北師大版節(jié)節(jié)高數(shù)學試卷

一、選擇題

1.下列函數(shù)中，y=f(x)是奇函數(shù)的是()

A.y=xA3

B.y=xA2

C.y=x

D.y二|x|

2.已知函數(shù)f(x)=xA3-6xA2+9x,貝ijf(1)=()

A.1

B.2

C.3

D.4

3.若函數(shù)f(x)在x=0處可導，則下列哪個結(jié)論一定成立？()

A.f(0)存在

B.f(0)存在

C.f(x)在x=0處連續(xù)

D.以上都不一定成立

4.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，則下列哪個結(jié)論一定成立？()

A.f(0)<f(x)<f(1),VXG[0,1]

B.f(0向(x)Nf⑴,Vxs[0,1]

C.|f(O)|<|f(x)|^|f(1)|,Vxe[O,1]

D.|f(0)|>|f(x)|>|f(1)|,Vxe［0,1］

5.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù),且f(0)=1,f(1)=0,則f(x)在x=0處的導數(shù)

f(0)等于()

A.1

B.-1

C.0

D.不存在

6.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，且f(0)=0,耳1)=1,則下列哪個結(jié)論一定成

立？()

A.f(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增

B.f(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減

C.f(x)在區(qū)間［0,1］上存在極值

D.f(x)在區(qū)間［0,1］上無極值

7.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，且f(0)=1,f(1)=0,則f(x)在x=0處的導數(shù)

f(0)等于()

A.1

B.-1

C.0

D.不存在

8.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù),且f(0)=0,f(1)=1,則f(x)在區(qū)間［0,1］上的

平均值等于()

A.0

B.1

C.1/2

D.2

9.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，且f(0)=1,f(1)=O,則f(x)在x=O處的導數(shù)

f(0)等于()

A.1

B.-1

C.0

D.不存在

10.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù),且f(0)=0,f(1)=1,則f(x)在區(qū)間［0,1］上

的平均值等于()

A.0

B.1

C.1/2

D.2

開

二、判斷題

1.微分和積分是數(shù)學中兩個基本而互為逆運算的數(shù)學工具。()

2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù),且f(0)=0,f(1)=1,則f(x)在區(qū)間［0,1］上必定

存在零點。()

3.函數(shù)的導數(shù)表示函數(shù)在某一點處的瞬時變化率，而函數(shù)的二階導數(shù)表示函數(shù)

在某一點處的曲率。()

4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù),且f(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增，則

f(O)<f(x)<f(1),VXG［0,1］O()

5.定積分表示函數(shù)在某個區(qū)間上的面積，而反常積分表示函數(shù)在某一點處的極

限值。()

三、填空題

1.若函數(shù)f(x)在x=a處可導，則f(x)在x=a處的導數(shù)f⑻等于。

2.已知函數(shù)f(x尸乂八2,則f(x)的原函數(shù)為o

3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù),且f(x)在區(qū)間［0,1］上的定積分值為1,則f(x)

在區(qū)間［0,1］上的平均值等于O

4.若函數(shù)f(x)在x=0處的導數(shù)f(0)存在，則f(x)在x=0處的左導數(shù)和右導數(shù)

5.設(shè)函數(shù)f(x)=x/(1+x八2),則f(x)的周期為o

四、簡答題

1.簡述導數(shù)的定義，并說明導數(shù)在函數(shù)研究中的作用。

2.解釋什么是反常積分，并舉例說明反常積分與定積分的區(qū)別。

3.如何求一個函數(shù)的一階導數(shù)和二階導數(shù)？請給出一個具體函數(shù)的求導過程。

4.簡要介紹泰勒公式，并說明泰勒公式的應(yīng)用場景。

5.解釋什么是微分的線性近似，并說明微分在近似計算中的應(yīng)用。

五、計算題

AA

1.計算下列函數(shù)的導數(shù)：f(x)=(3x2-2x+1)/(x3+4x-1)o

2.求函數(shù)f(x)=eA(2x)-3xA2在x=1處的切線方程。

3.已知函數(shù)f(x)=x3?6xA2+9x在區(qū)間［0,3］上的定積分值為12,求常數(shù)a的

值，使得f(x)在x=a處的切線與X軸平行。

4.計算函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間［0,TT/2］上的平均值。

5.設(shè)函數(shù)f(x)=x/(1+xA2)在區(qū)間卜1,1］上的定積分值為I,求I的值。

六、案例分析題

1.案例分析題：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為C(x)=1000+10x+

0.5xA2,其中x為生產(chǎn)數(shù)量。銷售價格為每件產(chǎn)品100元，求：

a)公司生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總利潤L(x);

b)當生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，公司獲得的最大利潤；

c)公司的最大利潤是多少。

2.案例分析題：某城市居民的平均年收入Y隨時間t(以年為單位)的變化可

A

以近似表示為丫⑴=50,000+300t-0.2t2o假設(shè)該城市居民的平均消費C⑴

與年收入成正比，即C(t)=kY(t),其中k為比例系數(shù)。求：

a)求比例系數(shù)k的值；

b)求在時間t=5年時，居民的平均消費C(5);

c)分析隨著時間的推移，居民的平均消費趨勢。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某商品的價格P與其需求量Q之間的關(guān)系可以近似表示為P=100

-0.1Qo假設(shè)生產(chǎn)該商品的成本函數(shù)為C(Q)=10Q+2000。求：

a)當需求量為100件時，商品的銷售價格是多少？

b)當需求量為多少件時，商品的邊際利潤等于零？

c)求商品的最大利潤及其對應(yīng)的銷售量。

2.應(yīng)用題：一家公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B,其生產(chǎn)函數(shù)分別為f(A,B)=AA2+

A

B2和g（A,B）=2A+3BO公司的生產(chǎn)成本函數(shù)為C（A,B）=3A+4B+500o

如果公司每天可以生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)不超過100個，求：

a）在成本最低的情況下，公司應(yīng)該生產(chǎn)多少個A和多少個B?

b）如果公司的目標是最大化總產(chǎn)量，在不考慮成本的情況下，應(yīng)該如何分配生

產(chǎn)A和B的數(shù)量？

3.應(yīng)用題：某城市居民的平均出行時間T（以分鐘為單位）與出行距離D（以

公里為單位）之間的關(guān)系可以表示為T=0.05D+0.2o假設(shè)居民的平均速度V

為60公里/小時，求：

a）求出行距離為5公里時的平均出行時間。

b）如果居民希望出行時間不超過20分鐘，他們最多可以出行多遠？

c）畫出T與D的函數(shù)圖像，并分析出行距離對出行時間的影響。

4.應(yīng)用題：某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量Q與生產(chǎn)時間T（以小時為單位）的

關(guān)系可以表示為Q=20T-0.2TA2o企業(yè)的固定成本為500元，每小時變動成

本為10元。求：

a）求企業(yè)在生產(chǎn)100單位產(chǎn)品時的總成本。

b）求企業(yè)在生產(chǎn)200單位產(chǎn)品時的總成本。

c）求企業(yè)的平均成本函數(shù)，并分析產(chǎn)量對平均成本的影響。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下：

一、選擇題

1.A

2.C

3.B

4.C

5.B

6.C

7.B

8.C

9.B

10.C

二、判斷題

1.正確

2.正確

3.錯誤

4.正確

5.錯誤

三、填空題

1.f(a)=0

2.F(x)=xA3/3-xA2+x+C

3.1

4.相等

5.2TT

四、簡答題

1.導數(shù)的定義是函數(shù)在某一點處的瞬時變化率。導數(shù)在函數(shù)研究中的作用包

括：研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和拐點；解決物理、經(jīng)濟等領(lǐng)域中的變化率問

2.反常積分是指積分區(qū)間中含有無窮大或無窮小點的積分。與定積分的區(qū)別在

于，反常積分可能不存在或不唯一，需要根據(jù)具體情況進行分析。

3.求一階導數(shù)的方法有：黑函數(shù)求導、指數(shù)函數(shù)求導、對數(shù)函數(shù)求導、三角函

數(shù)求導、反三角函數(shù)求導等。求二階導數(shù)的方法是在一階導數(shù)的基礎(chǔ)上，再對

一階導數(shù)求導。

4.泰勒公式是利用函數(shù)在某一點的導數(shù)信息，將函數(shù)在該點附近的值展開為一

個多項式的近似。泰勒公式的應(yīng)用場景包括：近似計算函數(shù)值、研究函數(shù)的性

質(zhì)等。

5.微分的線性近似是指當自變量變化很小時，函數(shù)的增量可以近似地用函數(shù)在

該點的導數(shù)乘以自變量的增量來表示。微分在近似計算中的應(yīng)用包括：求函數(shù)

在某點的近似值、求函數(shù)在某區(qū)間上的近似積分等。

五、計算題

1.f(x)=(6x-2)(xA3+4x-1)-(3xA2-2x+1)(3xA2+4)/(xA3+4x-1)A2

2.切線斜率為f(1)=eA2,切線方程為y-eA2=eA2(x-1)

3.a)L(x)=100x-10xA2-0.5xA3,最大利潤發(fā)生在L'(x)=100-20x-1.5xA2

=0時，解得x二10

b)當x=10時，L'(x)=0,此時邊際利潤等于零

c)最大利潤為L(10)=100*10-10*10A2-0.5*10A3=500

4.平均值為(J(sin(x))dx)/(TT/2-0)=[-cos(x)]/(TT/2)=2/TT

5.I=f(x/(1+xA2))dx=(1/2)ln(1+xA2)+C,l=(1⑵ln(2)?(1⑵ln(1)=ln(V2)

六、案例分析題

1.a)銷售價格為P=100-0.1Q=100?0.1*100=90元

b)邊際利潤L'(Q)=100?20Q=0,解得Q=5

c)最大利潤發(fā)生在Q=5時，L(5)=100*5-10*5A2-0.5*5A3=250元

2.a)利用拉格朗日乘數(shù)法求極值，設(shè)拉格朗日函數(shù)L(A,B,A)=AA2+BA2+

A(500-3A-4B-AA2-BA2),解得A=50,B=50,A=-50/3

b)不考慮成本的情況下，生產(chǎn)A和B的數(shù)量應(yīng)相等，即A二B

3.a)T(5)=0.05*5+0.2=0.75分鐘

b)20分鐘=0.33小時，D=T/0.05=0.33/0.05=6.6公里

c)函數(shù)圖像為一條斜率為正的直線，出行距離D越大，出行時間T也越長

4.a)總成本=固定成本+變動成本=500+10*100=1500元

b)總成本=固定成本+變動成本=500+10*200=2500元

c)平均成本二(固定成本+變動成本)/Q=(500+10Q)ZQ,隨著產(chǎn)量的增

加，平均成本先下降后上升

題型知識點詳解及示例：

一、選擇題：考察學生對基礎(chǔ)概念的理解和應(yīng)用能力。例如，選擇題1考察了

奇函數(shù)的定義；選擇題2考察了導數(shù)的計算。

二、判斷題：考察學生對基本概念和定理的記憶和理解程度。例