2024-2025學年四川省瀘縣高一下學期3月月考數(shù)學檢測試題

本試卷分和兩部分.第I卷1至2頁，第II卷2至4頁.共150分.考試時間120分鐘.

第I卷（選擇題共58分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是

正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

26兀

cos-----

1.3的值為（）

【正確答案】B

【分析】利用誘導公式可得出所求代數(shù)式的值.

.-5.26兀/八兀、兀1

【詳解】cos-----=cos9JI——=-cos—=——.

3I3）32

故選：B.

2.sin37-cos7°-cos37°sin7°=（）

A.--B.IC.--

222

【正確答案】B

【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式可得.

【詳解】sin37°cos7°-cos37°sin7°=sin（37°-7°）=sin30°=—,

故選：B

UULUUULULlUU

3.AB+BC-DC=（）

A.ABB.DAC.ADD.BA

【正確答案】C

【分析】利用向量加法法則及相反向量的意義求解.

【詳解】AB+BC-DC=AC+CD=AD

故選：C

3_4

4.在平面直角坐標系工帆中，角a的終邊經(jīng)過點

5，-5則sina=

34

57

【正確答案】A

【分析】由任意角三角函數(shù)定義可得答案.

3_4,4

【詳解】注意到，-在單位圓上，貝！Isina=——

555

故選：A

5.已知方=Z+5B，BC=-2a+8b^CD=3a-3b^則（）

A.A、B、。三點共線B./、B、。三點共線

C.B、C、。三點共線D./、C、。三點共線

【正確答案】A

【分析】利用向量的加法法則，得到刀=瓦方，從而可得結(jié)論.

【詳解】-.-AB=a+5b-BC=-2a+8b>CD=3a+3b>

.?.前=數(shù)+①=Z+5B,.?.與=彷,.?.而與而共線,

因為兩向量有一個公共點8,，2、B、。三點共線，故A正確.

由萬=2+5刃，BC=-2a+8b>可得人02，

-28

所以不存在4使得方=2萬心，故/、B、C三點不共線，故B不正確;

___._28

由BC=—2a+8B，CD=3a-3b>可得丁0-；，

3—3

所以不存在力使灰=2而，故3、C、。三點不共線，故C不正確;

因為方=Z+5B，BC=-2a+8b>

所以K=與+元=Z+5B—2之+礪=—Z+13區(qū),

—.__-113

又CD=3a+3b，可z得可彳§，

所以不存在4使/=2而，故/、C、。三點不共線，故D不正確;

故選：A.

6.若ae(0,；］,sin［a+：］=g,則cosa=()

AV2n41r772

101010

【正確答案】c

【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出COSa+；的值，然后利用兩角差的余弦公式可求得

cosa的值.

【詳解】因為則巴<@+烏〈巴,

I4J442

7171(兀、兀.「兀、.兀

因此,cosa=cosa+Z—=cosa+—cos—+sina+—sin—

4j4j44j4

3V24V27V2

=-x---1——x=----

525210

故選：C.

7.已知向量Z=(cos9,sin，)，b=(2,-l),若Z'B，則sm'+cos」的值為()

sin8+3cos0

【正確答案】B

【分析】由向量垂直的坐標表示得tan8=2,再應用齊次式運算，由弦化切求目標式的值.

【詳解】由題設2cos9—sine=0ntane=2,

.sin0+cos0tan3+12+13

i￥r[........................................-------------------------------------——

sin6+3cos6tan0+32+35

故選：B

1+sin20°

8.若tan35°=加，則---------------------二()

cos20°

1+m1-m1

A.-------B.----C.—D.m

1-m1+mm

【正確答案】C

【分析】利用正切的兩角差公式化為10°角正切，再利用二倍角公式也把所求的式子化為10°角正切，

從而得解.

1_匕口10°

【詳解】tan35°=tan(45°-10°)=--------------=m,

'7l+tanl0°

1+sin20°_l+2sinl00cosl0°_(cosl0°+sinl00)2

cos20°cos2100-sin210°(cos100-sinl0°)(cos10°+sinl0°)

cos100+sin10°1+tanl0°1

cos10°-sin10°l-tanl0°m

故選：C.

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知兀)，sina+cosa=一1則下列結(jié)論錯誤的是(

4.7

A.cosa=一B.SH16Z-COS6Z=

55

sma+cosa4sma—cos。_

C.---------------------------二——D.=一7

tana153sina+2cosa

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)sina+cosa=-)，?e(0,7i),結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可解得sin/cosa的

值，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系可得tana的值，依次代入四個選項，逐項判斷即可.

121

【詳解】因為sina+cosa=——，所以(sina+cosa)二一，

51725

22112

則sina+cosa+2sinacosa二一,BPsinacosa=---<0,

2525

又aw(0,兀)，所以sina〉0,則cosa<0；

1

sina+cosa=——

聯(lián)立.534

12解得sina=-,coscr=一—，故A錯誤;

55

smacosa=---

[25

.3

對于B,sma-coscr=—,故B正確;

5

1

sina3sma+cosa54

對于C,tana=----=——，則y,故C錯誤;

cosa4tanaD13

4

sina-cosa

對于D,故D錯誤;

3sina+2cosa

故選：ACD.

10.已知函數(shù)/(x)=^sin4x+：cos4x+；，則下列說法正確的是(、

A./(x)的最小正周期為兀

JT15

B./(x)在0,—上的值域為

_4」\_24

C.將/(X)的圖象向左平移4個單位長度得到g(x)的圖象，則g(x)的圖象關(guān)于了軸對稱

D.若方程/(x)+加=0在0,1^上恰有一個根，則加的取值范圍為1-1,-：

【正確答案】BC

【分析】對于A,B：根據(jù)輔助角公式化簡函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷.對于C：根

據(jù)三角函數(shù)的平移得到g(x)解析式，根據(jù)偶函數(shù)定義判斷即可.對于D：因為方程的根的個數(shù)等價

于兩個函數(shù)的交點個數(shù)，則/(x)+m=0的根的個數(shù)等價于=1sin^4x+^和y=3

-m——兩個

4

函數(shù)的交點個數(shù)，畫出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)題意判斷即可.

【詳解】/(》)=￥

sin4x+Ls4x+2」in4x+工71+33，故/(x)的最小正周期為?=T

44264

A錯誤;

,八71兀，，兀71兀7兀1

當X￡0,一時，4xH---￡—,----,所以sin14x+t卜--,1,

46662

71j_5

從而二sin7+工B正確;

264254

由題意知

”71,s1in4x+土71+巴71+—+巴71+圭3

g(x)=/

122126422424

所以g(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于了軸對稱，C正確;

令/=4x+《，當xe0,1^時，/e兀,則方程/(x)+加=0在0,1^上恰有一個根等價

八

于T一1si-nZ+—3+m=0,

24

3兀

即sin%=—2加——在—7i上恰有一個根，

265

兀3

作出y=sin/,te-,n的圖象與直線y=-2加一5,如圖所示，

33153

可得當-2m——=1或0V-2加——<—,BPm=——或一1<加《——時方程

22244

57T

/(x)+加=0在0,—上恰有一個根，D錯誤.

故選：BC.

11.已知P是邊長為1的正六邊形N5CDE廠內(nèi)一點(含邊界)，且=M+2eR,則

A.△PCD的面積恒為X二B.存在力，使得|京|<|萬|

cosZCPZ)eD.4.瓦的取值范圍是百]

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)向量共線，即可求解A,根據(jù)對稱性可求解BC,根據(jù)數(shù)量積的定義求解D.

【詳解】由4=萬+2)^，^^AP-AB=AAF>即麗=2/，

所以P在正六邊形ABCDEF的對角線BE上運動，所以BP//CD,

所以△PCD的面積為定值，且走，A正確；

/\rl,!J/\<z(.!Jy|

因為正六邊形48cos9關(guān)于直線BE對稱，所以不論P在何處，總有|定|=口號，B錯誤；

7T

根據(jù)圖形的對稱性，當尸為的中點時，NCP。取到最大值

「15

當尸與3或￡重合時，NCP。取到最小值巴，故cosNCPD的取值范圍是——，C正確；

6\_22

PC-BC=\PC\-\BC\COSZPCB=|PC|cosZPCBe[0,1],左?前的取值范圍是[0,1],D錯誤.

故選:AC.

第II卷（非選擇題共92分）

注意事項：

（1）非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出，確認

后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無效.

（2）本部分共8個小題，共92分.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.

12.m,萬是平面內(nèi)兩個單位向量，它們的夾角為60°，m-2n=.

【正確答案】V3

【分析】先求|碗-2/，再求解卜?-2”.

__>2_*o1-2

【詳解】由題意可得：m=l,m-n=Ixlxcos60=一,n=1

2

\m—2n\2=m—4m-n+An2=1—2+4=3，

所以阮一2同=道.

故6

132cos65°-V3cos35°_

cosl00-sinl0°

【正確答案】-變

2

【分析】利用差角的余弦公式以及輔助角公式化簡計算即可.

［詳解］由題意知2cos65°一限°s35°

coslO°-sinlO°

_2cos(120°-55°)-V3cos(90°-55°)

-V2cos(10°+45°)

2cosl20°cos550+2sinl20°sin55°-G(cos90°cos550+sin90°sin55°)

V2cos(10°+45°)

_-cos55°+V§sin55°-V3sin55°_后

V2cos5502

故答案為.—在

2

14.已知函數(shù)/(x)Tsin2x|+l,將/(x)的圖象向左平移§個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象,

「9兀一

若關(guān)于龍的方程g(x)=a(aeR)在0,—上有5個實數(shù)根，，退，x4,

|_oJ

x5(%1<x2<x3<x4<x5),則X］+2(x2+x3+x4)+x5=.

【正確答案】5兀

【分析】首先根據(jù)函數(shù)的平移規(guī)則得到g(x)的解析式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合g(x)的對稱性計算可

得.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=bin2x|+l,將/(x)的圖象向左平移［個單位長度得到

g(x)=sin2+^+1=|cos2x|+l,

函數(shù)了=cos2x的對稱軸為x=左eZ,對稱中心為+keZ,且y=cos2x為偶函

數(shù)，

又函數(shù)歹=|cos2乂的圖象是由y=cos2x的圖象將x軸下方的部分關(guān)于x軸對稱上去,x軸及x軸

上方部分保持不變而得到,

所以歹二|cos2x|的對稱軸為X=◎■，左GZ,

114

又g(x)=|cos2x|+1的圖象是將y=|cos2x|的圖象向上平移一個單位得到,

所以g(x)的圖象如下所示:

97r

因為關(guān)于龍的方程g(x)=a(aeR)在0,—上有5個實數(shù)根,

O

即V=。與歹=g(x)在xe0,—上有5個交點,

O

g（O）=2,所以*+1＜。＜2,

令y=a與>=g(x)交點的橫坐標從小到大依次為x1,x2,x3,x4,x5,

兀71371

則再,％2關(guān)于％=I對稱，%2，％3關(guān)于X=,對稱，、3，、4關(guān)于％=I對稱，%4，%5關(guān)于％=兀對稱，

所以占+々=>+￡=…3+Z吟川+“2兀,

所以再+2（X2+X3+X4）+X5

兀3兀

=（X]+工2）+（》2+工3）+（》3+》4）+（》4+X5）='+兀"'———F2兀=5兀

故答案為.5兀

方法點睛：函數(shù)零點問題，將函數(shù)零點問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點問題，將代數(shù)

問題幾何化，借助圖象分析，簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)

函數(shù)，幕函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉

及零點之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進行解決.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知向量61,02滿足同=1,卜=6，,與02的夾角為

（1）求q?%；

（2）a=ex+le2,b=-3e）,求cos扇3的值;

（3）若［在1方向上的投影向量為〉求4（2eR）的最小值.

3

【正確答案】（1）--

2

【分析】（1）由向量的數(shù)量積的定義即可求解；

（2）利用向量的夾角公式求解即可；

（3）先求得投影向量，進而計算可求卜1-3（彳€1i）的最小值.

【小問1詳解】

因為同=1,同=6,,與02的夾角為g,

所_以q----二|e—",|e-2>1-cos757r=lxgI-x（---）=-3—；

【小問2詳解】

因a*b—+2?2）?（—3,）——3,—6^~-3—6x（—）—6,

Ia|=7(ei+2e2)2=l+4(-1)+4x3=V7

ex+4q+4e2

網(wǎng)=|一3切=3,

【小問3詳解】

___3

［在［方向上的投影向量為;：一1彩2.丁——2丁—11,

,一守—丁2一一羊

e2

所以卜,一c|=+；，2)2=\+Ae^e2+^e2=—?+［=^(2--1)，

當2=j時，一4(2eR)的最小值為當.

16.已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+26cos2》一6.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移生個單位，再將所得的圖象上各點的縱坐標縮短為原來的;

42

71711

倍，橫坐標不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，當xe,解不等式gG”,.

兀77r

【正確答案】(1)ku+—,——+kn(左eZ)

【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換化簡函數(shù)，再由正弦型函數(shù)的單調(diào)性求解即可；

(2)利用三角函數(shù)圖象的變換求出y=g(x)的解析式，再由正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)解不等式即

可.

【小問1詳解】

函數(shù)/(%)=2sinxcosx+2Mcos2x—G=sin2x+Gcos2x=2sin12x+三］,

7171371717兀

二.當2MlH—V2xH—V--F2左兀，左￡Z時，解得：kitHVx<----FkTt，keZ,

2321212

因此，函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間為E+SY+E(keZ).

【小問2詳解】

將函數(shù)N=/(x)的圖象向右平移,個單位，可得了=2sin12x—的圖象，

再將所得的圖象上各點的縱坐標縮短為原來的g倍，橫坐標不變，得到函數(shù)

7=g(^)=sin^2x-^的圖象，

由g(x)2—,即sin(2x|>—,得—F2ATI<2x<---F2kn,kEZ,

2V6J2666

JI兀7171

解得一+MlVxVF左兀，keZ令左二0可得

62o2

57171

令左=-1,可得--—

6I

「兀兀LL…7171

又XJ—，所以

L63j

jrjr|jrjr

即當xe--,j時，不等式g(x)2］的解集為—,y.

17.某地開發(fā)一片荒地，如圖，荒地的邊界是以C為圓心，半徑為1千米的圓周.已有兩條互相垂直

的道路OE,OF,分別與荒地的邊界有且僅有一個接觸點/,8.現(xiàn)規(guī)劃修建一條新路(由線段〃尸，

PQ,線段。N三段組成)，其中點M,N分別在OE,OF上,且使得QV所在直線分別與荒

地的邊界有且僅有一個接觸點尸，Q,而所對的圓心角為已.記/尸。=2。(道路寬度均忽略不計).

(1)求新路總長度/2)的解析式;

(2)求新路總長度的最小值.

4371兀兀

【正確答案】（1）/（，）=tan6+------------1=+——+—,其中。e

3tan0-y/336652

(2)千米.

【分析】（1）添加輔助線，分別解出性PQ,\QN\,解出/（。）即可;

（2）由基本不等式解出了（。）的最小值即可.

?：ZPCA=20,可得NMC尸=8,

ZNCQ=IZBCQ=g(2兀-NBCA-NACP-NPCQ)

”,

2兀4一2"：

2

\MP

在直角三角形MC尸中，則A~=tan。，所以卜tan。，PQ=-,

6

2兀?八

。tan-----tan",八，

\NQ\=tan(--0)=——三------=黑"右,

31+tan27ctan。Gtan"1

3

八兀tanO+g▲八46兀

f(—tan3H----1--j=-----------tan0-\---------------j=-\------1—,

6V3tan0-13tanO-y/336

7171

其中，則tan3>——.

6523

【小問2詳解】

426Ti

/⑹二tan。一--------------------+—

3tan0-yj336

（7/TA72h

N2tan?！?---------=+――i-y=2^/3+-^-,當且僅當tan。=*時取等號.

N3）3tan^-V3366

故新路總長度的最小值為26+四千米.

6

18.如圖1所示，在V4BC中，點。在線段3c上，滿足3①=麗,G是線段N3上的點，且滿足

3AG=2GB>線段CG與線段AD交于點。.

（1）^AD=xAB+yAC,求實數(shù)x,y的值;

(2)若=萬，求實數(shù)/的值;

(3)如圖2,過點。的直線與邊/8,/C分別交于點及尸，設荏=九益，萬=〃％,(4>0,〃>0),

求2+〃的最小值.

13

【正確答案】（1）x=-y=—

494

8

（2）t——

11

（3）8+46

11

【分析】(1)根據(jù)向量的線性運算以7瓦%為基底表示訪，進而求解；

(2)根據(jù)向量的線性運算以彳瓦衣為基底表示防，交，又因為兩向量共線所以具有倍數(shù)關(guān)系，求

出/的值；

(3)根據(jù)向量的線性運算以衣，萬為基底表示刀，又因為瓦。,廠三點共線，所以系數(shù)之和為1,

得出《y+”=l,然后應用基本不等式中1的代換求出2+〃的最小值.

11211〃

【小問1詳解】

因為3麗=麗所以麗=!屈，

4

所以詬=%+函=%+—赤=%+—(赤—正)=_赤+二正，

4444

,,13

所cr以x=：,y=：.

44

【小問2詳解】

__2____________________.2__?__?

由題意可知：GC=AC-AG=AC__AB=――AB+AC,

55

GO=AO-AG=tAD-AG=tAD--AB=t-AB+-Ac]--AB=(---)AB+—AC,

5(44J5454

又因為G,O,C三點共線，所以存在實數(shù)左使得G0=左沅，

t2—■3t——■2―■——?2k—■——■

(---M5+—AC=k(--AB+AC)=—AB+kAC,

[t22k[8

______—_______l—/___

所以|:5$，解得：\1I，

3tl,6

——kk——

〔4〔11

Q

所以/=x.

【小問3詳解】

易知4次=而=就,

Z4

由(2)知

—■3—■2--6—■21---