第頁，共頁華僑城高級中學高一年級下學期學科素養(yǎng)能力測試數(shù)學試卷注意事項：1.本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘.2.答卷前，考生務必將自己的學校，班級和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼.3.作答選擇題時，用2B鉛筆在答題卡上將對應答案的選項涂黑.4.非選擇題的答案必須寫在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應位置上，不準使用鉛筆和涂改液.5.考試結(jié)束后，考生上交答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.的虛部為（）A.9 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算，將化為形式，即可得答案.【詳解】,所以的虛部為-7，故選：B2.在中，，則角的大小為（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理計算可得.【詳解】因為，由正弦定理，即，所以，又，所以，則.故選：A3.如圖所示，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原三角形面積是（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出的面積，再利用直觀圖與原圖形面積關(guān)系求出結(jié)果.【詳解】在中，，由，得，因此的面積，所以原三角形面積是.故選：C4.已知直三棱柱.則直三棱柱的體積為（）A.2 B. C.6 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)柱體的體積公式，即可求解.【詳解】因直三棱柱，所以直三棱柱的體積為.故選：D.5.如圖，在中，為邊的中點，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】借助平面向量的線性運算及平面向量基本定理計算即可得.【詳解】為的中點，，．故選：D.6.在中，向量與滿足，且，則為（）A直角三角形 B.等腰直角三角形C.等邊三角形 D.等腰非等邊三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件可知角的角平分線與垂直，可得，再由向量夾角公式得，得，求出即可得的形狀.【詳解】，分別為向量與的單位向量，因為，所以角的角平分線與垂直，所以是等腰三角形，且，由，，所以，所以，可得，所以是等腰直角三角形.故選：B7.如圖，為測量山高，選擇水平地面上一點和另一座山的山頂為測量觀測點．從點測得點的仰角，點的仰角以及，從點測得．已知山高，則山高（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出，在中，利用正弦定理求出，進而可得出，即為所求.【詳解】由題意可知，，又因為，則為等腰直角三角形，故，在中，，，則，由正弦定理，可得，由題意可知，，因為，則.故選：D.8.在銳角中，，則的范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)銳角三角形定義求出的范圍，利用正弦定理和三角恒等變換將所求化為關(guān)于的三角函數(shù)，然后由三角函數(shù)性質(zhì)求解可得.【詳解】在銳角中，，因為，，，所以，，解得，所以，，而，所以可得，所以由正弦定理可知：，因為，所以，所以，即故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)，則（）A.B.C.D.在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)不能比較大小判斷A，應用加法及模長公式計算判斷B，應用共軛復數(shù)及復數(shù)得乘法計算判斷C，結(jié)合除法運算律及對應點的坐標判斷D.【詳解】虛數(shù)不能比較大小，A選項錯誤；復數(shù)，則，則，B選項正確；，C選項錯誤；對應點為，D選項正確.故選：BD.10.已知向量，，滿足，，，則（）A. B.當時，C.當時， D.在上的投影向量的坐標為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量坐標運算及模的定義判斷A，根據(jù)向量平行可得坐標關(guān)系判斷B，根據(jù)垂直向量的數(shù)量積為0判斷C，根據(jù)投影向量的概念判斷D.【詳解】對A，，，，所以，故A錯誤；對B，，，當時，，即，故B正確；對C，，由可得，即，故C正確；對D，在的投影向量為，故D錯誤.故選：BC11.已知圓錐的頂點為P，底面半徑為，高為1，A，B是底面圓周上兩個動點，下列說法正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積是 B.圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是C.△PAB面積的最大值是 D.該圓錐內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值是【答案】AD【解析】【分析】對于A，由圓錐側(cè)面積公式可判斷選項正誤；對于B，由母線長及底面圓周長可判斷選項正誤；對于C，計算圓錐軸截面頂角，當時，面積最大，據(jù)此可判斷選項正誤；對于D，設圓錐內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為，由題可得圓柱側(cè)面積表達式，然后利用函數(shù)知識可判斷選項正誤.【詳解】根據(jù)題意，作出該圓錐的軸截面，圓錐的底面圓心為，依次分析選項：對于A，軸截面中，，底面半徑，所以母線長，故圓錐的側(cè)面積是，A正確；對于B，圓錐母線長為2，展開圖的弧長為，則圓心角弧度為，B錯誤；對于C，由題意可知,故圓錐軸截面的頂角為，則當時，的面積最大，其最大值為，?C錯誤；對于D，設圓錐內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為，則有，化簡可得，則圓柱的側(cè)面積，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當時，有最大值，D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)，，若為純虛數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)為純虛數(shù)，列式求解.【詳解】由復數(shù)為純虛數(shù)，可知，，得.故答案為：13.設，是不共線的兩個向量，，，.若A，B，D三點共線，則k的值為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知有，應用向量共線的基本定理有，即可求參數(shù).【詳解】由題設，，不共線，，，，三點共線，與共線，存在實數(shù)，使，，，解得.故答案為：14.古希臘數(shù)學家托勒密于公元150年在他的名著《數(shù)學匯編》里給出了托勒密定理，即圓的內(nèi)接凸四邊形的兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．已知AC，BD為圓的內(nèi)接四邊形ABCD的兩條對角線，且，若，則實數(shù)的最小值為_________．【答案】##1.5【解析】【分析】由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)結(jié)合正弦定理可得到，再利用托勒密定理得，結(jié)合整理得，求得答案.【詳解】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知;,所以，即，在中，,故，由題意可知：,則，所以，故，當且僅當時等號取得，又，所以，則，則實數(shù)的最小值為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知復平面內(nèi)表示復數(shù)（）的點為.（1）若點在函數(shù)圖像上，求實數(shù)的值；（2）若為坐標原點，點，且與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由復數(shù)的幾何意義求出點，再代入直線方程解出即可；（2）由向量的夾角為鈍角時數(shù)量積小于零且除去共線反向的情況解出即可.【小問1詳解】因為點在函數(shù)圖像上，所以，解得.【小問2詳解】，，因為與的夾角為鈍角，所以，所以，即，即，當兩向量共線且反向時，設，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.16.已知，，與的夾角是.（1）計算；（2）當k為何值時，？【答案】（1）（2）【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的計算規(guī)則計算.【小問1詳解】，，與的夾角是，則，即有；【小問2詳解】由可得，即，即，解得.則當k為時，；、綜上，（1），（2）.17.的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若的面積為．求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用和差角的正弦公式化簡即得.（2）利用三角形面積公式及余弦定理求解即得.【小問1詳解】在中，由，得，則，整理得，而，則，又，所以.【小問2詳解】由，得，即，又，則，整理得，因此，解得，所以的周長為.18.如圖，在中，，，，分別在邊，上，且滿足，，為中點.（1）若，求實數(shù)，的值；（2）若，求邊的長.【答案】（1），.（2）8【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算以及平面向量的基本定理求得正確答案.（2）利用轉(zhuǎn)化法化簡，從而求得的長.【小問1詳解】∵，，∴，∴，∴，.【小問2詳解】，，設，∵，，，即，解得（舍）或，∴長為8.19.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.（1）求角A的大??；（2）若，∠BAC的角平分線交BC于點D，求線段AD長度的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析