2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考卷

（重慶專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教版八年級下冊第16章?第17章。

5.難度系數(shù)：0.78o

一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。）

1.能夠使二次根式岳二5有意義的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）

3333

A.x>—B.—C.x<—D.xW—

2222

【答案】B

3

【詳解】解：由題意，得：2x—3>0,x>—；故選B.

2.實(shí)數(shù)°、6在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則化簡-一后得（）

--?------?---?——>

QOb

A.aB.—aC.a-2bD.2b-a

【答案】B

【詳解】解：由數(shù)軸,得

a-b<0,

**?^a-b^2-y[b^=\^~b\-\b\=~（<a--b=-a+b-b=,故選：B.

3.若J（x-3）（4-x）=Jx-3?J4-％成立,則x的取值范圍是（）

A.x>3B.x<4C.3<x<4D.3<x<4

【答案】C

【詳解】解：由題意得：工-320且4-％20,解得：3<x<4,故選：C.

4.估計(jì)（嫗+疝卜G的值應(yīng)在（）

A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間

【答案】C

【詳解】解：（屈+回地

=715-73+712-73=V5+2,

V4<5<9,

/.2<V5<3,即4<2+石<5,

（而+/卜百的值應(yīng)在4和5之間.

故選：C.

5.下列二次根式中最簡二次根式為（）

A.Jo,3B.C.s/18D.Vs

【答案】D

【詳解】解：A、而=畫不是最簡二次根式，不符合題意；

10

B、、口=交不是最簡二次根式，不符合題意；

V22

C、9=3也不是最簡二次根式，不符合題意；

D、百是最簡二次根式，符合題意；

故選：D.

6.配與最簡二次根式4m是同類二次根式，則加=（）

A.2B.3C.6D.11

【答案】A

【詳解】解：,??/=2月與最簡二次根式是同類二次根式，

m+1-3,解得：m=2.故選：A.

7.如圖，其大意為：已知矩形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？

（1丈=10尺，1尺=10寸）若設(shè)門的高和寬分別是x尺和了尺，則下面所列方程組正確的是（）

今有戶高多于廣六尺八寸.兩隅相去適一仗.問戶高、廣各幾何？《九章算術(shù)》

fx=y-6.8fx=^-6.8fx=J/+6.8[x=J/+6.8

A-|x2+102=y2B-|x2+j2=102C-|x2+102=/D-卜+/=102

【答案】D

【詳解】解：設(shè)門的高和寬分別是工尺和y尺，

[x=y+6.8

由題意得：《22s，，故選：D.

+y=10~

8.下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是()

A.2,3,4B.0.3,0.4,0.5C.8,11,12D.16,30,34

【答案】D

【詳解】解：A、因?yàn)?2+32/42,則A選項(xiàng)不是勾股數(shù)，不符合題意；

B、因?yàn)?.3、0.4、0.5不是整數(shù)，則B選項(xiàng)不是勾股數(shù)，不符合題意；

C、因?yàn)镚+112Ki2?,則C選項(xiàng)不是勾股數(shù)，不符合題意；

D、因?yàn)?6?+302=342,是勾股數(shù)，故符合題意；

故選：D.

9.已知aABC三邊為。，b,c,下列條件不能判定aABC是直角三角形的是()

A.。=3,b=4,c-5B.Z-A=Z.C—Z-BC.=(a+c)(a-c)D.a-9,6=15,c=17

【答案】D

【詳解】解：A、由。=3,b=4,c=5,得/+62=02,符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合

題意；

B、由=又44+/8+/C=180。，則NC=90。，是直角三角形，不符合題意；

C、由〃=(a+c)(a-c),nb2=a2-c2,b2+c2=a2,是直角三角形，不符合題意；

D、由。=9,b-15,c=17得,a1+b2^c1,不是直角三角形，符合題意.

故選：D.

10.如圖，在中，AB=AC,NBAC=9Q。，點(diǎn)D、E為2C上兩點(diǎn)，NDAE=45°,點(diǎn)、F為AABC

222

外一點(diǎn)，且FB1.8C,FALAE,則下列結(jié)論：①CE=BF；?BD+CE=DE；@SAADE=^AD-EF；

@CE2+BE2=2EF2,其中正確的是()

A

A.①②③B.①②③④C.①③④D.

【答案】A

【詳解】解：如下圖所示，

???FALAE,

/FAE=90。,

:"FAB+NBAE=9。。,AB=AC,

vABAC=90°,ZABC=ZC=45°,

ZCAE+ZBAE=90°f

:"FAB=/EAC,

NFBC=90。,

:.ZFBA=A5°,

/FAB=ZEAC

在“FB和AAEC中｛=ZC

ZFBA=ZC

:AAFB=^AEC(ASA),

:.CE=BF,故①正確；

如下圖所示，連接。尸，

入AFB="EC,

AF=AE,

???/E4E=90。，ZDAE=45°,

:.AFAD=45°f

在小AFD和"ED中

AF=AE

</FAD=/EAD,

AD=AD

:.^AFD=^AED(SAS),

?.DF=DE,

在Rt^BDF中，

BF2+BD2=DF2^

:.CE2+BD2=DE2,故②正確;

如下圖所示，

AD是EF的垂直平分線，

/.EO=-EF,EFLAD,

2

ADEO=1AD-^EF=^AD-EF,故③正確；

在RMBEF中,BF2+BE2=EF2>

BF=CE,

CE2+BE2=EF2,故④錯(cuò)誤；

所以正確的有①②③.故選：A.

二、填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分.）

11.已知》=亞-1，則代數(shù)式/+2x+l的值為

【答案】2

【詳解】解：??、=亞-1，

??x+l=>/2，

(x+l)~=(后)，即x?+2x+l=2,故答案為：2.

12.如圖，鐵路ACV和公路尸。在點(diǎn)。處交會(huì)，點(diǎn)A到跖V的直線距離為120m.公路尸。上點(diǎn)/處距離點(diǎn)。

處240m如果火車行駛時(shí)，周圍200m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車在鐵路上W上沿CW方向以72km/h

的速度行駛時(shí)，點(diǎn)/處受噪音影響的時(shí)間為s.

【詳解】解：過點(diǎn)/作/C_LON,ON上取點(diǎn)5,D,使/O=/B=200m,

當(dāng)火車到B點(diǎn)時(shí)對A處產(chǎn)生噪音影響，此時(shí)AB=200m,

,/AB=200m,NC=120m,

二由勾股定理得：BC7AB2-AC2=160m，CD=160m,即BO=320m,

火車在鐵路MN上沿ON方向以72km/h=20m/s的速度行駛，

:?影響時(shí)間應(yīng)是：320+20=16⑸.

故/處受噪音影響的時(shí)間是16s.故答案為：16.

13.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由

四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為。，較短直角邊

長為6,若.+6=收，大正方形的面積為13,則小正方形的面積為.

【詳解】解：：圖中四個(gè)直角三角形全等，直角三角形較長直角邊長為。，較短直角邊長為6,設(shè)大正方形

的邊長為C,

a2+b~=c2,

:大正方形的面積為13,

a2+Z>2=13,

a+b—y[2\

：.（a+6y=21,

Aa2+b2+2ab=2l,即2曲=21-13=8,

由圖可知小正方形的邊長為：a-b,

小正方形的面積為：（a-6）L

b)=ci"+b~—2cib=13—8=5,

小正方形的面積為5.故答案為：5.

14.如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點(diǎn)2離點(diǎn)C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體的表

需要爬行的最短距離是.

【詳解】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第1個(gè)圖:

點(diǎn)8離點(diǎn)C的距離是5,

:.BD=CD+BC=\O+5=\5,AD=2Q,

在直角三角形45。中，根據(jù)勾股定理得:

AB=y/BD1+AD2=7152+202=25；

只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第2個(gè)圖:

,?,長方體的寬為10,高為20,點(diǎn)3離點(diǎn)C的距離是5,

:.BD=CD+BC=20+5=25,AD=10,

在直角三角形42。中，根據(jù)勾股定理得：

AB=ylBD2+AD2=V102+252=5729;

只要把長方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第3個(gè)圖

??,長方體的寬為10,高為20,點(diǎn)5離點(diǎn)C的距離是5,

：,AC=CD+AD=20+10=30,

在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：

AB=^AC2+BC2=A/302+52=5737;

v25<5729<5737,

.??螞蟻爬行的最短距離是25,故答案為：25.

15.如圖，4403=30。，點(diǎn)、M、N分別在邊04、08上，且（W=l,ON=3,點(diǎn)、P、。分別在邊08、OA

上，則MP+PQ+QN的最小值是.

【答案】屈

【詳解】解:如圖，作點(diǎn)M關(guān)于。2的對稱點(diǎn)“，作點(diǎn)N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N',連接OM'QN',PM',QN',MN,

由軸對稱的性質(zhì)得：OM'=OM=-l,ON'=ON=3,PM'=MP,QN'=QN,ZBOM'=ZAOB=ZAON'=30°,

ZM'ON'=ZBOM'+ZAOB+ZAON'^90°,MP+PQ+QN=M'P+PQ+QN',

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)"',尸,。,尸共線時(shí)，朋T+P0+0N'的值最小，最小值為

MN=y/M'O2+N'O2=V10，

即MP+尸0+0N的最小值是何，故答案為：M.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形區(qū)G的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對角線為邊作

正方形0482c2,再以正方形0432c2的對角線。層為邊作正方形電4c…以此類推，則正方形

^-^2024^2025C2O25的頂點(diǎn)B2025的坐標(biāo)是

【分析】本題考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)題意，可以從各個(gè)2點(diǎn)到原點(diǎn)的距離變化規(guī)律和所在象限的

規(guī)律入手.

22

【詳解】解：由圖形可知，OBX=72+2=2A/2,

2

OB2=收『+(2行『=2x(V2)=4,

22

OB3=74+4=2x(可=4行，

每一個(gè)8點(diǎn)到原點(diǎn)的距離依次是前一個(gè)3點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的正倍，同時(shí)，各個(gè)8點(diǎn)每次旋轉(zhuǎn)45。，每八次

旋轉(zhuǎn)一周.

2024

，頂點(diǎn)4024到原點(diǎn)的距離2X(夜)*13

,/2024=253x8,

/.頂點(diǎn)層024的恰好在X軸的正半軸上,

二頂點(diǎn)與心的恰好在第一象限角平分線上,

???頂點(diǎn)當(dāng)儂的坐標(biāo)是(2⑹故答案為：(21013,21013).

三、解答題(本大題共8個(gè)小題，第17題16分，其余每小題10分，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟.)

17.計(jì)算：

(1)V12+V32-2V2；

(2)(75+2)(V5-2)-(2V3-l)2-

【詳解】(1)解：V12+V32-2V2

=273+472-272

=2也+2及.

(2)解：(石+2)(百-2)-(2君-1『

=(75)2-22-13+473

=473-12.

18.【閱讀理解】數(shù)學(xué)課上，張老師在黑板上寫了這樣一個(gè)問題：己知。=Vl，求3/+6.+1的值.

愛思考的琳琳想了一會(huì)寫出了下面的解答過程:

1y/l-lFT[

"R=(0+i)g=G，即〃+i=百，

二.(Q+1『=2,BPa2+26/+1=2.

a2+2a=1?

3/+6a+1=3(a?+2〃)+l=3xl+l=4.

【活學(xué)活用】請你根據(jù)琳琳的分析過程，解決如下問題:

2

⑴若機(jī)=求蘇+2加的值；

V3+1

(2)若〃=求2"2一8〃+5的值.

22(6-1)

【詳解】（1）.??m==73-1,

73+1(V3+1)(V3-1)

.,.加+1=y/3,

(m+1)?=3,

m2+1+2機(jī)=3，

m2+2機(jī)=2；

1V5+2r-c

⑵???〃=「=a-2,

-2=y/S,

2）2=5,

“2—4〃+4=5,

n~—4〃—1,

2tT-8〃+5=2（〃2-4"）+5=2X1+5=7.

19.【教材呈現(xiàn)】我們知道，正數(shù)。有兩個(gè)平方根土G，我們把正數(shù)。的正的平方根人,叫做。的算術(shù)平

方根……，0的平方根也叫做0的算術(shù)平方根，即血=0.

【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】由上述材料可知，代數(shù)式五表示。的算術(shù)平方根，。的取值范圍是.

【運(yùn)用結(jié)論】若x、y都是實(shí)數(shù)，且"H萬+57+2,求（X-〉蘆4的值.

【拓展提升】若|2023-a|+Jr-2024=a,求a-20232的值.

【詳解】解：發(fā)現(xiàn)結(jié)論：（6『=〃，則。的取值范圍是〃>0,故答案為：^>0.

運(yùn)用結(jié)論：*.*y=Vx-3+V3-x+2,

x-3>0,3—x>0,解得：x=3,

y=2,

202420242024

(X-J；)=(3-2)=1=1;

拓展提升：,.?|2023-0|+或-2024=\,

.?.”202420,解得:a>2024,

a-2023+Ja-2024=a,

；?Va-2024=2023，

a-2024=20232,

a-2023?=2024.

20.先閱讀，后解答：

11xV2V2乖1_-$/3(-\/3+V2)_3+-\[63+

72-V2xV2V3-V2"(V3-V2)(V3+V2)-(V3)2-(V2)2一

像上述解題過程中，6與6、血與石+后相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個(gè)式子稱為互

為有理化因式，上述解題過程也稱為分母有理化.

(1)省的有理化因式是;遙+2的有理化因式是:

(2)將下列式子進(jìn)行分母有理化：①言=:

⑶類比⑵中②的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算：+……+/■

【詳解】(1)解：行的有理化因式是為，若+2的有理化因式是后-2,故答案為：百，V5-2；

11x77V7

(2)解:

，■一gxe一7

■7^—二「垃一'廠—=72-1,故答案為：且，V2-1;

V2+1(V2+1)(V2-1)7

(3)解：原式=0-1+6-/百+...+J2024-J2023

=72024-1=27506-1.

21.某數(shù)學(xué)興趣小組開展了筆記本電腦的張角大小的實(shí)踐探究活動(dòng).如圖，當(dāng)張角為NB4尸時(shí)，頂部邊緣8

處離桌面的高度BC為7cm,此時(shí)底部邊緣N處與C處間的距離NC為24cm,小組成員調(diào)整張角的大小繼

續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角為N"尸時(shí)(D是3的對應(yīng)點(diǎn))，頂部邊緣。處到桌面的距離。E為20cm,求底部

邊緣A處與E之間的距離AE的長.

F

【詳解】解：在RtA3C4中，AB2=AC2+BC2=242+72=625(cm2),

AB=25cm,

在RtADEA中，AE2=AD2-DE2=252-202=225(cm2),

AE=15cm,

答：底部邊緣/處與￡之間的距離/E的長為15cm.

22.已知在RtZ\4BC中，AACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,CD為邊上的高.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā),

沿著AABC的三條邊逆時(shí)針走一圈回到/點(diǎn)，速度為2cm/s,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

A

⑴求CD的長；

(2)當(dāng)尸是以AC為腰的等腰三角形時(shí)，求f的值.

【詳解】(1)解：；中，N/CB=90°,AC=6cm,BC=8cm,

AB=ylAC2+BC2=V62+82=10(cm),

x

SAARC=—2AC2xBC=—xABxCD,

.?,lx6x8=1xlOCr>,解得,CD=4.8(cm)；

(2)解：當(dāng)點(diǎn)尸在8c上，C4=C尸時(shí)，CP=6,

貝|f=12+2=6(s),

當(dāng)點(diǎn)P在48上，C/=C尸時(shí)，

在RUADC中，AD=^AC2-CD2=3,6(cm),

如圖，vCA^CP,CD為48邊上的高,

/.DP=AD=3.6cm,

則％二(24—7.2)+2=8.4,

當(dāng)=時(shí)，f=(24-6)+2=9,

故當(dāng)/=6、8.4、9時(shí)，△/CP為等腰三角形.

23.如圖①，美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形.

(1)弦圖中包含了一大，一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長的直角邊為或較短的直角邊為6,斜邊

長為c,結(jié)合圖①，試驗(yàn)證勾股定理；

(2)如圖②，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓線的周長為80,OC=5,求該飛

鏢狀圖案的面積；

(3)如圖③，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形48。，正方形EFGH,正方形的

面積分別為，、$2、S3,若d+S2+S3=27,求$2.

1

【詳解】(1)解：根據(jù)題意得(。一?9+4x]ab=c2,

a1—2ab+b2+2ab=c2,貝Q2+/=才；

(2)解：??,四個(gè)全等的直角三角形，外圍輪廓線的周長為80,

???80+4=20,

設(shè)NC=x,則/B=CQ=20-x,

由勾股定理可得,(尤+5)2+52=(20-x)2,

x?+1Ox+25+25=400—40x+x2,

50x=350,解得：x=7,

：.OA=OC+AC=7+5=12f

該飛鏢狀圖案的面積是:xl2x5x4=120；

(3)解：設(shè)每個(gè)三角形的面積都為外

.?.S|=S2+4y,$3=邑一4九

：.St+S2+S3=3S2,又???$]+$2+83=27,：.S2=9.

24.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或

“以數(shù)解形”可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.

(1)【經(jīng)歷體驗(yàn)】已知"2,〃均為正實(shí)數(shù)、且加+〃=4,求J加2+1+J/+4的最小值.通過分析，小明想到

了利用下面的構(gòu)造解決此問題：如圖，48=4,AC=1,BD=2,ACLAB,BDJ.AB,點(diǎn)E是線段AB

上的動(dòng)點(diǎn)，且不與端點(diǎn)重合，連接CE\DE,設(shè)/￡=加，BE=n.

①用含m的代數(shù)式表示CE=,用含n的代數(shù)式表示DE=；

②據(jù)此寫出V/M2+1++4的最小值是；

(2)【類比應(yīng)用】根據(jù)上述的方法，代數(shù)式＞//+25+](昏一16)2+49的最小值是;

(3)【感悟探索】

①已知a,b,。為正數(shù)，且a+6+c=l,試運(yùn)用構(gòu)圖法，畫出圖形，并寫出正壽+〃?二+而一的

最小值；

②若。，6為正數(shù)，寫出以77壽，②若+4功，J9a2+＞為邊的三角形的面積是.

【詳解】⑴解：①在RMCE中，CE7m，

在RtZ\ADE中，DE=+/+4，故答案為：yjm2+1＞+4；

②連接。，

由①得，加：+1+，力」+4=CE+DE，

而CE+DE2CD(當(dāng)且僅當(dāng)C、E、。共線時(shí)取等號),

作。交C4的延長線于，，如圖1,易得四邊形NADH為長方形,

：.AH=BD