/2023—2024學(xué)年下學(xué)期期中考聯(lián)考高一數(shù)學(xué)學(xué)科試卷滿分：150分 考試時間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知，則（）A． B． C． D．2．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．3．如圖是一件西周晚期的青銅器，其盛酒的部分可近似視為一個圓臺（設(shè)上、下底面的半徑分別為a厘米，b厘米，高為c厘米），則該青銅器的容積約為（?。ǎ〢．立方厘米 B．立方厘米C．立方厘米 D．立方厘米4．已知向量，則向量在向量上的投影向量（）A． B． C． D．5．下列說法正確的是（）①已知為三條直線，若異面，異面，則異面；②若a不平行于平面，且，則內(nèi)的所有直線與a異面；③兩兩相交且不公點的三條直線確定一個平面；④若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于，則，三點共線．A．①② B．③④ C．①③ D．②④6．如圖所示，在某次軍事演習(xí)中紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場形勢，在兩個相距為的軍事基地C和D，測得藍(lán)方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且，則藍(lán)方這兩支精銳部隊的距離為（）A． B． C． D．7．已知為單位向量，且，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．68．我國南北朝時期的著名數(shù)學(xué)家祖晅提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異．”意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等．運用祖暅原理計算球的體積時，構(gòu)造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖1）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖2），用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即．圖3是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線和均是以2為半徑的半圓，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帳篷底面的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形，類比上述半球的體積計算方法，運用祖暅原理可求得該帳篷的體積為（）圖1圖2圖3A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9．下列四個選項中正確的是（）A．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．圓臺上下底面圓的半徑分別為，母線長為4，則該圓臺的側(cè)面積為C．正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為4，且它的所有頂點在球O的表面上，則球O的表面積為D．某圓柱下底面圓直徑為，其軸截面是邊長為2的正方形，分別為線段上的兩個動點，E為上一點，且，則的最小值為10．在中，內(nèi)角的對邊分別為，下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若為銳角三角形，則C．若，則一定為鈍角三角形D．若的三角形有兩解，則a的取值范圍為11．直角中，斜邊為所在平面內(nèi)一點，（其中），則（）A．的取值范圍是 B．點P的軌跡經(jīng)過的外心C．點P所在軌跡的長度為2 D．的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每填空題小題5分，共15分．12．若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則_________．13．如圖所示，表示水平放置的的直觀圖，，點在軸上，且，則的邊_________．14．在中，在邊上，延長到P，使得，若（m為常數(shù)），則的長度是_________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（13分）如圖所示，在中，分別是的中點，．（1）用表示；（2）求證：三點共線．16．（15分）如圖，在平行六面體中，M為的中點，N為的中點．（1）求證：平面（2）求證：平面平面．17．（15分）蜀繡又名“川繡”，與蘇繡，湘繡，粵繡齊名，為中國四大名繡之一，蜀繡以其明麗清秀的色彩和精湛細(xì)膩的針法形成了自身的獨特的韻味，豐富程度居四大名繡之首．1915年，蜀繡在國際巴拿馬賽中榮獲巴拿馬國際金獎，在繡品中有一類具有特殊比例的手巾呈如圖所示的三角形狀，點D為邊上靠近B點的三等分點，．（1）若，求三角形手巾的面積；（2）當(dāng)取最小值時，請幫設(shè)計師計算的長．18．（17分）在通用技術(shù)課上，老師給同學(xué)們提供了一個如圖所示的木質(zhì)四棱錐模型為正三角形，為線段的中點．（1）求證：平面；（2）過點的平面交于點N，沿平面將木質(zhì)四棱錐模型切割成部分，在實施過程中為了方便切割，請你完成以下兩件事情：①在木料表面應(yīng)該怎樣畫線？（在答題卡的圖上畫線要保留輔助線，并寫出作圖步驟）；②在木質(zhì)四棱錐模型中確定N點的位置，求的值．19．（17分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求C．（2）若，點是邊上的兩個動點，當(dāng)時，求面積的取值范圍．（3）若點是直線上的兩個動點，且，記若恒成立，求的值．

泉州一中、泉港一中、廈外石獅分校三校聯(lián)盟2023—2024學(xué)年下學(xué)期期中考聯(lián)考高一年段數(shù)學(xué)學(xué)科答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．因為，故，故故選：C．2．對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤．故選：C．3．依題意可得該青銅器的容積約為（立方厘米）．故選：D4．由題意可得，向量在向量上的投影向量為，故選：A．5．對于①，直線異面，異面，則可能平行、相交或異面，所以①錯誤；在②中，由題設(shè)知，a與相交，設(shè)，在內(nèi)過點P的直線l與a共面，所以②錯．對于③，兩條相交直線確定一個平面，第三條直線與前面兩條直線的交點在此平面內(nèi)，所以③正確；對于④，設(shè)平面平面，因為平面，所以，同理，故三點共線，④正確故選：B．6．由題意知，又因為，所以，所以．在中，，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以．故選：A．7．為單位向量，有，得，由，得，有，所以，，，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時“=”成立，故選：B．8．設(shè)截面與底面的距離為h，在帳篷中的截面為，設(shè)底面中心為O，截面中心為，則，所以，所以截面為的面積為．設(shè)截面截正四棱柱得四邊形為，截正四棱錐得四邊形為，底面中心O與截面中心之間的距離為，在正四棱柱中，底面正方形邊長為，高為，所以，所以為等腰直角三角形，所以，所以四邊形邊長為，所以四邊形面積為，所以圖2中陰影部分的面積為，與截面面積相等，由祖暅原理知帳篷體積為正四棱柱的體積減去正四棱錐的體積，即．選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9．對于A中，有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的兩個扣在一起的斜棱柱組成的多面體就不是棱柱，所以A錯誤；對于B，圓臺側(cè)面積故B正確．對于C，球O的直徑，所以半徑，則球O的表面積為，故C正確．對于D，如圖，連接，將沿直線旋轉(zhuǎn)到的位置，且在的延長，由于圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，故，則，當(dāng)三點共線時取等號，當(dāng)時，最小，最小值為，即的最小值為，故D正確．故選：BCD10．對于A，根據(jù)大角對大邊，，根據(jù)正弦定理可得，其中R為三角形外接圓半徑，于是，A正確；對于B，若為能角三角形，則，所以，則，B正確；對于C，因為，所以，所以，因為，所以中有0個或2個為負(fù)數(shù)，又因為中最多一個為鈍角，所以，即都是銳角，所以為銳角三角形．所以C錯誤．對于D，因為三角形有兩解，所以，即a的取值范圍為，D正確．故選：ABD11．由，又斜邊，則，則，A正確；若O為中點，則，故，又，所以共線，故P在線段上，軌跡長為1，又O是的外心，B正確，C錯誤；由上，則，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以，D正確．故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每填空題小題5分，共15分．12．由題意得，則，故答案為：．13．根據(jù)題意，如圖①，在直觀圖中，作，交軸于點，易得，則，如圖②，在原圖中，，則．故答案為：3．14．法1：三點共線，可設(shè)，，即，若且，則三點共線，，即，，設(shè)，則．根據(jù)余弦定理可得，，解得的長度為．當(dāng)時，重合，此時的長度為0，當(dāng)時，重合，此時，不合題意，舍去．故答案為：0或．法2：基底法，設(shè)由三點共線得即；設(shè)得求模平方解得或，故或．法3：幾何意義（等和線+射影定理）由系數(shù)和知，作垂直于，垂足H，由直角三角形攝影定理求得，另外討論D在C或B端點時的情況得法4：建系坐標(biāo)法求得，在由三角形相似計算得，另外討論D在C或B端點時的情況得．15．（1）解：在中，分別是的中點，則，……1分故，……2分，……3分，……5分；……7分（2）證明：因為，所以，……9分所以，……11分又因有公共點B，所以三點共線．……13分16．（1）連接，交于O，連接，……1分在平行六面體中，為平行四邊形，……3分為中點，為的中點，……4分平面平面，……6分平面；……7分（2）在平行六面體中，為的中點，N為的中點，，……8分為平行四邊形，從而，……9分平面平面，……10分平面，……11分由（1）可知：平面，……12分平面平面，且，……14分∴平面平面．……15分17．（1）在中，，故，由正弦定理得，即，而，故，故，故三角形手巾的面積為……7分（2）設(shè)，則，則在中，，在中，，……9分故，……11分由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故，即取到最小值即取最小值時，，……14分即此時．……15分18．（1）記F為的中點，連接，如圖1，因為分別為的中點，故，因為平面平面，所以平面，……2分又因為為正三角形，所以，又為等腰三角形，，所以，所以，即，所以，又平面平面，所以/平面，又平面，故平面平面，……5分又因為平面，故平面．……6分注：其它證明方法自行給分圖1（2）……9分①延長相交于點P，連接交于點N，連接．……11分②過點N作交于點Q，如圖2，因為平面平面，平面平面，所以，此時四點共面，……14分由（1）可知，，得，故，又因