試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數(shù)學復習訓練圓專題：垂徑定理的應(yīng)用1．遼寧省擁有多座歷史悠久的石拱橋．如圖，這是被譽為“關(guān)外第一橋”的天盛號石拱橋，它的主橋拱是圓弧形，跨度（弧所對的弦的長）為4米，圓弧所在圓的半徑是米，求拱高（弧的中點到弦的距離）．2．丁字尺是一種作圖工具，如圖1所示為丁字尺，可以看作由兩把互相垂直的直尺（直尺的寬度均忽略不計）組成，并且部分平分部分．現(xiàn)將丁字尺放在一個圓形工件上（圓心為），其示意圖如圖所示，使得、、分別落在上，這樣圓心就會落在上，已知，，請求出該圓形工件的半徑．3．金華境內(nèi)峰巒疊嶂，公路隧道眾多，如圖1所示的圓弧形混凝土管片是構(gòu)成圓形隧道的重要部件．管片的橫截面（陰影部分）是同心圓環(huán)的一部分，左右兩邊沿的延長線交于圓心，(1)如圖1，，的延長線交于圓心，若甲組測得，，，求的長．(2)如圖2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用兩個完全相同的長方體木塊固定，管片與地面的接觸點為的中點，若丙組測得，，求該混凝土管片的外圓弧半徑．4．素材：圖1中有一座拱橋，圖2是其圓弧形或拋物線形橋拱的示意圖．某時測得水面寬，拱頂離水面．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲達到最高．解決問題：(1)若橋拱形狀是圓弧，該河段水位漲達到最高時，有一艘貨船它漏出水面高2.2米，船體寬9米，判斷它是否能順利通行并說明理由；(2)若拱橋是拋物線形，為迎佳節(jié)，擬在圖3所示的橋拱上懸掛長的燈籠．要求燈籠底部距離水面不小于，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為．為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布，則懸掛的燈籠數(shù)量是個．5．如圖①，圓形拱門屏風是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實用，彰顯出中國元素的韻味．圖②是一款拱門的示意圖，其中C為中點，D為拱門最高點，線段經(jīng)過圓心O，已知拱門的半徑為，拱門最下端．求拱門最高點D到的距離．6．如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬為，拱高為．(1)求橋拱的半徑；(2)此橋的安全限度是拱頂點距離水面不得小于，若大雨過后，洪水泛濫到水面寬度為時，是否需要采取緊急措施？請說明理由．7．如圖2是根據(jù)圖1中的石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，設(shè)所在圓的圓心為，拱頂為點，交于點，連接．當橋下水面寬時，．(1)求這座石拱橋主橋拱的半徑；(2)有一條寬為，高出水面的矩形漁船，請你判斷一下，此漁船能否順利通過這座拱橋？并說明理由．8．如圖1，圓形拱門是中國古典園林建筑元素之一，圓形拱門有著圓滿、完美的美好寓意、(1)在圖2中作出拱門中圓弧的圓心（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)已知拱門高（優(yōu)弧中點到的距離），，，求拱門的圓弧半徑．9．如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時刻測得水面寬度為8米，拱高（弧的中點到水面的距離）為2米．(1)求主橋拱所在圓的半徑；(2)若水面下降1米，求此時水面的寬度（保留根號）．10．某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)請你用直尺和圓規(guī)補全這個輸水管道的圓形截面（保留作圖痕跡）；(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬，水面最深地方的高度為，求這個圓形截面的半徑．11．在同心圓中，大圓的弦交小圓于C，D兩點．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，則的長為___________．(2)如圖②，大圓的另一條弦EF交小圓于G，H兩點，若，求證．12．“五一”節(jié)期間，小明和同學一起到游樂場游玩．如圖為某游樂場大型摩天輪的示意圖，其半徑是20m，它勻速旋轉(zhuǎn)一周需要24分鐘，最底部點B離地面1m．小明乘坐的車廂經(jīng)過點B時開始計時．(1)計時4分鐘后小明離地面的高度是多少？(2)在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，小明將有多長時間連續(xù)保持在離地面31m以上的空中？13．一座拱型橋，橋下水面寬度是20米，拱高是4米．若水面上升3米至．則水面寬度是多少？（1）如圖①，若把橋拱看作是拋物線的一部分，求的長；（2）如圖②，若把橋拱看作是圓的一部分，求的長．14．景德橋，俗稱西關(guān)大橋，是我國一座著名的古代石拱橋．景德橋位于山西省東南部的晉城西門外，橫跨沁水河，過去，它是晉城通往沁水河陽城地區(qū)交通干道上的一座重要橋梁，故曾又名沁陽橋．橋下水面寬度是20米，拱高是4米，若水面上升3米至處．（1）把拱橋看作拋物線的一部分，建立如圖1所示的平面直角坐標系，求水面寬度．（2）把拱橋看作圓的一部分，則可構(gòu)造如圖2所示的圖形，求水面寬度．15．如圖①，圓形拱門屏風是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實用，彰顯出中國元素的韻味．圖②是這一款拱門的示意圖，已知拱門所在圓的半徑為，拱門最下端．(1)求拱門最高點到地面的距離；(2)現(xiàn)需要給房間內(nèi)搬進一個直徑為的圓桌面（桌面的厚度忽略不計），已知搬桌面的兩名工人在搬運時所抬高度相同（桌面與地面平行），通過計算說明工人將桌面抬高多少（即桌面與地面的距離）就可以使該圓桌面通過拱門．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數(shù)學復習訓練圓專題：垂徑定理的應(yīng)用》參考答案1．【分析】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．過點O作于點D，交于點C，先由垂徑定理求出的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，進而可得出的長．【詳解】解：過點O作于點D，交于點C，如圖所示：∵，∴，由題意得：，在中，，∴，即拱高為．2．該圓形工件的半徑．【分析】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用．根據(jù)線段垂直平分線段，得出，連接，則，再設(shè)的半徑為，可得，然后解方程即可．【詳解】解：圓心落在上，平分，線段垂直平分線段，、、三點所在圓的圓心在上，，連接，則，設(shè)的半徑為，，，，解得：，該圓形工件的半徑．3．(1)(2)【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得，利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可；（2）根據(jù)垂徑定理構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，又∵，∴，∴，設(shè)m，則m，∴，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的根，即，∴的長為．（2）解：如圖，設(shè)圓心為點，連接、、，，與相交于點，則，，設(shè)外半徑為，則，在中，由勾股定理可得，，即，解得，∴該混凝土管片的外圓弧半徑為．4．(1)能順利通行，理由見解析(2)7或8【分析】本題考查了二次函數(shù)和圓的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，掌握二次函數(shù)，圓的相關(guān)性質(zhì)．（1）畫出圖形，根據(jù)題意可知，，T，由勾股定理可得，即可得到答案．（2）先求出二次函數(shù)的解析式，然后根據(jù)該河段水位再漲達到最高，燈籠底部距離水面不小于，燈籠長，可知懸掛點的縱坐標的最小值是，即可知懸掛點的橫坐標的取值范圍是：；方案一：從頂點處開始懸掛燈籠，根據(jù)，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為，可知共可掛7盞燈籠；方案二：從距頂點處開始掛燈籠，可知共可掛8盞燈籠．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)圓心為M，設(shè)圓的半徑為r米，由題意得于點C，于點T，連接，則米，∴，解得米，根據(jù)題意可知，，，，∴，∴，∴，∵，∴能順利通行，船航行線路是船的中心線沿航行；（2）解：如圖，以拱橋的頂點為坐標原點，拋物線對稱軸為y軸建立平面直角坐標系，則點B的坐標為，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，代入得，解得：，∴拋物線的解析式為，∵該河段水位再漲達到最高，燈籠底部距離水面不小于，燈籠長，∴當懸掛點的縱坐標，即懸掛點的縱坐標的最小值是，當時，，∴，∴懸掛點的橫坐標的取值范圍是：；方案一：如圖3（坐標軸的橫軸），從頂點處開始懸掛燈籠，∵，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為，∴若頂點一側(cè)懸掛4盞燈籠時，，若頂點一側(cè)懸掛3盞燈籠時，，∴頂點一側(cè)最多懸掛3盞燈籠，∵燈籠掛滿后成軸對稱分布，∴共可掛7盞燈籠，方案二：從距頂點處開始掛燈籠，如圖4，∵若頂點一側(cè)懸掛5盞燈籠時，，若頂點一側(cè)懸掛4盞燈籠時，，∴頂點一側(cè)最多懸掛4盞燈籠，∵燈籠掛滿后成軸對稱分布，∴共可掛8盞燈籠，故答案為：7或8．5．【分析】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，能夠準確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．連接，由題意得，則，再由勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：連接，由題意得．∵C為的中點，，∴，∴，∴，∴拱門最高點D到的距離為．6．(1)(2)不需要采取緊急措施，理由見解析【分析】本題考查勾股定理，垂徑定理，關(guān)鍵是由勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于圓半徑的方程．（1）設(shè)橋拱的半徑是，由垂徑定理求出，而，由勾股定理得到，求出；（2）由垂徑定理求出的長，由勾股定理求出的長，即可求出的長即可得解．【詳解】（1）解：如圖半徑，，設(shè)橋拱的半徑是，，，拱高為，，，，，橋拱的半徑是；（2）解：不需要采取緊急措施，理由如下：如圖，連接，，，，，，不需要采取緊急措施．7．(1)這座石拱橋主橋拱的半徑為(2)此漁船不能順利通過這座橋【分析】本題主題考查圓的基礎(chǔ)知識，勾股定理的運用，掌握垂徑定理，勾股定理的綜合運用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂徑定理可得，，，設(shè)主橋拱半徑為，可得，根據(jù)勾股定理即可求解；（2）如圖，設(shè)為該漁船的上端，連接，根據(jù)題意可求出的值，根據(jù)勾股定理可求出的值，再與矩形船的寬比較，由此即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，設(shè)主橋拱半徑為，由題意可知，，∴，，∵，∴，∴，解得，，∴這座石拱橋主橋拱的半徑為．（2）解：此漁船不能順利通過這座拱橋，理由如下，如圖，設(shè)為該漁船的上端，連接，∵，船艙頂部為長方形并高出水面，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴此漁船不能順利通過這座橋．8．(1)見解析(2)【分析】本題考查了垂徑定理，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵，（1）在拱門上找任意一點，分別與相連，并做垂直平分線，利用垂徑定理可確定圓心的位置；（2）先證四邊形是矩形，設(shè)，再根據(jù)勾股定理求得的值，即可得到拱門的圓弧半徑．【詳解】（1）解：如圖，點即為所求，（2）解：連接，如圖所示：∵，，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是矩形，過點作于，交優(yōu)弧于點，交于，則，，，設(shè)，則，，在中，，∴，，解得，∴拱門的圓弧半徑為．9．(1)主橋拱所在圓的半徑長為5米(2)此時水面的寬度為米【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．（1）連接，設(shè)半徑，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可；（2）根據(jù)勾股定理列式可得的長，最后由垂徑定理可得結(jié)論．【詳解】（1）∵點是的中點，，∴經(jīng)過圓心，設(shè)拱橋的橋拱弧所在圓的圓心為，連接，設(shè)半徑，在中，，解得．答：主橋拱所在圓的半徑長為5米；（2）設(shè)與相交于點，連接，∴，∴，在中，，答：此時水面的寬度為米．10．(1)見解析(2)【分析】（1）運用尺規(guī)作圖的步驟和方法即可解答；（2）作于D，并延長交于C，則D為的中點，則，設(shè)這個圓形截面的半徑為，在中，運用勾股定理求出x即可．【詳解】（1）如圖所示；

（2）作于D，并延長交于C，則D為的中點，∵，∴．設(shè)這個圓形截面的半徑為，又∵，∴，在中，∵，即，解得．∴圓形截面的半徑為．【點睛】本題考查了垂經(jīng)定理和勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形和靈活應(yīng)用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．11．(1)4(2)見解析【分析】（1）連接，，過點作，則為，的中點，得出，，根據(jù)勾股定理即可求出的長；（2）過作，作，垂足分別為、，得出，，，，連接、、、，通過證明和，即可得證．【詳解】（1）連接，，過點作，則為，的中點，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案為：（2）過作，作，垂足分別為、，∴，，，，又∵，∴，連接、、、，

在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解此類題的關(guān)鍵．12．(1)計時4分鐘后小明離地面的高度是11m(2)8分鐘【分析】（1）設(shè)4分鐘后小明到達點，過點作

于點，先算出的度數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)計算出的長度，即可算出的長度.（2）假設(shè)距離地面31米，先算出長度，再根據(jù)三角函數(shù)值算出的度數(shù)，進而可知的度數(shù)，即可算出小明將連續(xù)保持在離地面31m以上的空中的時間.【詳解】（1）解：設(shè)4分鐘后小明到達點，過點作于點，即為小明離地的高度，∵∴(m)．答：計時4分鐘后小明離地面的高度是11m；（2）解：∵當旋轉(zhuǎn)到處時，作弦交的延長線于點，連接，此時離地面高度為．當時，，∵每分鐘旋轉(zhuǎn)的角度為：，

∴由點旋轉(zhuǎn)到所用的時間為：（分鐘）．答：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，小明將有8分鐘的時間連續(xù)保持在離地面31m以上的空中．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.13．（1）EF＝10米；（2）米【分析】（1）根據(jù)題意得：AB=20米，則AC＝10米，拱高CD=4米．則A，D的坐標分別是（﹣10，0），（0，4），可設(shè)拋物線的表達式為y＝ax2+c，將這兩點的坐標代入解析式，即可求解；（2）根據(jù)題意得：米，，EF＝2GF，設(shè)圓的半徑是r米，則米，米，在Rt△OCB中，由勾股定理可得r＝14.5，再在Rt△OGF中，由勾股定理，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：AB=20米，則AC＝10米，拱高CD=4米．∴A，D的坐標分別是（﹣10，0），（0，4），設(shè)拋物線的表達式為y＝ax2+c，把這兩點的坐標代入解析式得到：，解得：，∴解析式是y＝﹣x2+4，把y＝3代入解析式，得：解得：x＝±5，∴EF＝10米；（2）根據(jù)題意得：米，，EF＝2GF，設(shè)圓的半徑是r米，則米，米，在Rt△OCB中，由勾股定理得：r2＝（r－4）2+102，解得：r＝14.5，當水面上升3米至EF時，在Rt△OGF中，OF＝14.5米，OG＝14.5－4+3＝13.5（米），∴，∴EF＝2GF＝（米）．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，垂徑定理的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．14