19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式第19章

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學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系.2.能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)形結(jié)合的意識(shí).3.通過(guò)對(duì)一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式關(guān)系的探究，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物部分與整體的辯證統(tǒng)一關(guān)系.4.通過(guò)對(duì)一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式關(guān)系的探究，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的融會(huì)貫通，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美.

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我們就從函數(shù)的角度看一下方程與不等式.誰(shuí)對(duì)呢？視角不同，即使同一個(gè)東西看在眼里也是不同的.這次

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下面3個(gè)方程有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？你能從函數(shù)的角度對(duì)解這3個(gè)方程進(jìn)行解釋嗎？探究1一次函數(shù)與一元一次方程(1)2x+1=3；(2)2x+1=0；(3)2x+1=

1.yyy解這3個(gè)方程

一次函數(shù)y=2x+1

，當(dāng)y分別為3，0，

1時(shí)，求自變量x的值.O12123

1

2

1y=2x

+12x+1=3的解2x+1=0的解2x+1=1

的解從函數(shù)值看：從函數(shù)圖象看：在直線y=2x+1上，取縱坐標(biāo)分別為3，0，

1的點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為多少？看它們xy

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問(wèn)題1：你能把得到的結(jié)論推廣到一般情況嗎？y=ax+b

求一次函數(shù)y=4x+5的函數(shù)值為9時(shí)，自變量的值.的解就是當(dāng)函數(shù)

的函數(shù)值為

時(shí)的自變一般地，一元一次方程ax+b=c(a、b、c為常數(shù)，a≠0)量

的值.如：求4x+5=9的解cx

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問(wèn)題2：我們知道任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0的形式，你能用函數(shù)的觀點(diǎn)解釋這個(gè)方程嗎？一元一次方程ax+b=0的解從“函數(shù)值”看一次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值為0時(shí)，x的值.從“函數(shù)圖象”看直線y=ax+b(a≠0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).Oxyy=ax+bax+b=0的解

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【例1】一次函數(shù)y=3x

b的圖象與x軸交于點(diǎn)(1，0)，則方程3x

b=0的解為

，b=

.【解析】①∵一次函數(shù)y=3x

b的圖象與x軸交于點(diǎn)(1，0)∴方程3x

b=0的解為x=1.(方程3x

b=0的解直線y=3x

b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo))x=1②將點(diǎn)(1，0)代入函數(shù)y=3x

b得，3×1

b=0，解得b=3.3

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下面3個(gè)不等式有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？類(lèi)比一次函數(shù)和一元一次方程的關(guān)系，你能從函數(shù)的角度對(duì)解這3個(gè)不等式進(jìn)行解釋嗎？探究2一次函數(shù)與一元一次不等式3x+2

2；(2)3x+2

0；(3)3x+2

1.從函數(shù)值的角度看：解這3個(gè)不等式

在一次函數(shù)y=3x+2的函數(shù)值分別大于2、小于0、小于

1時(shí)，求自變量x的取值范圍.從函數(shù)圖象的角度看：解這3個(gè)不等式

在直線y=3x+2上取縱坐標(biāo)分別滿足大于2、小于0、小于

1的點(diǎn)，看它們的橫坐標(biāo)分別滿足什么條件.O112

1

1y=3x+2xy

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問(wèn)題1：你能把得到的結(jié)論推廣到一般情況嗎？y=ax+b

求一次函數(shù)y=4x+5的函數(shù)值小于9時(shí)，自變量x的取值范圍.數(shù)值

(或小于c)時(shí)，對(duì)應(yīng)自變量的取值范圍.解不等式ax+b

c(或者

c)就是求函數(shù)

的函如：求4x+5

9的解集大于c

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我們知道任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b0(或者小于0)的形式，所以：一元一次方程ax+b0(或0)的解從“函數(shù)值”看一次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值大(小)于0時(shí)，從“函數(shù)圖象”看直線y=ax+b(a≠0)在x軸上(下)方的部分所x的取值范圍.對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.Oxyy=ax+bax+b

0的解集ax+b

0的解集

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【例2】如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式ax+b＜0的解集是

.O2

1xyAB不等式ax+b＜0【解析】

直線y=ax+b在x軸下方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.x2求不等式的解集反應(yīng)在函數(shù)圖象上，即求自變量的取值范圍.

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【例3】如圖，一次函數(shù)y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)與正比例函數(shù)y=ax(a為常數(shù)，且a≠0)的圖象相交于點(diǎn)P，則不等式kx+b

ax的解集是

.O21xyPy=kx+by=ax【解析】解決此類(lèi)問(wèn)題一般不求函數(shù)的解析式，而是根據(jù)不等式找到對(duì)應(yīng)部分的圖象，進(jìn)而確定自變量的取值范圍.不等式kx+b

ax的解集

求一次函數(shù)y=kx+b的圖象在y=ax的上方時(shí)，所對(duì)x2應(yīng)的x的取值范圍.

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問(wèn)題：若y1＜y2，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍；【分析】y1＜y2

y2＝x的下方解：∵直線l1與l2相交于點(diǎn)C(2，2)，∴當(dāng)y1＜y2時(shí)，x2.OxyACB

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2.直線y=ax+b(a≠0)過(guò)點(diǎn)A(0，2)，B(1，0)，則關(guān)于x的方程ax+b=0的解為(

).A.x=0B.x=2C.x=1D.x=3C3.當(dāng)自變量x的取值滿足什么條件時(shí)，函數(shù)y=1.5x?6的值滿足下列條件(1)y=0；(2)y＞0；(3)y=1；(4)y2.解：(1)解方程1.5x?6=0，得x=4.(2)解不等式1.5x?6

0，得x

4.∴當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)y=1.5x?6的值滿足y0.∴當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)y=1.5x?6的值滿足y=0.

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一次函數(shù)巧“變身”一次函數(shù)中有兩個(gè)變量，當(dāng)函數(shù)值y等于一方法技巧：個(gè)定值時(shí)，一次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的一元一次方程問(wèn)題；當(dāng)函數(shù)值y大于或小于某一個(gè)定值時(shí)，一次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量x的一元一次不等式的問(wèn)題.

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一次函數(shù)與方程、不等式一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系一元一次方程ax+b=0的解從“函數(shù)值”看一次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值為0時(shí)