/高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁。時(shí)間120分鐘，滿分150分。答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷指定位置，并將姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，然后認(rèn)真核對(duì)條形碼上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。作答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知等差數(shù)列的公差為，且，則的值為A．1980 B．1981 C．1982 D．19832．已知橢圓E：經(jīng)過點(diǎn)，則E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為A．1 B．2 C．4 D．3．已知，是兩個(gè)不同的平面，m，l是兩條不同的直線，若，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若，則的值是A．零 B．正數(shù) C．負(fù)數(shù) D．以上皆有可能5．當(dāng)時(shí)，的最大值是A．2 B． C．0 D．6．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，且離心率為，過點(diǎn)的直線l與C的一條漸近線垂直相交于點(diǎn)D，則A． B． C．2 D．37．若偶函數(shù)的最小正周期為，則A． B．的值是唯一的C．的最大值為 D．圖象的一條對(duì)稱軸為8．已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最大值為A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分，9．在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，甲、乙兩個(gè)班的成績(jī)情況如下表：班級(jí)人數(shù)平均分方差甲45881乙45902記這兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)的總平均分為，總方差為，則A． B． C． D．10．已知函數(shù)定義域?yàn)镽且不恒為零，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，則A．B．C．是圖象的一條對(duì)稱軸D．（56，0）是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心11．一般地，對(duì)于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，a，），在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，經(jīng)過點(diǎn)∠的終邊的對(duì)應(yīng)角為，則根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，因此，我們稱此種形式為復(fù)數(shù)的三角形式，r稱為復(fù)數(shù)z的模，稱為復(fù)數(shù)z的輻角．為使所研究的問題有唯一的結(jié)果，我們規(guī)定，適合的輻角的值叫做輻角的主值．已知復(fù)數(shù)z滿足，，為z的實(shí)部，為z的輻角的主值，則A．的最大值為B．的最小值為C．D．．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在中，，．若，則的面積為________．13．已知正四棱臺(tái)ABCD-EFGH中，，則該正四棱臺(tái)內(nèi)部能夠放入的最大球體的半徑為________．14．在龍年元宵節(jié)的一項(xiàng)無人機(jī)飛行表演中，將7架不同的“焰火”無人機(jī)和架不同的“燈光”無人機(jī)排成一列．已知每一架“焰火”無人機(jī)都至少和另一架“焰火”無人機(jī)相鄰，設(shè)這7架“焰火”無人機(jī)至少有5架連在一起的概率為p，要使得，則n的最小值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則：每一局比賽中，勝者得1分，負(fù)者得0分，且比賽中沒有平局．根據(jù)以往戰(zhàn)績(jī)，每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果互不影響．（1）經(jīng)過3局比賽，記甲的得分為X，求X的分布列和期望；（2）若比賽采取3局制，試計(jì)算3局比賽后，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分的概率．16．（本小題滿分15分）已知函數(shù)在處的切線方程為．（1）求a的值；（2）證明：．17．（本小題滿分15分）如圖，在直四棱柱中，四邊形ABCD為菱形，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，上的點(diǎn)，（1）若，且平面以平面，求實(shí)數(shù)的值；（2）若F是的中點(diǎn)，平面與平面BDF的夾角的余弦值為，求的值．18．（本小題滿分17分）如圖，動(dòng)直線與拋物線：交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是以AB為直徑的圓與的一個(gè)交點(diǎn)（不同于A，B），點(diǎn)C在AB上的投影為點(diǎn)M，直線為的一條切線．（1）證明：為定值；（2）求與的內(nèi)切圓半徑之和的取值范圍．19．（本小題滿分17分）一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）以“當(dāng)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)時(shí)命題也成立”．只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．已知集合A為有理數(shù)集Q的一個(gè)子集，且滿足以下條件：①且；②對(duì)任意的，存在唯一的，滿足，其中，表示不超過y的最大整數(shù)；③若，，則．證明：（1）；（2）對(duì)任意的，對(duì)每一個(gè)整數(shù)，都有；（3）．湘豫名校聯(lián)考2024屆春季學(xué)期高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案題號(hào)1234567891011答案BCCADADBBDBCDABD一、選擇題：本題共8小題，毎小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．B【解析】由條件可得，且，所以．故選B．2．C【解析】依題知，解得，所以E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．故選C．3．C【解析】由直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理可知C正確，故選C．4．A【解析】令，則，，所以．故選A．5．D【解析】因?yàn)樵剑ㄆ渲校?，由條件知，所以，所以原式的最大值為．故選D．6．A【解析】不妨設(shè)焦點(diǎn)為，其中一條漸近線為，則直線l的方程為，由解得即，因?yàn)?，所以，所以．故選A．7．D【解析】對(duì)于A，因?yàn)橹芷谥慌c有關(guān)，因此只需考慮的情況．若對(duì)任意，都有，即，所以，所以，所以A錯(cuò)設(shè)．對(duì)于B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以．因?yàn)?，，所以．又，所以或，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)取得最大值，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D，容易知道或時(shí)，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．所以D正確．故選D．8．B【解析】令，，則己知條件化為，即．利用直線與圓的有關(guān)知識(shí)可求得．令，則．所以，所以，令，則當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞增，所以．綜上所述，的最大值為2．故選B．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的將0分．9．BD【解析】依題意得，．故選BD．10．BCD【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱．所以．令，得．所以函數(shù)的周期為，所以，A錯(cuò)誤，，B正確；因?yàn)閳D象的對(duì)稱軸為，，所以是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，C正確；因?yàn)閳D象的對(duì)稱中心為，，所以（56，0）是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，D正確．故選BCD．11．ABD【解析】，的幾何意義：如圖，點(diǎn)Z在以（1，0）為圓心、以r為半徑的圓上或圓內(nèi)．對(duì)于A，B，的凡何意義為點(diǎn)Z與的距離，易得到其最大值為．也可以由絕對(duì)值三角不等式得．同理可知的最小值為，所以A，B正確．對(duì)于C，注意到圖中輻角的余弦值不小于，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D，設(shè)，有（其中是z的輻角的主值），由于，所以，所以D正確．故選ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．【解析】顯然，，，所以．所以．所以．13．【解析】如圖1，延長(zhǎng)AE，BF，CG，DH交于點(diǎn)I，易得與相似，相似比為，，，I在正四棱臺(tái)上、下底面的投影點(diǎn)分別記為，，，．首先四棱臺(tái)內(nèi)部能夠放入的球體的直徑，即；其次取AD，BC，GF，EH的中點(diǎn)M，N，S，T，作縱截面MNST，如圖2，設(shè)球的球心為O．O到線段SN的距離為d，則．，，，所以，，所以．所以．14．4047【解析】方法一：從排列的角度看問題．每一架“焰火”無人機(jī)都至少和另一架“焰火"無人機(jī)相鄰有四科情況，情況1：7架“焰火”無人機(jī)排在一起，此時(shí)有種方法，情況2：，組成方式為〇〇，〇〇〇〇〇，此時(shí)有種方法，情況3：，組成方式為〇〇〇，〇〇〇〇，此時(shí)有種方法．情況4：．組成方式為〇〇，〇〇，〇〇〇，此時(shí)有種方法．所以這7架“焰火”無人機(jī)至少有5架連在一起的概率為，所以．因?yàn)?，所以n的最小值為4047．方法二：我們可以不考慮“燈光”無人機(jī)的排法，同時(shí)也不考慮“焰火”無人機(jī)之間的相對(duì)位置，只需將對(duì)應(yīng)的“焰火”無人機(jī)放入“燈光”無人機(jī)形成的空位中即可．對(duì)7架“焰火”無人機(jī)排法進(jìn)行分類，①7架在一起，有種排法；②，由插空法知有，種排法；③，由插空法知有種排法；④．由插空法知有種排法；所以這7架“焰火”無人機(jī)至少有5架連在一起的概率為．所以．因?yàn)?，所以n的最小值為4047．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．【解析】（1）由題意，得X的取值可能為0，1，2，3，則，，，．所以X的分布列為X0123P方法一：故X的期望．方法二，因?yàn)椋訶的期望．（2）第3局比賽后，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分有兩種情況：甲獲勝2局，甲獲勝3局，所以所求概率為．16．【解析】（1）由題可得函數(shù)的定義域?yàn)镽，又，由條件知，解得，（2）注意到，令，則．令，則，所以在R上單調(diào)遞增，即在R上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遂減，在上單調(diào)遞增．所以，即，所以在R上單調(diào)遂增．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以．17．【解析】（1）方法一：如圖1，取AB的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形．且，所以是等邊三角形，所以．因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以．因?yàn)?，平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以E點(diǎn)和點(diǎn)重合．所以，即，即．圖1方法二：如圖2，在上取一點(diǎn)G，使，連接EG，．則平面平面，且．因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，所以．又平面平面，平面平面．平面．所以平面以．又平面，所以．又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，且，所以是等邊三角形，所以，即．圖2（2）方法一：以E為AB的中點(diǎn)．建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz．不妨設(shè)，，則，，，，，，所以，，，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面BDF的法向量為，則即令，則，，所以平面BDF的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面BDF的夾角為，則令，解得或，所以或．所以或．圖3方法二：連接AC，與BD相交于點(diǎn)O，連接與相交于點(diǎn)，連接，OF，．由題意得，，平面ABCD．建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，則，，所以，．易知，，所以．所以．解得或，所以或．所以或．圖418．【解析】（1）由消去y得．由，，得．所以的方程為，所以，．設(shè)，則由，得，結(jié)合，求得，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，所以，為定值．（2）設(shè)，內(nèi)切圓的半徑分別為，，則，．設(shè)的內(nèi)切圓半徑為R，則．所以，因?yàn)椋椎煤瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以．故與內(nèi)切圓