試卷第=page184184頁(yè)，共=sectionpages190190頁(yè)專(zhuān)題九解答壓軸題第16講一次函數(shù)壓軸題（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+8種題型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u考點(diǎn)一、一次函數(shù)與幾何圖形的壓軸問(wèn)題題型01、一次函數(shù)與三角形題型02、一次函數(shù)與四邊形題型03、一次函數(shù)與圓考點(diǎn)二、一次函數(shù)?？?jí)狠S問(wèn)題題型01、一次函數(shù)中的分段函數(shù)問(wèn)題題型02、一次函數(shù)自定義問(wèn)題題型03、一次函數(shù)與圖形面積題型04、一次函數(shù)與角度問(wèn)題題型05、一次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題考點(diǎn)一、一次函數(shù)與幾何圖形的壓軸問(wèn)題題型01、一次函數(shù)與三角形的綜合問(wèn)題1．（2023·浙江溫州·三模）如圖，在直角坐標(biāo)系有一等腰直角三角形，，，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)在第四象限，一次函數(shù)圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，．

(1)求證：．(2)求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的長(zhǎng)．(3)點(diǎn)從勻速運(yùn)動(dòng)到時(shí)，點(diǎn)恰好從勻速運(yùn)動(dòng)到，記，①求出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．②連結(jié)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連結(jié)．若直線與中某條邊所在的直線平行時(shí)（不重合），求出滿足條件的所有的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)；(3)①；②或【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，通過(guò)證明，即可得到；（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，設(shè)，則，在由勾股定理可知，求出的值即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)作于點(diǎn)，根據(jù)可得到，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得；（3）①由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由題意可知，即，從而即可得到答案；②分兩種情況：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：，，在和中，，，；（2）解：設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，，在，由勾股定理可知，解得，，過(guò)作于點(diǎn)，

，，，∴，為等腰直角三角形，，，為等腰直角三角形，∴；（3）解：①如圖所示：

為等腰直角三角形，∴，∴，由題意可知，∴，∴；②Ⅰ如圖1，當(dāng)時(shí)，，

∴，∴，∴，∴，∴，∴；Ⅱ如圖2，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，

∵由對(duì)稱(chēng)可知，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、平行的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練在掌握三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、平行的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，，且、滿足．(1)求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，點(diǎn)在線段上（不與端點(diǎn)、重合），點(diǎn)在線段上（不與端點(diǎn)、重合），連，過(guò)作的垂線交于，若，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求點(diǎn)橫坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）．(3)如圖3，在（2）的條件下，連，點(diǎn)是中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，連，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(3)【分析】（1）由條件可得，求出，的值，則，兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，設(shè)，則，得出方程可求出，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)可求出；（3）求出直線的解析式，由（2）可知，由可求出，則，則的長(zhǎng)可求出．【詳解】（1）解：，，，，，，，；（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；（3）解：，，設(shè)直線的解析式為，，解得．直線的解析式為，由（2）可得，，，，，，，，解得（負(fù)值舍去），點(diǎn)是中點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、兩點(diǎn)間的距離等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．3．（2023·浙江紹興·中考真題）如果兩點(diǎn)到一條直線的距離相等，則稱(chēng)該直線為“兩點(diǎn)的等距線”．(1)如圖1，直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)P，試說(shuō)明直線是點(diǎn)A，B的一條等距線．(2)如圖2，是正方形網(wǎng)格中的三個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中作出所有的直線m，使直線m過(guò)點(diǎn)C且直線m是“兩點(diǎn)的等距線”．(3)如圖3，中，，則在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)存在，【分析】本題是三角形綜合題，考查了點(diǎn)到直線的距離、全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法，一次函數(shù)解析式與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等知識(shí)．（1）分別作，，垂足為E，F(xiàn)，利用證明，得到即可證明直線是點(diǎn)A、B的一條等距線；（2）根據(jù)兩點(diǎn)等距線的定義作圖，連接中點(diǎn)與組成的直線或者過(guò)作的平行線即可；（3）由可得A、B兩點(diǎn)到直線的距離相等，再分兩類(lèi)進(jìn)行討論，由待定系數(shù)求出直線解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）證明：分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作，垂足分別為E，F(xiàn)．，是的中點(diǎn)，，在和中，，，即直線是點(diǎn)A，B的一條等距線；（2）如圖，直線就是所有的直線，（3）設(shè)直線的解析式為，，∴解得：∴直線的解析式為．，兩點(diǎn)到直線的距離相等，∴或過(guò)中點(diǎn)，如圖，當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線的解析式為，代入得，解得，∴直線的解析式為，∴直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為；②當(dāng)直線過(guò)中點(diǎn)時(shí)，，∴中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴設(shè)直線的函數(shù)解析式為，代入，得，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為，∴直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為．4．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸交點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)分別是直線軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求直線的解析式以及線段的長(zhǎng)度．(2)求當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，使得的值最大的點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)如圖，將沿直線翻折，得到點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中直線分別與直線，和直線，交于點(diǎn)和點(diǎn)，直線分別與直線和直線，交于點(diǎn)和點(diǎn)，是否存在點(diǎn)與四點(diǎn)中不同時(shí)在直線或直線上的兩點(diǎn)組成的三角形是等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）可先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)距離公式可求出線段的長(zhǎng)度；用待定系數(shù)法求出直線的解析式；（2）如圖1：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)最??；直線與軸交于點(diǎn)，此時(shí)的值最大，此時(shí)與重合；（3）①當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，，此時(shí)F與O重合（如備用圖②），作于點(diǎn)K，求出，進(jìn)而可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；②當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，，此時(shí)此時(shí)H與O重合，設(shè)，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：將代入，得點(diǎn)坐標(biāo)為，∴．依題意可設(shè)，將代入，得，解得，，直線的解析式為，線段的長(zhǎng)度為．（2）解：如圖：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，直線與軸交于點(diǎn)，此時(shí)的值最大，此時(shí)與重合，．（3）解：當(dāng)點(diǎn)或符合條件．①是等腰直角三角形時(shí)，，此時(shí)與重合（如備用圖②），作于點(diǎn)K，當(dāng)時(shí)，，解得，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，，是的中點(diǎn)，．②是等腰直角三角形時(shí)，，此時(shí)與重合（如備用圖③），，，設(shè)，∵（負(fù)值舍去），，當(dāng)點(diǎn)或符合條件．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江金華·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，過(guò)點(diǎn)作直線軸，設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，在射線上取點(diǎn)，構(gòu)造，使得．

(1)當(dāng)時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)點(diǎn)C落在坐標(biāo)軸上時(shí)，求的面積．(3)已知點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)D，在點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一位置，使以A，C，D為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或．【分析】（1）設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，然后把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求解；（2）分點(diǎn)在軸及軸上兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合三角形相似，建立等量關(guān)系，分別求出兩種情況時(shí)三角形的面積即可；（3）存在，分五種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，靈活運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有：，解得：，直線的解析式為：；（2）解：當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為；過(guò)作于點(diǎn)，則，，，

，，，，，解得：，，，，；當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，同理可求：

，，；的面積為或；（3）解：①過(guò)點(diǎn)、作直線的垂線，與過(guò)點(diǎn)、作軸的平行線分別交于點(diǎn)、、，則四邊形為矩形，，，，由題意可得（相似比為．

，，，，，，，同理，又，（相似比為，，解得：，，，，即，解得：點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，則，的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在中，，，，∴軸，即，，，，符合題意；

③當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，同①可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的解析式為：，把點(diǎn)代入解析式為，可求得，點(diǎn)，，由兩點(diǎn)間的距離公式求得：，，，，，點(diǎn)符合題意；

④當(dāng)軸時(shí)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，同②可求點(diǎn)的坐標(biāo)為；

⑤當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，同③可求點(diǎn)的坐標(biāo)為；

點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含有角的直角三角形的性質(zhì)，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，正確分類(lèi)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．（23-24九年級(jí)上·浙江金華·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、E的坐標(biāo)分別為，，過(guò)點(diǎn)E作直線軸，設(shè)直線l上的動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，連接，將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線段，在射線上取點(diǎn)C，構(gòu)造，使得．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)點(diǎn)C落在x軸上如圖2的位置時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．(3)已知點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)D，在點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一位置，使與相似（包括全等）？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或或或或.【分析】（1）設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，然后把A、兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求解；（2）結(jié)合三角形相似，建立等量關(guān)系，求出三角形的面積即可；（3）存在，分五種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，靈活運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有：，解得：，直線的解析式為：；（2）當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

過(guò)作于點(diǎn)，則，，，，，，，，解得：，，，，；（3）①過(guò)點(diǎn)A、作直線的垂線，與過(guò)點(diǎn)、作軸的平行線分別交于點(diǎn)、、，則四邊形為矩形，，，，由題意可得（相似比為．

，，，，，，，同理，又，（相似比為，，解得：，，，，即，解得：點(diǎn)A的坐標(biāo)為；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，則，的坐標(biāo)為，A點(diǎn)的坐標(biāo)為，在中，，，，軸，即，，，，符合題意；

③當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，同①可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的解析式為：，把點(diǎn)，代入解析式為，可求得，點(diǎn)，，由兩點(diǎn)間的距離公式求得：，，，，，點(diǎn)符合題意；

④當(dāng)軸時(shí)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，同②可求A點(diǎn)的坐標(biāo)為；

⑤當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，同③可求A點(diǎn)的坐標(biāo)為；

點(diǎn)A的坐標(biāo)為或或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含有角的直角三角形的性質(zhì)，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，正確分類(lèi)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（22-23九年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí)）對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，現(xiàn)將該點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，這種點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為點(diǎn)A的斜平移，如點(diǎn)經(jīng)1次斜平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)為，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

(1)分別寫(xiě)出點(diǎn)A經(jīng)1次，2次斜平移后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)如圖，點(diǎn)M是直線l上的一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C．①若A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上，判斷是否是直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．②若點(diǎn)B由點(diǎn)A經(jīng)n次斜平移后得到，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)及n的值．【答案】(1)點(diǎn)A經(jīng)1次平移后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)A經(jīng)2次平移后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)(2)①是直角三角形，理由見(jiàn)解答過(guò)程；②，．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出點(diǎn)平移的坐標(biāo)即可；（2）①連接，根據(jù)中心和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和直角三角形的判定解答即可；②延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)待定系數(shù)法得出直線的解析式進(jìn)而解答即可．【詳解】（1）點(diǎn)經(jīng)1次斜平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)經(jīng)1次平移后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)經(jīng)2次平移后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）①是直角三角形，理由如下：連接，如圖

由中心對(duì)稱(chēng)可知，，由軸對(duì)稱(chēng)可知：，，，，，，，∴是直角三角形；②過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖

，，，是等腰直角三角形，由①得，，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，，點(diǎn)在直線上，可得：，解得：，，點(diǎn)由點(diǎn)經(jīng)次斜平移得到，點(diǎn)，由，解得：，．【點(diǎn)睛】此題考查幾何變換問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)中心和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和直角三角形的判定分析，同時(shí)根據(jù)待定系數(shù)法得出直線的解析式解答．8．（24-25八年級(jí)下·上?！るA段練習(xí)）一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以為邊在第二象限內(nèi)作等邊．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)在直線上有一點(diǎn)，求的面積．(3)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）首先令，解方程得到，然后根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為；設(shè)直線的解析式為．解方程組即可得到結(jié)論；（2）求出，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，求出，，根據(jù)，即可求解；（3）設(shè)出點(diǎn)，分，，三種情況，列方程即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：將代入，則；令，解得：；∴，∴，∵是等邊三角形，∴，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)G，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴軸，∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為；（2）解：∵點(diǎn)在直線上，則，解得：，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，則，∴，∴，；（3）解：設(shè)，∵，∴，當(dāng)時(shí)，即，則，解得：，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，即，則，解得：或（與點(diǎn)A重合，舍去），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，即，則，解得：或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為或；綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，要充分利用函數(shù)圖象的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．9．（2025·廣東清遠(yuǎn)·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的表達(dá)式；(2)在直線上存在一點(diǎn)，使得的面積是的面積的4倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)是直線在第二象限圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)的下方，作射線，把射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到射線，在射線上取一點(diǎn)，連接，使得，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，求出此時(shí)的長(zhǎng)度．【答案】(1)，(2)為或；(3)【分析】（1）先求得，再利用待定系數(shù)法求得直線表達(dá)式即可；（2）先求得，，推出．設(shè)，由三角形的面積公式列式計(jì)算即可求解；（3）過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于．證明，推出，，設(shè)，推出．證明，得到，據(jù)此列式求得，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：把代入，得，解得，∴．設(shè)直線表達(dá)式為，把代入得，解得，∴直線表達(dá)式為；（2）解：對(duì)于直線，令，則，令，則，解得，∴，，∴，令，則解得故由題意得．設(shè)，．∴，即．解得．．．．即．解得．∴，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）解：過(guò)作軸于，過(guò)作軸于，過(guò)作軸于．∴四邊形是矩形，∵為等腰直角三角形，，∴，，∴，∴．∴，，設(shè)（），∴，，，，，∴．∵，，∴，∴，∴，即，解得，∴，，，由勾股定理．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)運(yùn)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．10．（2025九年級(jí)下·全國(guó)·學(xué)業(yè)考試）已知直線與x軸和y軸分別交于B，A兩點(diǎn)，另一直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)．(1)求，的長(zhǎng)度，并證明是直角三角形．(2)在x軸上找一點(diǎn)C，使是以為底邊的等腰三角形，求出C點(diǎn)坐標(biāo)．(3)一動(dòng)點(diǎn)P速度為1個(gè)單位/秒，沿運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)停止，另有一動(dòng)點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度沿運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)停止，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，的長(zhǎng)度為y（單位長(zhǎng)），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）令，分別求解即可得到，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得到、，過(guò)點(diǎn)作軸于，然后求出、，再利用勾股定理列式計(jì)算求出，然后根據(jù)勾股定理逆定理證明即可；（2）設(shè)，根據(jù)等腰三角形兩腰相等利用勾股定理列出方程求解即可；（3）求出點(diǎn)、相遇時(shí)的值，然后分點(diǎn)在上，點(diǎn)、都在上重合前和重合后兩種情況，點(diǎn)在上四種情況討論求解．【詳解】（1）解：令，則，令，則，解得，，，，∴，，，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)H，則，，由勾股定理，得，，是直角三角形．（2）解：設(shè)，，，，，．是以為底邊的等腰三角形，，解得，．（3）解：由題意，得相遇時(shí)，，解得．當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，，，；若點(diǎn)P，Q都在上且未相遇，則，，相遇后，；當(dāng)點(diǎn)Q在上時(shí)，，．綜上，．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解方法，勾股定理、勾股定理逆定理，等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）要分情況討論．題型02、一次函數(shù)與四邊形11．（24-25九年級(jí)下·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在軸的負(fù)半軸上，將正方形沿著軸向右平移個(gè)單位，得到正方形，且點(diǎn)與原點(diǎn)重合，直線′交軸于點(diǎn)．(1)求正方形的邊長(zhǎng)；(2)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使的面積等于，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)P．【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，根據(jù)平移的距離可得，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得軸，所以可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于的分式方程，解分式方程求出的值，即為正方形的邊長(zhǎng)；根據(jù)平移的性質(zhì)可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，，根據(jù)，可得關(guān)于的方程，解方程求出的值即為點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【詳解】（1）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，正方形平移的距離為，，又軸，，，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，正方形的邊長(zhǎng)為；（2）解：正方形沿著軸向右平移個(gè)單位，得到正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)、代入，可得：，解得：，直線的解析式為；（3）解：如下圖所示，連接、，正方形的邊長(zhǎng)為，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，，，，，解得：，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何的綜合、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)、圖形的平移，解決本題的關(guān)鍵根據(jù)正方形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)求出邊的長(zhǎng)度．12．（2024·浙江寧波·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連結(jié)，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)交軸于點(diǎn)，若點(diǎn)橫坐標(biāo)為3．(1)求直線的解析式；(2)求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在軸和直線上分別找點(diǎn)，，使得、、、構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）設(shè)直線的解析式為，將，代入之中求出，即可得直線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于，先證和全等得，，進(jìn)而證和全等得，由此可得，由此可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）先求出直線的解析式為，可設(shè)點(diǎn)，再設(shè)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)、、、構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，因此有以下兩種情況：①當(dāng)為平行四邊形的一邊時(shí)，又有兩種情況：（?。┊?dāng)點(diǎn)在的上方時(shí)，連接交軸于，則點(diǎn)是和的中點(diǎn)，對(duì)于，，則點(diǎn)，對(duì)于，，則，由此得方程解出求解，據(jù)此解出可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，連接，交于點(diǎn)，則點(diǎn)是和的中點(diǎn)；②當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，連接交于，則點(diǎn)是和的中點(diǎn)．同理分別列方程求出的值得出的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為：，將，代入，得：，解得：，直線的表達(dá)式為：；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于，如圖1所示：，，點(diǎn)是與軸的交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為3，，，，軸于，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）設(shè)直線的解析式為：，將，代入，得：，解得：，直線的解析式為：，點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)、、、構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，有以下兩種情況：①當(dāng)為平行四邊形的一邊時(shí)，又有兩種情況：（?。┊?dāng)點(diǎn)在的上方時(shí)，連接交軸于，如圖2所示：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，點(diǎn)是和的中點(diǎn)，對(duì)于，，則點(diǎn)，對(duì)于，，則，由，解得，將代入，得：，點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，連接，交于點(diǎn)，如圖3所示：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，點(diǎn)是和的中點(diǎn)，對(duì)于，，則點(diǎn)，對(duì)于，，則，，由，解得：，將代入，得，點(diǎn)；②當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，連接交于，如圖4所示：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，點(diǎn)是和的中點(diǎn)，對(duì)于，，則點(diǎn)，對(duì)于，，則，，由，解得：，將代入，得：，點(diǎn)．綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)的圖象，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的難點(diǎn)，漏解是易錯(cuò)點(diǎn)．13．（黑龍江省牡丹江市2024~2025學(xué)年下學(xué)期九年級(jí)綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)處，頂點(diǎn)在軸正半軸上，且點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（橫坐標(biāo)大于縱坐標(biāo)），將菱形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為，求與的關(guān)系式；(3)為直線上一點(diǎn)，在直線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【分析】（）先解出方程，，，則有，所以，再由菱形的性質(zhì)得，，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，即，過(guò)作軸于點(diǎn)，則，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，即，過(guò)作軸于點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)；（）先求出解析式，解析式，設(shè)，，再分當(dāng)以為對(duì)角線的平行四邊形，當(dāng)以為對(duì)角線的平行四邊形，當(dāng)以為對(duì)角線的平行四邊形三種情況分析即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，即，過(guò)作軸于點(diǎn)，則，由（）得：，∵四邊形是菱形，∴，∵菱形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，∴，∴的縱坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)值相同，∴，∴；如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，即，過(guò)作軸于點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，則，由勾股定理得：，∵，∴，∴，由題意得：，∴，∴；綜上，；（3）解：由上得：，，，∴，，，設(shè)解析式為，解析式為，∴，，解得：，，∴解析式為，解析式為，設(shè)，，如圖，當(dāng)以為對(duì)角線的平行四邊形，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；如圖，當(dāng)以為對(duì)角線的平行四邊形，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；如圖，當(dāng)以為對(duì)角線的平行四邊形，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上可知：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，掌握這些知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．14．（2023八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在線段上，將線段繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，此時(shí)點(diǎn)D恰好落在直線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在直線上，是否存在以C、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出所有滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)或或【分析】（1）根據(jù)可證明；（2）先求出，根據(jù)可得，設(shè)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，再由點(diǎn)D在直線上，可得，即可求解；（3）分兩種情況討論：當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)，當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）證明：∵將線段繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，軸，，，，，在與中，，；（2）解：令，；令，，此時(shí)，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)D在直線上，∴，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（3）解：存在，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．由（2）知，∵動(dòng)點(diǎn)C在線段上，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，分兩種情況考慮，如圖2所示：①當(dāng)為邊時(shí)，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為0，∴或，∴或，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為0，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上所述：存在以C、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征、三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．15．（24-25九年級(jí)上·四川成都·期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸，軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)在軸正半軸上，以，為鄰邊作平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)為線段上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)①如圖2，若，求的面積；②若以C，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的三角形與相似，求a的值．【答案】(1)；(2)①；②a的值為0或【分析】（1）利用平行四邊形性質(zhì)求得，進(jìn)而得出直線的解析式為，即可求得答案；（2）①運(yùn)用勾股定理可得，，再證得，即可求得，，再運(yùn)用即可求得答案；②過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，可證得，求得，得出，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可求得答案．【詳解】（1）解：如圖1，四邊形是平行四邊形，，，在軸上，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得：，，，；（2）解：①如圖2，當(dāng)時(shí)，，，∵，，∴點(diǎn)E是的中點(diǎn)，在中，，，，，，，，，，，即，，，；②過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，如圖，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，，，，又，，，，，，解得：，當(dāng)時(shí)，如圖，，，，，，，，，解得：；綜上所述，的值為0或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．16．（2023·浙江金華·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，若圖形與圖形中，分別存在點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)這兩個(gè)圖形“軸對(duì)稱(chēng)”．如圖，正方形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，．

(1)在點(diǎn)，，中，哪些點(diǎn)與正方形“軸對(duì)稱(chēng)”？若是，求k的值．(2)若點(diǎn)與點(diǎn)為“軸對(duì)稱(chēng)”，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，若線段與正方形“軸對(duì)稱(chēng)”，求的范圍．【答案】(1)，；，；(2)；(3)或【分析】（1）畫(huà)出圖形，根據(jù)“軸對(duì)稱(chēng)”的定義即可求解；（2）求出直線的解析式及交點(diǎn)坐標(biāo)即可解答；（3）求出兩種特殊位置的的值即可解答．【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)與正方形“軸對(duì)稱(chēng)”，值分別是，

（2）解：如圖，在直線上，取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵，，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在直線上，∵直線的解析式為，∴，∴解得：，∴，∵，∴；（3）解：如圖所示，連接，則，當(dāng)點(diǎn)D的“軸對(duì)稱(chēng)”在上時(shí)，直線與以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓相切時(shí)，b取到臨界值，如圖所示：，且與圓O相切于點(diǎn)H，當(dāng)時(shí)，直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，

∴，∴，解得，當(dāng)點(diǎn)B的“軸對(duì)稱(chēng)”在線段上時(shí)，線段與以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓有交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)重合時(shí)，b取的最小值，如圖所示：此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，∴，∴此時(shí)；同理當(dāng)時(shí)，可得；綜上可得：或

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換綜合題，一次函數(shù)的性質(zhì)，新定義，軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)，理解題意，尋找特殊點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．（2025·黑龍江七臺(tái)河·一模）如圖，矩形的邊、的長(zhǎng)分別是方程的兩個(gè)根（），折疊矩形，使邊落在x軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合．(1)求折痕所在直線解析式．(2)將直線沿x軸負(fù)方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，直接寫(xiě)出直線掃過(guò)矩形的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的關(guān)系式．(3)點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，試在平面內(nèi)確定一點(diǎn)M，使得以A、B、P、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)M的坐標(biāo)為或或或【分析】先解方程得到，，再求出D點(diǎn)坐標(biāo)，最后由待定系數(shù)法求解析式即可；分為：當(dāng)時(shí)，直線掃過(guò)矩形的區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切?，?dāng)時(shí)，直線掃過(guò)矩形的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)等腰直角三角形加平行四邊形，當(dāng)時(shí)，直線掃過(guò)矩形的區(qū)域面積為矩形的面積減去底部未掃過(guò)三角形的面積，分別列面積表達(dá)式求解即可；由點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，設(shè)，從而，，再分別判定以A、B、P三點(diǎn)的三角形為等腰三角形，列方程得到P點(diǎn)坐標(biāo)，再由平行四邊形性質(zhì)推出點(diǎn)M的坐標(biāo)，注意分類(lèi)討論即可．【詳解】（1）解：，解得，，、的長(zhǎng)分別是方程的兩個(gè)根，，由折疊可知，，，則由待定系數(shù)法可得直線的直線解析式為（2）解：當(dāng)時(shí)，直線掃過(guò)矩形的區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切?，故；?dāng)時(shí)，直線掃過(guò)矩形的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)等腰直角三角形加平行四邊形，故；當(dāng)時(shí)，直線掃過(guò)矩形的區(qū)域面積為矩形的面積減去底部未掃過(guò)三角形的面積，即綜上，直線掃過(guò)矩形的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的關(guān)系式為（3）解：點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，設(shè)，又，，，，，①當(dāng)時(shí)，即，解得，，，此時(shí)可得，②當(dāng)時(shí)，即，解得或與A重合，舍去，即，此時(shí)可得③當(dāng)時(shí)，即，解得，即，此時(shí)可得綜上，M的坐標(biāo)為或或或【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)引出的幾何圖形面積與函數(shù)問(wèn)題，兩點(diǎn)間距離公式，一元二次方程，菱形的判定，等腰三角形的判定，掌握以上內(nèi)容是解題關(guān)鍵．18．（24-25九年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，、，點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．以、為一組鄰邊作平行四邊形，點(diǎn)N在點(diǎn)F右側(cè)2個(gè)單位，以為對(duì)角線作正方形，（F、P、N、M為順時(shí)針順序）．(1)時(shí)，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求最小值；(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q在上時(shí)，求t的值；(4)如圖2，當(dāng)時(shí)，連接、、、，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若點(diǎn)M、P中恰好有且只有一個(gè)點(diǎn)在四邊形內(nèi)部時(shí)，求t的取值范圍．【答案】(1)(2)2(3)(4)【分析】（1）由題意可知當(dāng)時(shí)，，，則，再根據(jù)正切的定義即可求解；（2）由題意得，，進(jìn)而可知，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，根據(jù)勾股定理可得，即的最小值為4，進(jìn)而可知最小為2；（3）由（2）可知，，，，根據(jù)對(duì)稱(chēng)求得，利用待定系數(shù)法求得直線函數(shù)表達(dá)式為，把點(diǎn)坐標(biāo)帶入函數(shù)表達(dá)式可得方程，解方程即可求解；（4）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在四邊形內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)M在四邊形外部或邊上，可知，；當(dāng)點(diǎn)P在四邊形外部或邊上，當(dāng)點(diǎn)M在四邊形內(nèi)部，可知，，結(jié)合角度的正切值列出不等式組求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，當(dāng)時(shí)，，，則，∴；（2）∵，，，∴，，∵點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)2個(gè)單位，則，∴，∵四邊形是正方形，∴，互相垂直平分，且，∴，可得，的最小值為4，最小為2；（3）由（2）可知，，，∵四邊形平行四邊形，∴，即軸，∵點(diǎn)關(guān)于所在直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，，∴，即：設(shè)直線函數(shù)表達(dá)式為：，代入，，得：，解得：∴直線函數(shù)表達(dá)式為：，把點(diǎn)坐標(biāo)帶入函數(shù)表達(dá)式可得：解得：，即：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；（4）∵四邊形是正方形，∴，由題意可得，，，當(dāng)點(diǎn)P在四邊形內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)M在四邊形外部或邊上，可知，，∴，即，∴，解之得：當(dāng)點(diǎn)P在四邊形外部或邊上，當(dāng)點(diǎn)M在四邊形內(nèi)部，可知，，同理，可得，該不等式組無(wú)解綜上所述當(dāng)時(shí)點(diǎn)中恰好有且只有一個(gè)點(diǎn)在四邊形內(nèi)部．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)，配方法求最值等知識(shí)點(diǎn)，理解題意，正確表示線段長(zhǎng)度及點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．19．（24-25九年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）在矩形中，．分別以邊所在的直線為軸，軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．(1)如圖1，將沿對(duì)角線翻折，交于點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖2，已知是上一點(diǎn)，且于點(diǎn)，交于點(diǎn)F，求四邊形的面積；(3)如圖3，點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)，使以，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)四邊形的面積為；(3)點(diǎn)或或．【分析】（1）先推出是等腰三角形，進(jìn)而設(shè)，在中列方程可得；（2）因?yàn)?，所以根?jù)，求得即可；（3）先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，求得，進(jìn)而得出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的函數(shù)關(guān)系式，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形可以是菱形，因?yàn)樵谳S上方，所以分為和，三種情形，當(dāng)時(shí)，可根據(jù)它列出方程，當(dāng)時(shí)，可先判斷得和點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得結(jié)果，當(dāng)時(shí)，求得結(jié)果．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖：由折疊可知，，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∴，∴，設(shè)，則，，在中，，即，解得：，∴，∴，，∵，∴∴，又∵，∴，∴，即，∴，在中，，∴，∴；（2）解：如圖：∵四邊形是矩形，∴，∵∴，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：設(shè)與交于點(diǎn)，如圖：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)的解析式是，把，代入得：，解得：，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，解得：，（舍去），當(dāng)時(shí)，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，此時(shí)垂直平分，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，（舍去），，綜上所述：點(diǎn)或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)和基本方法．20．（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·階段練習(xí)）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)．將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得（點(diǎn)A與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)）．(1)直接寫(xiě)出直線的表達(dá)式；(2)E為線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作軸交直線于點(diǎn)F，作軸交直線于點(diǎn)G．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)如圖②，若M為線段的中點(diǎn)，N為直線上一點(diǎn)，P為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，且以O(shè)，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫(xiě)出其中一種求解點(diǎn)N坐標(biāo)的過(guò)程．【答案】(1)(2)(3)或或，見(jiàn)解析【分析】（1）依題意求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，求出，求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)，則，由軸可得點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為，代入一次函數(shù)可得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，表示出，求出，根據(jù)，可得a的值，即可得點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）分兩種情況：①為矩形的邊時(shí)，②為矩形的對(duì)角線時(shí)，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：一次函數(shù)，令，則，令，則，∴，即，，∵將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為；；（2）設(shè)，則，∵軸，∴點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為，將代入一次函數(shù)得：，∴，即點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；（3）解：①為矩形的邊時(shí)，如圖，分別過(guò)點(diǎn)O、M作交直線于N，作交直線于，在分別過(guò)點(diǎn)N、作交直線于P，作交直線于，則四邊形、四邊形均為矩形，∵，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，∴，∵將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)，∵，∴；設(shè)直線的解析式為，則，∴，∴直線的解析式為，∵，∴，∴可設(shè)直線的解析式為，將代入得，，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立直線得，解得，∴；綜上，為矩形的邊時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或；②為矩形的對(duì)角線時(shí)，如圖，∵，∴軸，∵四邊形為矩形，∴軸，∴點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，∴．綜上，以O(shè)，M，N，P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．21．（24-25九年級(jí)上·四川巴中·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)（）的圖象與，軸分別交于、兩點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段上．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)在上的速度為個(gè)單位長(zhǎng)度每秒，在上的速度為個(gè)單位長(zhǎng)度每秒．

(1)求直線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，求當(dāng)最小時(shí)的坐標(biāo)及的值；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的右側(cè)，是否存在點(diǎn)使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)最小時(shí)的坐標(biāo)為，的值為(3)，【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得出，根據(jù)題意得出當(dāng)時(shí)，的最小值為：，即可求解；（3）根據(jù)點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的右側(cè)，設(shè)，根據(jù)勾股定理求得，分為邊時(shí)，為對(duì)角線兩種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入得，解得：∴（2）解：∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴∴∴∵點(diǎn)在上的速度為個(gè)單位長(zhǎng)度每秒，在上的速度為個(gè)單位長(zhǎng)度每秒．∴當(dāng)時(shí)，等于號(hào)成立，又∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，此時(shí)的橫坐標(biāo)為∴的縱坐標(biāo)為∴當(dāng)最小時(shí)的坐標(biāo)為，的值為（3）解：設(shè)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為∴設(shè)，當(dāng)為邊時(shí)，∴∴或∴或∴或∴當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，∴解得：∴，∴，解得：∴綜上所述，，【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．（24-25九年級(jí)上·江蘇泰州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)點(diǎn)D為x軸上正半軸一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線與直線，分別相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作軸的直線交于點(diǎn)．(1)求a的值及的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)平面內(nèi)存在一直線，對(duì)于的任意一個(gè)數(shù)值均可以滿足，請(qǐng)直接寫(xiě)出k的取值范圍；(4)以，為邊作長(zhǎng)方形，當(dāng)點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試探究M的運(yùn)動(dòng)軌跡是否為一條直線中的一部分？若是，求出該直線解析式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)(3)或(4)是，【分析】本題考查了求一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握其性質(zhì)并能靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)直線過(guò)點(diǎn)得出a的值，將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，進(jìn)一步得出結(jié)果；設(shè)點(diǎn)，則，，根據(jù)列出，進(jìn)一步得出結(jié)果；變形可得，從而得出過(guò)點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圖象得出結(jié)果；設(shè)點(diǎn)，則，，可得出，，根據(jù)得出，從而，進(jìn)一步得出結(jié)果；【詳解】（1）解：直線過(guò)點(diǎn)，，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，，直線的解析式為：；（2）解：設(shè)點(diǎn)，則，，由得，，舍去或，；（3）解：，當(dāng)時(shí)，，過(guò)點(diǎn)，，對(duì)于的任意一個(gè)數(shù)值均可以滿足，直線在直線和直線之間，或；（4）解：M的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線中的一部分，理由如下，設(shè)點(diǎn)，則，，四邊形是長(zhǎng)方形，，，由得，，，由得，，點(diǎn)M在直線上運(yùn)動(dòng)．題型03、一次函數(shù)與圓的綜合23．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)，，給出如下定義：點(diǎn)與點(diǎn)的“直角距離”為：．例如：若點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)的“直角距離”為：．根據(jù)以上定義，解決下列問(wèn)題：(1)已知點(diǎn)．①若點(diǎn)，則；②若點(diǎn)，且，則；③已知點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的取值范圍；(2)已知點(diǎn)，為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，①若點(diǎn)在圖象上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②若點(diǎn)在直線上，求的取值范圍．(3)在平面直角坐標(biāo)系中，為動(dòng)點(diǎn)，且，的圓心為，半徑為1．若上存在點(diǎn)使得，求的取值范圍．【答案】(1)①；②或；③(2)①或；②(3)或【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正方形性質(zhì)，圓的性質(zhì)，根據(jù)定義確定點(diǎn)在正方形邊界上是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)定義直接求解即可；②根據(jù)定義可得方程，求出的值即可；③由定義可得，分類(lèi)討論求值即可；（2）①設(shè)，由題意可得，整理得，分別討論當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)求解即可；②點(diǎn)在以，，，的正方形上，再結(jié)合圖象即可求解；（3）由題可知點(diǎn)在以為中心，邊長(zhǎng)為的正方形上，根據(jù)題意得出，討論當(dāng)時(shí)，滿足即可；當(dāng)時(shí)，只需即可；再利用對(duì)稱(chēng)性得出的情況．【詳解】（1）解：①，故答案為：；②由題意得：，，解得：或，故答案為：或；③點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，解得：，則；當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，解得：，則；綜上，當(dāng)時(shí)，；（2）解：①點(diǎn)在圖象上，設(shè)，，，，，即，當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，，解得（舍)或（舍)；或；②由，，可知點(diǎn)在以，，，的正方形上，如圖1，當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，有最小值，當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，有最大值，；（3）解：，點(diǎn)在以為中心，邊長(zhǎng)為的正方形上，，圓的半徑為1，，，，當(dāng)時(shí)，如圖2，，，；當(dāng)時(shí)，如圖3，只需即可，，；由對(duì)稱(chēng)性，同理可得；綜上所述：或．24．（23-24九年級(jí)上·北京西城·期中）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P和圖形W、給出如下定義：若圖形W上存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P繞著點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在圖形W上，則稱(chēng)點(diǎn)P為圖形W的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(1)圖形W是線段，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，①如圖1，在點(diǎn)，，，中，線段的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是；②如圖2，若直線上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P為線段的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求b的取值范圍；(2)圖形W是以為圓心，1為半徑的．已知點(diǎn)，．若線段上存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P為的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫(xiě)出t的取值范圍．【答案】(1)①、；②(2)【分析】（1）①根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義進(jìn)行判斷即可；②當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，可得b的最小值，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，可得b的最大值，由此可解；（2）當(dāng)線段與的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”軌跡有交點(diǎn)時(shí)，t取得最大值，當(dāng)線段與的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”軌跡相切時(shí)，t取得最小值，列出不等式分別求得t的最小值和最大值即可．【詳解】（1）解：①如圖1，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上，繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上，線段上不存在點(diǎn)Q，使得，繞著點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在線段上，∴、是線段的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，，不是線段的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，故答案為：、；②如圖2，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，可得b的最小值，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，可得b的最大值，把代入，得，解得；把代入，得；解得；∴b的取值范圍為；（2）解：根據(jù)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義可知：當(dāng)線段與的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”軌跡有交點(diǎn)時(shí)，t取得最大值，當(dāng)線段與的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”軌跡相切時(shí)，t取得最小值，則，解得∴t的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，圓的性質(zhì)，“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)尋找特殊點(diǎn)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．25．（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于，為軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且，以為直徑作，連結(jié)．(1)求出b的值及直線的函數(shù)表達(dá)式．(2)在線段上取點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，①若，求證：．②當(dāng)?shù)扔谥械哪骋粋€(gè)角時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′恰好落在上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形的面積為_(kāi)_____．【答案】(1)5；(2)①證明見(jiàn)解析；②BP的長(zhǎng)為5或(3)60【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）①連接，利用平行線的性質(zhì)，圓周角定理和全等三角形的判定與性質(zhì)定理解答即可；②利用分類(lèi)討論的思想方法分兩種情形討論解答：當(dāng)時(shí)，利用對(duì)頂角的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)解答即可；當(dāng)時(shí)，利用圓周角定理，平行線的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例和勾股定理解答即可；（3）連接，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)得到，再利用三角形的面積公式解答即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，直線的解析式為，令，則，．．，，，．設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，，解得：，直線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：①連接，如圖，∵，，，．為的直徑，．在和中，，，．，；②當(dāng)時(shí)，，，，，．．，，，即．，，，，，；當(dāng)時(shí)，，，∴，，∴，．，．綜上，當(dāng)?shù)扔谥械哪骋粋€(gè)角時(shí)，的長(zhǎng)為5或；（3）解：連接，如圖，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在上，．，，．為的直徑，．在和中，，，，．，四邊形的面積為60．故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，連接直徑所對(duì)的圓周角和利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．26．（24-25九年級(jí)下·廣東中山·階段練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸和軸于點(diǎn)．(1)如圖1，已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線相切于點(diǎn)，求的直徑長(zhǎng)；(2)如圖2，已知直線分別交軸和軸于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圓．①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求證：直線與相切；②設(shè)與直線相交于兩點(diǎn)，連結(jié)．問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)，使得是等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)①證明過(guò)程見(jiàn)詳解；②存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，由等腰三角形的定義，圓的切線的性質(zhì)，垂徑定理即可求解；（2）①根據(jù)題意得到，，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，結(jié)合切線的判定即可求解；②根據(jù)題意得到直線，即直線的解析式為，根據(jù)是等腰直角三角形，得到，，，分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合分析即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，∵點(diǎn)是切線，過(guò)點(diǎn)，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，即的半徑為，∴的直徑為；（2）解：①證明：直線分別交軸和軸于點(diǎn)和點(diǎn)，令時(shí)，，令時(shí)，，∴，∴，∴，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圓，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴即為的半徑，且點(diǎn)為半徑外端點(diǎn)，，∴直線與相切；②存在，理由如下，已知，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，，∴直線，即直線的解析式為，已知設(shè)與直線相交于兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與相切，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于，即點(diǎn)在點(diǎn)的上方，∵是等腰直角三角形，∴，，，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在位置時(shí)，∴，∴，∵點(diǎn)在直線的圖象上，點(diǎn)在直線的圖象上，∴設(shè)，∴，，∴，已知以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圓，∴，解得，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)在位置時(shí)，設(shè)兩直線的交點(diǎn)為，故點(diǎn)作軸，交所在直線于點(diǎn)，交所在直線于點(diǎn)，∴，解得，，∴，則，，∵，∴軸，軸，，∴，則，且，∴，∴，又，∴，∴，，則，∴，∴的橫坐標(biāo)為，則縱坐標(biāo)為，∴根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到；綜上所述，存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與圓的綜合，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，圓的切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的定義，軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合，數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．27．（24-25九年級(jí)下·北京西城·階段練習(xí)）如圖1，對(duì)于外的線段（線段上的各點(diǎn)均在外）和直線上的點(diǎn)，給出如下定義：若線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度得到的線段恰好是的弦，則稱(chēng)點(diǎn)為線段關(guān)于的“割圓點(diǎn)”，在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1．(1)如圖2，已知點(diǎn)，，，．在線段，，中，存在關(guān)于的“割圓點(diǎn)”的線段是，該“割圓點(diǎn)”的坐標(biāo)是；(2)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．點(diǎn)，點(diǎn)都在線段上，且．若線段關(guān)于的“割圓點(diǎn)”為點(diǎn)，寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；(3)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不重合的四個(gè)點(diǎn)都在直線上，且點(diǎn)既是線段關(guān)于的“割圓點(diǎn)”，又是線段關(guān)于的“割圓點(diǎn)”，線段，的中點(diǎn)分別為點(diǎn)，，記線段的長(zhǎng)為d．請(qǐng)直接寫(xiě)出d的取值范圍．【答案】(1)，(2)或(3)或【分析】（1）由題意得，若將繞著點(diǎn)R旋轉(zhuǎn)后的圓記作，則經(jīng)過(guò)，點(diǎn)在弦的垂直平分線上，且的半徑與的半徑相等，“割圓點(diǎn)”R在線段的垂直平分線于弦所在的直線的交點(diǎn)，由，得到不是關(guān)于的“割圓點(diǎn)”的線段；確定點(diǎn)為中點(diǎn)，而的垂直平分線于平行，故不是關(guān)于的“割圓點(diǎn)”的線段；對(duì)于線段，先確定點(diǎn)為中點(diǎn)，“割圓點(diǎn)”一定是弦所在的直線與的垂直平分線的交點(diǎn)，可求直線表達(dá)式為：，把代入得即可；（2）可求直線表達(dá)式為，為等腰直角三角形，則，，找到兩個(gè)臨界位置，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)V重合時(shí)，則點(diǎn)落在x軸上，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到使得點(diǎn)P與W重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)落在y軸上，則，代入直線，可求，因此可求的取值范圍；（3）可求，由于直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，以直線分析，由題意得，點(diǎn)在以點(diǎn)H為圓心，為半徑的圓上，則線段是以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓被直線l所割的弦，連接，，，第一種情況，當(dāng)線段在點(diǎn)H異側(cè)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)與直線相切時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A、B重合，點(diǎn)C、D重合，連接，則可求得，同理得，因此，但是取不到，故；第二種情況，當(dāng)線段在點(diǎn)H同側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，此時(shí)A、C重合，B、D重合，則，當(dāng)線段為與直線相交的線段，另一個(gè)與直線相切，此時(shí)最大，但是取不到，由于點(diǎn)C、D重合，連接，可求，故，綜上即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴不是關(guān)于的“割圓點(diǎn)”的線段，由題意得，若將繞著點(diǎn)R旋轉(zhuǎn)后的圓記作，則經(jīng)過(guò)，則，∴點(diǎn)R在的垂直平分線上，∵，，∴，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，∵的垂直平分線與平行，∴不是關(guān)于的“割圓點(diǎn)”的線段，由題意得圓心在弦的垂直平分線上，且根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，∴點(diǎn)即為中點(diǎn)，由題意得“割圓點(diǎn)”一定是弦所在的直線與的垂直平分線的交點(diǎn)，如圖：∵，，∴設(shè)直線表達(dá)式為：，代入得：，解得，∴直線表達(dá)式為：，把代入得：，∴，∴，∴是關(guān)于的“割圓點(diǎn)”的線段，故答案為：，；（2）解：將代入得，∴直線表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，由題意知點(diǎn)R為的垂直平分線與直線的交點(diǎn)，連接，則，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，而，，∴，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)V重合時(shí)，則點(diǎn)落在x軸上，此時(shí)，如圖：當(dāng)點(diǎn)Q向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R也向上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，如圖：當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到時(shí)，即的垂直平分線與直線平行，此時(shí)正無(wú)窮大，如圖：∴，當(dāng)點(diǎn)Q繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)一點(diǎn)時(shí)，的垂直平分線與直線交點(diǎn)在第三象限很遠(yuǎn)處，此時(shí)負(fù)無(wú)窮大，如圖：當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到使得點(diǎn)P與W重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)落在y軸上，∴，代入直線得：，∴，∴，綜上所述：或；（3）∵點(diǎn)，∴，∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，以直線分析，由題意得，點(diǎn)在以點(diǎn)H為圓心，為半徑的圓上，則線段是以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓被直線l所割的弦，連接，，∵經(jīng)過(guò)圓心，點(diǎn)M為中點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)減小時(shí)，增大直至等于，如圖：第一種情況，當(dāng)線段在點(diǎn)H異側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)M重合時(shí)，此時(shí)，如圖：當(dāng)與直線相切時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A、B重合，點(diǎn)C、D重合，連接，如圖：則，同理，∴，但是取不到，∴；第二種情況，當(dāng)線段在點(diǎn)H同側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，此時(shí)A、C重合，B、D重合，如圖：∴，當(dāng)線段為與直線相交的線段，另一個(gè)與直線相切，此時(shí)最大，但是取不到，由于點(diǎn)C、D重合，如圖，連接，∴，∴，∴，綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，難度很大，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系，垂徑定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握應(yīng)用上述知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意，找出臨界位置是解決本題的關(guān)鍵．28．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）定義：當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，把的值叫做點(diǎn)在射線上的射影值；當(dāng)點(diǎn)不在射線上時(shí)，把射線上與點(diǎn)最近點(diǎn)的射影值，叫做點(diǎn)在射線上的射影值．例如：如圖（1），三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，是邊上的高，則點(diǎn)和點(diǎn)在射線上的射影值均為．(1)在中，下列說(shuō)法：①點(diǎn)在射線上的射影值小于1時(shí)，則是銳角三角形；②點(diǎn)在射線上的射影值等于1時(shí)，則是直角三角形；③點(diǎn)在射線上的射影值大于1時(shí)，則是鈍角三角形．其中，正確說(shuō)法的序號(hào)是___________．(2)是射線上一點(diǎn)，，以為圓心，為半徑畫(huà)圓，是上任意點(diǎn)．①如圖（2），點(diǎn)在射線上的射影值為，求證：直線是的切線．②如圖（3），已知為線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在射線上的射影值為，點(diǎn)在射線上的射影值為，直接寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)②③(2)①見(jiàn)解析；②（）【分析】（1）根據(jù)射影值的定義一一判斷即可．（2）①根據(jù)兩邊成比例夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得，由相似三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)切線的判定定理可得答案；②圖形是上下對(duì)稱(chēng)的，只考慮B在直線上及上方部分的情形．分兩種情況考慮：當(dāng)時(shí)，設(shè)，根據(jù)，可得，根據(jù)，得，根據(jù)，得，得；當(dāng)時(shí)，y不存在．【詳解】（1）解：①錯(cuò)誤．點(diǎn)B在射線上的射影值小于1時(shí)，可以是鈍角，故不一定是銳角三角形；②正確．點(diǎn)B在射線上的射影值等于1時(shí)，，是直角三角形；③正確．點(diǎn)B在射線上的射影值大于1時(shí)，是鈍角，故是鈍角三角形；故答案為：②③．（2）解：①如圖1，作于點(diǎn)H，∵點(diǎn)B在射線上的射影值為，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴直線是的切線；②圖形是上下對(duì)稱(chēng)的，只考慮B在直線上及上方部分的情形．過(guò)點(diǎn)D作，作，

當(dāng)時(shí)，如圖2，設(shè)，∵D為線段的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴∵在和中，，∴，∴①，∵，∴②，①②消去h，得；如圖3，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)O重合時(shí)，，∴，∴，∴，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，點(diǎn)D在中點(diǎn)，∴，∴；當(dāng)時(shí)，不存在，∴y不存在．綜上所述，（）．【點(diǎn)睛】本題考查新定義——射影值．熟練掌握射影值的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓切線判定，勾股定理，面積法求三角形高，分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，添加輔助線，是解題的關(guān)鍵．29．（24-25九年級(jí)上·北京通州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑是3．對(duì)于點(diǎn)P和，給出如下定義：過(guò)點(diǎn)C的直線與交于不同的點(diǎn)M，N，如果點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，我們把這樣的點(diǎn)P叫做關(guān)于的“弦中點(diǎn)”．(1)如圖1，已知點(diǎn)；①點(diǎn)，，中是關(guān)于的“弦中點(diǎn)”的是______；②若一次函數(shù)的圖象上只存在一個(gè)關(guān)于的“弦中點(diǎn)”，求b的值；(2)如圖2，若，一次函數(shù)的圖象上存在關(guān)于的“弦中點(diǎn)”，直接寫(xiě)出m的取值范圍．【答案】(1)①，；②或(2)【分析】（1）①作直線，根據(jù)垂徑定理可知，則可得點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，再結(jié)合所給的點(diǎn)進(jìn)行判斷即可；②由①可知，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)圓心，由題意可知直線與圓相切，過(guò)點(diǎn)作垂直直線交于點(diǎn)，先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由（1）可知，點(diǎn)在以為直徑的圓弧上，由題意可得直線與圓弧相交或相切，分兩種情況求出的值，即可得的取值范圍．【詳解】（1）解：①作直線，∵點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，，，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，，∴點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，∵點(diǎn)在該圓上，∴點(diǎn)是關(guān)于的“弦中點(diǎn)”，故答案為：；②由①可知，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)圓心，∵直線上只存在一個(gè)關(guān)于的“弦中點(diǎn)”，∴直線與圓相切，過(guò)點(diǎn)作垂直直線交于點(diǎn)，當(dāng)直線與軸交于正半軸時(shí)，∵直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，，，，解得：或（舍去），當(dāng)直線與軸交于負(fù)半軸時(shí)，同理可得，綜上所述，的值為或；（2）解：由（1）可知，點(diǎn)在以為直徑的圓弧上，∵直線上存在關(guān)于的“弦中點(diǎn)”，∴直線與圓相切或相交，過(guò)點(diǎn)作垂直直線交于點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，m取得最大值，∵直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，，∴圓的半徑為3，，，，，；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，m取得最小值，∵，∴是等邊三角形，∴，過(guò)點(diǎn)作，∴，∴，將代入得：，解得：．∴的取值范圍．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，熟練掌握垂徑定理，直線與圓相切的性質(zhì)，弄清定義，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．30．（24-25九年級(jí)上·福建廈門(mén)·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，N；對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：將點(diǎn)P向右或向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上（）或向下（）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，稱(chēng)點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．(1)如圖，點(diǎn)，點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上，若點(diǎn)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．①當(dāng)N坐標(biāo)為，在圖中畫(huà)出點(diǎn)Q，連接，交線段于點(diǎn)T，求的值；②當(dāng)N為線段延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，連接，交線段于點(diǎn)T，是否為定值？(2)的半徑為t，M是上一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，若點(diǎn)N與點(diǎn)O重合，P為外一定點(diǎn)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．當(dāng)點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q所構(gòu)成的圖形的面積（用含t的式子表示）．【答案】(1)①圖見(jiàn)解析，，②是定值(2)【分析】（1）①根據(jù)定義求出點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)，畫(huà)出圖形，連接，證明四邊形是平行四邊形，可得結(jié)論；②設(shè)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的解析式，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，求出的值即可；（2）連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，推出點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，可得結(jié)論．【詳解】（1）①解：是由點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的；，，的橫坐標(biāo)為：；縱坐標(biāo)為：，，，圖形如圖1所示：連接，交線段于點(diǎn)，連接．∴，∴四邊形是平行四邊形，∴；②∵，則：直線的解析式為：，設(shè)，∵，∴，設(shè)直線的解析式為：，則：，∴，∴，聯(lián)立，解得：，∴，∴，∴為定值；（2）解：連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖：由的定義可知：關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓點(diǎn)的軌跡構(gòu)成的圖形的面積為：【點(diǎn)睛】本題坐標(biāo)與圖形，中心對(duì)稱(chēng)，一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平移與中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二、一次函數(shù)?？?jí)狠S問(wèn)題題型01、一次函數(shù)中的分段函數(shù)問(wèn)題31．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，某個(gè)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和（其中t為常數(shù)且），將的部分沿直線翻折，翻折后的圖象記為；將的部分沿直線翻折，翻折后的圖象記為，將和及原函數(shù)圖象剩余的部分組成新的圖象G．例如：如圖，當(dāng)時(shí)，原函數(shù)，圖象G所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．(1)當(dāng)時(shí)，原函數(shù)為，圖象G與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．(2)對(duì)應(yīng)函數(shù)（n為常數(shù)）．①時(shí)，若圖象G與直線恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，求t的取值范圍．②當(dāng)時(shí)，若圖象G在上的函數(shù)值y隨x的增大而減小，直接寫(xiě)出n的取值范圍．【答案】(1),(2)①；②或或【分析】（1）根據(jù)題意分別求出翻轉(zhuǎn)之后部分的表達(dá)式及自變量的取值范圍，將代入，求出值，即可求出圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①將代入到函數(shù)中求出原函數(shù)的表達(dá)式，計(jì)算時(shí)，的值，根據(jù)圖象可得，函數(shù)與恰好有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)大于右邊交點(diǎn)的橫坐標(biāo)且大于左邊交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)此求解；②畫(huà)出函數(shù)草圖，分別計(jì)算函數(shù)左邊的翻轉(zhuǎn)點(diǎn)，右邊的翻轉(zhuǎn)點(diǎn)，函數(shù)的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)（可用含的代數(shù)式表示），根據(jù)函數(shù)草圖以及題意列出關(guān)于的不等式求解即可?！驹斀狻浚?）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，翻折后函數(shù)的表達(dá)式為：，將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式并解得：翻折后函數(shù)的表達(dá)式為：當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：同理沿翻折后函數(shù)的表達(dá)式為：，函數(shù)G與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴圖象G與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是：,．（2）解：①時(shí)，當(dāng)時(shí)，解得：，∴若圖象與直線恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，則；②函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線，令，則，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、、的橫坐標(biāo)分別為：、、，當(dāng)在軸左側(cè)時(shí)，此時(shí)原函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)在的左側(cè)，如下圖所示：則函數(shù)在段和點(diǎn)右側(cè)，故：或，即：或，解得：或，即：或；當(dāng)在軸右側(cè)時(shí)，，同上可求得：或；當(dāng)時(shí)，，圖象G在上的函數(shù)值y隨x的增大而減小，綜上所述：或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)和對(duì)稱(chēng)性和增減性，解此題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想，解決二次函數(shù)的最值問(wèn)題取決于開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸，先看開(kāi)口，再看對(duì)稱(chēng)軸，再根據(jù)圖象分析增減性，從而得出答案．32．（2022·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，作該函數(shù)自變量大于的部分關(guān)于直線的軸對(duì)稱(chēng)圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于的部分共同構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)的圖象，則它關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解析式為，也可以寫(xiě)成．(1)在圖③中畫(huà)出函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”的圖象．(2)函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”與直線有三個(gè)公共點(diǎn)，求的值．(3)已知，，，，函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”圖象與矩形的邊恰好有4個(gè)交點(diǎn)，求n的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或(3)或【分析】（1）根據(jù)“鏡面函數(shù)”的定義畫(huà)出函數(shù)的“鏡面函數(shù)”的圖像即可；（2）分直線過(guò)“鏡面函數(shù)”圖像與直線的交點(diǎn)和與原拋物線相切兩種情況求解即可；（3）先求出的“鏡面函數(shù)”解析式，再分以及頂點(diǎn)在上的情況和時(shí)，列出不等式求解即可．【詳解】（1）如圖，即為函數(shù)的“鏡面函數(shù)”的圖像（2）如圖，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，；此時(shí)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”與直線有三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線與原拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則有：，整理得，，此時(shí)，，解得，綜上，的值為或；（3）函數(shù)的“鏡面函數(shù)”解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，解得，；當(dāng)?shù)捻旤c(diǎn)在上時(shí)，解得或（舍），此時(shí)，函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”圖象與矩形的邊有5個(gè)交點(diǎn)，不合題意，∴當(dāng)時(shí)，∴解得，；綜上，的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；理解并運(yùn)用新定義“鏡面函數(shù)”，能夠?qū)D象的對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，借助圖象解題是關(guān)鍵．33．（24-25八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）把一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，）在x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，與原來(lái)在x軸上方的圖象組合，得到一個(gè)新的圖象，我們稱(chēng)之為一次函數(shù)的“V”形圖象，例如，如圖1就是函數(shù)的“V”形圖象．(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出一次函數(shù)的“V”形圖象，并直接寫(xiě)出該“V”形圖象的函數(shù)表達(dá)式及自變量x的取值范圍；(2)在（1）的條件下，若一次函數(shù)的“V”形圖象與x軸交于點(diǎn)A，與直線相交于B，C兩點(diǎn)，求的面積；(3)一次函數(shù)（k為常數(shù)）的“V”形圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且，求k的取值范圍．【答案】(1)圖象見(jiàn)解析；(2)(3)或【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用及兩直線的交點(diǎn)問(wèn)題、一次函數(shù)的基本性質(zhì)等，理解題意，熟練掌握一次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意作出相應(yīng)函數(shù)圖象，（2）由一次函數(shù)解析式確定點(diǎn)A的坐標(biāo)即可,然后聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖形求三角形面積即可；（3）對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，利用一次函數(shù)的增減性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，該“V”形圖象的函數(shù)表達(dá)式為（2），當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為由圖可得：線段所在直線的解析式為，∴，解得∴線段所在直線的解析式為，∴，解得∴由（1）得：∴的面積；（3）∵直線（，且為常數(shù)）當(dāng)時(shí)，∴經(jīng)過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，∴該圖象與x軸交點(diǎn)①當(dāng)時(shí)，當(dāng)，則對(duì)稱(chēng)軸為直線，∵，由圖象可知，解得∴②當(dāng)時(shí)，由圖象可知，始終有綜上所述，或．34．（24-25八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）【定義1】對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量的一個(gè)值，當(dāng)時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等；當(dāng)時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)．我們稱(chēng)這樣的兩個(gè)函數(shù)互為“友好函數(shù)”．例如：一次函數(shù)，它的“友好函數(shù)”為；【定義2】平面直角坐標(biāo)系中將經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線記為直線．已知一次函數(shù)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”為；(2)已知點(diǎn)在該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖像上，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，求該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的最大值和最小值；(4)已知直線與該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)最大值為，最小值為(4)【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握并能靈活運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，根據(jù)“友好函數(shù)”的定義，由當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而可以得解；（2）依據(jù)題意，分和，結(jié)合點(diǎn)在該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖象上，進(jìn)而建立方程求出，即可得解；（3）依據(jù)題意，分和，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值和最小值即可；（4）依據(jù)題意，畫(huà)出一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖象，進(jìn)而結(jié)合直線與該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即可得解．【詳解】（1）解：由題意，根據(jù)“友好函數(shù)”的定義，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故答案為：；（2）解：由題意，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖像上，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖像上，，，不符合題意；綜上，；（3）解：當(dāng)時(shí)，，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，有最大值為，當(dāng)時(shí)，有最大值為；當(dāng)時(shí)，，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，有最小值為，當(dāng)時(shí)，有最大值為；綜上所述，該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的最大值為，最小值為；（4）解：由題意，畫(huà)出一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖象如下：直線與該一次函數(shù)的“友好函數(shù)”的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，．35．（24-25九年級(jí)下·北京海淀·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)與的“非常距離”，給出如下定義：若，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為；若，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為．例如：點(diǎn)，點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為，也就是圖1中線段與線段長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線與垂直于x軸的直線的交點(diǎn)）．(1)已知點(diǎn)，B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為4，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；②直接寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值；(2)已知C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，①如圖2，若，點(diǎn)D的坐標(biāo)是，求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；②如圖3，若E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值為1，直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)和b的值．【答案】(1)①點(diǎn)的坐標(biāo)是或；②3(2)①；②，【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)位于軸上，可以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由“非常距離”的定義可以確定，據(jù)此可以求得的值；②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”最小值為3；（2）①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．根據(jù)材料“若，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為”知，兩點(diǎn)的“非常距離”的最小值為，據(jù)此可以求得點(diǎn)的坐標(biāo)；②根據(jù)“非常距離”的定義，點(diǎn)在過(guò)原點(diǎn)且與直線垂直的直線上，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”是與的縱坐標(biāo)的差，值為1，據(jù)此求出的坐標(biāo)及b值．【詳解】（1）解：①∵為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴，解得：或；∴點(diǎn)的坐標(biāo)是或；②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為3；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為；∴點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”的最小值為3；（2）解：①若，則直線，如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”取最小值時(shí)，需要根據(jù)運(yùn)算定義，若，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為，此時(shí)．即，∵是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，此時(shí)，，∴點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”的最小值為：，此時(shí)；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在過(guò)原點(diǎn)且與直線垂直的直線上，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”最小值為，過(guò)E作軸，連接，設(shè)與軸交于，則，，，，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，解得：，，，設(shè)（點(diǎn)位于第一象限）．則，解得：，故，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，直線和圓的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，讀懂“非常距離”是解題的關(guān)鍵．36．（24-25九年級(jí)上·四川成都·期末）函數(shù)某數(shù)學(xué)興趣小組一起研究函數(shù)的性質(zhì)，組員甲說(shuō)：“可以用列表描點(diǎn)連線的方法畫(huà)一畫(huà)函數(shù)圖象，然后通過(guò)