第頁(yè)，共頁(yè)2024—2025學(xué)年度第二學(xué)期惠來(lái)一中第1次階段考高一數(shù)學(xué)試題（本試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若＝(3，5)，＝(－1，2)，則等于（）A.(4，3) B.(－4，－3)C.(－4，3) D.(4，－3)【答案】A【解析】【分析】由計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】故選：A2.已知向量，且，則m=A.?8 B.?6C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3.如圖，在矩形中，，分別為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則和四邊形法則，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意：又所以故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用向量的加法法則，熟練掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，對(duì)向量用其它向量表示有很大的作用，屬基礎(chǔ)題.4.在中，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在中，，再利用兩角和的余弦公式展開(kāi)計(jì)算即可.【詳解】解：∵在中，，∴，又，，∴，，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的余弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5.已知向量，不共線，且向量與的方向相反，則實(shí)數(shù)的值為A.1 B. C.1或 D.-1或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得出且，化簡(jiǎn)后得出，，即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：由題可知，，不共線，且向量與的方向相反，則，即，則，即，解得：或（舍去）.即實(shí)數(shù)的值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線的定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.在中，，，，則的面積為（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】結(jié)合余弦定理求出，進(jìn)而可求出三角形的面積.【詳解】解：由余弦定理可知，，即，整理得，解得或(舍去)，則，故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.本題的關(guān)鍵是求出.7.在中，，.點(diǎn)滿足，則A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求向量的數(shù)量積【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A是BM的中點(diǎn)，在中，，，，，，，，，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題。8.如圖，在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為，沿坡角為的斜坡向上走到達(dá)B處，在B處測(cè)得山頂P的仰角為，且A，B，P，C，Q在同一平面，則山的高度為（參考數(shù)據(jù)：?。ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在中，利用正弦定理，結(jié)合題干數(shù)據(jù)，即得解【詳解】，，．由正弦定理得，即，可得．所以山的高度為故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有一解的是（）A.b＝7，c＝3，C＝30° B.b＝5，c＝4，B＝45°C.a＝6，b＝3，B＝60° D.a＝20，b＝30，A＝30°【答案】BC【解析】【分析】利用正弦定理，結(jié)合三角形個(gè)數(shù)的判斷，判斷各選項(xiàng)的正誤．【詳解】解：對(duì)于A，∵b＝7，c＝3，C＝30°，∴由正弦定理可得：，無(wú)解；對(duì)于B，b＝5，c＝4，B＝45°，∴由正弦定理可得：，且c＜b，有一解；對(duì)于C，∵a＝6，b＝，B＝60°，∴由正弦定理可得：，此時(shí)C＝30°，有一解；對(duì)于D，∵a＝20，b＝30，A＝30°，∴由正弦定理可得：，且b＞a，則，∴B有兩個(gè)可能值，即有兩解，故選：BC．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用正弦定理判斷三角形解的個(gè)數(shù)時(shí)需要注意：（1）正弦值的范圍：；（2）利用正弦定理求解出正弦值后，注意結(jié)合“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍.10.下列命題中正確的是：（）A.兩個(gè)非零向量，，若，則與共線且反向B.已知，且，則C.若，，，為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D.若非零，滿足，則與的夾角是【答案】AD【解析】【分析】利用平面向量的數(shù)量積知識(shí)對(duì)各選項(xiàng)逐一運(yùn)算并判斷作答.【詳解】對(duì)于A，因，是非零向量，由兩邊平方得，則與共線且反向，A正確；對(duì)于B，，由得，則與可能垂直，B不正確；對(duì)于C，依題意得，為銳角，則，即，當(dāng)時(shí)，，即，顯然與不共線，則，于是得為銳角時(shí)，且，C不正確；對(duì)于D，，是非零向量，由得，則，，，而，于是得，即與的夾角是，D正確.故選：AD11.已知向量，函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期是B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.的單調(diào)增區(qū)間為【答案】AB【解析】【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及輔助角公式得，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由題意得，．的最小正周期，故A正確；由，知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；由，知的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)．由，得，，所以單調(diào)增區(qū)間為，故D錯(cuò)；故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，已知弧長(zhǎng)和面積均為的扇形的圓心角為，則__________．【答案】##【解析】【分析】應(yīng)用扇形的弧長(zhǎng)、面積公式求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義得，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式求.【詳解】由題意，可得，又，.故答案為：13.已知，則在方向上的投影向量為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】應(yīng)用投影向量的定義求在方向上的投影向量.【詳解】在方向上的投影數(shù)列為，所以投影向量為.故答案為：14.已知中，與相交于點(diǎn)P，則的面積為_(kāi)_________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量基本定理及共線向量定理的推論求得是中點(diǎn)，再利用三角形面積的倍分關(guān)系及三角形面積公式求解.【詳解】在中，令，則，又三點(diǎn)共線，則，解得，因此.故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.（1）化簡(jiǎn):；（2）已知，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)，可得，，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，的值，進(jìn)而結(jié)合兩角和的正弦公式求解即可.【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，所以，，所以，，所?16已知三個(gè)點(diǎn)．（1）求證：；（2）要使四邊形為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)并求矩形兩條對(duì)角線所成的銳角的正切值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），正切值為.【解析】【分析】（1）應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得，即可證；（2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合的坐標(biāo)表示求得，再應(yīng)用向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算求與夾角的余弦值，進(jìn)而求其正弦值.【小問(wèn)1詳解】由，則，又，即，則.【小問(wèn)2詳解】，四邊形為矩形，．設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，解得，故點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，故，又，設(shè)與的夾角為，則，，所以矩形的兩條對(duì)角線所成的銳角的正切值為．17.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，.（1）求角；（2）若點(diǎn)滿足，求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解法一：對(duì)條件中的式子利用正弦定理進(jìn)行邊化角，得到的值，從而得到角的大??；解法二：對(duì)對(duì)條件中的式子利用余弦定理進(jìn)行角化邊，得到的值，從而得到角的大??；解法三：利用射影定理相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行求解.（2）解法一：在中把邊和角都解出來(lái)，然后在中利用余弦定理求解；解法二：在中把邊和角都解出來(lái)，然后在中利用余弦定理求解；解法三：將用表示，平方后求出的模長(zhǎng).【詳解】（1）【解法一】由題設(shè)及正弦定理得，又，所以.由于，則.又因?yàn)?，所?【解法二】由題設(shè)及余弦定理可得，化簡(jiǎn)得.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所?【解法三】由題設(shè)，結(jié)合射影定理，化簡(jiǎn)可得.因?yàn)?所以.又因?yàn)?，所?（2）【解法1】由正弦定理易知，解得.又因?yàn)?，所以，?在中，因?yàn)?，，所以，所以在中，，，由余弦定理得，所?【解法2】在中，因?yàn)?，，所以?由余弦定理得.因?yàn)?，所?在中，，，由余弦定理得所以.【解法3】在中，因?yàn)?，，所以?因?yàn)?，所?則所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形問(wèn)題，方法較多，難度不大，屬于簡(jiǎn)單題.18.已知坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若點(diǎn)A，B，M三點(diǎn)共線，求t的值；（2）當(dāng)t取何值時(shí)，取到最小值？并求出最小值．（3）若為線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，的最小值為（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量減法運(yùn)算再根據(jù)共線計(jì)算求參即可；（2）先得出向量坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積公式結(jié)合二次函數(shù)值域求解；（3）根據(jù)向量加法及模長(zhǎng)公式結(jié)合二次函數(shù)值域求解.小問(wèn)1詳解】，，三點(diǎn)共線，與共線，即，，解得：．【小問(wèn)2詳解】，，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值．【小問(wèn)3詳解】由題意，設(shè)，則，所以，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)有最小值，當(dāng)時(shí)有最大值20，所以的取值范圍為，故的取值范圍為．19.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.（1）求角的大??；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及正弦定理將角化邊，再利用余弦定理計(jì)算可得；（2）利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)