第彈性力學(xué)01緒論1.1彈性力學(xué)的內(nèi)容1.2彈性力學(xué)的幾個(gè)基本概念1.3彈性力學(xué)中的基本假定。1.1、彈性力學(xué)的內(nèi)容彈性力學(xué)：研究彈性體由于受外力、邊界約束或溫度等原因而發(fā)生的應(yīng)力、變形和位移。研究彈性體的力學(xué)：有材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)。它們的研究對(duì)象分別如下：①材料力學(xué)：研究桿件（如梁、柱和軸）的拉壓、彎曲、剪切、扭轉(zhuǎn)和組合變形等問題。②結(jié)構(gòu)力學(xué)：在材料力學(xué)基礎(chǔ)上研究桿系結(jié)構(gòu)（如桁架、鋼架等）③彈性力學(xué)：研究各種形狀的彈性體，如桿件、平面體、空間體、板殼、薄壁結(jié)構(gòu)等問題。在研究方法上，彈性力學(xué)和材料力學(xué)也有區(qū)別：彈力研究方法：在區(qū)域V內(nèi)嚴(yán)格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，建立三套方程；在邊界s上考慮受力或約束條件，并在邊界條件下求解上述方程，得出較精確的解答。材力也考慮這幾方面的條件，但不是十分嚴(yán)格的：常常引用近似的計(jì)算假設(shè)(如平面截面假設(shè))來簡化問題，并在許多方面進(jìn)行了近似的處理。因此材料力學(xué)建立的是近似理論，得出的是近似的解答。從其精度來看，材料力學(xué)解法只能適用于桿件。例如：材料力學(xué)：研究直梁在橫向載荷作用下的平面彎曲，引用了平面假設(shè)，結(jié)果：橫截面上的正應(yīng)力按直線分布。彈性力學(xué)：梁的深度并不遠(yuǎn)小于梁的跨度，而是同等大小的，那么，橫截面的正應(yīng)力并不按直線分布，而是按曲線變化的。這時(shí)，材料力學(xué)中給出的最大正應(yīng)力將具有很大的誤差。彈性力學(xué)在力學(xué)學(xué)科和工程學(xué)科中，具有重要的地位：彈性力學(xué)是其他固體力學(xué)分支學(xué)科的基礎(chǔ)。彈性力學(xué)是工程結(jié)構(gòu)分析的重要手段。尤其對(duì)于安全性和經(jīng)濟(jì)性要求很高的近代大型工程結(jié)構(gòu)，須用彈力方法進(jìn)行分析。工科學(xué)生學(xué)習(xí)彈力的目的：1）理解和掌握彈力的基本理論；2）能閱讀和應(yīng)用彈力文獻(xiàn)；3）能用彈力近似解法(變分法、差分法和有限單元法)解決工程實(shí)際問題：4）為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他固體力學(xué)分支學(xué)科打下基礎(chǔ)。1.2、彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念1）外力：其他物體對(duì)研究對(duì)象（彈性體）的作用力。分為體積力和表面力，簡稱體力和面力。體力：作用于物體體積內(nèi)的力。以單位體積內(nèi)所受到的力來量度，。量綱：。符號(hào)：坐標(biāo)正向?yàn)檎Ｈ纾褐亓蛻T性力。面力：作用于物體表面上力。以單位面積所受到的力來量度，。量綱：。符號(hào)：坐標(biāo)正向?yàn)檎?。如：流體壓力和接觸力?！纠}1】表示出下圖中正的體力和面力2）應(yīng)力內(nèi)力：假象切開物體，截面兩邊互相作用的力（合力和合力距），稱為內(nèi)力。應(yīng)力：截面上某一點(diǎn)處，單位截面面積上的內(nèi)力值。量綱：。分為正應(yīng)力，和切應(yīng)力。符號(hào)規(guī)定：正面：截面上的外法線沿坐標(biāo)軸的正方向。正面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。負(fù)面：截面上的外法線沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向。負(fù)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸的正方向?yàn)樨?fù)。應(yīng)力應(yīng)力和面力應(yīng)力和面力，在正面上，兩者正方向一致；在負(fù)面上，兩者正方向相反。正應(yīng)力符號(hào)規(guī)定與材力同，切應(yīng)力與材力不相同。材料力學(xué)規(guī)定：正應(yīng)力拉為正，切應(yīng)力以順時(shí)針為正。連接前后兩面中心的直線ab作為矩軸，列出力矩平衡方程，得得：。同理可得：。切應(yīng)力互等定理：作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面角線的切應(yīng)力是互等的(大小相等，正符號(hào)也相同)。在材料力學(xué)中是大小相等，符號(hào)相反。3）形變形變：形狀的改變。以通過一點(diǎn)的沿坐標(biāo)正向微分線段的正應(yīng)變和切應(yīng)變來表示。線應(yīng)變：單位長度的伸縮或相對(duì)伸縮,亦稱正應(yīng)變，用表示，以伸長為正。切應(yīng)變：各線段之間的直角的改變，用表示，以直角減小為正，用弧度表示。正的正應(yīng)力對(duì)應(yīng)正的線應(yīng)變。正的切應(yīng)力對(duì)應(yīng)正的切應(yīng)變?！螧AC減小，∠BDC減小。4）位移位移：一點(diǎn)位移的移動(dòng)，用來表示。量綱為L，以坐標(biāo)正向?yàn)檎Ｒ话愣摚瑥椥泽w內(nèi)任意一點(diǎn)的體力分量、面力分量、應(yīng)力分量、形變分量和位移分量都隨該點(diǎn)的位置而變，因而都是位置坐標(biāo)的函數(shù)。1.3、彈性力學(xué)中的基本假定在彈性力學(xué)的問題里，通常是已知物體的邊界(形狀和大小)，物體的彈性常數(shù)，物體所受的體力，物體邊界上的約束情況或面力,而應(yīng)力分量、形變分量和位移分量則是需要求解的未知量.1）考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，在體積V內(nèi)分別建立三套方程。①建立微分方程：根據(jù)微分體的平衡條件；②建立幾何方程：根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系；③建立物理方程：根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系。2）在彈性體的邊界上，建立邊界條件。①應(yīng)力邊界條件：在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上的微分體的平衡條件；②位移邊界條件：在給定的約束邊界上，根據(jù)邊界上的約束條件。求解彈性力學(xué)問題，即在邊界條件下根據(jù)平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力分量、形變分量和位移分量。彈性力學(xué)假定：為使問題求解成為可能，通常必須按照所研究的物體性質(zhì)，以及求解問題的范圍，略去一些影響很小的次要因素，作出若干基本假定。1）連續(xù)性：假定物體是連續(xù)的，各物理量可以用連續(xù)函數(shù)表示。2）完全彈性：①完全彈性：外力取消，變形恢復(fù)，無殘余變形；②線性彈性：應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系可用胡克定律表示(物理線性)。3）均勻性：假定物體是均勻的。即彈性模量、泊松比等與位置無關(guān)。4）各向同性：假定物體是各向同性的，即彈性模量、泊松比與方向無關(guān)。5）小變形假定：假定位移和形變都是微小的。①位移微小，位移<<物體尺寸，如：梁的擾度<<梁高；②變形微小，應(yīng)變<<1，如正應(yīng)變?chǔ)?lt;<10－3<<1，切應(yīng)變<<1弧度(57.3°)。滿足3）和4）即表示材料的彈性模量、泊松比等是常數(shù)。符合1）~4）假定的彈性體，我們稱之為理想彈性體。假定的作用：1）簡化平衡條件：考慮為分體的平衡條件時(shí)，可以用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。2）簡化幾何方程：如：對(duì)于微小轉(zhuǎn)角：對(duì)于微小正應(yīng)變：這樣，彈性力學(xué)里的幾何方程和微分方程都簡化為線性方程，彈性力學(xué)問題都化為線性問題，從而可以應(yīng)用疊加原理。彈力的主要解法：1）解析法：根據(jù)彈性體的靜力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)等條件，，建立區(qū)域內(nèi)的微分方程組和邊界條件，并應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法求解這類微分方程的邊值問題，得出的解答是精確的函數(shù)解。2）變分法(能量法)：根據(jù)變形體的能量極值原理，導(dǎo)出彈性力學(xué)的變分方程，并進(jìn)行求解。這也是一種獨(dú)立的彈性力學(xué)問題的解法。由于得出的解答大多是近似的，所以常將變分法歸入近似的解法。3）差分法：是微分方程的近似數(shù)值解法，它將彈力中導(dǎo)出的微分方程及其邊界條件化為差分方程(代數(shù)方程)進(jìn)行求解。4）有限單元法：是近半個(gè)世紀(jì)發(fā)展起來的非常有效、應(yīng)用非常廣泛的數(shù)值解法。它首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，再將變分原理應(yīng)用于離散化結(jié)構(gòu)，并使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解的方法。5）實(shí)驗(yàn)方法：模型試驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)的各種方法。對(duì)于許多工程實(shí)際問題，由于邊界條件、外荷載及約束等較為復(fù)雜，所以常常應(yīng)用近似解法：變分法、差分法、有限單元法等求解。02平面問題的基本理論：2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題2.2平衡微分方程2.3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)2.4幾何方程剛體位移2.5物理方程2.6邊界條件2.7圣維南原理2.8按位移求解平面問題2.9按應(yīng)力求解平面問題相容方程2.10常體力情況下的簡化應(yīng)力函數(shù)2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題1）彈力空間問題共有應(yīng)力、應(yīng)變、位移15個(gè)未知函數(shù)，且均為。①應(yīng)力：，共6個(gè)。②應(yīng)變：，共6個(gè)。③位移：，共3個(gè)。2）彈力平面問題共有應(yīng)力、應(yīng)變、位移8各未知函數(shù)，且均為。①應(yīng)力：，共3個(gè)。②應(yīng)變：，共3個(gè)。③位移：，共2個(gè)。有兩類問題可以簡化成平面問題：1）平面應(yīng)力問題：條件是：①等厚度的薄板；②體力作用于體內(nèi)，平行于板面，并沿厚度不變；③面力及約束作用于板邊，平行于板面，并沿厚度不變;因?yàn)閮砂迕嫔蠠o面力和約束作用，故：由于薄板很薄，應(yīng)力是連續(xù)變化的，又無z向外力，可認(rèn)為：故只有平面應(yīng)力存在。由于板為等厚度，外力、約束沿z向不變，故應(yīng)力僅為。所以平面應(yīng)力問題歸納如下：①應(yīng)力中只有平面應(yīng)力存在；②且僅為。如：弧形閘門閘墩深梁2）平面應(yīng)變問題：條件是：①很長的常截面柱體；②體力作用于體內(nèi)，平行于橫截面，且沿長度方向不變；③面力作用于柱面，平行于橫截面，且沿長度方向不變。④約束作用于柱面，平行于橫截面，且沿長度方向不變。截面、外力、約束沿z向不變，外力、約束平行于與xy面，柱體非常長。故任何z面（截面）均為對(duì)稱面。所以：，只有；（平面位移問題），由。由于：。所以，只有。（平面應(yīng)變問題）所以平面應(yīng)變問題歸納如下：①應(yīng)力中只有平面應(yīng)變分量存在；②且僅為。2.2平衡微分方程在彈性力學(xué)中分析問題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。首先考慮平面問題的靜力學(xué)方面，建立微分體的平衡微分體方程——應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系式。平衡微分方程：表示物體內(nèi)任一點(diǎn)的微分體的平衡條件。在任一點(diǎn)取出一微小的平行六面體，作用于微分體上的力如下圖：泰勒展開式：一般而論,應(yīng)力分量是位置坐標(biāo)x和y的函數(shù),因此,作用于左右兩對(duì)面或上下兩對(duì)面的應(yīng)力分量不完全相同,有微小的差。設(shè)作用于左面的正應(yīng)力為，則右面的正應(yīng)力由于x坐標(biāo)的改變而改變，可由泰勒展開得：略去二階及二階以上的微量后得：。若為常量，則，左右兩面都是即為均勻應(yīng)力。同理右邊的切應(yīng)力為：，下面的正應(yīng)力和切應(yīng)力為：，。應(yīng)用的基本假定：連續(xù)性假定：應(yīng)力用連續(xù)函數(shù)來表示。小變形假定：用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。①由，得：化簡消去得：。②同理由，可得：。③由，得：化簡消去得：。令趨近于零，得：，這就是切應(yīng)力互等定理。結(jié)論：所以由平衡條件：得對(duì)平衡微分方程的說明：1）代表A中所有點(diǎn)的平衡條件，；2）適用的條件一連續(xù)性、小變形；3）應(yīng)力不能直接求出；4）對(duì)兩類平面問題的方程相同（平面應(yīng)力和平面應(yīng)變均適用）。比較：理論力學(xué)：考慮整體的平衡，只決定整體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。材料力學(xué)：考慮有限體的平衡（近似）彈性力學(xué)：考慮微分體的平衡（精確）當(dāng)都平衡時(shí)，可以得到，也平衡，反之則不然。所以彈性力學(xué)的平衡條件是嚴(yán)格的，精確的。2.3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)就是指一點(diǎn)處所有斜截面上的應(yīng)力的集合。假定已知任意點(diǎn)P處坐標(biāo)面的應(yīng)力分量，求經(jīng)過該點(diǎn)且平行于z軸的任意斜截面上的應(yīng)力。1）求任意斜截面上的正應(yīng)力σn和切應(yīng)力τn。用n代表斜截面AB的外法線方向，其方向余弦為：設(shè)，則：。設(shè)垂直于平面的尺寸為1。由：得：。其中為方向的體力分量。將上式除以ds，然后令ds趨于0（AB→0），得：。同理：，得：。令斜截面上的正應(yīng)力為，切應(yīng)力為，由投影得：因?yàn)椋?，可得：?？梢?，已知點(diǎn)P處的應(yīng)力分量x,y,xy=yx,就可求得經(jīng)過該點(diǎn)的任意斜截面上的正應(yīng)力n和切應(yīng)力n。2）求主應(yīng)力及主應(yīng)力的方位——應(yīng)力主向應(yīng)力主面上：。投影得：。因?yàn)椋海傻茫?。解得：，消去得：。化簡得：。解得：。易得：。設(shè)與軸的夾角為，與軸的交角為。可得：由：，可得：。可得：。就是說，的方向互相垂直。最大最小主應(yīng)力，最大最小切應(yīng)力：，與應(yīng)力主向成45°的斜面上。2.4幾何方程剛體位移1）幾何方程幾何方程：任一點(diǎn)的微分線段的形變分量與位移分量之間的關(guān)系式。設(shè)：。PA的線應(yīng)變：同理PB的線應(yīng)變：。PA的轉(zhuǎn)角：同理PB的轉(zhuǎn)角：。PA與PB之間的轉(zhuǎn)角：。幾何方程：，，。對(duì)幾何方程的說明：①使用于區(qū)域內(nèi)任何點(diǎn)，；②適用的條件一連續(xù)性、小變形，③應(yīng)用了小變形假定，略去了高階小量，線性的幾何方程。④對(duì)兩類平面問題的方程相同（平面應(yīng)力和平面應(yīng)變均適用）。⑤幾何方程是變形后物體連續(xù)性條件的反映和必然結(jié)果。2）形變與位移之間的關(guān)系如果物體的位移確定，則形變完全確定：從物理概念：當(dāng)物體變形后各點(diǎn)的位移完全確定，任一微分線段上的形變（伸縮、轉(zhuǎn)角等）也就完全確定了。從數(shù)學(xué)概念：當(dāng)位移函數(shù)確定時(shí)，其導(dǎo)數(shù)也就確定了。如果物體的形變分量確定時(shí)，位移分量不完全確定。從物理概念：在物體內(nèi)形變不變的條件下，物體還可以做剛體運(yùn)動(dòng)：平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，即還有剛體運(yùn)動(dòng)的任意性。從數(shù)學(xué)概念:由形變分量求位移分量是一個(gè)積分的過程，在常微分中，會(huì)出現(xiàn)一個(gè)任意常數(shù)；而在偏微分中，要出現(xiàn)一個(gè)與積分變量無關(guān)的任意函數(shù)。這些任意函數(shù)是未定項(xiàng)，這些未定項(xiàng)正是剛體平移和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)量?！纠}】假設(shè)，求出相應(yīng)的位移分量。代入幾何方程得：由，兩邊對(duì)x積分，。由，兩邊對(duì)y積分，。代入，可得：?；啚椋?。方程左邊是y的函數(shù)，只隨y而變；而方程右邊是x的函數(shù)，只隨x而變。因此，只可能兩邊都等于同一常數(shù)。于是得：積分得：，其中及為任意常數(shù)。這就是“形變?yōu)橐恕睍r(shí)的位移，也就是所謂“與形變無關(guān)的位移”，因此必然是剛體位移。及分別表示物體沿軸及軸方向的剛體位移。表示物體繞軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。下面根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)的原理加以證明。①當(dāng)時(shí)，物體的所有各點(diǎn)只沿方向移動(dòng)同樣距離，所以代表物體沿方向的剛體位移。②同理當(dāng)：，可得：代表物體沿方向的剛體位移。③當(dāng)時(shí)，物體內(nèi)任一點(diǎn)的位移分量為，坐標(biāo)為的任一點(diǎn)P沿方向移動(dòng)，沿負(fù)方向移動(dòng)，合成位移為：可見，合成位移的方向與徑向線段OP垂直，也就是沿著切向，因OP線上所有點(diǎn)移動(dòng)方向都沿著切線，且移動(dòng)的距離為，可見代表物體繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。既然物體在形變?yōu)榱銜r(shí)可以有剛體位移，那么，當(dāng)物體發(fā)生一定形變時(shí)，由于約束條件不同，可能有不同的剛體位移，為了完全確定位移，就必須有適當(dāng)?shù)膭傮w約束條件。2.5物理方程物理方程：應(yīng)力分量和形變分量之間的物理關(guān)系式。在理想彈性體（滿足連續(xù)性，完全彈性，均勻性和各向同性）中，物理方程就是材料力學(xué)中學(xué)過的胡克定律。物理方程有兩種形式：1.此式是用應(yīng)力表示應(yīng)變，其中應(yīng)力取為基本未知數(shù)，用于按應(yīng)力求解。2.此式是用應(yīng)變表示應(yīng)力，其中應(yīng)變?nèi)榛疚粗獢?shù)，用于按位移求解。胡克定律的一般形式：其中E是彈性模量，G是切變模量，又稱剛度模量，μ稱為泊松系數(shù)，或泊松比。物理方程的說明：①適用條件：理想彈性體：②是總結(jié)實(shí)驗(yàn)規(guī)律得出的：③是線性的代數(shù)方程：④正應(yīng)力只與線應(yīng)變有關(guān)，切應(yīng)力只與切應(yīng)變有關(guān)。1）平面應(yīng)力問題的物理方程：將代入上式得獨(dú)立的物理方程：另外：，因可由求出，故不作為獨(dú)立的未知函數(shù)。2）平面應(yīng)變問題的物理方程將代入上式得獨(dú)立的物理方程。另外：，因可由求出，故不作為獨(dú)立的未知函數(shù)。平面應(yīng)力方程變換成平面應(yīng)變物理方程：對(duì)于兩類平面問題，三套方程除了物理方程中的系數(shù)須變換外，其他平衡方程和幾何方程是完全相同的。三套方程包含8個(gè)未知函數(shù)：，還需要考慮邊界條件，才能求出這些未知函數(shù)。2.6邊界條件邊界條件：表示在邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。一、位移邊界條件設(shè)在部分邊界上給點(diǎn)了約束位移和，則對(duì)于邊界上的每一點(diǎn)，位移函數(shù)應(yīng)滿足條件。位移邊界條件：其中：和是位移的邊界值；和在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。位移邊界條件的說明：①它是函數(shù)方程，要求在上每一點(diǎn)S，位移與對(duì)應(yīng)的約束位移相等；②若為簡單的固定邊，，則有（在上）。③它是在邊界上物體保持連續(xù)性的條件，或位移保持連續(xù)性的條件。二、應(yīng)力邊界條件設(shè)在部分邊界上給定了面力分量和，則可以由邊界上任一點(diǎn)微分體的平衡條件，導(dǎo)出應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式1）邊界為斜截面時(shí)在2.3節(jié)平面問題中的一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，通過三角形微分體的平衡條件，導(dǎo)出坐標(biāo)面應(yīng)力與斜面應(yīng)力的關(guān)系式：(在A上）將此三角形移到邊界上，并使斜面與邊界面重合，則得應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件的說明：①它是邊界上微分體的靜力平衡條件；②它是函數(shù)方程，要求在邊界上每一點(diǎn)s上均滿足，這是精確的條件；③式在A中的每一點(diǎn)均成立，而式只能在邊界s上成立。④式中：：按應(yīng)力符號(hào)規(guī)定；：按面力符號(hào)規(guī)定。⑤位移、應(yīng)力邊界條件均為每個(gè)邊界兩個(gè)，分別表示向的條件。⑥所有邊界均應(yīng)滿足，無面力的邊界（自由邊），，也必須滿足。2）邊界為坐標(biāo)面時(shí)：應(yīng)力邊界條件：。當(dāng)為正面時(shí)，，則上式簡化成：當(dāng)為負(fù)面時(shí)，，則上式簡化成：3）應(yīng)力邊界條件的兩種表達(dá)方式①在邊界點(diǎn)取出一個(gè)微分體，考慮其平衡條件得出：或或。②在同一邊界面上，應(yīng)力分量的邊界值＝對(duì)應(yīng)的面力分量。即應(yīng)力分量的絕對(duì)值＝對(duì)應(yīng)的面力分量的絕對(duì)值，面力分量的方向就是應(yīng)力分量的方向。即數(shù)值相同，方向一致?！纠}1】若邊界面y=c,d分別為正、負(fù)坐標(biāo)面【例題2】列出下圖懸臂梁邊界條件在邊界，；在邊界，；在邊界，；在邊界，； 【例題3】列出下圖邊界條件，荷載為拋物線分布在邊界：；在邊界：。三、混合邊界條件混合邊界條件有兩種情況：情況一：部分邊界上位移邊界條件，另一部分邊界上為應(yīng)力邊界條件。情況二：同一邊界上，一個(gè)為位移邊界條件，另一個(gè)為應(yīng)力邊界條件?！纠}4】列出的邊界條件。在邊界：。2.7圣維南原理求解彈性力學(xué)問題時(shí)，應(yīng)力分量、形變分量和位移分量必須滿足三套方程，還必須滿足邊界條件，但要使邊界條件得到完全滿足很困難。圣維南原理為簡化局部邊界的應(yīng)力邊界條件提供了有效的方法。圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力,變換為分布不同但靜力等效的面力(主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同)，那么，近處的應(yīng)力分布將有明顯的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。一、圣維南定理應(yīng)用的條件：①圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界上，又稱為局部邊界，小邊界或次要邊界。如果將面力的等效變換范圍應(yīng)用到大邊界(又稱為主要邊界)上,則必然使整個(gè)的應(yīng)力狀態(tài)都改變了。因此,不適用圣維南原理。②小邊界的面力變換為靜力等效的面力。靜力等效指兩者主矢量相同，對(duì)同一點(diǎn)主矩也相同。③經(jīng)變換后，只對(duì)近處的應(yīng)力分布有明顯的影響，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力幾乎不受影響。所謂“近處”，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，一般地講大約是變換面力的邊界的1~2倍范圍內(nèi)，此范圍之外可認(rèn)為是“遠(yuǎn)處”。例如：如將一端或兩端的F變換為靜力等效的力,如圖(b),(c),(d).則只有虛線劃出的部分應(yīng)力分布有顯著改變,其余部分所受影響可不計(jì)。圖(d)所示情況，由于面力連續(xù)均勻分布，邊界條件簡單，應(yīng)力很容易求解并且解答很簡單。而其他三種情況，由于面力不連續(xù)分布，甚至不知其分布方式，應(yīng)力難以求解。根據(jù)圣維南原理，可將(d)的應(yīng)力解答應(yīng)用于其他三種情況?！纠}1】比較下列問題的應(yīng)力解答：【例題2】比較下列問題的應(yīng)力解答：推廣情況：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那么，這個(gè)面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。這是因?yàn)橹魇噶亢椭骶囟嫉扔诹愕拿媪?，與無面力狀態(tài)是等效的，只在近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力。二、在局部邊界上應(yīng)用圣維南原理：在應(yīng)力邊界條件上應(yīng)用圣維南原理,就是在邊界上,將精確的應(yīng)力邊界條件代之以主矢相同,對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同的靜力等效條件。例如，厚度的梁，，即左右端是小邊界。在同一邊界上：上式是函數(shù)方程，要求在邊界上任一點(diǎn)，應(yīng)力與面力數(shù)值相等，方向一致，往往難以滿足。在小邊界上，滿足下列條件可以應(yīng)用圣維南原理：在同一邊界上，應(yīng)力的主矢量＝面力的主矢量(給定)數(shù)值相等應(yīng)力的主矩＝面力的主矩(給定)方向一致因面力是已知的，所以面力的主矢量和主矩可求，因此，應(yīng)力的主矢量和主矩的絕對(duì)值應(yīng)分別等于面力的主矢量和主矩的絕對(duì)值，方向與面力的主矢量和主矩一致。具體列出三個(gè)積分條件：兩種邊界條件對(duì)比：精確的應(yīng)力邊界條件積分的應(yīng)力邊界條件方程個(gè)數(shù)23方程性質(zhì)函數(shù)方程(難滿足)代數(shù)方程(易滿足)精確性精確近似適用邊界大、小邊界小邊界在求解彈性力學(xué)平面問題時(shí)，常在小邊界上用近似的三個(gè)積分邊界條件代替嚴(yán)格的邊界條件，使問題的求解大大簡化。2.8按位移求解平面問題按位移求解（位移法）：取為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去形變和應(yīng)力，導(dǎo)出只含的方程和邊界條件，從而求出；在求形變和應(yīng)力，類似于結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法。按應(yīng)力求解（應(yīng)力法）：取為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和形變，導(dǎo)出只含應(yīng)力的方程和邊界條件，從而求出應(yīng)力；在求形變和位移。類似于結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力法。平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題，除物理方程的彈性系數(shù)須變換外，其余完全相同。因此，兩者的解答相似，只須將進(jìn)行變換。下面只討論平面應(yīng)力問題。一、平面問題的基本方程及邊界條件： ①在平面域A內(nèi)的平衡微分方程：②在平面域A內(nèi)的幾何方程：，，③在平面域A內(nèi)的物理方程：④在邊界S上的應(yīng)力邊界條件：⑤在邊界S上的位移邊界條件：(在上）8個(gè)未知函數(shù)必須滿足上述方程和邊界條件。二、按位移法求解：①取為基本未知函數(shù)，將其他未知函數(shù)用表示。②用表示，用幾何方程可得：，，③用表示，用物理方程把應(yīng)力轉(zhuǎn)換成應(yīng)變，再由幾何方程把應(yīng)變轉(zhuǎn)換成。④將上式代入平衡微分方程：上式是用表示的平衡微分方程。⑤用表示位移邊界條件。(在上）…………⑥用表示應(yīng)力邊界條件?！次灰品ㄇ蠼鈺r(shí)，必須滿足A內(nèi)的方程和邊界條件、。按位移法求解（位移法）的優(yōu)缺點(diǎn)：適用性廣，可適用于任何邊界條件。求函數(shù)式解答困難，但在近似解法（變分法、差分法、有限單元法）中有著廣泛的應(yīng)用?！纠}1】圖為兩端固定的桿件，圖為上端固定，下端自由的桿件，均只受重力作用，，，試用位移法分別求解位移、應(yīng)力、應(yīng)變。解：①為簡化，設(shè)，，泊松比，代入下面三個(gè)方程：平衡微分方程：位移邊界條件：(在上）…………應(yīng)力邊界條件：………②代入平衡微分方程得：，由此可解出：。③代入位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件：兩端固定：；一端固定一端自由：；分別求得系數(shù)：兩端固定：；一端固定一端自由：。兩端固定：；一端固定一端自由：。④用幾何方程和物理方程求解應(yīng)變、應(yīng)力。兩端固定：；一端固定一端自由：。2.9按應(yīng)力求解平面問題相容方程按位移求解（位移法）：取為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去形變和應(yīng)力，導(dǎo)出只含的方程和邊界條件，從而求出；在求形變和應(yīng)力，類似于結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法。按應(yīng)力求解（應(yīng)力法）：取為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移和形變，導(dǎo)出只含應(yīng)力的方程和邊界條件，從而求出應(yīng)力；在求形變和位移。類似于結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力法。位移用應(yīng)力表示，須將物理方程代入幾何方程，然后通過積分求出位移分量。不僅表達(dá)式比較復(fù)雜，而且包括積分帶來的未知項(xiàng)，因此位移邊界條件用應(yīng)力分量來表示時(shí)既復(fù)雜又難以求解。故在應(yīng)力法求解時(shí)，只考慮全部為應(yīng)力邊界條件的問題，即（，）。一、平面問題的基本方程及邊界條件： ①在平面域A內(nèi)的平衡微分方程：②在平面域A內(nèi)的幾何方程：，，③在平面域A內(nèi)的平面應(yīng)力問題的物理方程：④在邊界S上的應(yīng)力邊界條件：⑤在邊界S上的位移邊界條件：(在上）8個(gè)未知函數(shù)必須滿足上述方程和邊界條件。二、推導(dǎo)按應(yīng)力求解平面問題的方程：①取為基本未知函數(shù)。②導(dǎo)出求解應(yīng)力的基本方程：平衡微分方程中應(yīng)力分量有3個(gè)（），而方程只有2個(gè)，因此需從幾何方程和物理方程中消去位移分量，導(dǎo)出只含應(yīng)力分量的補(bǔ)充方程）從幾何方程中消去位移，得到相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）：即得到相同方程：從相容方程看出，連續(xù)體的形變分量不是相互獨(dú)立的，他們必須滿足相容方程，才能保證位移分量的存在。將平面應(yīng)力問題的物理方程代入相容方程得：平衡微分方程寫成：兩式相加得：。代入上式消去，得到用應(yīng)力表示的平面應(yīng)力問題的相容方程：，將，得到用應(yīng)變表示的平面應(yīng)力問題的相容方程： 其中：為拉普拉斯算子。③應(yīng)力邊界條件：假定全部邊界上均為應(yīng)力邊界條件（，）。三、按應(yīng)力求解平面問題時(shí)，應(yīng)力分量必須滿足的條件：①在區(qū)域A內(nèi)的平衡方程：。②在區(qū)域A內(nèi)的相容方程：。③在邊界上的應(yīng)力邊界條件，假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題。④對(duì)于多連體，還需考慮位移的單值條件（只有一個(gè)連續(xù)邊界的物體—單連體）?！纠}1】三連桿系統(tǒng)，由于物體是連續(xù)的，變形前三連桿在D點(diǎn)共點(diǎn)（連續(xù)），變形后三連桿在點(diǎn)共點(diǎn)，則三連桿的應(yīng)變必須滿足一定的協(xié)調(diào)條件。2.10常體力情況下的簡化應(yīng)力函數(shù)很多工程問題中，體力是常量，即體力分量和不隨坐標(biāo)和而變。例如，重力、常加速度下平動(dòng)的慣性力，都是常量的體力。一、常體力情況下方程的簡化常體力下，平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的相容方程的右邊都等于0。即：。常體力情況下，應(yīng)滿足拉普拉斯方程，即調(diào)和方程。應(yīng)當(dāng)是調(diào)和函數(shù)。其中：為拉普拉斯算子。注意，體力為常量時(shí)，三個(gè)方程都不含彈性常數(shù)，因而得出的應(yīng)力分量必然與彈性常數(shù)無關(guān)。由此得出：①對(duì)于不同材料，的理論解答相同；用試驗(yàn)方法求應(yīng)力時(shí)，可用不同的模型材料代替。②對(duì)兩種平面問題，應(yīng)力分量的解答相同，即理論解可互相通用；用模型試驗(yàn)時(shí)，可用平面應(yīng)力問題的模型代替平面應(yīng)變問題的模型，使模型的制作和加載大大簡化。二、應(yīng)力函數(shù)：可見，在體力為常量情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時(shí)，應(yīng)力分量應(yīng)滿足。1）先考察平衡微分方程這是一非齊次微分方程組，它的解答是，任一特解和齊次微分方程的通解之和。特解可以取為：；也可以取為：。[理論準(zhǔn)備]:根據(jù)偏微分方程理論：偏導(dǎo)數(shù)的相容性，若設(shè)函數(shù)，則有：。假如函數(shù)A和B滿足：，那么一定存在某一函數(shù)，使得：，。對(duì)應(yīng)的其次微分方程：，改寫成：。一定存在一個(gè)函數(shù)A和B使得；，。根據(jù)切應(yīng)力互等：。即：。因而又一定存在一個(gè)函數(shù)，使得：。將：代入得齊次方程的通解：將次通解與任一組特解疊加，即得平衡微分方程的全解：…………稱為平面應(yīng)力問題的應(yīng)力函數(shù)，又稱艾里應(yīng)力函數(shù)。但它是未知函數(shù)。此解答不僅滿足了平衡方程，而且使平面問題的求解大為簡化：從求解3個(gè)應(yīng)力未知函數(shù)，變?yōu)榍蠼?個(gè)應(yīng)力函數(shù)。2）應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足的條件。①應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足相容方程，所表示的應(yīng)力分量應(yīng)滿足相容方程：，將代入相容方程，得：為常量，于是上式可以簡化為：。將此式展開為：。這就是用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程。由此可見，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足重調(diào)和方程，也就是它應(yīng)是重調(diào)和函數(shù)，此方程可表示成：②應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件）3）綜上所述，在常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問題，可歸納為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，它必須滿足。①在區(qū)域內(nèi)的相容方程：。②在邊界上的應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件）③在多連體中，還須滿足位移單值條件。求出應(yīng)力函數(shù)后，便可求出應(yīng)力分量，然后再求應(yīng)變分量和位移分量。，，第二章小結(jié)：本章系統(tǒng)地介紹了平面問題的基本理論：基本方程和邊界條件，及兩種基本解法。這些內(nèi)容在彈性力學(xué)中具有典型性和代表性。因此，學(xué)好平面問題的基本理論，就可以方便地學(xué)習(xí)其他各章。為此，我們要求學(xué)生深入地理解本章的內(nèi)容，掌握好以下幾點(diǎn)：1）兩類平面問題的定義。2）在平面區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程和物理方程的建立。3）在平面邊界上的位移和應(yīng)力邊界條件的建立，及圣維南原理的應(yīng)用。4）按位移求解方法和按應(yīng)力求解方法。5）關(guān)于一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的分析?！纠}1】試求下圖的邊界條件：解：對(duì)問題，在主要邊界，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：在小邊界（次要邊界），應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分近似邊界條件，當(dāng)板厚時(shí)：在小邊界處，當(dāng)平衡微分方程和其它各邊界都已滿足條件下，三個(gè)積分的邊界條件必然滿足，可以不必校核。對(duì)問題，在主要邊界，應(yīng)精確滿足下列邊界條件：在小邊界（次要邊界），列出三個(gè)積分近似邊界條件，當(dāng)板厚時(shí)，注意，在力矩條件時(shí)，兩邊均是對(duì)遠(yuǎn)原點(diǎn)的力矩來計(jì)算的。對(duì)于的小邊界條件可以不必校核。【例題2】厚度的懸臂梁，在自由端受集中力F的作用。已求得其位移的解答