第頁，共頁慶云云天中學(xué)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期3月份調(diào)研考試高一數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷選擇題一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．）1.下列結(jié)論中，正確的是（）A.零向量的大小為0，沒有方向B.C.起點相同的單位向量，終點必相同D.若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零向量特點即可判斷A；根據(jù)向量模的定義即可判斷B，根據(jù)單位向量以及向量共線的性質(zhì)即可判斷CD.【詳解】對A，既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯誤；對B，由于與方向相反，長度相等，故B正確；對C，起點相同的單位向量，終點不一定相同，故C錯誤；對D，若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等或相反，故D錯誤．故選：B．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的加法三角形法則可得選項.【詳解】由向量加法的運算法則可知.故選：B.【點睛】本題考查向量的加法三角形法則的運用，屬于基礎(chǔ)題.3.若且，則四邊形的形狀為（）A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件中的向量關(guān)系反映出來大小關(guān)系和方向關(guān)系來判斷.【詳解】可知，四邊形為平行四邊形，又因為,所以四邊形為菱形．故選：C.【點睛】本題考查向量的大小和方向問題，是基礎(chǔ)題.4.若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的加減運算的坐標表示可得結(jié)果.【詳解】易知.故選：D5.已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由不共線的兩個非零向量才可以作為基底，結(jié)合共線定理對各項逐一判斷.【詳解】對于A，因為，所以與共線，不能作為基底；對于B，設(shè)，則，解得，所以與共線，不能作為基底；對于C，設(shè)，則，即：，此時無解，所以與不共線，可以作為基底；對于D，設(shè)，則，即：，解得，所以與共線，不能作為基底；故選：C6.在中，設(shè)，，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用給定條件結(jié)合平面向量的線性運算求解即可.【詳解】因為，，，所以，因為，，所以，故D正確.故選：D.7.已知，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量在向量上的投影公式進行計算即可.【詳解】因為向量在向量上的投影向量為：，故選：C.（24-25高一上·安徽銅陵·期末）8.已知，都是銳角，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，，由兩角差的余弦公式展開可得，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得和的值，代入即可求解.【詳解】解：，都是銳角，，，，，.故選：D.二、多選題（每題6分，共18分，選不全得3分，有錯誤選項得0分）9.已知，，分別是△三邊，，的中點，則下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和向量的加法三角形法則和平行四邊形法則，可得選項.【詳解】由加法的三角形法則可得，，，由三角形的中位線性質(zhì)得，四邊形ADEF是平行四邊形，，，故選：ACD．【點睛】本題考查向量的加法的三角形法則和平行四邊形法則的運用，關(guān)鍵在于由三角形的中位線的性質(zhì)得出向量的共線關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.10.已知，，，則（）A. B.若，則C.若，則 D.在上的投影向量的坐標為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量模的坐標表示即可判斷A；根據(jù)向量平行和垂直的坐標表示即可判斷BC；根據(jù)投影向量的公式即可判斷D.【詳解】對A，，故A錯誤；對B，若，則，解得，故B正確；對C，若，則，則，故C錯誤；對D，在上的投影向量的坐標為，故D正確.故選：BD.11.下列說法中不正確的是（）A.若，則，且四點構(gòu)成平行四邊形B.若非零實數(shù)，且，則與共線C.在中，若有，那么點一定在角A平分線所在直線上D.若向量，則與的方向相同或相反【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)四點共線即可判斷A，根據(jù)共線定理即可求解B，根據(jù)單位向量的定義以及向量加法的運算法則，即可由角平分線求解C，根據(jù)零向量即可求解D.【詳解】對于A，線段上，為線段的三等分點，滿足，且，但四點不能構(gòu)成平行四邊形，A錯誤；對于B，因為為非零實數(shù)，且，所以，所以與共線，B正確；對于C，因為、分別表示向量、方向上的單位向量，所以的方向與的角平分線重合，又，可得向量所在直線與的角平分線重合，所以點一定在角A的平分線所在直線上，C正確；對于D，若向量，則與的方向相同或相反，或與中至少有一個為零向量，D錯誤.故選：AD第Ⅱ卷非選擇題三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.設(shè)向量、的夾角的余弦值為，且，，則__________.【答案】【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義求出的值，再利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值.【詳解】設(shè)與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以.故答案為：.13.已知單位向量，的夾角為，則_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義及運算律計算即得.【詳解】由單位向量，的夾角為，得，所以.故答案為：14.若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角為___________.【答案】【解析】【分析】利用兩個向量夾角公式以及數(shù)量積的定義即可得到結(jié)果.【詳解】因為是夾角為的兩個單位向量，所以，所以，則與的夾角為.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知，求的值.【答案】【解析】【分析】把兩個已知等式兩邊平方相加，結(jié)合兩角差的余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】解：已知，則有，，兩式相加得，則，所以.16.已知平面向量，的夾角為，若，求的值【答案】【解析】【分析】對兩邊平方可得答案.【詳解】由兩邊平方得，即，即，解得.（24-25高一下·四川樂山·期末）17.已知平面向量.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若與的夾角為，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的坐標運算，由數(shù)量積為0即可求解，（2）根據(jù)夾角公式即可求解.【小問1詳解】由可得，由得，解得【小問2詳解】，故，解得（23-24高一下·廣西桂林·月考）18.已知，，．（1）若，求，；（2）若，求點的坐標．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示可得，即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示和建立關(guān)于x、y的方程組即可求解.【小問1詳解】依題意得，，則，所以，所以，．【小問2詳解】由（1）知，，所以．設(shè)點的坐標為，則，因為，所以，，所以，，故點的坐標為．19.在中，是上的點，且為的中點，與交于點.（1）用向量和表示向量；（2）求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）選取向量和作為基底，分解向量即可得解；（2）設(shè)，分解向量得，，由此可得方程組解出，進一步即可求解.【小問1詳解】因為，所以，所以，即.【小問2詳解】設(shè)，所以.由三點共線，可設(shè)，所以.另一方面，設(shè)，所以.因為不共線，所以且，解得.所以，即.20.如圖，在中，AD是BC邊上的中線.M為BD的中點，G是AD上一點，且，直線EF過點G，交AB于點E，交AC于點F.（1）試用和表示，（2）若，，求的最小值.【答案】