第頁(yè)，共頁(yè)啟星中學(xué)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期第一次檢測(cè)高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題一、單選題（共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.函數(shù)在上的平均變化率為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】由平均變化率定義可得.【詳解】平均變化率為.故選：C.2.已知，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由的求導(dǎo)公式，求出的導(dǎo)數(shù)，代入函數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】由，得，則.故選：C．3.下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D正確.故選：D.4.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于0可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，由得，所以的單調(diào)減區(qū)間為.故選：D.5.某班有3名學(xué)生準(zhǔn)備參加校運(yùn)會(huì)的100米、200米、跳高、跳遠(yuǎn)四項(xiàng)比賽，如果每人只報(bào)一項(xiàng)，每項(xiàng)最多有1人，則這3名學(xué)生的參賽的不同方法有（

）A.24種 B.48種 C.64種 D.81種【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】由于每班每項(xiàng)限報(bào)1人，故當(dāng)前面的學(xué)生報(bào)了某項(xiàng)之后，后面的學(xué)生不能再報(bào)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的參賽方法；故選：A6.已知函數(shù)在處取得極小值1，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)極值定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)樵谔幦〉脴O小值1，所以有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故滿足題意，于是有.故選：C7.若定義在上的函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的增區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象可得的正負(fù)可判斷的單調(diào)性從而得到答案.【詳解】由圖象可得，當(dāng)時(shí)，由得，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由得，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由得，在上單調(diào)遞減，綜上，函數(shù)的增區(qū)間為.故選：B.8.函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由有解，結(jié)合三角函數(shù)的值域來(lái)求得正確答案.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào)，所以函數(shù)有零點(diǎn)，所以方程

有根，所以函數(shù)與

有交點(diǎn)（且交點(diǎn)非最值點(diǎn)），因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋?/p>

.故選：D二、多項(xiàng)選擇題（共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.）9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則（）A.函數(shù)的圖象在處切線的斜率小于零B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在時(shí)，函數(shù)取得極值D.在時(shí)，函數(shù)取得極值【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象分析原函數(shù)的性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤即可.【詳解】對(duì)于A，的圖象在處的切線斜率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，是導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)取得極值，故C正確；對(duì)于D，不是導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)不能取得極值，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.函數(shù)定義域?yàn)?，下列命題正確的是（）A.對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)B.對(duì)于任意負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù)存在最小值C.存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有恒成立D.存在負(fù)實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)在時(shí)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可判定A錯(cuò)誤；在時(shí)，確定方程的解，并判斷函數(shù)在解的兩側(cè)的單調(diào)性，由此確定函數(shù)的最值，可判定B正確；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理，可判定D正確；在時(shí)，結(jié)合圖象確定的零點(diǎn)，可判定C錯(cuò)誤.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以A正確；對(duì)于任意，設(shè)，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，且，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以對(duì)于任意時(shí)，函數(shù)存在最小值，所以B正確；因當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在最小值，且，所以，當(dāng)且時(shí)，此時(shí)，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在定義域上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以D正確；如圖所示，函數(shù)，的圖象在有公共點(diǎn)，所以對(duì)于任意，有零點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則的極小值為______．【答案】##-0.5【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，即，得，令，即，得，故函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為．故答案為:.13.5個(gè)人站成一排照相，如果甲必須站在排頭或排尾，而乙不能站在排頭或排尾，那么不同的站法有_____種.【答案】10【解析】【詳解】解析過(guò)程略14.若過(guò)點(diǎn)有三條直線與函數(shù)的圖象相切，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)，求出切線方程，再結(jié)合過(guò)點(diǎn)存在三條直線與曲線相切，轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)根，構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值得實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)镽，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，切線過(guò)點(diǎn)，則有，即，依題意關(guān)于方程有三個(gè)解，設(shè)，，解得或；，解得，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，取極小值；時(shí)，取極大值，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.四、解答題（共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.現(xiàn)有3名男生?4名女生排成一行，在下列要求下，分別求不同排列方法的種數(shù)：（1）男生必須排在一起；（2）男生和女生相間排列.【答案】（1）720（2）144【解析】【分析】（1）利用捆綁法求解即可；（2）利用插空法求解即可.【小問(wèn)1詳解】將男生看成一個(gè)整體，進(jìn)行全排列，有種排法，再與其他元素進(jìn)行全排列，有種排法，故共有種；【小問(wèn)2詳解】先排好男生，然后將女生插入男生所形成的四個(gè)空位，共有種.16.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與平行．（1）求值；（2）求的極值．【答案】（1）2（2）極小值為，無(wú)極大值.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，可得，可求的值.（2）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?所以，.由題意.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?所以，.由；由.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，且.17.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得，代入求值即可得答案；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，求端點(diǎn)函數(shù)值，從而求出函數(shù)的最小值．【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，又函數(shù)在處取得極值，所以有；所以實(shí)數(shù)的值為，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以在上的最小值為和中較小的一個(gè)，又，，故函數(shù)的最小值為.18.已知函數(shù)，其中是常數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的極值．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可求解；（2）易知當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)）時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性求出極值即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以．所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．【小問(wèn)2詳解】依題意，．當(dāng)時(shí)，由（1）可知，，所以上單調(diào)遞減，無(wú)極值．當(dāng)）時(shí)，．（i）當(dāng)時(shí)．，所以在上單調(diào)遞減，無(wú)極值．（ii））時(shí)．時(shí)．在上單調(diào)遞增，時(shí)，上單調(diào)遞減．所以時(shí)，取極大值，無(wú)極小值．綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)有極大值，無(wú)極小值.19.對(duì)于企業(yè)來(lái)說(shuō)，生產(chǎn)成本、銷售收入和利潤(rùn)之間的關(guān)系是個(gè)重要的問(wèn)題.對(duì)一家藥品生產(chǎn)企業(yè)的研究表明，該企業(yè)的生產(chǎn)成本y（單位：萬(wàn)元）和生產(chǎn)收入z（單位：萬(wàn)元）都是產(chǎn)量x（單位：t）的函數(shù)，分別為，.（1）試寫出該企業(yè)獲得的生產(chǎn)利潤(rùn)w（單位：萬(wàn)元）與產(chǎn)量x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)為多少？【答案】（1）（2）該企業(yè)的產(chǎn)量為15t時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為1340萬(wàn)元【解析】【分析】（1）由題意，利用銷售收入減去生