專題四函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題第06講反比例函數(shù)的綜合問題（思維導圖+2考點+6種題型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03核心精講·題型突破考點一、反比例函數(shù)的純數(shù)學綜合HYPERLINK題型01、反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用題型02、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題題型03、反比例函數(shù)與三角形的綜合問題題型04、反比例函數(shù)與四邊形的綜合問題題型05、反比例函數(shù)與相似三角形的綜合考點二、反比例函數(shù)的實際應用題型06、反比例函數(shù)的實際應用試卷第=page22頁，共=sectionpages101101頁中考考點新課標要求命題預測反比例函數(shù)結(jié)合具體情境用實例體會反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達式；會用描點法畫出反比例函數(shù)的圖象；知道當k>0和k<0時反比例函數(shù))圖象的整體特征；能用反比例函數(shù)解決簡單的實際問題。反比例函數(shù)是非常重要的函數(shù)，年年都會考，總分值為15分左右，常考考點為:反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)k的幾何意義、雙曲線上點的坐標特征、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題以及反比例函數(shù)的應用與綜合題等.其中前兩個考點多以選擇、填空題的形式出題，后三個考點則是基礎解答題以及壓軸題的形式出題在填空題中，對反比例函數(shù)點的坐標特征考察的比較多，而且難度逐漸增大，常結(jié)合其他規(guī)則幾何圖形的性質(zhì)一起出題，多數(shù)題目的技巧性較強，復習中需要多加注意另外壓軸題中也常以反比例函數(shù)為背景，考察一些新定義問題。02知識導圖·思維引航03核心精講·題型突破考點一、反比例函數(shù)的純數(shù)學綜合問題題型01、反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用1．（2023·浙江嘉興·中考真題）已知點均在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，∴圖象在一三象限，且在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∵，∴．故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)(k是常數(shù)，)的圖象是雙曲線，當，反比例函數(shù)圖象的兩個分支在第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划?，反比例函數(shù)圖象的兩個分支在第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．2．（2024·浙江·中考真題）反比例函數(shù)的圖象上有，兩點．下列正確的選項是（

）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上的點的坐標特征，由于反比例函數(shù)，可知函數(shù)位于一、三象限，分情況討論，根據(jù)反比例函數(shù)的增減性判斷出與的大?。驹斀狻拷猓焊鶕?jù)反比例函數(shù)，可知函數(shù)圖象位于一、三象限，且在每個象限中，y都是隨著x的增大而減小，反比例函數(shù)的圖象上有，兩點，當，即時，；當，即時，；當，即時，；故選：A．3．（2024·浙江金華·二模）已知，是反比例函數(shù)（a為常數(shù)，）圖像上的兩點，若，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了比較反比例函數(shù)值的大小，解題的關鍵是數(shù)形結(jié)合，掌握函數(shù)的定義和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)．由于，反比例函數(shù)的圖象在一三象限，且在每個象限內(nèi)，y隨x到增大而減?。畵?jù)此可判斷．【詳解】解：由于，當時，反比例函數(shù)的圖象在第一象限，，且y隨x到增大而減?。?，則．故選：A．4．（2024·浙江溫州·二模）已知兩個反比例函數(shù)，．當時，的最大值和最小值分別為，，的最大值和最小值分別為，．若，則的值為（

）A． B． C． D．5【答案】D【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)：當時，在每一象限，y隨x的增大而減小；當時，在每一象限，y隨x的增大而增大，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．分和討論即可．【詳解】解：當時，∵，∴隨x的增大而減小，隨x的增大而增大，∴，，，，∵，∴，∴，∴；當時，∵，∴隨x的增大而增大，隨x的增大而減小，∴，，，，∵，∴，∴（不符合題意，舍去），綜上，，故選：D．5．（2024·浙江寧波·一模）如圖，點P，Q，R為反比例函數(shù)圖象上從左到右的三個點，分別過這三個點作x軸，y軸的垂線，與y軸的交點分別為點C，B，A，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次記為，其中，若，則（

）A．10 B．12 C．15 D．16【答案】C【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)k的幾何意義是解答本題的關鍵．圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次記為S1，S2，S3，由，可求出，，根據(jù)，解得，即得，進而即可求得．【詳解】解：如圖，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．故選：C．6．（2024·浙江麗水·二模）如圖，點，在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點，軸于點，軸于點，連結(jié)．若，，則的值為．

【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．過點作軸的垂線，根據(jù)設出未知數(shù)，再利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：過點作軸的垂線，垂足為，

，令，．又，點坐標可表示為．又點和點都在的圖象上，，，即．令與的交點為，則，．，點坐標為，．故答案為：．7．（2023·浙江溫州·二模）如圖，點是反比例函數(shù)上的點，過作軸，連接交于點，若，且的面積為5，則的值為.

【答案】20【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想以及運算求解能力，過點A作軸于點E，設，分析可知，結(jié)合的面積為5，可得，進而得解．【詳解】解：如圖，過點A作軸于點E，

∵軸，軸，∴，∵，∴，則，∵點A是反比例函數(shù)上的點，∴設，∴，則，將代入得：，解得：，∴，∵的面積為5，∴，整理得，，解得．故答案為：20．8．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)與交于點，若，則．【答案】【分析】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，聯(lián)立解析式求出交點坐標，得到，代入方程求出k的值即可．【詳解】解：解方程組，解得，，∴，∵，∴，∴，故答案為．9．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐標系內(nèi)，反比例函數(shù)的圖象過點．(1)若，求證：．(2)若，，，求該函數(shù)的表達式．【答案】(1)0(2)【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，圖象上點的坐標滿足解析式是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意得出，，然后由，即可證得．（2）由，，則，根據(jù)圖象上點的坐標特征得出，，即可得到，，根據(jù)，得出，，即可得出，，進而求得，，代入即可求得的值．【詳解】（1）證明：反比例函數(shù)的圖象過點．，，，．（2）解：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，該函數(shù)的表達式為．10．（2024·浙江寧波·一模）已知反比例函數(shù)，點都在該反比例函數(shù)圖象上．(1)求的值；(2)若點都在該反比例函數(shù)圖象上；①當，點和點關于原點中心對稱時，求點坐標；②當時，求的取值范圍．【答案】(1)3(2)①；②【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，利用待定系數(shù)法列方程求解即可得到答案；（2）①利用反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，結(jié)合題意求出，利用待定系數(shù)法列方程求解即可得到答案；②利用反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出，列不等式求解即可得到答案．【詳解】（1）解：反比例函數(shù)，點都在該反比例函數(shù)圖象上，，解得，；（2）解：點都在該反比例函數(shù)圖象上，且點和點關于原點中心對稱，，，則，解得，，將代入得，解得，；②，則，，，，．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法確定、點的對稱性質(zhì)、解不等式等知識，熟練掌握反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)是解決問題的關鍵．11．（2024·浙江紹興·一模）已知，，，點A與點B不重合．(1)若點A，B，C都在函數(shù)的圖象上，計算的值．(2)若點A，B，C都在函數(shù)的圖象上，求證：．(3)若點A，B，C都在函數(shù)（，常數(shù)）的圖象上，判斷與的大小關系，并說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)當時，；當時，．【分析】本題考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式是解答本題的關鍵．（1）由點A，B，C都在函數(shù)的圖象上得，，，代入即可求解；（2）由點A，B，C都在函數(shù)的圖象上得，，，代入即可求解；（3）由點A，B，C都在函數(shù)的圖象上得，，，代入即可求解．【詳解】（1）∵點A，B，C都在函數(shù)的圖象上，∴，，∴（2）∵點A，B，C都在函數(shù)的圖象上，∴，，，∴．又∵，∴，∴．（3）∵點A，B，C都在函數(shù)（，常數(shù)）的圖象上，∴，，，∴．∵，，∴，又∵，∴，當時，；當時，．12．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于，兩點，點在一次函數(shù)的圖象上，且．(1)求證：．(2)比較與的大小關系．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合：（1）先分別求出，再求出的值即可得到答案；（2）先求出，再證明即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：由題意，得，，，．（2）解：．，，，．題型02、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題13．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于兩點，點的橫坐標為1，點的橫坐標為，當時，的取值范圍是(

)

A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)不等式與函數(shù)圖像的關系，當時，的取值范圍是指反比例函數(shù)在一次函數(shù)上方圖像對應的的取值范圍，數(shù)形結(jié)合即可得到答案．【詳解】解：由圖可知，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于兩點，點的橫坐標為1，點的橫坐標為，當或時，有反比例函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像上方，即當時，的取值范圍是或，故選：B．【點睛】本題考查由函數(shù)圖像解不等式，熟練掌握不等式與函數(shù)圖像的關系是解決問題的關鍵．14．（2023·浙江金華·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，則不等式的解是（

）

A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】先求出反比例函數(shù)解析式，進而求出點B的坐標，然后直接利用圖象法求解即可．【詳解】解：∵在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，∵在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴，由題意得關于x的不等式的解集即為一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時自變量的取值范圍，∴關于x的不等式的解集為或，故選：A．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，解題的關鍵是正確求出點B的坐標．15．（2023·浙江湖州·中考真題）已知在平面直角坐標系中，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個交點中，有一個交點的橫坐標為1，點和點在函數(shù)的圖象上(且)，點和點在函數(shù)的圖象上．當與的積為負數(shù)時，t的取值范圍是(

)A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】將交點的橫坐標1代入兩個函數(shù)，令二者函數(shù)值相等，得．令，代入兩個函數(shù)表達式，并分別將點A、B的坐標和點C、D的坐標代入對應函數(shù)，進而分別求出與的表達式，代入解不等式并求出t的取值范圍即可．【詳解】解：∵的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個交點中，有一個交點的橫坐標為1，∴．令，則，．將點和點代入，得；將點和點代入，得．∴，，∴，∴．∵，∴，∴．①當時，，∴不符合要求，應舍去；②當時，，∴符合要求；③當時，，∴不符合要求，應舍去；④當時，，∴符合要求；⑤當時，，∴不符合要求，應舍去．綜上，t的取值范圍是或．故選：D．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，解不等式是本題的關鍵．16．（2023·浙江杭州·中考真題）在直角坐標系中，已知，設函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點和點．已知點的橫坐標是2，點的縱坐標是．

(1)求的值．(2)過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第二象限交于點；過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，在第四象限交于點．求證：直線經(jīng)過原點．【答案】(1)，(2)見解析【分析】（1）首先將點的橫坐標代入求出點A的坐標，然后代入求出，然后將點的縱坐標代入求出，然后代入即可求出；（2）首先根據(jù)題意畫出圖形，然后求出點C和點D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出所在直線的表達式，進而求解即可．【詳解】（1）∵點的橫坐標是2，∴將代入∴，∴將代入得，，∴，∵點的縱坐標是，∴將代入得，，∴，∴將代入得，，∴解得，∴；（2）如圖所示，

由題意可得，，，∴設所在直線的表達式為，∴，解得，∴，∴當時，，∴直線經(jīng)過原點．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)表達式等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．17．（2022·浙江杭州·中考真題）設函數(shù)，函數(shù)（，，b是常數(shù)，，）．(1)若函數(shù)和函數(shù)的圖象交于點，點B(3，1)，①求函數(shù)，的表達式：②當時，比較與的大小（直接寫出結(jié)果）．(2)若點在函數(shù)的圖象上，點C先向下平移2個單位，再向左平移4個單位，得點D，點D恰好落在函數(shù)的圖象上，求n的值．【答案】(1)①，；②(2)1【分析】（1）①把點B(3，1)代入，可得；可得到m=3，再把點，點B(3，1)代入，即可求解；②根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖象，觀察圖象，即可求解；（2）根據(jù)點在函數(shù)的圖象上，可得，再根據(jù)點的平移方式可得點D的坐標為，然后根據(jù)點D恰好落在函數(shù)的圖象上，可得，即可求解．【詳解】（1）解：①把點B(3，1)代入，得，∴．∵函數(shù)的圖象過點，∴，∴點B(3，1)代入，得：，解得，∴．②根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖象，如圖∶觀察圖象得∶當時，函數(shù)的圖象位于函數(shù)的下方，∴．（2）解∶∵點在函數(shù)的圖象上，∴，∵點C先向下平移2個單位，再向左平移4個單位，得點D，∴點D的坐標為，∵點D恰好落在函數(shù)的圖象上，∴，∴，解得．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．18．（2024·浙江金華·模擬預測）如圖，直線（為常數(shù)）與軸交于點，與軸交于點，點在函數(shù)的圖象上，過點分別作軸的垂線交直線于點，則的值為．【答案】10【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，掌握一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象上點的特點，兩點之間距離公式的計算是解題的關鍵．根據(jù)題意分別求出，設，根據(jù)圖形可得點的縱坐標為，點的橫坐標為，分別代入直線中可得，根據(jù)兩點之間距離公式分別求出即可求解．【詳解】解：在直線中，令，則，令，則，∴，∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴設，根據(jù)圖示可得，，∵軸交于直線于點，軸與直線交于點，∴點的縱坐標為，點的橫坐標為，∴把代入直線解析式得，，解得，，即，把代入直線解析式得，，∴，∴，，∴，故答案為：．19．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，的頂點在反比例函數(shù)的圖象上，頂點在軸的正半軸上，，過原點作的平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點，連結(jié)交軸于點，連結(jié)．若，則的值為，四邊形的面積為．【答案】/【分析】本題考查反比例函數(shù)的幾何意義，關鍵是掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．設點坐標為，，然后根據(jù)已知條件求出點坐標，用待定那個系數(shù)法求直線的解析式，再根據(jù)求出直線解析式，然后解方程組求出點坐標，求出點坐標，然后把，，坐標代入直線解析式，從而求出的值，再根據(jù)面積公式求面積．【詳解】解：設點坐標為，，，點在軸上，，設的表達式為，代入，得，解得，的表達式為，，的表達式為，聯(lián)立方程組，解得，，，，點，，設直線的表達式為，代入，得：，把點坐標代入得：，，解得，點所在反比例函數(shù)解析式為，則．故答案為：，．20．（2024·浙江杭州·二模）借助描點法可以幫助我們探索函數(shù)的性質(zhì)，某小組在研究了函數(shù)與性質(zhì)的基礎上，進一步探究函數(shù)的性質(zhì)，以下結(jié)論：①當時，存在最小值；②當時，隨的增大而增大；③當時，自變量的取值范圍是；④若點在的圖像上，則點也必定在的圖像上．其中正確結(jié)論的序號有．【答案】①②④【分析】題目主要考查反比例函數(shù)的圖象及反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意描點畫出函數(shù)大致草圖，連線過程需注意圖象走勢并結(jié)合完全平方公式得出其最值，最后根據(jù)圖象和取點算法大致分析其性質(zhì)作進一步判斷即可．【詳解】解：∵，x．．．013．．．y．．．545．．．．．．．．．隨著描點的數(shù)量不斷增加，其草圖如下，令，當時，即時，，當且僅當，即，，故①正確，符合題意；同理，結(jié)合圖象得，當時，，即在時，y存在最大值，此時結(jié)合草圖分析得：當時，隨的增大而增大，故②正確，符合題意；由草圖可知，當時，或，故③錯誤，不符合題意；由描點可知，其圖形關于對稱，即當時，，，則有，．故④正確，符合題意．故答案為：①②④．21．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，點A，B分別在函數(shù)圖象的兩支上（A在第一象限），連接AB交x軸于點C．點D，E在函數(shù)圖象上，軸，軸，連接．若，的面積為9，四邊形的面積為14，則的值為，a的值為．

【答案】129【分析】如圖，延長，交于點，與軸交于點，而軸，軸，可得，的面積是5，設，，則，，，利用面積可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解題即可．【詳解】解：如圖，延長，交于點，與軸交于點，而軸，軸，∴，∵的面積為9，四邊形的面積為14，∴的面積是5，

設，，∴，，∴，，，，∴，，整理得：，，∵，，∴，∴，∴，則③，把③代入②得：，∴，即④，把③代入①得：⑤，把④代入⑤得：；故答案為：12；9【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的幾何應用，平行線分線段成比例的應用，坐標與圖形面積，熟練的利用方程思想解題是關鍵．22．（2023·浙江金華·二模）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫坐標是縱坐標兩倍的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“倍值點”，例如：點是函數(shù)的圖象的“倍值點”．(1)分別判斷函數(shù)，的圖象上是否存在“倍值點”？如果存在，求出“倍值點”的坐標；如果不存在，說明理由；(2)設函數(shù)，的圖象的“倍值點”分別為點，，過點作軸，垂足為．當?shù)拿娣e為2時，求的值；(3)若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為，當，兩部分組成的圖象上恰有2個“倍值點”時，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)不存在“倍值點”，理由見解析；的圖象上存在兩個“倍值點”或；(2)的值為或6；(3)當，兩部分組成的圖象上恰有2個“倍值點”時，或．【分析】（1）根據(jù)“倍值點”的定義建立方程求解即可得出答案；（2）先根據(jù)“倍值點”的定義求出函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”，同理求出，根據(jù)的面積為3可得，求解即可；（3）先求出函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”或，再利用翻折的性質(zhì)分類討論即可．【詳解】（1）解：在中，令，得不成立，函數(shù)的圖象上不存在“倍值點”；在中，令，解得：，，函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”或；（2）解：在函數(shù)中，令，解得：，，在函數(shù)中，令，解得：，，軸，，，的面積為2，，（舍去），，的面積為2，，，，（舍去），綜上所述，的值為或6；（3）解：令，解得：，，函數(shù)的圖象上有兩個“倍值點”或，①當時，，兩部分組成的圖象上必有2個“倍值點”或，，，令，整理得：，的圖象上不存在“倍值點”，△，，，②當時，有3個“倍值點”，③當時，，兩部分組成的圖象上恰有2個“倍值點”，④當時，，兩部分組成的圖象上恰有1個“倍值點”，⑤當時，，兩部分組成的圖象上沒有“倍值點”，綜上所述，當，兩部分組成的圖象上恰有2個“倍值點”時，或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)與新定義“倍值點”的綜合運用，一元二次方程根的判別式，翻折的性質(zhì)等，綜合性較強，解題的關鍵是理解并運用新定義，運用分類討論思想解決問題．題型03、反比例函數(shù)與三角形的綜合問題23．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，點A在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點B，C為x軸正半軸上一點，將繞點A旋轉(zhuǎn)得到，點C的對應點D恰好落在該函數(shù)圖象上．若的面積為6，則k的值為．【答案】8【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式等知識．熟練掌握反比例函數(shù)與幾何綜合，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式是解題的關鍵．設，由，可求，則，由將繞點A旋轉(zhuǎn)得到，可知為的中點，設，則，進而可得，計算求解即可．【詳解】解：設，∵的面積為6，∴，即，解得，，∴，∵將繞點A旋轉(zhuǎn)得到，∴為的中點，設，則，∵均在函數(shù)圖象上，∴，解得，，故答案為：8．24．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)（為大于0的常數(shù)，）圖象上的兩點，滿足．的邊軸，邊軸，若的面積為6，則的面積是．【答案】2【分析】過點作軸于點，軸于點，于點，利用，，得到，結(jié)合梯形的面積公式解得，再由三角形面積公式計算，即可解答．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，軸于點，于點，

故答案為：2．【點睛】本題考查反比例函數(shù)中的幾何意義，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．25．（2025·浙江寧波·一模）如圖，在平面直角坐標系中，A、B兩點在反比例函數(shù)

的圖象上，延長交x軸于C點，且，D是第二象限一點，且，若的面積是15，則k的值為（

）A．8 B．10 C．11.5 D．13【答案】B【分析】本題考查的是反比例函數(shù)的的幾何意義，過作軸于，過作軸于，連接，證明，可得，設，而，可得，再進一步求解即可.【詳解】解：過作軸于，過作軸于，連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，設，而，∴的縱坐標為，∴，∴，∴，解得：，故選：B26．（2024·浙江·模擬預測）如圖，直線與雙曲線交于點P和點Q，點M在x軸上，且，若的面積為，則k的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，根據(jù)題意可得，利用三角形的面積建立關于x的方程，求出點P坐標即可得到k值．【詳解】解：設，則，∵點M在x軸上，且，∴，∴，∴，∴，解得（舍去）∴．∵P點在反比例函數(shù)圖象上，∴．故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積公式，熟練掌握圖象的對稱性，勾股定理是解題的關鍵．27．（2024·浙江溫州·三模）如圖，點A，B在x正半軸上（點B在點A的右邊），，分別以為邊作等邊三角形，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過中點E，與邊交于點F．作軸于點軸于點N．若陰影部分的面積等于，則k的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何綜合，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點E的坐標為，運用勾股定理得出，則點F的坐標為，得出，解出，再代入，即可作答．【詳解】解：如圖所示：過點E作軸設，則∵以為邊作等邊三角形，且點E是中點∴∴，∴點E的坐標為，∵陰影部分的面積等于，∴，∴，∵以為邊作等邊三角形，∴∴∴點F的坐標為∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過中點E，與邊交于點F．∴即解得（負值已舍去）∴故選：C．28．（2023·遼寧遼陽·模擬預測）如圖，等腰直角位于第一象限，，直角頂點在直線上，點橫坐標為，兩條直角邊分別平行于軸、軸，若雙曲線與有交點，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用，求出兩點坐標，再分別經(jīng)過兩點時的值即可得出取值范圍，求出兩點坐標是解題的關鍵．【詳解】解：∵點在直線上，點的橫坐標為，∴把代入得，，∴的坐標是，∵，∴點的坐標是，點的坐標是，∴的中點坐標為，當雙曲線經(jīng)過點時，；當雙曲線經(jīng)過點時，；∴，故選：．29．（2024·浙江溫州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，點，，將向右平移到位置，點A，O分別與點C，D對應，函數(shù)的圖象經(jīng)過點C和的中點F，則k的值為．【答案】6【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征，坐標與圖形變化—平移，正確表示出點C和點F是解題的關鍵．根據(jù)題意可知，，，設，即可表示出點C和點F的坐標，利用函數(shù)的圖象經(jīng)過點C和點F，代入列出關于a的方程，進行求解即可．【詳解】解：由平移可得，，設∵點，∴則中點坐標為：∴，∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點C和點F，∴解得：∴故答案為：6．30．（2024·浙江·模擬預測）已知，點，均在反比例函數(shù)的圖象上，若將線段順時針旋轉(zhuǎn)，的對應點為，得到線段的兩端點仍在反比例函數(shù)的圖象上，且，則的值為．【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關鍵；根據(jù)題意可知，當時，在二，四象限，即，求出坐標，結(jié)合，即可求解；【詳解】解：當時，在二，四象限，即，點旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn)坐標為，∴作軸于點C,作軸于點D，∴，∴．∴．在與中∴≌∴，∴．，即，即，，將坐標代入，，故答案為：31．（2024九年級下·浙江·專題練習）平面直角坐標系中，直線分別與函數(shù)的圖象交于、，若軸負半軸上存在點使得是以為直角頂點的等腰直角三角形，則為．【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及全等三角形的判定和性質(zhì)進行計算即可．【詳解】解：由題意得，，∴，設且，∴，∴，如圖，過點作軸，過點作軸，垂足分別為、，∵是以為直角頂點的等腰直角三角形，∴，，又∵，∴，∵，∴（），∴，∵，而，∴，即，而，∴，而，解得，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)、全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，反比例函數(shù)與幾何的綜合等知識點，正確畫出圖形是解答本題的關鍵．32．（2024·浙江溫州·三模）如圖，A、C是反比例函數(shù)第一象限圖象上的點，延長交x軸于點B．現(xiàn)將沿翻折，點C的對應點D恰好落在反比例函數(shù)第二象限的圖象上，且軸．已知點E在線段上，且點E是是的重心．連結(jié)，若的面積為6，則的值為．【答案】18【分析】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的重心，翻折變換，掌握的幾何意義是解題的關鍵．由點在上，且是的重心，的面積為6，可得，可得再進一步解答即可．【詳解】解：點在上，且是的重心，的面積為6，，，，由對折可得：，，，，；故答案為：1833．（2024·浙江·一模）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與軸，軸交于，以線段為邊向第一象限內(nèi)作等邊三角形，反比例函數(shù)圖象恰好經(jīng)過邊的中點，與邊交于點．若的面積為，則的值為．【答案】/【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，由一次函數(shù)解析式可得,，，繼而發(fā)現(xiàn)軸，得到，由中點坐標公式可得，根據(jù)反比例函數(shù)值的幾何意義，，代入計算即可，掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：∵一次函數(shù)解析式為，當時，，∴，當時，，解得：，∴,∴，，∵，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴軸，在中，，，∴，∴，∵點是線段的中點，∴，過點作，軸，交于點，如圖：根據(jù)反比例函數(shù)值的幾何意義，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，故答案為：．34．（2023·浙江金華·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，已知，．(1)點的坐標為（____，____）；(2)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)度．①當時，點恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，求的值；②在旋轉(zhuǎn)過程中，點、能否同時落在上述反比例函數(shù)的圖象上？若能，求出的值；若不能，請說明理由．【答案】(1)，(2)①；②當時，、能同時落在上述反比例函數(shù)的圖象上．【分析】（1）作軸于點，在直角中，利用三角函數(shù)即可求得、的長度，則的坐標即可求解；（2）①當時，點的位置與一定關于軸對稱，在的坐標可以求得，利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；②當時，旋轉(zhuǎn)后點的橫縱坐標正好互換，則一定都在反比例函數(shù)的圖象上．【詳解】（1）解：如圖，作軸于點，在直角中，，則，，則的坐標是，故答案為：，；（2）解：①當時，的坐標與一定關于軸對稱，則旋轉(zhuǎn)后的點．把代入函數(shù)解析式得：；②當時，旋轉(zhuǎn)后點，點，，當，、能同時落在上述反比例函數(shù)的圖象上．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，三角函數(shù)的綜合應用，坐標與圖形等，正確求得點的坐標是關鍵．35．（2024·江蘇蘇州·三模）如圖1，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，點，一次的數(shù)與y軸相交于點C．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；(2)）如圖2，點是反比例函數(shù)圖象上點右側(cè)一點，連接，把線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應點恰好也落在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點的坐標．【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為，一次函數(shù)解析式為(2)點坐標為【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟知反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵．（1）將點坐標代入反比例函數(shù)解析式，求出，再求出點坐標，最后用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可．（2）先設出點的坐標，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的性質(zhì)得出點的坐標即可解決問題．【詳解】（1）將點坐標代入反比例函數(shù)解析式得，，所以反比例函數(shù)解析式為．將點坐標代入反比例函數(shù)解析式得，，所以點的坐標為．將點和點的坐標代入一次函數(shù)解析式得，，解得，所以一次函數(shù)解析式為．（2）設點的坐標為，過點作軸的平行線，分別過點和點作的垂線，垂足分別為和，由旋轉(zhuǎn)可知，，，，．在和中，，．，．點坐標為，點坐標為，，，點的坐標為，．點在函數(shù)圖象上，，解得，，因為點坐標為，所以舍去，所以點坐標為．36．（2023·浙江金華·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形的一邊在軸上，軸，軸，已知，，，過點A的雙曲線與交于點，點從點A出發(fā)沿射線運動，點從點出發(fā)沿軸正半軸運動，點、同時出發(fā)，運動速度分別是以每秒2個單位和4個單位，運動的時間設為．(1)求點的坐標；(2)當時，求的面積；(3)是否存在是直角三角形的情況，如果存在，請求出時間的值，如果不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)當?shù)闹禐榛蚧蚧驎r，是直角三角形【分析】（1）如圖，設雙曲線的解析式為，過A作軸于，解直角三角形得到，于是得到雙曲線的解析式為，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，求得，于是得到；（2）由題意得，，，解方程得到，求得，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）當時，如圖，過點作軸的垂線，垂足為，交的延長線于，當時，如圖，過點作軸的垂線，垂足為，交的延長線于，當時，如圖，過點作軸的垂線交的延長線于，過作軸的垂線交的延長線于，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，設雙曲線的解析式為，過A作軸于，∵在中，，，，，，，點A在雙曲線上，，雙曲線的解析式為，∵軸，軸，四邊形是矩形，，，點的橫坐標為10，，；（2）解：由題意得，，，∵，，解得，，，，∴；（3）解：當時，如圖，過點作軸的垂線，垂足為，交的延長線于，則有，，，，，，，，，，解得，（舍去）；當時，如圖，過點作軸的垂線，垂足為，交的延長線于，則有，，，解得，．當時，如圖，過點作軸的垂線交的延長線于，過作軸的垂線交的延長線于，則有，，，解得，（舍去）；所以，當?shù)闹禐榛蚧蚧驎r，是直角三角形．【點睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確地作出輔助線是解題的關鍵．題型04、反比例函數(shù)與四邊形的綜合問題37．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖，點A、B在x軸上，分別以，為邊，在x軸上方作正方形，．反比例函數(shù)的圖象分別交邊，于點P，Q．作軸于點M，軸于點N．若，Q為的中點，且陰影部分面積等于6，則k的值為．

【答案】24【分析】設，則，從而可得、，由正方形的性質(zhì)可得，由軸，點P在上，可得，由于Q為的中點，軸，可得，則，由于點Q在反比例函數(shù)的圖象上可得，根據(jù)陰影部分為矩形，且長為，寬為a，面積為6，從而可得，即可求解．【詳解】解：設，∵，∴，∴，∴，在正方形中，，∵Q為的中點，∴，∴，∵Q在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵P在上，∴P點縱坐標為，∵P點在反比例函數(shù)的圖象上，∴P點橫坐標為，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，故答案為：24．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)及矩形的面積公式，讀懂題意，靈活運用所學知識是解題的關鍵．38．（2022·浙江湖州·中考真題）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的負半軸上，點B在y軸的負半軸上，，以AB為邊向上作正方形ABCD．若圖像經(jīng)過點C的反比例函數(shù)的解析式是，則圖像經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式是．【答案】【分析】過點C作CE⊥y軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F，設，，結(jié)合正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，得到≌≌，然后表示出點C和點D的坐標，求出，即可求出答案．【詳解】解：過點C作CE⊥y軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F，如圖：∵，設，，∴點A為（，0），點B為（0，）；∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∴，∴，同理可證：，∵，∴≌≌，∴，，∴，∴點C的坐標為（，），點D的坐標為（，），∵點C在函數(shù)的函數(shù)圖像上，∴，即；∴，∴經(jīng)過點D的反比例函數(shù)解析式為；故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)，余角的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的表示出點C和點D的坐標，從而進行解題．39．（2024·浙江·模擬預測）如圖，正方形的頂點A，B在x軸上，點，正方形的中心為點M，點E，F(xiàn)，G，H分別在邊上，且四邊形是正方形．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點M，H．則圖中陰影部分的面積是．【答案】30【分析】本題考查了反比例函數(shù)，正方形的性質(zhì)及三角形的全等的性質(zhì)的應用是本題的解題關鍵．作，根據(jù)點坐標求出點坐標即可解答，證明，求出，，即可求出的面積，從而求出陰影面積．【詳解】解：點，，，，，作，如圖，正方形的中心為點，，，，，，把代入，，，，四邊形是正方形，，，正方形，，，，，，，圖中陰影部分的面積為．故答案為：30．40．（2024·浙江舟山·三模）如圖，在平面直角坐標系中，A點的坐標為，以為一邊向上作，對角線與相交于點P，若點C和點P同時在反比例函數(shù)圖象上，則點B的坐標為．

【答案】【分析】此題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，設點B的坐標為，得到點P的坐標為，點C的坐標是，根據(jù)點C和點P同時在反比例函數(shù)圖象上得到關于m、n的方程組，解方程組即可得到答案．【詳解】解：設點B的坐標為，∵四邊形是平行四邊形，A點的坐標為，O點的坐標為，∴點P是、的中點，∴點P的坐標為，即，∴點C的坐標是∵點C和點P同時在反比例函數(shù)圖象上，∴，解得，∴點B的坐標為故答案為：．41．（2024·浙江臺州·二模）如圖，點A是反比例函數(shù)上一動點，點的坐標為，過點作軸，垂足為點，以、為邊作矩形，將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，在點運動的過程中，點的對應點坐標為，則與滿足的關系式為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由點坐標為，點的坐標為，得出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，進一步得到，于是得到，于是得到，即．【詳解】解：點坐標為，點的坐標為，則，，矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，，，，，在此反比例函數(shù)圖象上，，．故答案為：．42．（2023·浙江寧波·模擬預測）如圖，直線，分別交反比例函數(shù)的圖象于點，和點，，分別交軸于點，，且，直線交軸于點，它的函數(shù)表達式為，連結(jié)．（1）若點的橫坐標為，則點的坐標為；（2）若，則的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，中心對稱圖形，反比例函數(shù)的系數(shù)與面積的關系，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象中一些面積的應用是解題的關鍵．（1）求出點的坐標，再得出四邊形關于原點成中心對稱，即可求解；（2）連結(jié)，，先利用得，設，得，直線：，，則，聯(lián)立和確定點坐標，利用反比例中面積模型（或過和作軸垂線得直角梯形，利用面積轉(zhuǎn)化）可得，列式計算即可．【詳解】（1）將代入，得，∴，直線，且，及反比例函數(shù)的中心對稱性知，四邊形關于原點成中心對稱，因此四邊形為平行四邊形，且，故答案為：；（2）如圖，連結(jié)，，由（1）可知四邊形為平行四邊形，點是中心對稱圖形的中心，則，，三點在同一條直線上，，交于點，，，設，，直線：，，，聯(lián)立和得：，解得：或（舍去），，利用反比例中面積模型（或過和作軸垂線得直角梯形，利用面積轉(zhuǎn)化）可得：，，解得：，，故答案為：．43．（2024·浙江·模擬預測）如圖，直線與軸相交于點，與軸相交于點，與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點．過點作軸的垂線，垂足為，連接、，并延長，與直線相交于點．在第一象限找點，使以為頂點的四邊形為平行四邊形，反比例函數(shù)，經(jīng)過點．(1)求的面積．(2)在反比例函數(shù)的圖象上找點，使是直角三角形，求出符合要求的點的坐標．(3)如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一點，軸于點，軸于點，分別交反比例函數(shù)的圖象于兩點，求的面積．【答案】(1)15(2)、、、(3)或【分析】（1）先求出，由，解得，，再由即可求解；（2）先根據(jù)勾股定理逆定理得到是直角三角形，，①當為平行四邊形的對角線時，此時為平行四邊形，則，求得經(jīng)過點N的反比例函數(shù)的表達式為，設，當，聯(lián)立，可求，當，則，得到，解得：或（舍），則；②當為平行四邊形的對角線時，此時為平行四邊形，此時也為矩形，此時，同上可求反比例函數(shù)的表達式為，當，聯(lián)立，解得，則，當時，此時點與點N重合，則，綜上所述，點D的坐標為：、、、；（3）設點，，當點E在上時，由題意可得，，因此，所以，，，故；當點E在上時，同理可得．【詳解】（1）解：把代入得，，∴，把代入得，，∴，∴，∴，，∴，由，解得或，∴，，∴；（2）解：設直線的解析式為，把代入得，，∴，∴直線的解析式為，把代入得，，∴，∵，，∴，∴是直角三角形，，即，設，①當為平行四邊形的對角線時，此時為平行四邊形，有，解得，∴，代入得，∴反比例函數(shù)的表達式為，設，如圖，當，聯(lián)立，解得，∴，當，則，∴，解得：或（舍），∴；②當為平行四邊形的對角線時，此時為平行四邊形，此時也為矩形，有，解得，∴，同上可求反比例函數(shù)的表達式為，如圖，當，聯(lián)立，解得，∴，當時，此時點與點N重合，∴，綜上所述，點D的坐標為：、、、；（3）解：如圖，設點，∵軸于點，軸于點，分別交反比例函數(shù)的圖象于兩點，∴，當點E在上時，由題意可得，，∴，∵，，，∴；當點E在上時，同理可得，綜上所述，的面積為或．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖像與一次函數(shù)圖像的交點問題，平行四邊形的存在性問題，直角三角形的存在性問題，勾股定理，以及反比例函數(shù)k的幾何意義等，難度很大，熟練掌握知識點是解決本題的關鍵．44．（2023·浙江寧波·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的頂點的坐標，點在軸正半軸上，點在第三象限的雙曲線上，則正方形的邊長為；過點作軸交雙曲線于點，若拋物線（）經(jīng)過，，三點，則的值為．

【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何的綜合應用，求二次函數(shù)的解析式，過作軸的平行線交軸于點，過作軸的平行線，兩平行線交于點，過作軸的平行線，交于點，易得：，求出點坐標，勾股定理求出正方形的邊長，求出點坐標，待定系數(shù)法求出的值即可．【詳解】解：如圖，過作軸的平行線交軸于點，過作軸的平行線，兩平行線交于點，過作軸的平行線，交于點，則：，

∵正方形，∴，∴，∴，∵，∴，，∴點橫坐標為，∵點在第三象限的雙曲線上，∴．∴，，∴正方形的邊長．∵，∴點的縱坐標為，∴，∵點，拋物線（）經(jīng)過，，三點，∴，解得：；故答案為：，．題型05、反比例函數(shù)與相似三角形的綜合問題45．（2022·浙江衢州·中考真題）如圖，在中，邊在軸上，邊交軸于點．反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點，與邊交于點．若，，，則=．【答案】【分析】過點作軸于點，過點作軸于點，設點的坐標為，則，先根據(jù)相似三角形的判定可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，又根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)反比例函數(shù)的解析式可得，從而可得，然后根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，過點作軸于點，設點的坐標為，則，，，，，軸，軸，，，，即，，又軸，軸，，，，即，解得，，將代入反比例函數(shù)得：，，，由得：，，，，解得，即，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何應用、相似三角形的判定與性質(zhì)，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關鍵．46．（2022·浙江寧波·中考真題）如圖，四邊形OABC為矩形，點A在第二象限，點A關于OB的對稱點為點D，點B，D都在函數(shù)的圖象上，BE⊥x軸于點E．若DC的延長線交x軸于點F，當矩形OABC的面積為時，的值為，點F的坐標為．【答案】（，0）【分析】連接OD，作DG⊥x軸，設點B（b，），D（a，），根據(jù)矩形的面積得出三角形BOD的面積，將三角形BOD的面積轉(zhuǎn)化為梯形BEGD的面積，從而得出a，b的等式，將其分解因式，從而得出a，b的關系，進而在直角三角形BOD中，根據(jù)勾股定理列出方程，進而求得B，D的坐標，進一步可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，作DG⊥x軸于G，連接OD，設BC和OD交于I，設點B（b，），D（a，），由對稱性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC=∠BOD，BC=OD，∴OI=BI，∴DI=CI，∴，∵∠CID=∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI=∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD=S△AOB=S矩形AOCB=，∵S△BOE=S△DOG=|k|=3，S四邊形BOGD=S△BOD+S△DOG=S梯形BEGD+S△BOE，∴S梯形BEGD=S△BOD=，∴(+)?（a-b）=，∴2a2-3ab-2b2=0，∴（a-2b）?（2a+b）=0，∴a=2b，a=-（舍去），∴D（2b，），即：（2b，），在Rt△BOD中，由勾股定理得，OD2+BD2=OB2，∴[（2b）2+（）2]+[（2b-b）2+（-）2]=b2+（）2，∴b=，∴B（，2），D（2，），∵直線OB的解析式為：y=2x，∴直線DF的解析式為：y=2x-3，當y=0時，2x-3=0，∴x=，∴F（，0），∵OE=，OF=，∴EF=OF-OE=，∴，故答案為：，（，0）．【點睛】本題考查了矩形性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，反比例函數(shù)的“k”的幾何含義，勾股定理，一次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，分解因式等知識，解決問題的關鍵是變形等式，進行分解因式．47．（2024·浙江·模擬預測）如圖，反比例函數(shù)（是常數(shù)）的圖象經(jīng)過點，點，其中，軸，軸，與的交點為C．若，則B點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、相似三角形的性質(zhì)和判定，解答本題的關鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．把點坐標代入可得的值，進而得到函數(shù)解析式；根據(jù)、兩點坐標可得，，則，再根據(jù)反比例函數(shù)解析式可得，則，而，可得，再由，可得，根據(jù)與的相似比為2可得，進而得到的值，然后可得點坐標．【詳解】解：點代入可得：，故反比例函數(shù)解析式為，，，，，在上，，，，，，，，解得，．故選：B．48．（2023·浙江溫州·模擬預測）如圖所示，的頂點B，C分別在x軸正半軸，y軸負半軸上，點A在第一象限內(nèi)，交x軸于點D，反比例函數(shù)分別交于點E，F(xiàn)，過點E作軸交于點G，且，若的面積為，則k的值為．【答案】【分析】由，可設，則，，，再設，，分別過點作的垂線，垂足分別為，由得，則，據(jù)此得進而得，則點，同理得，然后根據(jù)得，則，設，得點，據(jù)此列方程整理①，由△ABD的面積得，整理得②，由①②解出，進而可得k的值．【詳解】，設，則，，，，即：，設，，分別過點作的垂線，垂足分別為，如圖：，，，即：，，同理：，，點E的坐標為，，，，，設，則，，，點F的坐標為，點，均在反比例函數(shù)的圖象上，，整理得：①，的面積為，，，②，由①②得：，．故答案為：．【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等，根據(jù)題意，設置適當?shù)妮o助未知數(shù)分別表示出點E，F(xiàn)的坐標，理解根據(jù)函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)的解析式，滿足函數(shù)解析式的點都在函數(shù)的圖象上是解答此題的關鍵．49．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在中，，，點P在反比例函數(shù)圖象上，，且y軸平分，則．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形相似的判定和性質(zhì)，軸對稱圖形，求得點的坐標是解題的關鍵．作軸點，則，通過證得，求得，，證得是軸對稱圖形，得到，即可證得，，再證得，求得，則，得到，然后利用待定系數(shù)法即可求得的值．【詳解】解：作軸點，則，，，，，，，，，，，，軸平分，是軸對稱圖形，，，，，，，，，∴，，，，，，點在反比例函數(shù)圖象上，，故答案為：．50．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，過原點的線段的兩端點，分別在反比例函數(shù)和的圖象上，過點作軸的垂線，垂足為．若的面積為1，則的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)值幾何意義，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是關鍵．作軸，根據(jù)值幾何意義得到，利用面積可知，再利用三角形相似可得，繼而求出值即可．【詳解】解：如圖，作軸，垂足為，點在反比例函數(shù)的圖象上，，，，，，，，反比例函數(shù)圖象上在第二象限，．故答案為：．51．（2024·浙江·模擬預測）如圖，已知點A，B分別在反比例函數(shù)與的圖象上，且．若，則的面積為．【答案】【分析】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)k的幾何意義，勾股定理，利用了方程的思想，熟練掌握反比例函數(shù)k的幾何意義是解本題的關鍵．過點A作軸，過B作軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形與三角形相似，由A、B分別在反比例函數(shù)與的圖象上，利用反比例函數(shù)k的幾何意義求出三角形與三角形面積，進而得到面積之比，利用面積比等于相似比的平方確定出相似比，即為與之比，設出，，在直角三角形中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出與的長，即可求出三角形的面積．【詳解】解：過點A作軸，過B作軸，又∵，∴，∴，又∵，∴，∵點A，B分別在反比例函數(shù)與圖象上，∴，，即，∴，在中，設，則，，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：（負值舍去），∴，則．故答案為：．52．（2024·浙江紹興·模擬預測）如圖，四個邊長均為1的正方形如圖擺放，其中三個頂點位于坐標軸上，其中一個頂點在反比例函數(shù)的圖像上，則k的值為．【答案】6【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解反比例函數(shù)圖象上的點滿足反比例函數(shù)的表達式是解決問題的關鍵．過點P作軸于點E，依題意得：，，，，進而根據(jù)勾股定理求得，證明，得到，求出，，同理可得，得到，求得，，進而，因此點P的坐標為，將點P坐標代入函數(shù)中即可求出k的值．【詳解】解：過點P作軸于點E，如圖所示：

依題意得：，，，，在中，，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，即，∴，，同理可證：，∴，即∴，，∴，∴點P的坐標為，∵點P在反比例函數(shù)的圖象上，∴．故答案為：6．53．（2023·浙江寧波·三模）如圖，點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，的兩條外角平分線交于點P，點P在反比例函數(shù)的圖象上，延長交x軸于點C，延長交y軸于點D，連結(jié)，則點P坐標為，．【答案】4【分析】本題考查反比例函數(shù)、角平分線定理、勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，先根據(jù)角平分線定理得到，再通過反比例函數(shù)的解析式即可求出點P的坐標；設，根據(jù)角平分線定理推算出，再結(jié)合勾股定理建立等式進行換算，最后證明，，根據(jù)相似比分別求出和的表達式，最后根據(jù)面積公式進行求解即可．【詳解】解：如圖，過點P作，，，垂足分別為M、N、H，∵是的角平分線，是的角平分線，∴，，∴，設，則點P的坐標為：，∴，解得或（舍去），∴點P的坐標為：，設，則，∵,，∴，∴，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴,，∴，，∴故答案為：；4．54．（2024·浙江寧波·二模）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形的頂點，點為軸負半軸上一點，連結(jié)交軸于點，交矩形的對角線于點，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，若的面積為2，的面積為4，則；．

【答案】12【分析】該題主要考查了反比例函數(shù)幾何綜合，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，等知識點，解題的關鍵是數(shù)形結(jié)合．根據(jù)四邊形是矩形，得出，從而根據(jù)反比例函數(shù)幾何意義得出，再得出，證明，得出，如圖，過分別作軸，軸的垂線，垂足為，則四邊形是矩形，證明，從而得出，根據(jù)即可求解．【詳解】∵點在函數(shù)的圖象上，四邊形是矩形，，，；假設邊上的高為h，則，，∵，∴，，如圖，過分別作軸，軸的垂線，垂足為，

則四邊形是矩形，，∴，∴，．故答案為：12，．55．（2024·浙江杭州·一模）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，．過點作軸于點，連結(jié)，并延長交于點．若是的中點，則的值為（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，比例系數(shù)的幾何意義，相似三角形的判定和性質(zhì)，過點作軸于，于，由反比例函數(shù)的性質(zhì)得，，，再證明得，，進而得，，再根據(jù)即可求解，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：過點作軸于，于，則，，，∵點，在反比例函數(shù)的圖象上，∴，，∵軸，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴，，∴，，，，，故答案為：．56．（2024·浙江溫州·模擬預測）在平面直角坐標系中，設函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點．(1)求的值，并寫出，的解析式；(2)設圖象的另一個交點為，求的坐標，并寫出當時的取值范圍；(3)設函數(shù)的圖象與軸的交點為，將點先向右平移的單位，再向上平移個單位后，恰好落在函數(shù)的圖象上，求的值．【答案】(1)函數(shù)，函數(shù)；(2)，當時，的取值范圍為或；(3)．【分析】（）把點代入反比例函數(shù)解析式即可求出，確定解析式即可；（）聯(lián)立解析式求出的坐標，即可求出當時的取值范圍；（）求出的坐標，進而表示出平移后的解析式，代入反比例函數(shù)解析式求出即可；本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的平移，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】（1）把點代入中，得，解得，∴函數(shù)，函數(shù)；（2）聯(lián)立解析式得，解得：或，∴，∴當時，的取值范圍為或；（3）當時，，解得，∴，∵點先向右平移的單位，再向上平移個單位，∴平移后的坐標為，∴代入反比例函數(shù)解析式得，解得：．57．（2023·浙江寧波·模擬預測）在直角坐標系中，直線l與x軸、y軸分別交于點A、B，與雙曲線，且點D的坐標為．(1)如圖1，當點C的橫坐標為3，求點C的坐標和的值．(2)如圖2，當點C在第三象限時，過點C作x軸的垂線，垂足為，過點D作y軸的垂線，垂足為F，連結(jié)，當時，求點C的坐標和的值．(3)若，直接寫出的值．【答案】(1)，(2)，(3)或【分析】（1）由題意易得雙曲線解析式是，則有，然后可得直線的解析式為，進而問題可求解；（2）設，則有，由題意易得，則有，然后可得四邊形與四邊形都是平行四邊形，進而可得，設，則有，，則有，然后根據(jù)三角函數(shù)及相似三角形的性質(zhì)可進行求解；（3）根據(jù)題意可分兩種情況進行分類討論，然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)可進行求解．【詳解】（1）解：∵在上，∴，即雙曲線解析式是，當C點橫坐標為3時，則縱坐標為2，∴．設直線的解析式為，且過點，，則有，解得，故直線的解析式為，∴，，∴，∵，，∴，∴；（2）解：如圖：設，則有，∵，，∴；∵兩三角形同底，∴兩三角形的高相同，∴，∵，∴四邊形與四邊形都是平行四邊形，∴，，在與中，，∴，∴，∵，設，則有，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．∵，，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式可得，解得，，∴．（3）解：如圖1：過D分別作于E，作于F，則，∵，∴設，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，設直線的解析式為，則有，解得：，∴直線方程的解析式為，再將直線方程代入雙曲線方程有，解得或18，當時，則有，∵，∴，∵，∴；如圖2，直線與雙曲線過，代入雙曲線解析式可得，設直線的解析式為，代入直線方程，，所以直線方程變?yōu)椋?，則有，令，則有，∴，∵，∴，∴直線的解析式為，∴，再將直線方程代入雙曲線方程有，解得：，∴當，則，即，過C作平行于x軸的直線，過D作平行于y的直線，∴，∴，∵，∴．綜上所述：的值為或．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關鍵．58．（2023·浙江寧波·模擬預測）如圖，直線與坐標軸交于A，B兩點，交反比例函數(shù)的圖象于C，D兩點，且，點E是直線上一點，連結(jié)，以為邊在右側(cè)作直角三角形，；，若邊交反比例函數(shù)圖象于點G，，連結(jié)，則k值為，的面積為．【答案】8【分析】根據(jù)題意，首先根據(jù)直線表達式以及坐標軸上點的特征求出，，設點C的坐標為，過點C作軸于點M，過點D作軸于點N，則，由相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合求出出點D的坐標為，根據(jù)反比例函數(shù)上點的坐標之積相等，即可求出k值；連接，結(jié)合已知可得O、B、F、E四點共圓，所以點G是圓心，是直徑，；接下來求出點G的坐標，進而即可得到點F的坐標，設出點E的坐標，再利用勾股定理進行求解，結(jié)合即可得到答案；【詳解】解：∵直線與坐標軸交于A，B兩點，∴，，設點C的坐標為，過點C作軸于點M，過點D作軸于點N，則：，，∵軸，軸，∴，【點睛】∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵C，D兩點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得：，將代入一次函數(shù)得，，解得：，∴，連接，∵，∴O、B、F、E四點共圓，∵，，∴點G是圓心，是直徑，∴，∵，∴點G的橫坐標為5，當時，，∴點G的坐標為，∵，∴點F的坐標為，設點E的坐標為，由勾股定理可得，∴，解得：或（不符合題意舍去），∴點E的坐標為，∴，故答案為：8，．本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用，四點共圓，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．考點二、反比例函數(shù)的實際應用題型06、反比例函數(shù)的實際應用59．（2023·浙江溫州·中考真題）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強P（）與汽缸內(nèi)氣體的體積V（）成反比例，P關于V的函數(shù)圖象如圖所示．若壓強由加壓到，則氣體體積壓縮了．

【答案】20【分析】由圖象易得P關于V的函數(shù)解析式為，然后問題可求解．【詳解】解：設P關于V的函數(shù)解析式為，由圖象可把點代入得：，∴P關于V的函數(shù)解析式為，∴當時，則，當時，則，∴壓強由加壓到，則氣體體積壓縮了；故答案為20．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的應用，熟練掌握反比例函數(shù)的應用是解題的關鍵．60．（2023·浙江臺州·中考真題）科學課上，同學用自制密度計測量液體的密度．密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度h（單位：cm）是液體的密度（單位：）的反比例函數(shù)，當密度計懸浮在密度為的水中時，．

(1)求h關于的函數(shù)解析式．(2)當密度計懸浮在另一種液體中時，，求該液體的密度．【答案】(1)．(2)該液體的密度為．【分析】（1）由題意可得，設，把，代入解析式，求解即可；（2）把代入（1）中的解析式，求解即可．【詳解】（1）解：設h關于的函數(shù)解析式為，把，代入解析式，得．∴h關于的函數(shù)解析式為．（2）解：把代入，得．解得：．答：該液體的密度為．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解題的關鍵是理解題意，靈活利用反比例函數(shù)的性質(zhì)進行求解．61．（2022·浙江臺州·中考真題）如圖，根據(jù)小孔成像的科學原理，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高度）不變時，火焰的像高（單位：）是物距（小孔到蠟燭的距離）（單位：）的反比例函數(shù)，當時，．(1)求關于的函數(shù)解析式；(2)若火焰的像高為，求小孔到蠟燭的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）運用待定系數(shù)法求解即可；（2）把代入反比例函數(shù)解析式，求出y的值即可．【詳解】（1）由題意設，把，代入，得．∴關于的函數(shù)解析式為．（2）把代入，得．∴小孔到蠟燭的距離為．【點睛】本題主要考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)關系式以及求函數(shù)值，能正確掌握待定系數(shù)法是解答本題的關鍵．62．（2023·浙江衢州·中考真題）視力表中蘊含著很多數(shù)學知識，如：每個“E”形圖都是正方形結(jié)構(gòu)，同一行的“E”是全等圖形且對應著同一個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．素材1

國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個視力值n，測得對應行的“E”形圖邊長b（mm），在平面直角坐標系中描點如圖1．探究1

檢測距離為5米時，歸納n與b的關系式，并求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．素材2

圖2為視網(wǎng)膜成像示意圖，在檢測視力時，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫做分辨視角，視力值與分辨視角（分）的對應關系近似滿足．探究2

當時，屬于正常視力，根據(jù)函數(shù)增減性寫出對應的分辨視角的范圍．素材3

如圖3，當確定時，在A處用邊長為的I號“E”測得的視力與在B處用邊長為的Ⅱ號“E”測得的視力相同．探究3

若檢測距離為3米，求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．【答案】探究檢測距離為5米時，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為；探究；探究3：檢測距離為時，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為．【分析】探究1：由圖象中的點的坐標規(guī)律得到與成反比例關系，由待定系數(shù)法可得，將代入得：；探究2：由，知在自變量的取值范圍內(nèi)，隨著的增大而減小，故當時，，即可得；探究3：由素材可知，當某人的視力確定時，其分辨視角也是確定的，可得，即可解得答案．【詳解】探究由圖象中的點的坐標規(guī)律得到與成反比例關系，設，將其中一點代入得：，解得：，，將其余各點一一代入驗證，都符合關系式；將代入得：；答：檢測距離為5米時，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為；探究，在自變量的取值范圍內(nèi)，隨著的增大而減小，當時，，，；探究3：由素材可知，當某