PAGEPAGE1其次節(jié)函數的單調性與最值A組基礎題組1.函數f(x)中,滿意“對隨意x1,x2∈(0,+∞),當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2)”的是()A.f(x)=1x B.f(x)=(x-1)C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)答案A由題意知f(x)在(0,+∞)上是減函數.A中,f(x)=1x滿意要求;B中,f(x)=(x-1)2在[0,1]上是減函數,在(1,+∞)上是增函數;C中,f(x)=ex2.函數f(x)=x+1A.減函數 B.增函數C.先減后增 D.無單調性答案B函數f(x)的圖象如圖所示,由圖結合單調性的定義可知,此函數在R上是增函數.3.已知函數f(x)=x3,x≤0A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-1,2) D.(-2,1)答案D因為當x=0時,兩個表達式對應的函數值都為0,所以函數的圖象是一條連續(xù)的曲線.因為當x≤0時,f(x)=x3為增函數,當x>0時,f(x)=ln(x+1)也是增函數,所以函數f(x)是定義在R上的增函數.因此,不等式f(2-x2)>f(x)等價于2-x2>x,即x2+x-2<0,解得-2<x<1.4.若函數f(x)=x2+a|x|+2,x∈R在區(qū)間[3,+∞)和[-2,-1]上均為增函數,則實數a的取值范圍是()A.-11C.[-3,-22] D.[-4,-3]答案B由于f(x)為R上的偶函數,因此只需考慮函數f(x)在(0,+∞)上的單調性即可.由題意知函數f(x)在[3,+∞)上為增函數,在[1,2]上為減函數,故-a25.定義在[-2,2]上的函數f(x)滿意(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,若f(a2-a)>f(2a-2),則實數a的取值范圍為()A.[-1,2) B.[0,2) C.[0,1) D.[-1,1)答案C由題意知函數在[-2,2]上單調遞增,∴-∴-∴0≤a<1,故選C.6.設函數f(x)=1,x>0,答案[0,1)解析易知g(x)=x27.已知函數f(x)=x2,x≤1答案26-6解析因為y=x2在(-∞,0)上單調遞減,在[0,+∞)上單調遞增,所以當x≤1時,f(x)min=f(0)=0.當x>1時,y=x+6x≥26,當且僅當x=6時,等號成立,此時f(x)min=26又26-6<0,所以f(x)min=26-6.8.f(x)=(3a-答案1解析由題意知,3a-所以a∈189.已知f(x)=xx(1)若a=-2,試證明f(x)在(-∞,-2)上單調遞增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上單調遞減,求a的取值范圍.解析(1)證明:任取x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x1x1+2-易知(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,-2)上單調遞增.(2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x1x1-a因為a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a≤1.綜上所述,0<a≤1.10.已知函數f(x)=lgx+(1)當a∈(1,4)時,求函數f(x)在[2,+∞)上的最小值;(2)若對隨意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,試確定a的取值范圍.解析(1)設g(x)=x+ax-2,當a∈(1,4),x∈[2,+∞)時,則g'(x)=1-ax2因此g(x)在[2,+∞)上是增函數,所以f(x)在[2,+∞)上是增函數,則f(x)min=f(2)=lna2(2)對隨意x∈[2,+∞),恒有f(x)>0,即x+ax所以a>3x-x2.令h(x)=3x-x2,x∈[2,+∞).由于h(x)=-x-32所以h(x)max=h(2)=2.故a>2時,恒有f(x)>0.因此實數a的取值范圍為(2,+∞).B組提升題組1.假如函數y=f(x)在區(qū)間I上是增函數,且函數y=f(x)x在區(qū)間I上是減函數,那么稱函數y=f(x)是區(qū)間I上的“緩增函數”,區(qū)間I叫做“緩增區(qū)間”.若函數f(x)=12A.[1,+∞) B.[0,3]C.[0,1] D.[1,3]答案D因為函數f(x)=12x2-x+32的圖象的對稱軸為x=1,所以函數y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數,又當x≥1時,f(x)x=12x-1+32x,令g(x)=12x-1+32x(x≥1),則g'(x)=12-32x2.設f(x)=(xA.[-1,2] B.[-1,0]C.[1,2] D.[0,2]答案D∵當x≤0時,f(x)=(x-a)2,f(0)是f(x)的最小值,∴a≥0.當x>0時,f(x)=x+1x+a≥2+a,當且僅當x=1時取“=”.要滿意f(0)是f(x)的最小值,只需2+a≥f(0)=a2,即a2∴a的取值范圍是0≤a≤2.故選D.3.設函數f(x)=-xA.(-∞,1] B.[1,4]C.[4,+∞) D.(-∞,1]∪[4,+∞)答案D作出函數y=f(x)的圖象,如圖所示,由圖象可知f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,2],(4,+∞),所以要使f(x)在(a,a+1)上單調遞增,需滿意a+1≤2或a≥4,即a≤1或a≥4,故選D.4.已知定義在R上的函數f(x)滿意:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②當x>0時,f(x)>-1.(1)求f(0)的值,并證明f(x)在R上是單調增函數;(2)若f(1)=1,解關于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4.解析(1)令x=y=0,得f(0)=-1,在R上任取x1,x2,且令x1>x2,則x1-x2>0,f(x1-x2)>-1.又f(x1)=f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),所以函數