第頁，共頁淄博中學2023級2024-2025學年第二學期第一次月考數(shù)學試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由導數(shù)的定義代入計算，即可得到結果.【詳解】因為，又，所以.故選：C2.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則A.16 B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】利用方程思想列出關于的方程組，求出，再利用通項公式即可求得的值．【詳解】設正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，解得，，故選C．【點睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應用公式是解題的關鍵．3.數(shù)學家楊輝在其專著《詳解九章算術法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的高階等差數(shù)列，其中二階等差數(shù)列是一個常見的等差數(shù)列，如數(shù)列2，4，7，11，16，從第二項起，每一項與前一項的差組成新數(shù)列2，3，4，5，新數(shù)列2，3，4，5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2，4，7，11，16為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其中前幾項分別為2，5，10，17，26，37，記該數(shù)列的后一項與前一項之差組成新數(shù)列，則（）A.15 B.101 C.21 D.19【答案】C【解析】【分析】由數(shù)列的前幾項可得數(shù)列的通項公式，進而得到結果.【詳解】因為數(shù)列的前幾項為，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以，則.故選：C4.已知為函數(shù)的導函數(shù)，且．若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用導數(shù)的運算性質解出，所以，即，結合基本不等式求解即可.【詳解】由題意可得，所以，解得，所以，即，又，當且僅當，即時，等號成立，所以，，故選：D5.在數(shù)列中，，（，），則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】列出數(shù)列的前幾項，即可得到是以為周期的周期數(shù)列，根據(jù)周期性計算可得.【詳解】因為，（，），所以，，，，所以是以為周期的周期數(shù)列，則.故選：A6.已知數(shù)列的首項為1，且，設數(shù)列中不在數(shù)列中的項按從小到大的順序排列構成數(shù)列，則數(shù)列的前100項和為（）A11449 B.11195 C.11209 D.11202【答案】D【解析】【分析】利用累加法，結合等比數(shù)列前項和公式求出，進而求出，再判斷數(shù)列的前100中含有數(shù)列的項，然后利用公式法求和.【詳解】數(shù)列的首項為1，且，當時，，，而滿足上式，因此，，而，因此數(shù)列的前100項和為數(shù)列的前107項的和減去數(shù)列的前7項的和，所以數(shù)列的前100項和為.故選：D7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則a的值可能為（）A. B. C. D.e【答案】C【解析】【分析】由題意可得在上恒成立，當時，上式恒成立，當時，轉化為在上恒成立，構造函數(shù)，，利用可求得，從而可求出取值范圍.【詳解】因為，所以，因為在區(qū)間上單調遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，當時，因為在上恒成立，故上式成立，滿足題意；當時，則在上恒成立，令，，所以在上恒成立，所以在上單調遞增，又，故，即，綜上，所以ABD錯誤，C正確.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：此題考查利用導數(shù)解決函數(shù)單調性問題，解題的關鍵是將問題轉化為在上恒成立，然后分情況討論，考查數(shù)學轉化思想和計算能力，屬于較難題.8.已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)（）A.在區(qū)間上是減函數(shù) B.在區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù) D.在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】B【解析】【分析】對函數(shù)求導，結合圖象判斷與的大小關系，從而得出函數(shù)的單調性，進而可得出結果.【詳解】由得，由題中圖象可知，當時，，所以，則函數(shù)單調遞增；當時，，所以，則函數(shù)單調遞減；當時，，所以，則函數(shù)單調遞增；當時，，所以，則函數(shù)單調遞減；故ACD都錯，B正確，故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列求導運算正確的是（）A.若，則B若，則C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】由導數(shù)的求導運算求解．【詳解】對于A.，A錯誤；對于B.，B正確；對于C.，C錯誤；對于D.，D正確.故選：BD.10.已知數(shù)列的前項和為，，且，則（）A.B.是等比數(shù)列C.是等差數(shù)列D.存在，，且，使得，，成等差數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】對A，由遞推關系式代入運算求解判斷；對B，由可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷；對C，求出，進而求得的通項，利用等差數(shù)列的定義判斷；對D，利用反證法求解判斷.【詳解】對于A，由，，則，解得，，則，故A錯誤；對于B，由，則，又，所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，故B正確；對于C，由B選項，可得，即，，，則，又，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故C正確；對于D，假設存在且，使得成等差數(shù)列，則，即，即，，，，則，故上式不成立，假設錯誤，故D錯誤.故選：BC.11.已知數(shù)列的通項公式為，，記為數(shù)列的前項和，則下列說法正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】由為等差數(shù)列，先求出，，由可判斷選項A；分為奇數(shù)和偶數(shù)分別求的前項和，從而可判斷B；先得出，從而得出，，再分為奇數(shù)和偶數(shù)分別求的前項和,即可判斷C；由，求出，從而可求出的前項的和，進而判斷D．【詳解】因為數(shù)列的通項公式為，，故，所以為等差數(shù)列，，公差為，則，，當時，，故A不正確；當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，故，所以B正確；，，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，所以，故C錯誤；，，所以，所以D正確．故選：BD．第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)圖象在點處的切線方程為，則______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意，由切點在切線上以及導數(shù)的幾何意義代入計算，即可得到結果.【詳解】由函數(shù)在點處的切線方程為，可知當時，，即，且切線斜率為，則，所以.

故答案為：13.若數(shù)列滿足，，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)與的關系，結合累乘法求解即可.【詳解】因為①，所以②，②①得，，所以有，所以．故答案為：.14.若對于任意，不等式恒成立，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】首先將不等式轉化為，再構造函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的單調性進一步將問題轉化為恒成立，再構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性即可求得結果.【詳解】因為，所以，即，令，所以，又，所以在上單調遞增，所以，即，令，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，即的最小值為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題主要將不等式轉化為，再構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調性進一步將問題轉化為恒成立，再構造函數(shù)，通過兩次構造函數(shù)即可求得結果.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義，求函數(shù)在切點處的切線方程；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，求最大值.【小問1詳解】因為，故，即切點坐標為，，故曲線在點處的切線斜率為2，切線方程為.【小問2詳解】易得當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以時，，又時恒成立，所以的最大值為.16.已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式．（2）已知，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由與的關系代入計算，即可得到數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，從而得到結果；（2）根據(jù)題意，由裂項相消法代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】數(shù)列中，，當時，，兩式相減得，即，由，得，因此數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式．【小問2詳解】由（1）知，，所以．17.已知數(shù)列的前項和為，滿足，且，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由已知得出是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，求出的通項公式，進而得出；當時，，當時，由得出的通項公式；（2）由（1）得①，等式兩邊同乘以得②式，①②得③，③式再同乘以得④式，③④錯位相減進而得出．【小問1詳解】因為，所以是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，，當時，，又滿足關系，故．數(shù)列，當時，，當時，，時，滿足，所以，．【小問2詳解】由題可知，①，②，①②得．則③，④③④得，所以．18.已知數(shù)列滿足，．設．（1）求數(shù)列通項公式；（2）設數(shù)列，且對任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列的定義可得是首項和公比均為3的等比數(shù)列，即可得到的通項公式，從而得到通項公式；（2）由（1）可得數(shù)列的通項公式，再由數(shù)列的增減性可得遞減，代入計算，即可得到結果.小問1詳解】由，，可得，，即數(shù)列是首項和公比均為3的等比數(shù)列，則，即；即【小問2詳解】數(shù)列，則，可得遞減，可得，對任意正整數(shù)，不等式恒成立，可得，即的取值范圍是．19.已知函數(shù)．（1）當時，求的單調性；（2）若函數(shù)在處取得極小值，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）在時，對函數(shù)求導后分解因式，根據(jù)導函數(shù)的正負即可判斷原函數(shù)的單調性；（2）對函數(shù)求導后，對，，，的情況進行討論，由題意即得參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，，則，令，解得或．令，解得，所以在上單調遞減；令，解得或，即在，上單調遞增．綜上，函數(shù)在，上單調遞增，在上單調遞減．【小問2詳解】由求導得