第頁(yè)，共頁(yè)合江中學(xué)高2024級(jí)高一下期第一次月考數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.回答第II卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.第I卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，，與的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，，與的夾角為，所以，故D正確.故選：D2.下列函數(shù)是奇函數(shù)，且最小正周期為的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐一分析即可.【詳解】是奇函數(shù)，最小正周期為，故不符合題意；是偶函數(shù)，最小正周期為，故不符合題意；是奇函數(shù)，最小正周期為，故符合題意；，得，所以的對(duì)稱(chēng)中心為，故不是奇函數(shù)，的最小正周期為，故不符合題意；故選：.3.已知角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，若其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)切弦互化和齊次化以及同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.【詳解】由題意知，則原式.故選：B.4.已知扇形的周長(zhǎng)是8cm，該扇形的圓心角是2弧度，則該扇形的面積是（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)和已知條件求出，再根據(jù)求解即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為r，圓心角的弧度數(shù)為，則，所以弧長(zhǎng)，扇形周長(zhǎng)，解得，所以扇形面積.故選：B.5.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A.向左平移個(gè)單位B.向右平移個(gè)單位C向左平移個(gè)單位D.向右平移個(gè)單位【答案】D【解析】【分析】先將兩函數(shù)利用誘導(dǎo)公式變?yōu)橥瘮?shù)，再由平移規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】易知，又因?yàn)?，因此只需將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位即可.故選：D6.設(shè)函數(shù)圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為，若、是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和的范圍可得的值，從而可得周期，然后由題意可知的最小值為可得.【詳解】由題知，則，因?yàn)?，所以所以易知的最小值?故選：B7.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD的靠近A的三等分點(diǎn)，則=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】依題意，.故選：B8.為迎接大運(yùn)會(huì)的到來(lái)，學(xué)校決定在半徑為，圓心角為的扇形空地的內(nèi)部修建一平行四邊形觀賽場(chǎng)地，如圖所示.則觀賽場(chǎng)地的面積最大值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，設(shè)，可用的三角函數(shù)值表示，，即可得到四邊形的面積，再根據(jù)三角函數(shù)的值域的求法即可求解．【詳解】如圖所示：．連接，設(shè)，作，，垂足分別為，由四邊形是平行四邊形，可知為矩形，又，則，，，于是，．因此四邊形的面積也為四邊形的面積，即有，而，則當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用三角恒等變換與三角誘導(dǎo)公式即可得解.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，故C正確.對(duì)于D，，故D正確.故選：CD.10.下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A.若，則B.若，則與的方向相同或相反C.若，，則D.對(duì)任一非零向量，是一個(gè)單位向量【答案】ABC【解析】【分析】本題利用向量平行的定義、零向量的方向以及單位向量的定義即可求解.詳解】對(duì)于A，向量不能比較大小，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，則或時(shí)，與的方向不是相同或相反，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，若，與是任意向量，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D，對(duì)任一非零向量，表示與方向相同且模長(zhǎng)為的向量，所以是的一個(gè)單位向量，故選項(xiàng)D正確；故選：ABC.11.（多選）已知函數(shù)（，）的圖象，如圖所示，則（）A.B.C.對(duì)任意的都有D.在上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】【分析】由圖，可得函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而可得的值，再將代入，解得的值，利用整體思想，由，可得的值，可得其對(duì)應(yīng)函數(shù)值，判函數(shù)的單調(diào)性也同理，可得答案.【詳解】由題圖知的最小正周期，則，所以．將代入得，則（），得（）．因?yàn)?，所以，故A，B正確．，當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足對(duì)任意的都有，C錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以，故在上單調(diào)遞減，D正確．故選：ABD．第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.______.【答案】##【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和兩角差的余弦公式進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果；【詳解】.故答案為：13.若，，則的取值范圍是______________.【答案】【解析】【分析】由兩向量同向共線和反向共線時(shí)分別由最大值和最小值，不共線時(shí)取值在其中計(jì)算即可；【詳解】由題意知，，且，當(dāng)，同向時(shí)，取得最小值，；當(dāng)，反向時(shí)，取得最大值，；當(dāng)，不共線時(shí)，，故的取值范圍是.故答案為：.14.已知函數(shù)（），若存在，，使得，則的最小值為_(kāi)___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn),再應(yīng)用最值得出自變量范圍,即可得出參數(shù)范圍,【詳解】.因?yàn)榇嬖?，，使得，所以，解?故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知向量與的夾角為，且，.（1）求，；（2）求在上的投影向量（用表示）.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積公式計(jì)算可得，對(duì)兩邊平方再開(kāi)方可得答案；（2）利用投影向量的公式計(jì)算可得答案..【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，且，，所以，；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，且，.所以在上的投影向量為16.已知函數(shù).（1）請(qǐng)用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫(huà)圖）；

（2）求在區(qū)間上的值域.【答案】（1）表格見(jiàn)解析，圖象見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)五點(diǎn)作圖法，分別令填寫(xiě)表格，再作出函數(shù)圖象；（2）根據(jù)的范圍求出的范圍，再求的范圍可得答案.【小問(wèn)1詳解】分別令，可得，【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以的值域?yàn)?17.已知函數(shù)，對(duì)，有.（1）求的值及函數(shù)的解析式；（2）若，時(shí)，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式與和角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由題意得，結(jié)合角的范圍即可求得，即得函數(shù)解析式；（2）先求得，利用同角的三角函數(shù)公式求得，由進(jìn)行拆角，利用和角公式展開(kāi)計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】，對(duì)，有，則，則，因，解得，故；【小問(wèn)2詳解】因，由，可得，則，故.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)；（3）若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象的周期和經(jīng)過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求得函數(shù)解析式；（2）由求解方程即得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心；（3）由題意，將函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)檗D(zhuǎn)化成在區(qū)間上的值域?yàn)?，利用正弦函?shù)的圖象性質(zhì)即可確定，計(jì)算即得參數(shù)的范圍.小問(wèn)1詳解】由圖可知，函數(shù)的最小正周期滿(mǎn)足：，解得，因，故，依題意，把點(diǎn)代入，可得，因函數(shù)圖象在附近呈上升趨勢(shì)，故得，又，則，故函數(shù)的解析式為；小問(wèn)2詳解】對(duì)于，由，可解得：，故函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為；【小問(wèn)3詳解】對(duì)于，因，則，由函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋傻迷趨^(qū)間上的值域?yàn)?，作出其圖象，可知需使，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù)，且圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心到與其相鄰的對(duì)稱(chēng)軸的距離為.（1）求的值及函數(shù)的解析式；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）將圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、正弦的和角公式、二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出即可.（2）利用正弦函數(shù)單調(diào)性求出單調(diào)遞增區(qū)間.（3）利用三角函數(shù)圖象的變換求出解析式，利用整體思想分離參數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.