二次函數(shù)專項培優(yōu)（試題都有詳細答案）

第一套：二次函數(shù)鞏固復習

第二套：《二次函數(shù)的概念》基礎測試

第三套：知識銜接：函數(shù)及圖象知識體系詳解（一）

（正反比例函數(shù)一二次函數(shù)及平面直角坐標系）

第四套：知識銜接：函數(shù)及圖象知識體系培優(yōu)（二）

第五套：二次函數(shù)的圖象和性質復習

第六套：二次函數(shù)的圖象和性質培優(yōu)

第七套：函數(shù)的綜合應用1（正反比例一二次函數(shù)）

第八套：二次函數(shù)的綜合應用2

第九套：函數(shù)在實際中的應用3（正反比例一二次函數(shù)）

第十套：中考試題分類匯編一函數(shù)綜合題33題詳細解析

第十一套：函數(shù)精選題目復習

第十二套：函數(shù)及其圖象培優(yōu)2

第十二套：《函數(shù)》（正反比例一二次函數(shù)）提高測試

第十四套：2019中考二次函數(shù)分類匯編訓練試題含答案

第一套：二次函數(shù)鞏固復習

【回顧與思考】

【例題經典】

由拋物線的位置確定系數(shù)的符號

例1(1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖1,則點M(b,-)

a

在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第

四象限

(2)(2019年武漢市)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)

的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=l和

x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取

0.其中正確的個數(shù)是()

(1)

(2)

【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a,b,c之間的關系，是

解決問題的關鍵.

會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

例2(2019年煙臺市)如圖(單位：m),等腰三角形ABC以2

米/秒的速度沿直線L向正方形移動，直到AB與CD重合.設

x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym?.

(1)寫出y與x的關系式；

(2)當x=2,3.5時，y分別是多少？

(3)當重疊部分的面積是正方形面積的一半時，三角形移

動了多長時間？

求拋物線頂點坐標、對稱軸.

例3(2019年天津市)已知拋物線y=」x2+x-2.

22

(1)用配方法求它的頂點坐標和對稱軸.

(2)若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B,求線段AB的

長.

【點評】本題(1)是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，

第(2)問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關系.

【考點精練】

基礎訓練

1.二次函數(shù)y=x?的圖象向右平移3個單位，得到新的圖象的函

數(shù)表達式是()

A.y=x2+3B.y=x2-3C.y=(x+3)2D.y=(x-3)

2

2.二次函數(shù)y=-(x-1)2+3圖像的頂點坐標是()

A.(-1,3)B.(1,3)C.(-1,-3)D.(1,

_3)

3.二次函數(shù)y=x'x-6的圖象與x軸交點的橫坐標是()

A.2和一3B.—2和3C.2和3D.一2和一3

4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a/O）的圖象如圖

所示，則下列結論：①a>0；②c〉0；③

b2-4ac>0,其中正確的個數(shù)是（）

A.0個B.1個C.2個D.3

5.（2019年常德市）根據下列表格中二次函數(shù)

y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對應值，判斷方程

ax2+bx+c=0（a#0,a,b,c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（）

X6.176.186.196.20

y=ax"+bx+c-0.03-0.010.020.19

A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18

C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.20

6.（2019年南充市）二次函數(shù)y=ax2+bx+c,b'=ac,且x=0時y=-4

則（）

A.y最大二-4B.y最小=-4C.y最大=-3D.y最小=3

7.（2019年蘇州市）拋物線y=2x?+4x+5的對稱軸是x=_______.

8.（2019年宿遷市）將拋物線y=x2向左平移4個單位后，而向

下平移2個單位，則此時拋物線的解析式是.

9.（2019年錦州市）已知二次函數(shù)的圖象開口向上，且頂點在y

軸的負半軸上，請你寫出一個滿足條件的二次函數(shù)的表達式

10.（2019年長春市）函數(shù)y=x?+bx-c的圖象經過點（1,2）,則

b-c的值為.

能力提升

11.如圖，在平面直角坐標系中，二次

函數(shù)y=ax2+c（aWO）的圖象過正方

形ABOC的三個頂點A,B,C,則ac

的值是________./\|/\

12.觀察下面的表格：T—no—J

X012

2

ax2

ax2+bx+c46

（1）求a,b,c的值，并在表格內的空格中填上正確的數(shù);

（2）求二次函數(shù)y=ax?+bx+c圖象的頂點坐標與對稱軸.

13.(2019年南通市)已知拋物線y=ax2+bx+c經過A,B,C三點,

當x20時，其圖象如圖所示.

(1)求拋物線的解析式，寫出拋物線的頂點坐標；

(2)畫出拋物線y=ax''+bx+c當x<0時的圖象；

(3)利用拋物線y=ax?+bx+c,寫出x為何值時，y>0.

14.(2019年長春市)如圖，P為拋物線y=Zx2—3x+L上對稱軸

424

右側的一點，且點P在X軸上方，過點P作PA垂直X軸于點

A,PB垂直y軸于點B,得到矩形PA0B.若AP=1,求矩形PA0B

的面積.

15.(2019年莆田市)枇杷是莆田名果之一.某果園有100棵枇

杷樹，每棵平均產量為40千克.現(xiàn)準備多種一些枇杷樹以提

高產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹接

受的陽光就會減少.根據實踐經驗，每多種一棵樹，投產后

果園中所有的枇杷樹平均每棵就會減少產量0.25千克.問：

增種多少棵枇杷樹，投產后可以使果園枇杷的總產量最多？

最多總產量是多少千克？［注：拋物線y=ax?+bx+c的頂點坐標

是（-±,金貯）］

2a4a

應用與探究

16.（2019年常州市）在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y二a

（x-1）2+k的圖像與x軸相交于點A、B,頂點為C,點D在

這個二次函數(shù)圖像的對稱軸上，若四邊形ABCD是一個邊長為

2且有一個內角為60°的菱形，求此二次函數(shù)的表達式.

答案：

例題經典

例1：(1)D(2)B例2：(1)y=2x2,(2)8；24.5；(3)5

秒.

例3：(1)頂點(-1,-3),對稱軸x=-1,(2)276

考點精練

1.D2.B3.A4.C5.C6.C7.x=-18.y=(x+4)

2-2(y=x2+8x+14)

9.答案不唯一，符合要求即可.如：y=x2-210.111.-2

12.(1)a=2,b=-3,c=4,0,8,3(2)頂點(?，至)對稱

48

軸是直線X=3

4

13.(1)y=--Lx2+^x+2,頂點坐標(3,—)(2)略，(3)

2228

當-l<x<4時,y>0.

14.?.?PA_Lx軸,AP=L???點P的縱坐標為1.當y=l時，陵-3

42

x+-=l,

4

2

X-2X-1=0,解得XI=1+及，X2=1-V2,

???拋物線的對稱軸為x=L點P在對稱軸的右側，

.?.x=l+夜，工矩形PA0B的面積為(1+6)個平方單位.

15.設增種x棵時，果園的總產量為y千克，

根據題意得：y=(100+x)(40-0.25x)

=4000-25x+40x-0.25x=-0.25x2+15x+4000,

Va=-0.25<0,

‘當圻一分一溫?=30時，y最大,

4ac-及=4x(-0.25)x4000-152=4225

y最大值二

4a4x(-0.25)

答：當增種30棵枇杷樹時，投產后果園總產量最多，達4225

千克.

16.解：本題共四種情況，設二次函數(shù)的圖像的對稱軸與x軸相

交于點E,

(1)如圖①，

當NCAD=60°時，因為ABCD為菱形，一邊長為2,

所以DE=1,BE=V3,所以點B的坐標為(1+力，0),點C的

坐標為(1,-1),

解得k=T,a=-,所以y」(x-1)2-l.

33

(2)如圖②，當NACB=60。時，由菱形性質知點A的坐標為

(0,0),

點C的坐標為(1,出),解得k=-百，a=g,所以y=百

(x-1),一出,

同理可得：y=--(x-1)?+1=，y-->/3(x-1)2+V3,

3

所以符合條件的二次函數(shù)的表達式有：

y=-(x-1)2-1,

3

y=G(x-1)2~y/3,

y=--(x-1)2+l,

3

y=-V3(x-1)z+也.

第二套：《二次函數(shù)的概念》基礎測試

（-）選擇題（每題4分，共32分）

1.下列各點中，在第一象限內的點

是....................................()

(A)(-5,-3)(B)(-5,3)(0(5,-3)(D)

(5,3)

【提示】第一象限內的點，橫坐標、縱坐標均為正數(shù).【答案】

D.

2.點產（一3,4）關于原點對稱的點的坐標

是............................()

(A)(3,4)(B)(-3,-4)(C)(-4,3)(D)

(3,-4)

【提示】關于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標分別互為相反

數(shù).【答案】D.

3.若點〃（a,b）在第四象限，則點0（—a,8—4）在象限

是............（）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）

第四象限

【提不】由題意得a>0,b<3故一a<0,b—4<0.【答案】

C.

4.函數(shù)y=萬工+中自變量x的取值范圍

x—3

是......................()

(A)xW2(B)x=3(C)xV2且x#3(D)

x<2且x#3

【提示】由2—x20且x—3/0,得xW2.

【答案】A.

【點評】注意：D的錯誤是因為xW2時x已不可能為3.

5.設y=y+乃，且必與*成正比例，%與_1成反比例，則y

X

與*的函數(shù)關系是（）

（A）正比例函數(shù)（B）一次函數(shù)（C）二次函數(shù)（D）

反比例函數(shù)

【提示】設y\=kxx(左#0),%=牛=左彳(4#0),則y=

X

k{x+k2x(左WO,47O).

【答案】C.

6.若點(一勿，/?)在反比例函數(shù)尸人的圖象上，那么下列

X

各點中一定也在此圖象上的點

是................................................

...............()

(A)(勿，z?)(B)(—in,—??)(C)(勿，一〃)(D)

(—n,一勿)

【提示】由已知得4=一在，故C中坐標合題意.

【答案】C.

7.二次函數(shù)式y(tǒng)=/-2x+3配方后，結果正確的

是.......................()

(A)y=(x+1)2—2(B)y=(x—1)2+2

(C)尸(x+2)2+3(D)尸(x—1)2+4

【提示】y—x—2x-\-3=x—2x-\-1+2=(x—1)+2.

【答案】B.

8.若二次函數(shù)y=2x—2mx+2/n-2的圖象的頂點在x軸

上，則m的值是()

(A)0(B)±1(C)±2(D)±V2

【提示】由題意知=0,即4/2—8石+8=0,故加=±也.

【答案】D.

【點評】拋物線的頂點在x軸上，表明拋物線與x軸只有一

個交點，此時=0.

(二)填空題(每小題4分，共28分)

9.函數(shù)尸攵工中自變量x的取值范圍是_________.

x-3

【提不】由題意，得x—I/O,x—3W0.

【答案】且xW3.

【點評】注意零指數(shù)的底數(shù)不為0以及結論中的“且”字.

10.若反比例函數(shù)的圖象過點(一1,2),則它的解析式為

【提示】設反比例函數(shù)解析式為尸幺，則4=—2.

X

【答案】y=—2.

X

11.當必=時，函數(shù)（瘍一加一j是一次函數(shù).

【提示】2解得0=—L吸=1（舍去）.

2

【答案】勿=一1?

2

【點評】根據一次函數(shù)的定義，得2加2一勿=1,且加2—rW0.

12.已知一次函數(shù)（A/0）,當x=l時，y=3；當

x=0時，尸2.則函數(shù)解析式為,函數(shù)不經過第

象限，y隨x增大而.

【提示】設一次函數(shù)為y=a+6,把已知值代入求出〃，b.

【答案】y=x+2,四，增大.

【點評】本題考查一次函數(shù)的性質與解析式的求法.

13.二次函數(shù)—/+mx-\-2的最大值是2,則常數(shù)m—

4

【提示】可應用頂點坐標公式求出頂點縱坐標.

【答案】±1.

【點評】本題考查二次函數(shù)最大（小）值的求法.本題還可

用配方法求解.

14.如果二次函數(shù)尸a*+8x+c的圖象的頂點是（一2,4）,

且過點（一3,0）,貝！Ja為.

【提示】用頂點式求出二次函數(shù)解析式.

【答案】一4.

15.若直線y=3x+b與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為

24,貝ijb=.

【提示】直線與y軸交點坐標為（0,6）,與x軸交點坐標為（一

”0）,故

3

24=1?\b\?|-1|.

23

【答案】±12.

【點評】根據直線與x軸、y軸交點坐標的求法.求面積時

對含b的式子要加絕對值符號.

（三）解答題

16.（6分）已知正比例函數(shù)的圖象經過點（1,-2）,求此函

數(shù)的解析式，并在坐標系中畫出此函數(shù)的圖象.

【解】設正比例函數(shù)解析式為y=4x(?0).

圖象過(1,-2),

Z.-2=k.

函數(shù)解析式為p=-2x.

其圖象如右圖所示.

17.(8分)按下列條件，求二次函數(shù)的解析式：

(1)圖象經過力(0,1),B(1,3),61(-1,1)；

(2)圖象經過(3,1),且當x=2時有最大值為3.

【答案】(1)y=*+x+l；(2)y=-2x+8x—5.

【點評】要會用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，(2)中隱含

頂點坐標為(2,3).

18.(8分)已知二次函數(shù)y=2/—4x—6.

(1)求圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標，并畫出草

圖.

(2)求圖象與x軸的交點坐標，與y軸的交點坐標.

(3)當x為何值時，p隨x的增大而增大？

(4)x為何值時y>0?

【解】(1)圖象開口向上，對稱軸為x=l,頂點坐標為(1,

—8)；

(2)與x軸交于(-1,0),(3,0)兩點，與y軸交于

(0,-6)；

(3)當x>l時，p隨x增大而增大；

(4)當后一1或矛23時，

19.(8分)某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每

件盈利40元，為擴大銷售增加盈利，盡快減少庫存，商

場決定采取降價措施，經調查發(fā)現(xiàn)，若每件襯衫每降價1

元，商場平均每天可以多售出2件.(1)若每件降價x元，

每天盈利p元，求p與x的關系式.(2)若商場平均每

天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？（3）每件襯

衫降價多少元時，商場每天盈利最多？盈利多少元？

【解】（1）y=（40—矛）（2x+20）=-2*+60x+800.

（2）當尸1200時,

-2/+60x+800=1200,

I.為=10,X2=20.

;要盡快減小庫存，

二.x=20.

（3）y=-2（x—15）2+1250,故每件降價15元時，最

多盈利可達1250元.

【點評】要注意盡量減少庫存的隱含條件.

20.（10分）已知x軸上有兩點/（為，0）,8（屈，0）,在y

軸上有一點C,荀，乃是方程/x—5=0的兩個根，且

22

X,+X2=26,△/回的面積是9.（1）求4B,。三點的

坐標；（2）求過兒B,。三點的拋物線的解析式.

【解】（1）*.*X\+x2=/n,為也=-5,

2

...x/+x2=（為+也）：'-2用照=蘇+10=26.

/=4,則方程為x—4x—5=0.

故布=5,x2=-i.

，4（—1,0）,夕（5,0）或4（5,0）,8（—1,0）.

設。點坐標為（0,c）.

=

,**AB—=6,S&ABC=—AB,|/?|9,

⑷2

Z.力=±3.

C（0,3）或（0,-3）.

（2）拋物線的解析式為

y=--x2+Ux+3或y=-x2——x—3.

5555

第三套：知識銜接：函數(shù)及圖象復習測試

（正反比例函數(shù)一二次函數(shù)及平面直角坐標系）

學校：姓名：

一、學習的目標：掌握正、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)

的圖象及性質

二、知識點歸納：

1、平面直角坐標系：平面內兩條有公共原點且互相垂直的數(shù)

軸構成了平面直角坐標系，坐標平面內一點對應的有序實數(shù)對叫

做這點的坐標。在平面內建立了直角坐標系，就可以把“形”（平

面內的點）和“數(shù)”（有序實數(shù)對）緊密結合起來。

2、函數(shù)的概念：設在某個變化過程中有兩個變量x、y,如果

對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與

它相對應，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量。

3、自變量的取值范圍：對于實際問題，自變量取值必須使實

際問題有意義。對于純數(shù)學問題，自變量取值應保證數(shù)學式子有

意義。

4、正比例函數(shù)：如果y=kx(k是常數(shù)，kWO),那么，y

叫做x的正比例函數(shù).

5、、正比例函數(shù)y=kx的圖象：

過(0,0),(1,K)兩點的一條直線.

酸經過一、三象限直奧比二、四象限

6、正比例函數(shù)y=kx的性質

(1)當k>0時，y隨x的增大而增大

(2)當k<0時，y隨x的增大而減小

7、反比例函數(shù)及性質

函蜘=2(左是常數(shù)，左K0)叫做反比例函數(shù)。

X

(1)當k>0時，在每個象限內分別是y隨X的增大而減小;

(2)當k<0時，在每個象限內分別是y隨x的增大而增大.

8、一次函數(shù)如果y=kx+b（k,b是+常數(shù)，kNO）,那么y叫

做x的一次函數(shù).

9、一次函數(shù)y=kx+b的圖象

系數(shù)特征圖象特征不經過的圖例

象限

b>0直線從左直線與y軸在X軸上四舉

k>0到右的交點方1x

0

b<0取向上方M(o,b)在X軸下L^x

M

向方

直線從左直線與y軸在X軸上

k<0b>0到右取向的交點方X

y

—?

b<0下的方向M(o,b)在X軸下M]

方

10^一次函數(shù)y=kx+b的性質

過（。力）,（-之。）的一條直線。

（1）當k>0時，y隨x的增大而增大;

（2）當k<0時，y隨x的增大而減小.

y.y

9、二次函數(shù)的性質

(1)函數(shù)y=ax?+bx+c(其中a、b、c是常數(shù)，且aw0)叫做

的二次函數(shù)。

(2)利用配方，可以把二次函數(shù)表示成y=a(x+2)2+絲匕生

2a4a

或y=a(x-h)2+k的形式

(3)二次函數(shù)的圖象是拋物線，當a>0時拋物線的開口向

上，當aVO時拋物線開口向下。

拋物線的對稱軸是直線x=-幺或x=h

2a

拋物線的頂點是(-2,處二/)或(h,k)

2a4。

三、學習的過程:

分層練習(A組)

一、選擇題:

1.函數(shù)y="1中，自變量X的取值范圍是()

A.1B.x>1C.1I).xWl

2.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是()

A.B.C.

D.

3.在函數(shù)丫=號^中，自變量x的取值范圍是

(A)x23(B)xW3(C)x>3(D)x<3

4.點P(-1,2)關于y軸對稱的點的坐標是().

A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,-2)

I).(-1,-2)

5?點M(1,2)關于x軸對稱點的坐標為()

A、(-1,2)B、(-1,-2)C、(1,-2)D、(2,

—1)

6.在直角坐標系中，點產QT)一定在()

A.拋物線丁=，

上B.

V=~1~

雙曲線“上

C.直線"X

上

D.直線上

7.若反比例函數(shù)yJ-O)的圖象經過點(-1,2),則k的值為

X

A.-2B.--C.2D.-

22

8.函數(shù)y=-x+3的圖象經過()

(A)第一、二、三象限(B)第一、三、四象

限

(C)第二、三、四象限(D)第一、二、四

象限

9.函數(shù)y=2xT的圖象不經過()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

(C)

11.為解決藥價虛高給老百姓帶來的求醫(yī)難的問題，國家決定對

某藥品分兩次降價。若設平均每次降價的百分率為不該藥品的

原價是勿元，降價后的價格是p元,則y與x的函數(shù)關系式是()

(A)y=2m{\—X)(B)p=2勿(1+x)(C)y=m(l

—x)2(D)尸勿(l+x)?

13.一輛汽車由淮安勻速駛往南京，下列圖象中，能大致反映汽

車距南京的路程s(千米)和行駛時間t(小時)的關系的是()

14.8、某小工廠現(xiàn)在年產值150萬元，計劃今后每年增加20

萬元，年產值y（萬元）與年數(shù)》的函數(shù)關系式是（）

A.y=150x+20B.y=15+2x

C.j=150+20xD.y=2Qx

15.關于函數(shù)y=-2x+l,下列結論正確的是（）

（A）圖象必經過點（-2,1）（B）圖象經過第一、

二、三象限

（C）當時，y<0(D)

增大

16.一次函數(shù)尸HX+Z?的圖像如圖所示,

則下面結論中正確的是（）

A.a<0,b<QB.a<0,b>Q

C.a>Q,b>0D.a>Q,b<0

17.若反比例函數(shù)y==的圖象在每一象限內，y隨x的增大

X

而增大，則有（）

A.k/0B.kN3C.k<3

D.k>3

18.函數(shù)y=1的圖象與坐標軸圍成的三角形的面積是

)

A.2B.1C.4

D.3

19.拋物線y=」/+%_4的對稱軸是()

4

A、x=—2B>x=2C>x=—4D>x=4

20.拋物線y=2(x-3)2的頂點在()

A.第一象限B.第二象限C.x軸上D.y

軸上

二、填空題：

1.拋物線y=3與x軸分別交力、方兩點，貝ij/8的長為

__2j_

2.直線、=一二+5不經過第象限.

3.若反比例函數(shù)廣幺圖象經過點4(2,-1),貝1］左=.

X

4.若將二次函數(shù)尸/_2戶3配方為k(x-N+k的形式，則

產?

5.若反比例函數(shù)y=&的圖象過點(3,-4),則此函數(shù)的解析式

X

為.

6.函數(shù))一不二的自變量X的取值范圍是_________o

2x—3

7.寫出一個圖象經過點（1,一1）的函數(shù)解析

式：?

8.已知一次函數(shù)y=-2x+b,當x=3時，y=l,則b=

9.已知點P（—2,3）,則點P關于X軸對稱的點坐標是（，）。

10.函數(shù)y=ax+b的圖像如圖所示，貝l」y隨x的增大而o

y=ax+b

11.反比例函數(shù)y=--的圖像在象限。

X

12.函數(shù)y=3x2—中自變量X的取值范圍是____________。

A/2X-1

13.當k=時，反比例函數(shù)y=-K（x>0）的圖象在第一象

X

限.（只需填一個數(shù)）

14.函數(shù)y=~^k中自變量x的取值范圍是.

15.若正比例函數(shù)（/NO）和反比例函數(shù)尸巳（〃￥0）的圖

y-mxX

象都經過點（2,3）,則

m-，n-

三、解答題：

1、求下列函數(shù)中自變量x的取值范圍:

(1)尸土上；(2)尸x2-『2；

2

(3)y=——；(4)尸Jx+3

4x+8

解：

(1)

(2)

(3)

(4)

2、分別寫出下列各問題中的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍：

(1)某市民用電費標準為每度0.50元，求電費p(元)關于用

電度數(shù)x的函數(shù)關系式；

(2)已知等腰三角形的面積為20cm2,設它的底邊長為x(cm),

求底邊上的高y(cm)關于x的函數(shù)關系式；

（3）在一個半徑為10cm的圓形紙片中剪去一個半徑為r（cm）

的同心圓，得到一個圓環(huán).設圓環(huán)的面積為S（cm?）,求s關于r

的函數(shù)關系式.

3.已知彈簧的長度y（厘米）在一定的限度內是所掛重物質量x

（千克）的一次函數(shù).現(xiàn)已測得不掛重物時彈簧的長度是6厘米，

掛4千克質量的重物時，彈簧的長度是7.2厘米。求這個一次函

數(shù)的關系式。

分析已知p與x的函數(shù)關系是一次函數(shù),則解析式必是y=

的形式，所以要求的就是和b的值。而兩個已知條件就是

x和y的兩組對應值，也就是當矛=時，y=6,即得到點

（，6）；當x=4時，y=7.2,即得到點（4,7.2）。可以分

別將兩個點的坐標代入函數(shù)式，得到一個關于k,b的方程組，進

而求得和6的值。

解設所求函數(shù)的關系式是p=4x+6,根據題意，得

解這個方程組，得［/=

b=

所以所求函數(shù)的關系式是

運用待定系數(shù)法求解下題

4.已知一次函數(shù)的圖象如下圖，寫出它的關系式。

分析：由圖可知直線經過兩點（

解：

5、一次函數(shù)中，當x=l時，y=3;當x=-l時，y=7,求出相應

的函數(shù)關系式。

解：設所求一次函數(shù)為,則依題意得

k=

???解方程組得.??所求一次函數(shù)為

b=

6、已知一次函數(shù)尸_4才+6的圖象經過點(-1,1)和點(1,-5),

求

(1)函數(shù)的解析式(2)當下5時，函數(shù)p的值。

四.綜合題：(3分+2分+3分+4分)

已知一個二次函數(shù)的圖象經過A(-2,|)、B(0,-|)和C(l-2)三

點。

(1)求出這個二次函數(shù)的解析式;

(2)通過配方，求函數(shù)的頂點P的坐標；

(3)若函數(shù)的圖象與x軸相交于點E、F,(E在F的左邊)，

求出E、F兩點的坐標。

(4)作出函數(shù)的圖象并根據圖象回答：當x取什么時，y>O,y

<0,y=0

函數(shù)及圖象答案

分層練習（A組）

一.選擇題：CBCACDADBCCBCDACCBC

二.填空題：

1.42.三3.-24.y=(x-l)+25.y=--6.x

X

H-3

2

7.y=-x等8.79.(-2,-3)10.減小11.二、四13.

-1等14.X>-且XH1

2

15.-6

2

三.解答題：

1.(1)一切實數(shù)(2)一切實數(shù)(3)xo2(4)x>-3

2.(l)y=0.5x(x>0)(2)y=—(3)s=100^-^r2(0

<r<10)

3.分析：kx+bk00k

0.3

解：［"=6k=y=0.3x+6

4k+b=1.2h=6

4.分析：(2,0)(0,-3)

解：y=kx+b+匕-3,k=—--y=-x-3

h=-322

b=-3

kx+b=3J〃=5

5.解：y=kx+b：.y=-2x+5

—k+h=lk=2

5.(1)-k+b=lb=—2y=-3x-2

k+b=—5[k=-3

(2)y=T7

四.①y=0.5X2-X-1.5②y=0.5(x-l)2-2p(l,-2)

③E(-1,0)F(3,0)④圖略。當X<-1或X>3時

y>0.當T<X<3時y<0

當X=T,X=3時y=0

第四套：知識銜接：函數(shù)及圖象知識體系培優(yōu)（二）

一、學習目標

1、能正確畫出直角坐標系；并能在直角坐標系中，根據點

的坐標找出點，由點求出點的坐標。

2、能分清實例中出現(xiàn)的常量與變量、自變量與函數(shù)；對簡

單的函數(shù)表達式，能確定自變量的取值范圍，并會求出函數(shù)值。

3、能畫出簡單函數(shù)的圖象；知道不僅可以用解析法，而且

還可以用列表法和圖象法表示函數(shù)。

二、教材簡析

函數(shù)是數(shù)學中的重要概念之一，它使我們從研究不變的量，

轉化為研究變量之間的相依關系。函數(shù)不僅是一個重要的概念，

也是一種很重要的數(shù)學思想方法。通過函數(shù)概念和圖象的學習可

以用幾何圖形來解析代數(shù)問題，使代數(shù)問題變得更形象、直觀，

便于理解，另一方面，也可以用代數(shù)方法來研究幾何問題。

本章內容包括三個單元。第一單元是直角坐標系的初步知識,

第二單元是函數(shù)及其圖象，第三單元是常見的幾種函數(shù)，包括一

次函數(shù)（正比例函數(shù)）、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及其圖象。（本講

主要學習鞏固第一、二單元，第三單元留待下學期復習）。

學習直角坐標系，建立有序實數(shù)與平面內的點的一一對應關

系，為研究函數(shù)的圖象作準備。學習函數(shù)概念，首先要了解常量、

變量概念，用動態(tài)的觀點來看問題。弄清函數(shù)的本質是具有某些

特點的對應關系，抓住函數(shù)對自變量的依從關系就是函數(shù)與自變

量的對應關系。函數(shù)關系中自變量的取值范圍是函數(shù)存在的不可

缺少的部分。

了解函數(shù)有三種表示方法，即解析法、列表法和圖象法。能

正確迅速地列表、描點并繪出函數(shù)圖象，（以下為下學期內容）

要逐步學會用圖象總結函數(shù)的性質，由函數(shù)的性質能想象出表達

式中自變量X與函數(shù)y的變化情況。

本章重點是函數(shù)的概念、函數(shù)解析式與圖象性質的內在聯(lián)系。

能靈活地進行數(shù)與形之間的變換是難點。

三、本講（即第一、二單元）的重點內容有

1、掌握x軸、y軸上和四個象限內點的坐標的特征。

2、懂得建立了平面直角坐標系，就使平面上的點與一對有序

實數(shù)之間建立起一一對應關系，建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，初步了

解數(shù)形結合思想。

3、對函數(shù)概念的理解和自變量取值范圍的確定。

4、函數(shù)的三種表示方法及用描點法畫函數(shù)圖像。

四、基本內容及應注意的問題

1、平面直角坐標系是以數(shù)軸為基礎的，坐標平面內的點的坐

標也是利用數(shù)軸上點的坐標來定義的。有關直角坐標系的概念比

較多，學習時應緊密結合圖形，不能死記硬背定義，看到一個概

念，腦子里要能馬上反映出相關的圖形。如對“象限”的理解，

關鍵在于結合直角坐標系，能指出各個象限的位置，進而明確坐

標軸上的點不屬于任何一個象限的真正含義。

2、對于函數(shù)的意義，在初中階段主要應領會兩點：一是有兩

個變量，二是一個變量的數(shù)值隨著另一個變量的數(shù)值變化而變化。

3、關于函數(shù)自變量的取值范圍問題，主要包含兩個方面：一

是自變量的取值使函數(shù)解析式有意義，這是常用的一個方面，也

是以前學過的知識；二是自變量的取值使實際問題有意義，這一

方面雖然用的不多，但需要對實際問題作具體分析，有一定難度。

4、關于函數(shù)值的問題，可以和求代數(shù)式的值的問題聯(lián)系起來,

注意運算的熟練與準確程度。

5、對于函數(shù)的三種常用的表示方法，應該有這樣的認識：給

出一種函數(shù)關系，根據需要，有時可以寫出它的解析表達式，有

時可以列出函數(shù)與其自變量的對應數(shù)值表，有時也可以畫出它的

圖象；反過來，也可以用一個解析式，或一個反映兩個變量的對

應關系的數(shù)值表，或一個圖象，來表示一個函數(shù)關系。

6、關于函數(shù)圖象的意義，要注意到是“把自變量X與函數(shù)y

的每對對應值分別作為點的橫坐標與縱坐標?！?/p>

五、例題

例1：若點P(3m-2,5-2m)在第二象限，求m的取值范圍

解：???點P(3m-2,5-2m)在第二象限

2

得

解

3m-2<03-

5-2m>0

注：根據各象限內點的橫縱坐標的特征列出兩個不等式，組

成不等式組即可求得。

例2：若A點坐標為(m,n),它關于原點的對稱點為A”而Ai

關于x軸的對稱點為A2,且點A2的坐標為(3,-4),求m、n的值。

解：?「A點坐標為(m,n)

二.A點關于原點的對稱點Ai的坐標為(-m,-n),Ai點關于

x軸的對稱點A2的坐標為(-m,n)

又丁點A2的坐標為(3,-4)

-m=3｛即：m=-3

n=-4n=-4

注：本題是按題意中的對稱關系順次由點A的坐標推得點A2

的坐標。由于點的軸對稱和中心對稱關系是相互的，所以本題也

可由點A2的坐標逆方向求點A的坐標，即:A2(3,-4)-A,(3,4)

-*A(-3,-4)-*m=-3,n=-4

例3：已知點P(a,a-b)在第四象限，求：(1)Q(-a,b)所在象

限。(2)若2%,則P點和Q點在什么位置?

解：(1)〈pg,a-b)在第四象限

.\a>0,且a-b<0

b>a>0

-a<0

則:Q(-a,b)在第二象限

⑵當a=b時，P、Q兩點坐標可分別表示為

P(a,0)Q(-a,a)

XVa>0

??.P點在x軸正半軸上，Q點在第二象限角平分線上(原點除

外)。

注：(1)因為P點在第四象限，橫坐標a為正值，縱坐標a-b

應為負值，所以b必大于a,也為正數(shù)；(2)當點的橫、縱坐標

相同時，該點在一、三象限角平分線上。而點的橫、縱坐標互為

相反數(shù)時，點必在二、四象限角平分線上。本例有前提P在第四

象限a>0,所以Q只能在第二象限角平分線上，且原點要除外。

例4：求下列各函數(shù)的自變量取值范圍

(1)y=43x2-1x-7

(2)y-V15-6x

x

⑶>,=

j3x+5

/人/x+2

⑷尸F(xiàn)

(5)y-y/x-3-yj3-x

⑹產1GT

(7)y=<3

解：（1”.?不論X取什么值，原函數(shù)都有意義

.'.X為全體頭數(shù)

⑵要使函數(shù)有意義，必須使15-6x20

.，.xW工

2

⑶要使函數(shù)有意義，只須3x+5>0,，x>-；

⑷要使函數(shù)有意義，必秒使x+2R.言"且x/3

x-3,0

{

⑸要使函數(shù)有意義，必◎使x-3^0即x23Z.

x=3

{

3-x20xW3

⑹要使函數(shù)有意義，必須使3-2x20...xW3且x7

2

±1

1-W^O

⑺要使函數(shù)有意義，必須使x/0/.XT^O,X7^

-1且x#3

X-2X-37^0

例5：如圖，銳角AABC中，BC=10,高AD=6,EFGH是它的內

接矩形，設EF為x,EH為y.求y與x的函數(shù)關系式

分析：①學會在圖中標注數(shù)據

②EFGH是AABC的內接矩形，本身隱含著EH〃BC這一

條件

③EH〃BC提供AAEMsn］空=41n

_A_M__EH

EHAE

^AEH

sM5Cn——BC=——AB

即：好=看變形即得:?=|(6-x)

o10j

④x是矩形一邊EF的長度，因此0<x<6,這里x/0

且x/6

因為x=0或x=6時矩形都不存在，也就失去了該題

的實際意義了。

解：???EFGH為矩形

.*?EII//耳C=>\AEMsAABD=>=——=>

1AZAAB

iAE

\AEH

IsAAfiC=>-=B4C-=—AB

AMEH6-xy

.而=前06二T5

1?y=](6-x)(0<X<6)

注：對根據實際問題得到的函數(shù)關系，它的自變量取值不僅

要使函數(shù)解析式有意義，而且還要使實際問題有意義，應根據實

際問題的限制，確定自變量的取值范圍。

例6：求尸塞言，當x=12時的函數(shù)值

分析：實質上是當x=12時，求代數(shù)式*?的值。

解：當x=12時

X-12V3

2

2-1273=-12(V3-1)=-6(V3-1)r-r-

7127r2(V3+1)3-1=-3-(4-2V3)=6V3-12

例7:當X為何值時，y=J2/一九+1與y=『x的函數(shù)值相等

分析：此題即X為何值時為唯7+1=17成立

解：當y/lx2-x+1=1-x時

2

即：x+x=0/.Xi=-1,x2=0

經檢驗：x尸-1,X2=0都是原方程的根。

???當x=T或x=0時,兩函數(shù)值相等。

六、練習及作業(yè)

(一)、選擇題

1、點M在第二象限，且M點到x軸距離為2,到y(tǒng)軸距離為3,

則M點坐標是：

A、(2,3)B、(3,2)C、(-2,3)I)、

(-3,2)

2、點P(m-5)在第二、四象限夾角平分線上，則m的值為：

A、|B、C、5I)、-5

3、已知點A(5m-4,3-m)在第二象限，則m的取值范圍是:

A、m<3B、m<yC、m>3D、g<m

<3

4、已知點M(a,O)在x軸的負半軸上，則點N(l+a2,-a)在：

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、

第四象限

5、已知abWO,則坐標平面上四個點A(a,b)、B(-a,-b)、C(a,-b)、

D(-a,b)中關于x軸對稱的點是：

A、A與B,C與DB、A與C,B與D

C、A與D,B與CD、A與B,B與C

6、在下列函數(shù)中，與y=x-2圖像完全相同的函數(shù)是：

A、y=(Jx-2)2B、y=J(x-2)2

c、y=[(x-2)3D>y=——

(二)、填空題：

7、已知點P的坐標是(m-n,m+n),則點P關于x軸的對稱點坐標

是，點P關于x軸的對稱點坐標是，點P關于原

點的對稱點坐標是O

8、在x軸上的點坐標是零；在第四象限夾角的平分線上的

點P坐標

為(m,n),則m>n的關系是。

9、以(4,0)為圓心，5為半徑畫一圓，則此圓與y軸的交點坐標

為o

10、把等腰三角形的一個底角的度數(shù)y表示成頂角度數(shù)x函數(shù)解

析式是，

自變量X的取值范圍是O

(三)、解答題：

11、求下面各函數(shù)中自變量取值范圍

⑴卜=丁

⑵片提

⑶，=磊+￡

12、AABC的N5和NC兩角的角平分線交于點D,設NBDC度數(shù)為y,

乙4度數(shù)

為X,求y關于X的函數(shù)解析式及自變量X的取值范圍。

13、已知點M坐標為(-5,0),點N在第三象限坐標為(x,y)且

x+y=-6,設AOMN

面積為So

⑴求S關于x的函數(shù)表達式

⑵求x的取值范圍

⑶當S=10時,求N點坐標

七、答案及解題指導

1、D2、C3、B4、A5、B6、

C

解題指導：

1、設M點坐標為(xo,y°)則由題意有x0<0,y0>0及

=

=2,x0=3,得Xo=-3,yo2o

2、第二、四象限夾角平分線上的點，其橫坐標和縱坐標互為

相反數(shù)，故m+(-5)=0得m=5。

3、由「5m-4<0得

15

3-m>0

4、點(a,0)在x軸負半軸上,則aVO,則-a>0,又l+a?〉。,

則點N(l+a*-a)在第一象限。

5、關于x軸對稱的點應橫坐標相同,縱坐標相反,故為A(a,b)

-

與C(a,-b),B(-a,b)與D(-a,b)o

6、y=X-2,自變量X可取任何實數(shù)，而A.y=(VT至八取值范

圍是x》2。=J(x-2)2=|x—2|與y=x-2是不同的解析式，

=XW—2,它們或是自變量的取值范圍或是解

析式不與y=x-2完全相同，只有Cy=y(x-2)3=%一2,且X

可取任何實數(shù)，故選C。

7、(m-n,-m-n)