三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第二節(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束洛必達(dá)法則第三章微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限

轉(zhuǎn)化(或型)本節(jié)研究:洛必達(dá)法則洛必達(dá)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、存在(或為)定理1.型未定式(洛必達(dá)法則)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束(

在x,a

之間)證:無妨假設(shè)在指出的鄰域內(nèi)任取則在以x,a為端點的區(qū)間上滿足柯故定理條件:西定理條件,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束存在(或為)推論1.定理1中換為之一,推論2.若理1條件,則條件2)作相應(yīng)的修改,定理1仍然成立.洛必達(dá)法則定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束使用洛必達(dá)法則應(yīng)注意的事項：定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束1)必須確保滿足法則的條件方可使用！2)可以連續(xù)使用此法則.每次對分子和分母求導(dǎo)后要先進(jìn)行化簡整理,結(jié)合利用等價無窮小,對于有非零非無窮極限的因子,應(yīng)把它分出求極限.每次應(yīng)驗證符合法則條件后再繼續(xù)使用.3)并不是所有的型都能使用此法則求極限,從定理的條件可看出,此法則是后驗型的:只有求導(dǎo)后的極限存在或無窮大時才可使用該法則.否則結(jié)論是不正確的.例1.求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必達(dá)法則!機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求解:原式思考:

如何求

(n

為正整數(shù))?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束～原式～練習(xí).求解:注意到～原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束練習(xí).求解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:先有理化,原式二、型未定式存在(或為∞)定理2.證:僅就極限存在的情形加以證明.(洛必達(dá)法則)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1)的情形從而機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2)的情形.取常數(shù)可用1)中結(jié)論機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3)時,結(jié)論仍然成立.(證明略)說明:

定理中換為之一,條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束使用該法則的注意事項與型類似。例4.

求解:原式例5.求解:

(1)p

為正整數(shù)的情形.原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.求(2)

p

不為正整數(shù)的情形.從而由(1)用夾逼準(zhǔn)則存在正整數(shù)

k,使當(dāng)x>1

時,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.例5.說明:1)

例4,例5表明時,后者比前者趨于更快.例如,而用洛必達(dá)法則2)

在滿足定理條件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決計算問題.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3)若例如,極限不存在機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.求機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:原式三、其他未定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例7.求解:

原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:原式例8.求機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例9.

求解:

利用例7例5目錄上頁下頁返回結(jié)束通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例10.

求例5目錄上頁下頁返回結(jié)束通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化解:原式例11.

求例5目錄上頁下頁返回結(jié)束通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化解:原式練習(xí).求分析:

為用洛必達(dá)法則,必須改求法1用洛必達(dá)法則但對本題用此法計算很繁!法2～原式例3目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則令取對數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.設(shè)是未定式極限,如果不存在,是否的極限也不存在?舉例說明.極限說明目錄上頁下頁返回結(jié)束原式～分析:分析:3.原式～～機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則4.求解:令原式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)P1421(2)，(3)，(7)，(9)，(11)，(14),(15),(16),

(17),4第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束洛必達(dá)(1661–1704)法國數(shù)學(xué)家,他著有《無窮小分析》(1696),并在該書中提出了求未定式極限的方法,后人將其命名為“洛必達(dá)法的擺線難題,以后又解出了伯努利提出的“最速降線”問題,在他去世后的1720年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書.則”.他在15歲時就解決了帕斯卡提出機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束求下列極限