第頁(yè)，共頁(yè)2025年春高河中學(xué)高二第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為4，則（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義變形求解可得.【詳解】由函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為4，則.故選：A.2.下列求導(dǎo)運(yùn)算不正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】A：，對(duì)；B：，對(duì)；C：，錯(cuò)；D：，對(duì).故選：C3.已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)求出，即可求出、，即可求出，再由求和公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列單調(diào)遞增，，則，又，解得或（舍去），所以，所以.故選：D.4.已知P是橢圓E：上異于點(diǎn)，的一點(diǎn)，E的離心率為，則直線AP與BP的斜率之積為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用點(diǎn)P與橢圓長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)連線的斜率之積的不等式，建立等式，考查橢圓的方程，即可確定a，b的關(guān)系，從而通過(guò)橢圓的離心率，求解即可．【詳解】設(shè)，點(diǎn)，，橢圓E：，橢圓的離心率為，，，則，所以，點(diǎn)P與橢圓長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查斜率的計(jì)算，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．5.已知函數(shù)為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，的圖像如圖所示，以下命題正確的是（）A.是函數(shù)的極大值 B.是函數(shù)的極小值C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.的零點(diǎn)是和【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)?，由圖可知：，；或，；且或，；，；可得或，；，；且函數(shù)為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，則在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可知有且僅有一個(gè)極小值，無(wú)極大值，故AC錯(cuò)誤，B正確；由于不知的解析式，故不能確定的零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：B.6.一個(gè)矩形鐵皮的長(zhǎng)為，寬為，在四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，制成一個(gè)無(wú)蓋的小盒子，若記小正方形的邊長(zhǎng)為，小盒子的容積為，則（）A.當(dāng)時(shí)，有極小值 B.當(dāng)時(shí)，有極大值C.當(dāng)時(shí)，有極小值 D.當(dāng)時(shí)，有極大值【答案】B【解析】【分析】求出小盒子的容積，通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的極值情況可得答案.【詳解】小盒子的容積為，所以，令得，或舍去，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)有極大值為144.故選：B.7.已知等差數(shù)列（）的前n項(xiàng)和為，公差，，則使得的最大整數(shù)n為（）A.9 B.10 C.17 D.18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，可得異號(hào)，根據(jù)可知，且，所以，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)椋援愄?hào)，因?yàn)?，所以，又有，所以，即，因?yàn)?，，所以的最大整?shù)n為17.故選：C8.函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用參變分類可得和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論后者的性質(zhì)后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】由得，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，而，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；大致圖象如右所示：結(jié)合圖象可知，的取值范圍是，故選：D二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.（多選題）已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1C.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為D.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，則【答案】AC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷AB選項(xiàng)；結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷C選項(xiàng)；畫出函數(shù)大致圖象，結(jié)合圖象即可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，所以，令，即；令，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)?，，所以函?shù)在區(qū)間上的最大值為4，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以函?shù)在點(diǎn)處切線方程為，即，故C正確；因?yàn)?，函?shù)大致圖象如圖，要使方程在區(qū)間上有兩解，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，且A，B在其準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則下列結(jié)論正確的是（）A.若直線l⊥x軸，則|AB|=2 B. C.y1·y2=-4 D.∠A1FB1=【答案】CD【解析】【分析】選項(xiàng)A，求解A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出AB的長(zhǎng)；選項(xiàng)BC，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線l與拋物線C的方程組，消元得一元二次方程，得到兩根之積；D選項(xiàng)，由拋物線定義得到∠AFA1=∠A1FO=∠AFO，∠BFB1=∠B1FO=∠BFO，從而得到答案.【詳解】拋物線C的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程x=-1，顯然l不垂直于y軸，設(shè)l的方程為x=my+1，由得：y2-4my-4=0，y1，y2是此方程的二根，選項(xiàng)A，直線l⊥x軸，m=0，y1=2，y2=-2，則|AB|=4，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，y1·y2=-4，則，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，y1·y2=-4，即選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，如圖中，由拋物線的定義知，|AF|=|A1A|，∴∠AA1F=∠AFA1，又AA1//x軸，∴∠AA1F=∠A1FO，∴∠AFA1=∠A1FO=∠AFO，同理可得，∠BFB1=∠B1FO=∠BFO，∴∠A1FB1=∠A1FO+∠B1FO=（∠AFO+∠BFO）=，即選項(xiàng)D正確.故選：CD11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（）A.若有三個(gè)零點(diǎn)，則 B.C.是的極小值點(diǎn) D.當(dāng)時(shí)，則【答案】ABD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性并求出、，結(jié)合零點(diǎn)定義逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，解得，或，當(dāng)，或，，當(dāng)，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，對(duì)于A，由得，即，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，可得上只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，可得在上只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，有三個(gè)零點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，，，所以，故B正確；對(duì)于C，是的極大值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，則，解得，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)，則__________.【答案】##【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入，求出，得到函數(shù)解析式，可求【詳解】函數(shù)，則，則，所以，則，則.故答案為：.13.已知曲線與公切線為，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得切線方程，根據(jù)題意，求得，得到切線方程為，再設(shè)切點(diǎn)為，結(jié)合切點(diǎn)在切線上和，列出方程組，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，則切線方程為，即，與公切線重合，可得，可得，所以切線方程為，對(duì)于函數(shù)，可得，設(shè)切點(diǎn)為，則則，解得.故答案為：14.已知，對(duì)任意的，不等式恒成立，則k的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性得到，分離參數(shù)，求出，，的最大值即可【詳解】由條件得，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)得，令得，于是當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．因?yàn)?，，所以，，根?jù)，得到，分離參數(shù)得對(duì)恒成立，只需構(gòu)造函數(shù)，，對(duì)其求導(dǎo)得，令得，于是當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，于是，因此k的取值范圍是故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.設(shè)函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論的范圍確定導(dǎo)數(shù)正負(fù)可得出單調(diào)性；（2）由已知得恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值即可.【小問(wèn)1詳解】由，則當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；時(shí)，，則在上單調(diào)遞減．【小問(wèn)2詳解】由題意恒成立，因?yàn)?，即得恒成立，即，，記則，令，得，令，得，即在上單調(diào)遞減，令可得，即在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．16.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在的單調(diào)性，求極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，即可求解；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)未知數(shù)的不同范圍，分別求出函數(shù)單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，得或，由于，所以當(dāng)，，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，在單調(diào)遞增，所以在時(shí)取到極小值，且，又因?yàn)?，，綜上，函數(shù)在上的最大值為，最小值為.小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，令，則，所以當(dāng)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)，，在單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.17.如圖1，在矩形中，是中點(diǎn)，將沿直線翻折到的位置，使得，如圖2.（1）求證：面PCE面ABCE；（2）求與面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連結(jié)，可得，結(jié)合兩圖，可得，，又，根據(jù)線面垂直的判定定理證得面PEC，再利用面面垂直的判定定理證得結(jié)果；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：連結(jié)，由圖1可得在圖2中又面PEC面ABCE面PCE面ABCE（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸建立直角坐標(biāo)系.由題意可知，設(shè)面法向量為則令得所以所以直線與面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，解題方法如下：（1）結(jié)合平面幾何的知識(shí)得到線線垂直，利用線面垂直的判定定理證得線面垂直；（2）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求得平面的法向量和直線的方向向量，求得其所成角的余弦值，進(jìn)而得到線面角的正弦值.18.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）證明：為等差數(shù)列.（2）求的值和的通項(xiàng)公式.（3）若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）證明過(guò)程見解析；（2），；（3）證明過(guò)程見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)時(shí)，得到，證明出為等差數(shù)列；（2）利用等差數(shù)列性質(zhì)及得到，結(jié)合求出，并得到通項(xiàng)公式；（3），利用錯(cuò)位相減法求和，得到.【小問(wèn)1詳解】①，當(dāng)時(shí)，②，式子①-②得，故，故，為正項(xiàng)數(shù)列，故，所以，即，為公差為2的等差數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，為公差為2的等差數(shù)列，，故，中，令得，即，將代入上式得，解得，的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)3詳解】，③，故④，式子③-④得，故.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若，討論方程的根的個(gè)數(shù).【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）應(yīng)用分類討論及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)已知有，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)的單調(diào)性和最值，即可得參數(shù)范圍.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，則，因，由，解得，①當(dāng)時(shí)，恒成立