上實驗2024-2025學年第二學期高二年級數(shù)學測驗六2025.4一、填空題1．某醫(yī)院對某學校高三年級的600名學生進行身體健康調(diào)查，采用男女分層抽樣法抽取一個容量為50的樣本，已知女生比男生少抽了10人，則該年級的女生人數(shù)是________．2．某校高一年級抽樣的30名女生的身高（cm）數(shù)據(jù)從小到大排序如下：148149154154155155155157157158158159160161161162162162162163163163164164165165170171172172經(jīng)計算，原來這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為164.5．現(xiàn)將其去掉最后一個數(shù)據(jù)172，則剩余數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)________．（選填“變大”“變小”或“不變”）.3．某興趣小組研究光照時長和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量（顆）之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點圖．若去掉后，相關(guān)系數(shù)________（選填“變大”“變小”或“不變”）.4．以下是一些城市的海拔高度與該城市的大氣壓的對照表．我們已知大氣壓與海拔高度是近似線性的關(guān)系。城市海拔高度大氣壓北京31.299.86哈爾濱171.798.51上海4.5100.53昆明1891.480.80拉薩3658.065.23則我們可以利用一元線性回歸分析（其中海拔高度為解釋變量，大氣壓為反應(yīng)變量），估計珠穆朗瑪峰頂（海拔8848.9米）的大氣壓為________（近似到小數(shù)點后兩位）．5．電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖．非體育迷體育迷合計男女55合計將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．已知“體育迷”中有10名女性。根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你認為“體育迷”與性別有關(guān)的可能性為________。附：，0.050.013.8416.6356．為了研究關(guān)于的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見下表）：123450.50.811.21.5假設(shè)經(jīng)驗回歸方程為，下面說法正確的是________．（寫出所有正確選項）①②當時，的預(yù)測值為2.2③樣本數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為0.8④去掉樣本點后，與的樣本相關(guān)系數(shù)不變7．中學階段，數(shù)學中的“對稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中．例如，甲乙兩人進行比賽，若甲每場比賽獲勝概率均為，且每場比賽結(jié)果相互獨立，則由對稱性可知，在5場比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場的概率為．現(xiàn)甲乙兩人分別進行獨立重復(fù)試驗，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣．若甲拋擲次，乙拋擲次，，則拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率________．8．已知數(shù)列,的通項公式分別為，，，，從數(shù)列中任取一項，則該項也是數(shù)列中的項的概率為________．（結(jié)果用分數(shù)表示）9．項數(shù)為的數(shù)列滿足，當且僅當時，（其中，2，?，規(guī)定：，），稱為“好數(shù)列”，在項數(shù)為6且的所有中，隨機選取一個數(shù)列，該數(shù)列是“好數(shù)列”的概率是________.10．6根長度相同的繩子平行放置在桌面上，分別將左、右兩邊的6個繩頭各自隨機均分成3組，然后將每組內(nèi)的兩個繩頭打結(jié)，則這6根繩子恰能圍成一個大圈的概率為________.11．在平面直角坐標系中，曲線，曲線．經(jīng)過上一點作一條傾斜角為的直線，與交于兩個不同的點、，則的取值范圍為________．12．雙曲線具有如下光學性質(zhì)：如圖，，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線交雙曲線右支于點，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過左焦點．若雙曲線的方程為，下列結(jié)論正確的是________．①若，則；②當過時，光由所經(jīng)過的路程為10；③射線所在直線的斜率為，則；④若，直線與相切，則．二、選擇題13．給出如下列聯(lián)表患心臟病患其它病合計高血壓201030不高血壓305080合計5060110，參照公式，得到的正確結(jié)論是（）A．有99%以上的把握認為“高血壓與患心臟病無關(guān)”B．有99%以上的把握認為“高血壓與患心臟病有關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“高血壓與患心臟病無關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“高血壓與患心臟病有關(guān)”14．數(shù)據(jù)3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，，6.6的第65百分位數(shù)是4.5，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．15．一組樣本數(shù)據(jù)，，?，的平均數(shù)為，標準差為．另一組樣本數(shù)據(jù)，，?，的平均數(shù)為，標準差為．兩組數(shù)據(jù)合成一組新數(shù)據(jù)，，?，，，?，，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標準差為，則（）A． B．C． D．與的大小與有關(guān)16．信息熵是信息論中的一個重要概念．設(shè)隨機變量所有可能的取值為1，2，…，，且，，定義的信息熵．命題1：若，則隨著的增大而增大；命題2：若，隨機變量所有可能的取值為1，2，…，，且，則．則以下結(jié)論正確的是（）A．命題1正確，命題2錯誤 B．命題1錯誤，命題2正確C．兩個命題都錯誤 D．兩個命題都正確三、解答題17．某中學的小喬同學參加上海市舉辦的禁毒知識測試大賽，本次大賽由十道選擇題組成，得分規(guī)則為：作對一題得1分，做錯一題扣去1分，不做得0分，總得分7分才算及格。小喬的目標是及格，在這次考試中，他確定他做的前六題全對，記6分，而他做余下的四道題中，每道題作對的概率均為．考試中，小喬思量：從余下的四道題中再做一題并且及格的概率；從余下的四道題中恰做兩道并且及格的概率，他發(fā)現(xiàn)，只做一道反而更容易及格．（1）設(shè)小喬從余下的四道題中恰做三題并且及格的概率為，從余下的四道題中全做并且及格的概率為，求及；（2）計算：小喬從余下的四道題中，恰做幾道時及格的概率最大？18．組合數(shù)有許多豐富有趣的性質(zhì)，例如，二項式系數(shù)的和有下述性質(zhì)：．小明同學想進一步探究組合數(shù)平方和的性質(zhì)，請幫他完成下面的探究．（1）計算：，，并與，比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？寫出一般性結(jié)論并證明；（2）證明：（3）利用上述（1）（2）兩小問的結(jié)論，證明：．19．某工廠生產(chǎn)某款電池，在滿電狀態(tài)下能夠持續(xù)放電時間不低于10小時的為合格品，工程師選擇某臺生產(chǎn)電池的機器進行參數(shù)調(diào)試，在調(diào)試前后，分別在其產(chǎn)品中隨機抽取樣本數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，制作了如下的列聯(lián)表：產(chǎn)品合格不合格合計調(diào)試前451560調(diào)試后35540合計8020100（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)顯著性水平的獨立性檢驗，能否認為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)聯(lián)；（2）現(xiàn)從調(diào)試前的樣本中按合格和不合格，用分層隨機抽樣法抽取8件產(chǎn)品重新做參數(shù)調(diào)試，再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取3件做對比分析，記抽取的3件中合格的件數(shù)為，求的分布和期望；（3）用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，若現(xiàn)在隨機抽取調(diào)試后的產(chǎn)品1000件，記其中合格的件數(shù)為，求使事件“”的概率最大時的取值．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．0.050.0250.010.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82820．已知橢圓過點，且的左焦點為，直線與交于，兩點．（1）求橢圓的方程；（2）若，且點的坐標為，求直線的斜率；（3）若，其中為坐標原點，求面積的最大值．四、附加題

21．已知半圓，圓，作圖與半圓，圓軸均相切，點，且

（1）求的周長

（2）證明：為等比數(shù)列

（3）證明：對任意正整數(shù)

參考答案一、填空題1.;2.變小;3.變大;4.;5.不到95%;6.①②④;7.;8.;9.;10.；11.12.①③11．在平面直角坐標系中，曲線，曲線．經(jīng)過上一點作一條傾斜角為的直線，與交于兩個不同的點、，則的取值范圍為________．【答案】【解析】設(shè)，則直線的方程為，代入曲線的方程，得，化簡可得：，（1），

由于與交于兩個不同的點，故關(guān)于的方程（1）的判別式，計算得

因此有，（2），設(shè)的橫坐標分別為，由（1）知，因此，結(jié)合的傾斜角為可知，

由（2）可知，，故，

從而得，故答案為：．

12．雙曲線具有如下光學性質(zhì)：如圖，，是雙曲線的左、右焦點，從右焦點發(fā)出的光線交雙曲線右支于點，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過左焦點．若雙曲線的方程為，下列結(jié)論正確的是________．①若，則；②當過時，光由所經(jīng)過的路程為10；③射線所在直線的斜率為，則；④若，直線與相切，則．【答案】①③【解析】對于①：若，則，因為在雙曲線右支上，

所以，由勾股定理得：，二者聯(lián)立解得：，故①正確；對于②：光由所經(jīng)過的路程為：，故②錯誤；

對于③：雙曲線的方程為，設(shè)左，右頂點分別為，如圖所示：當與同向共線時，的方向為，此時，最小，

因為在雙曲線右支上，所以所在直線的斜率為，即，故③正確；

對于④：設(shè)直線的方程為，，消去可得：，其中，即，解得代入,有，解得，

由在雙曲線右支上，即，解得舍去，

所以，所以，故④錯誤；

故答案為：①③．二、選擇題13.B14.A15.A16.A15．一組樣本數(shù)據(jù)，，?，的平均數(shù)為，標準差為．另一組樣本數(shù)據(jù)，，?，的平均數(shù)為，標準差為．兩組數(shù)據(jù)合成一組新數(shù)據(jù)，，?，，，?，，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標準差為，則（）A． B．C． D．與的大小與有關(guān)【答案】A【解析】對于數(shù)據(jù)，可得，

對于數(shù)據(jù)，可得，

對于數(shù)據(jù)，可得：平均數(shù)標準差故選：．16．信息熵是信息論中的一個重要概念．設(shè)隨機變量所有可能的取值為1，2，…，，且，，定義的信息熵．命題1：若，則隨著的增大而增大；命題2：若，隨機變量所有可能的取值為1，2，…，，且，則．則以下結(jié)論正確的是（）A．命題1正確，命題2錯誤 B．命題1錯誤，命題2正確C．兩個命題都錯誤 D．兩個命題都正確【答案】A【解析】若，則

由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，隨著的增大而增大，故命題1正確；

D．依題意知，，又

，故命題2錯誤．故選：．三．解答題17.（1）（2）時，恰做一道及格概率最大；時，恰做一道或三道并且及格的概率最大；時，恰做三道及格概率最大．18.（1）

規(guī)律：，證明略（2）證明略（3）證明略19.（1）無關(guān)（2）分布列如下，（3）20.（1）（2）或（3）最大面積是4四、附加題

21．已知半圓，圓，作