第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、曲線的凹凸與拐點函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第三章一、函數(shù)單調(diào)性的判定法定理1.

設(shè)函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束在區(qū)間[a,b]

上連續(xù),在區(qū)間(a,b)

內(nèi)可導(dǎo),若則

[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增在(遞減).證:

無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.證畢注:把定理中的[a,b]改成其它的各種區(qū)間,結(jié)論仍成立.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性的一般步驟∶機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1)確定函數(shù)的定義域.2)在定義域求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點,用這些點把定義域分成若干個部分區(qū)間.(同時求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)大于零或小于零的區(qū)間)3)在各部分區(qū)間內(nèi)根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號來判別單調(diào)性.注意:若函數(shù)在某一點兩邊導(dǎo)數(shù)符號同號,則應(yīng)考慮合并區(qū)間.特別地,若函數(shù)在這一點連續(xù),則應(yīng)合并.例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

證明時,成立不等式證:

令從而因此且證證明目錄上頁下頁返回結(jié)束*證明令則從而即定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的.二、曲線的凹凸與拐點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為拐點.定理2.(凹凸判定法)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]

上連續(xù),在區(qū)間

(a,b)

內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),那么(1)若在(a,b)內(nèi)則在[a,b]上圖形是凹的;則在[a,b]上圖形是凸的.(2)若在(a,b)內(nèi)證:任取記利用拉格朗日中值定理,說明(1)成立;(2)證畢機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:此定理也可利用泰勒公式證得.任取利用一階泰勒公式可得兩式相加說明(1)成立;(2)端點a,b利用函數(shù)的連續(xù)性來說明.證畢判別函數(shù)的凹凸性的一般步驟∶機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1)確定函數(shù)的定義域.2)在定義域求出函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點,用這些點把定義域分成若干個部分區(qū)間.(同時求出函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)大于零或小于零的區(qū)間)3)在各部分區(qū)間內(nèi)根據(jù)函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的符號來判判別凹凸性.注意:若函數(shù)在某一點兩邊二階導(dǎo)數(shù)符號同號,則應(yīng)考慮合并區(qū)間.特別地,若函數(shù)在這一點的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù),則應(yīng)合并.例3.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.判斷曲線的凹凸性.解:不存在(0,0)

為曲線的拐點.凹凸機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義.若函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),不是I的端點,如果曲線在經(jīng)過點時,曲線的凹凸性發(fā)生了改變,稱這樣的點為此曲線的拐點.簡單地說,拐點就是連續(xù)曲線上凹凸的分界點.

根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.拐點的簡易判別法:若,而例5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標(biāo)令得對應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)

及均為拐點.凹凹凸機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點—連續(xù)曲線上的凹凸分界點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:

利用單調(diào)增加,及B1.

設(shè)在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

.2.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及作業(yè)P1592;4(3);7(2);8

;

;第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束有位于一直線的三個拐點.1.求證曲線證明：備用題機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令