù)平面內(nèi)z

對應(yīng)的點(diǎn)為Z,那么滿足下列條件的點(diǎn)新知4共軛復(fù)數(shù)符號(hào)語言：

bi注意：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z

表示，即如果

z=a+bi(a,b∈R),那么

z=a-bi.特別地，實(shí)數(shù)α的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身.思考7

:

結(jié)合上題，猜想若Z?,z?

是共軛復(fù)數(shù)，那么在復(fù)平面內(nèi)它們所對應(yīng)的點(diǎn)有怎樣的關(guān)系?關(guān)于x軸對稱變式1已知i

為虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i,1,4+2i

對應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B,C.

求平行四邊形

ABCD

的頂點(diǎn)D

所對應(yīng)的

復(fù)數(shù)

.導(dǎo)學(xué)大書P42例3已知復(fù)數(shù)z

滿足z+|z|=2+8i,求復(fù)數(shù)z.例1已知

a∈R,z=(a2-2a+4)-

(a2-2a+2)i

所對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限?復(fù)數(shù)

z

對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是什么?o例

2設(shè)

復(fù)

數(shù)z=-3cosθ+2isinθ

.(1

)當(dāng)時(shí)，求|z|的值；(2)若復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)在直線x+3y=的值

.復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)(