PAGEPAGE9微型專題1庫侖力作用下的平衡[學(xué)科素養(yǎng)與目標(biāo)要求]物理觀念：進(jìn)一步駕馭庫侖力的計算公式及庫侖力的方向判定.科學(xué)思維：1.會進(jìn)行庫侖力作用下帶電體的受力分析.2.會運用合成法、分解法處理共點力作用下的平衡.一、非共線力作用下帶電體的平衡1.庫侖力具有力的一切性質(zhì)，可以與其他力合成、分解，兩點電荷間的庫侖力是一對作用力和反作用力，遵從牛頓第三定律.2.共點力的平衡條件：物體所受外力的合力為零，即F合＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Fx＝0,Fy＝0)).3.處理平衡問題常用的數(shù)學(xué)學(xué)問和方法有直角三角形、相像三角形和正交分解法.4.選取探討對象時，要留意整體法和隔離法的敏捷運用.例1(多選)兩個質(zhì)量分別是m1、m2的小球，各用絲線懸掛在同一點，當(dāng)兩球分別帶同種電荷，且電荷量分別為q1、q2時，兩絲線張開肯定的角度θ1、θ2，如圖1所示，此時兩個小球處于同一水平面上，則下列說法正確的是()圖1A.若m1＞m2，則θ1＞θ2B.若m1＝m2，則θ1＝θ2C.若m1＜m2，則θ1＞θ2D.若q1＝q2，則θ1＝θ2答案BC解析以m1為探討對象，對m1受力分析如圖所示.由共點力平衡得FTsinθ1＝F庫①FTcosθ1＝m1g②由eq\f(①,②)得tanθ1＝eq\f(F庫,m1g)，同理tanθ2＝eq\f(F庫,m2g)，因為不論q1、q2大小如何，兩帶電小球所受庫侖力屬于作用力與反作用力，恒久相等，故從tanθ＝eq\f(F庫,mg)知，m大，則tanθ小，θ也小(θ＜eq\f(π,2))，m相等，θ也相等，故選項B、C正確.例2如圖2所示，A、B是兩個帶等量同種電荷的小球，A固定在豎直放置的10cm長的絕緣支桿上，B靜止于光滑絕緣的傾角為30°的斜面上且恰與A等高，若B的質(zhì)量為30eq\r(3)g，則B帶電荷量是多少？(取g＝10m/s2，小球A、B視為點電荷，k＝9.0×109N·m2/C2)圖2答案1.0×10－6C解析因為B靜止于光滑絕緣的傾角為30°的斜面上且恰與A等高，設(shè)A、B之間的水平距離為L.依據(jù)題意可得：tan30°＝eq\f(h,L)則L＝eq\f(h,tan30°)＝eq\f(10,\f(\r(3),3))cm＝10eq\r(3)cm對B進(jìn)行受力分析如圖所示，依據(jù)物體平衡條件，解得庫侖力F＝mgtan30°＝30eq\r(3)×10－3×10×eq\f(\r(3),3)N＝0.3N.依據(jù)F＝keq\f(q1q2,r2)得：F＝keq\f(q2,L2).解得：q＝eq\r(\f(FL2,k))＝eq\r(\f(0.3,9×109)×10\r(3)×10－22)C＝1.0×10－6C.二、同始終線上帶電體的平衡1.同始終線上的三個自由點電荷都處于平衡狀態(tài)時，每個電荷受到的合力均為零，依據(jù)平衡條件可得，電荷間的關(guān)系為：“兩同夾異”“兩大夾小”“近小遠(yuǎn)大”.2.對于三個自由電荷的平衡問題，只需對其中兩個電荷列平衡方程，不必再對第三個電荷列平衡方程.例3如圖3所示，帶電荷量分別為＋q和＋4q的兩點電荷A、B，相距L，問：圖3(1)若A、B固定，在何處放置點電荷C，才能使C處于平衡狀態(tài)？(2)在(1)中的情形下，C的電荷量和電性對C的平衡有影響嗎？(3)若A、B不固定，在何處放一個什么性質(zhì)的點電荷，才可以使三個點電荷都處于平衡狀態(tài)？答案見解析解析(1)由平衡條件，對C進(jìn)行受力分析，C應(yīng)在AB的連線上且在A、B之間，設(shè)C與A相距r，則eq\f(k·q·qC,r2)＝eq\f(k·4q·qC,L－r2)，解得：r＝eq\f(L,3)(2)距離A為eq\f(L,3)處，不論C為正電荷還是負(fù)電荷，A、B對其作用力的合力均為零，故C的電荷量大小和電性對其平衡無影響.(3)若將C放在A、B電荷兩邊，A、B對C同為向左(或向右)的力，C都不能平衡；若將C放在A、B之間，C為正電荷，則A、B都不能平衡，所以C為負(fù)電荷.設(shè)放置的點電荷的電荷量大小為Q，與A相距r1，分別對A、B受力分析，依據(jù)平衡條件，對電荷A：有eq\f(k·4q·q,L2)＝eq\f(kQ·q,r12)對電荷B：有eq\f(k·4q·q,L2)＝eq\f(kQ·4q,L－r12)聯(lián)立可得：r1＝eq\f(L,3)，Q＝eq\f(4,9)q(負(fù)電荷)即應(yīng)在AB連線上且在A的右邊，與點電荷A相距eq\f(L,3)處放置一個電荷量為eq\f(4,9)q的負(fù)電荷.[學(xué)科素養(yǎng)]通過三個例題，使學(xué)生練習(xí)了庫侖力作用下的受力分析，并能嫻熟運用“合成法”“分解法”解決各種庫侖力作用下的平衡問題，熬煉了學(xué)生對所學(xué)學(xué)問的歸納與遷移應(yīng)用實力，較好地體現(xiàn)了“科學(xué)思維”的學(xué)科素養(yǎng).1.(庫侖力作用下的平衡)(多選)A、B兩帶電小球，質(zhì)量分別為mA、mB，用絕緣不行伸長的細(xì)線如圖4懸掛，靜止時A、B兩球處于相同高度.若B對A及A對B的庫侖力分別為FA、FB，重力加速度為g，不計空氣阻力，則下列推斷正確的是()圖4A.FA<FBB.細(xì)線AC對A的拉力FTA＝eq\f(mAg,2)C.細(xì)線OC的拉力FTC＝(mA＋mB)gD.同時燒斷AC、BC細(xì)線后，A、B在豎直方向的加速度相同答案CD解析兩球間的庫侖力是作用力與反作用力，大小肯定相等，故A錯誤；對小球A受力分析，受重力、庫侖力、拉力，如圖.由共點力的平衡條件有：mAg＝FTAcos30°，因此：FTA＝eq\f(2\r(3),3)mAg，故B錯誤；由整體法可知，細(xì)線OC的拉力等于兩球的總重力，故C正確；同時燒斷AC、BC細(xì)線后，A、B在豎直方向只受重力不變，所以加速度相同，故D正確.2.(庫侖力作用下的平衡)如圖5所示，懸掛在O點的一根不行伸長的絕緣細(xì)線下端有一個帶電荷量不變的小球A.在兩次試驗中，均緩慢移動另一帶同種電荷的小球B.當(dāng)B到達(dá)懸點O的正下方并與A在同一水平線上，A處于受力平衡時，懸線偏離豎直方向的角度為θ，若兩次試驗中B的電荷量分別為q1和q2，θ分別為30°和45°.則eq\f(q2,q1)為()圖5A.2B.3C.2eq\r(3)D.3eq\r(3)答案C解析由A的受力分析圖可得F＝mgtanθ，由庫侖定律得F＝eq\f(kqAqB,r2)，式中r＝lsinθ(l為懸線長度)，由以上三式可解得qB＝eq\f(mgl2sin2θtanθ,kqA)，因qA、m、l、g、k不變，則eq\f(q2,q1)＝eq\f(sin245°tan45°,sin230°tan30°)＝2eq\r(3).3.(庫侖力作用下的平衡)如圖6所示，把一帶正電的小球a放在光滑絕緣斜面上，欲使球a能靜止在斜面上，需在MN間放一帶電小球b，則b應(yīng)()圖6A.帶負(fù)電，放在A點 B.帶正電，放在B點C.帶負(fù)電，放在C點 D.帶正電，放在C點答案C解析小球a受到重力、支持力和庫侖力的作用處于平衡狀態(tài)時，才能靜止在斜面上.小球b帶負(fù)電、放在C點或小球b帶正電、放在A點可使小球a所受合力為零，故選C.一、選擇題1.(2024·清華附中高二期中)如圖1所示，兩個電荷量均為＋q的小球用長為l的輕質(zhì)絕緣細(xì)繩連接，靜止在光滑的絕緣水平面上.兩個小球的半徑r?l，k表示靜電力常量，則輕繩的張力大小為()圖1A.0B.eq\f(kq2,l2)C.eq\f(2kq2,l2)D.eq\f(kq,l2)答案B解析依據(jù)小球靜止可以知道，繩子拉力大小等于庫侖力，因此有：F＝keq\f(q2,l2)，故B正確，A、C、D錯誤.2.一端固定在天花板上的絕緣細(xì)線的另一端與一帶正電的小球M相連接，在小球M下面的一絕緣水平面上固定了另一個帶電小球N，在圖中，小球M能處于靜止?fàn)顟B(tài)的是()答案B3.(多選)如圖2所示，質(zhì)量分別為m1、m2，電荷量分別為q1、q2的兩小球，分別用絕緣輕絲線懸掛起來，兩絲線與豎直方向的夾角分別為α和β(α＞β)，兩小球恰在同一水平線上，那么()圖2A.兩球肯定帶異種電荷B.q1肯定大于q2C.m1肯定小于m2D.m1所受的庫侖力肯定大于m2所受的庫侖力答案AC解析由于兩帶電小球相互吸引，所以肯定帶異種電荷，選項A正確.設(shè)輕絲線與豎直方向的夾角為θ，依據(jù)平衡條件可得兩球之間的庫侖力F＝mgtanθ，α>β，因此m1g＜m2g，即m1＜m2，選項C正確.4.(多選)如圖3所示，可視為點電荷的小球A、B分別帶負(fù)電和正電，B球固定，其正下方的A球靜止在絕緣斜面上，則A球受力個數(shù)為()圖3A.可能受到2個力作用B.可能受到3個力作用C.可能受到4個力作用D.可能受到5個力作用答案AC5.相距為L的點電荷A、B帶電荷量分別為＋4q和－q，如圖4所示，今引入第三個點電荷C，使三個點電荷都處于平衡狀態(tài)，則C的電荷量和放置的位置是()圖4A.－q，在A左側(cè)距A為L處B.－2q，在A左側(cè)距A為eq\f(L,2)處C.＋4q，在B右側(cè)距B為L處D.＋2q，在B右側(cè)距B為eq\f(3L,2)處答案C解析A、B、C三個電荷要平衡，必需三個電荷在一條直線上，外側(cè)二個電荷相互排斥，中間電荷吸引外側(cè)兩個電荷，所以外側(cè)兩個電荷距離大，要平衡中間電荷的引力，必需外側(cè)電荷電荷量大，中間電荷電荷量小，所以C必需帶正電，在B的右側(cè).設(shè)C所在位置與B的距離為r，則C所在位置與A的距離為L＋r，要能處于平衡狀態(tài)，所以A對C的電場力大小等于B對C的電場力大小，設(shè)C的電荷量大小為Q，則有：eq\f(k4q·Q,L＋r2)＝keq\f(Qq,r2)，解得r＝L.對點電荷A，其受力也平衡，則：keq\f(4q·Q,L＋r2)＝eq\f(k4q·q,L2)，解得：Q＝4q，即C帶正電，電荷量為4q，在B的右側(cè)距B為L處.6.如圖5所示，質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電小球A用絕緣細(xì)線懸掛于O點，帶有電荷量也為q的小球B固定在O點正下方絕緣柱上.其中O點與小球A的間距為l，O點與小球B的間距為eq\r(3)l.當(dāng)小球A平衡時，懸線與豎直方向夾角θ＝30°.帶電小球A、B均可視為點電荷.靜電力常量為k，則()圖5A.A、B間庫侖力大小F＝eq\f(kq2,2l2)B.A、B間庫侖力大小F＝eq\f(\r(3)mg,3)C.細(xì)線拉力大小FT＝eq\f(kq2,3l2)D.細(xì)線拉力大小FT＝eq\r(3)mg答案B解析帶電小球A受力如圖所示，由幾何學(xué)問得OC＝eq\f(\r(3),2)l，即C點為OB中點，依據(jù)對稱性AB＝l.由庫侖定律知A、B間庫侖力大小F＝eq\f(kq2,l2)，細(xì)線拉力FT＝F＝eq\f(kq2,l2)，選項A、C錯誤；依據(jù)平衡條件得Fcos30°＝eq\f(1,2)mg，得F＝eq\f(\r(3)mg,3)，細(xì)線拉力FT＝eq\f(\r(3)mg,3)，選項B正確，D錯誤.7.(多選)如圖6所示，用兩根長度相同的絕緣細(xì)線把一個質(zhì)量為0.1kg的小球A懸掛在水平板的M、N兩點，A上帶有Q＝3.0×10－6C的正電荷.兩線夾角為120°，兩線上的拉力大小分別為F1和F2.A的正下方0.3m處放有一帶等量異種電荷的小球B，B與絕緣支架的總質(zhì)量為0.2kg(重力加速度g取10m/s2，靜電力常量k＝9.0×109N·m2/C2，A、B球可視為點電荷)，則()圖6A.支架對地面的壓力大小為2.0NB.兩線上的拉力大小F1＝F2＝1.9NND.將B移到無窮遠(yuǎn)處，兩線上的拉力大小F1＝F2＝0.866N答案BC解析小球A、B間的庫侖力為F庫＝keq\f(Q·Q,r2)＝9.0×109×eq\f(3.0×10－6×3.0×10－6,0.32)N＝0.9N，以B和絕緣支架整體為探討對象，受力分析圖如圖甲所示，地面對支架的支持力為FN＝mg－F庫＝1.1N，由牛頓第三定律知A錯誤；以A球為探討對象，受力分析圖如圖乙所示，F(xiàn)1＝F2＝mAg＋F庫＝1.9N，B正確；B水平向右移，當(dāng)M、A、B在同始終線上時，A、B間距為r′＝0.6m，F(xiàn)庫′＝keq\f(Q·Q,r′2)＝0.225N，以A球為探討對象，受力分析圖如圖丙所示，可知F2＝1.0N，F(xiàn)1－F庫′＝1.0N，F(xiàn)1＝1.225N，所以C正確；將B移到無窮遠(yuǎn)，則F庫″＝0，可求得F1＝F2＝1.0N，D錯誤.二、非選擇題8.如圖7所示，把質(zhì)量為0.2g的帶電小球A用絕緣絲線吊起，若將帶電荷量為＋4×10－8C的小球B靠近它，兩小球在同一高度且相距3cm時，小球A平衡，絲線與豎直方向夾角為45°.g取10m/s2，靜電力常量k＝9.0×109N·m2/C2，小球A、B可視為點電荷，則：圖7(1)此時小球B受到的庫侖力的大小為多少？(2)小球A帶何種電荷？(3)小球A所帶電荷量大小是多少？答案(1)2×1