2025北京延慶高三一模

數(shù)學(xué)

2025.02

本試卷共6頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.

考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1已知集合A=,B={x|log3x<l}則"B=()

A.[0,3]B,[0,3)C.(0,3)D,(0,3]

a—2i

2.已知aeR,i為虛數(shù)單位，若----r為實(shí)數(shù)，則"=()

2+i

A.-1B.1C.-4D.4

3.已知向量a=(1,2),b=(A,-l),c-,若3+b)〃E,則X+()

A.-2B.-1C.OD.1

TT

4.某圓錐高為百，母線與底面所成的角為一，則該圓錐的表面積為()

3

A.3兀B.4兀C.5兀D.6TI

5.設(shè)x,yeR,且0<%<y<l,則()

1°、

A.x2>y2B.sinx>sinyc.4'>2yD.x+->y(2-y)

X

6.延慶媯水公園岸邊設(shè)有如圖所示的護(hù)欄，護(hù)欄與護(hù)欄之間用一條鐵鏈相連.數(shù)學(xué)中把這種兩端固定的一條

均勻，柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸鏈線.已知函數(shù)/(x)=g(e'+er)的部分圖

象與懸鏈線類似，則下列說法正確的是(

A.f(x)為奇函數(shù)B./(%)的最大值為1

C./(X)在(-00,+8)上單調(diào)遞增D.方程“X)=2有2個(gè)實(shí)數(shù)解

7.“4=；”是“直線y=d+2與拋物線丁=4%只有一個(gè)公共點(diǎn)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知圓C:（x—4）2+（y—3）2=1和兩點(diǎn)A（—根,0）,B（m,0）（田〉0）.若圓C上存點(diǎn)尸，使得NAPB

=90。，則機(jī)的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

9.已知等比數(shù)列｛4｝的公比為q,前w項(xiàng)和為S“.若&=-1,且V〃eN*，4+2>4則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

（）

A.a,<0B.0<q<1C.S?<-^―D.an+1>an

q-i

10.已知正方體A3CD-44G2的棱長為1，若在該正方體的棱上有點(diǎn)跖滿足|MB|+|MG|=JL則

點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.4C.6D.8

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.（犬一2）6的展開式中，/的系數(shù)為.

X

22

12.已知雙曲線二—二=1（?！?］〉0）的一條漸近線過點(diǎn)（-2,1）,則其離心率為.

a"b~

3

13.已知a是第四象限角且sina=—m，2sm/?—cos，=0,則tan（o-，）的值為.

14.數(shù)列｛%｝中,若存在久,使得“%2al且為2%+i”成立，（k>2,左eN*）則稱%為｛4｝的一

個(gè)峰值.若%=-31+11”，則｛4｝的峰值為；若—“，且｛4｝不存在峰值，則實(shí)數(shù)/

的取值范圍為.

15.己知函數(shù)/（x）=|ln|x—1|—日+2,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①三左<1,使得/（%）關(guān)于直線x=l對(duì)稱；

②m左>1,使得/（X）存在最小值；

③V左>1,/（%）在（L+8）上單調(diào)遞減；

④m上>1,使得f（x）有三個(gè)零點(diǎn)；

其中所有正確的結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A2CD是矩形，底面ABC。，且P￡>=AE>=2,E是PC

的中點(diǎn)，平面A8E與線段尸。交于點(diǎn)E

p

(1)求證：ABHFE-,

⑵若CF=小，求直線BE與平面BCF所成角的正弦值.

17.在VABC中，c=6,2/?COSA+2QCOS5=3Z?.

(1)求b；

(2)再從條件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使VA6C為銳角三角形，并求

NABC的面積.

條件①：a=4；條件②：A3邊上中線的長為g；條件③：sinB=sin2C.

注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.在北京延慶，源遠(yuǎn)流長的傳統(tǒng)大集文化依舊煥發(fā)著生機(jī).這是一種融合了傳統(tǒng)文化與飲食娛樂的民間活

動(dòng)，人們?cè)谶@里沉浸于這份樸素而直接的歡樂之中.2025年延慶大集的時(shí)間和地點(diǎn)信息匯總?cè)缦卤?，根?jù)

下表的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，回答以下問題.

時(shí)間

周一周二周三周四周五周六周日

地點(diǎn)

康莊鎮(zhèn)刁千營村VV

康莊鎮(zhèn)榆林堡村VV

康莊鎮(zhèn)小豐營村VV

延慶鎮(zhèn)付余屯村VV

延慶鎮(zhèn)東小河屯村VVVVVVV

香營鄉(xiāng)屈家窯村

舊縣鎮(zhèn)米糧屯村VV

舊縣鎮(zhèn)東羊坊村V

永寧鎮(zhèn)古城北街VVVVVVV

(1)若從周一和周四的大集中各隨機(jī)選一個(gè)大集，求恰好選的都是延慶鎮(zhèn)大集的概率；

(2)若從周六和周日的大集中隨機(jī)選3個(gè)大集，記X為選延慶鎮(zhèn)東小河屯村大集的次數(shù)，求X的分布列

及期望E(X)；

(3)從周一到周四這四天的大集中任選2個(gè)大集，設(shè)4為選永寧鎮(zhèn)古城北街大集的個(gè)數(shù)，從周五到周日這

三天的大集中任選2個(gè)大集，設(shè)V為選永寧鎮(zhèn)古城北街大集的個(gè)數(shù)，比較隨機(jī)變量J和隨機(jī)變量〃的數(shù)學(xué)

期望的大小.(結(jié)論不要求證明)

19.已知橢圓石：=+4=1(?！?〉0)的左，右頂點(diǎn)分別為A,B,且|AB|=4,離心率為

a"b~2

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線x=4與x軸交于點(diǎn)Q,點(diǎn)P是直線x=4上不同于點(diǎn)。的一點(diǎn)，直線與橢圓E交于點(diǎn)

直線AM與直線x=4交于點(diǎn)N,判斷是否存在點(diǎn)P,使得NZ4N=/QMN?若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

若不存在，說明理由.

2x

20.已知函數(shù)/(九)=一e-—+(1-a)ex+ax.

⑴若a=l,求/(x)在(1]⑴)處的切線方程；

(2)若。<—1,求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若。<一1,且"叫=/'(〃)=0(m<“)，證明：f(ni)+f(n)>3.

21.數(shù)字1,2,3,…，”(論2)的任意一個(gè)排列記作(q,%,...,4),設(shè)5“為所有這樣的排列構(gòu)成的集合.集合

4={(q,g，任意整數(shù)i,j.l<i<j<n,都有at-i<%—/},集合Bn={(qS?|

任意整數(shù)i,j,l<z<J<n,都有q.+i<aj+j]

(1)用列舉法表示集合A，名；

(2)求集合4里的元素個(gè)數(shù)；

(3)記集合紇的元素個(gè)數(shù)為4，證明：數(shù)列他“}是等比數(shù)列.

參考答案

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.【答案】A

【分析】先解對(duì)數(shù)函數(shù)不等式化簡集合3,然后利用并集運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?={x|log3x<l}={x[0<x<3},

又4={%|0<%<3},所以AB={x|0<x<3}=[0,3].

故選:A

2.【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的相關(guān)概念得解.

a—2i（a—2i）（2—i）（2a—2）—（a+4）i2a—2a+4

【詳解】因?yàn)閕為實(shí)數(shù),

2+i—（2+i）（2-i）-5—55

a+4

所以'一=0,解得a=T,

故選：C

3.【答案】B

【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得解即可.

【詳解】因?yàn)閍=(1,2),6=(九—1),

所以a+Z?=(l+4l),

因?yàn)?a+6)〃d,

所以—(1+丸)一M=0,解得X+M=—1,

故選:B

4.【答案】A

【分析】求出該圓錐底面圓的半徑為廣，再利用勾股定理求出母線長，代入表面積公式求解即可.

石?

JTy—k—1

【詳解】由圓錐高為出，母線與底面所成的角為一，得圓錐底面圓半徑一充一，

3tan—

3

母線1=了+(6)2=2,所以圓錐的表面積S=兀/2+71n=3兀.

故選：A

5.【答案】D

【分析】特殊值法分別判斷A,B,C,再結(jié)合基本不等式計(jì)算判D.

【詳解】因?yàn)?<%vy<l,

1111

對(duì)于A：取元=—,y=—,所以天9――<y9——>A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3294

對(duì)于B：取x=B，y=工，所以sinx=L<siny=42,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

6422

對(duì)于C：x=―^y=—,所以4工_<2)'—22，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D,x+—>2.XX—=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l取等號(hào)，所以％+工>2,

xVxx

因?yàn)閥>0,2—y>0,所以y(2—1+(；村=1,當(dāng)且僅當(dāng)y=l取等號(hào)，所以y(2—y)<L

所以—>y(2—y),D選項(xiàng)正確.

x

故選：D.

6.【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定最值，即

可判斷ABC；對(duì)D解出］=2±6，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可判斷.

【詳解】對(duì)A,/⑴定義域?yàn)镽,x)=；e+er)=/(x),則/(x)為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；

對(duì)BC,又???/'(x)=；(ex—e-￡),根據(jù)y=e',y=—在R上均單調(diào)遞增，

則在尸(x)在R上單調(diào)遞增，且((0)=0,

則當(dāng)x>0時(shí)，則/'(x)>0,當(dāng)x<0時(shí)，則/'(x)<0,

.?./(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),故C錯(cuò)誤；

則/(x)N/(O)=l,即/(幻的最小值為1,B錯(cuò)誤；

對(duì)D,令，f(%)=2,—(eT+e-1)=2,.,.e*+e-1=elH----=4,eA=2+-\/3，

2e”

再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知方程/(x)=2有2個(gè)實(shí)數(shù)根，故D正確.

故選：D

7.【答案】A

【分析】求出直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)的等價(jià)條件結(jié)合充分條件和必要條件的定義，即可得出結(jié)論.

【詳解】由得左—4(左一l)x+4=0,

因?yàn)橹本€y=kx+2與拋物線/=4%只有一個(gè)公共點(diǎn),

所以當(dāng)左=0時(shí)，交點(diǎn)為（1,2）只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)上wO時(shí)，A=[—4（左一1）]—4義左2義4=0,.,.左=g,

所以直線y=Ax+2與拋物線y2=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)的充要條件是左=o或4=

所以4=；”能推出“直線y=H+2與拋物線丁=4%只有一個(gè)公共點(diǎn)，

直線y=H+2與拋物線y2=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)不能推出4=1,

“4=；”是“直線y=H+2與拋物線V=4%只有一個(gè)公共點(diǎn)”的充分而不必要條件，

故選:A

8.【答案】C

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為以A3為直徑的圓。與圓C有公共點(diǎn)的問題來列不等式，解不等式求得加點(diǎn)的取值

范圍，由此求得機(jī)的最大值.

【詳解】以A3為直徑的圓。的方程為必+;/=根2,圓心為原點(diǎn)，半徑為6=加.

圓C:（x—4+（y—3）2=1的圓心為（4,3）,半徑為r2=l.

要使圓C上存在點(diǎn)P,使得NAPfi=90°,則圓。與圓。有公共點(diǎn)，

所以卜一目4|00區(qū)卜+3，HP|m-1|<A/42+32<|/n+1|，

|m-l|<5

所以<|加+1,5,解得4WmW6,

m>0

所以加的最大值為6.

故選：C

9.【答案】C

【分析】對(duì)于B：根據(jù)通項(xiàng)公式可得4"7（42-1）<0恒成立，進(jìn)而可得0<q<l；對(duì)于A：利用B項(xiàng)結(jié)論

直接判斷；對(duì)于C：根據(jù)等比數(shù)列求和公式分析判斷；對(duì)于D：通過通項(xiàng)作差比較即可判斷；

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)镾]=%=-1,且〉4對(duì)恒成立，

則6?0申>%嗎吁1,整理可得/I（/一1）<0恒成立，

q>0

則<2,故B正確；

q-1<0

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椤?=區(qū)切=-9<0，故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)c：因?yàn)閟=q0-q

"\-qq-l

由?！聪?lt;1B項(xiàng)已得，。<夕<1,則0<9〃<1,0<1—夕〃<1,而4一1<0,

1一/1

則s〃=T->-故C錯(cuò)誤；

q-1q-1

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?+1—%=—q"+q"T=/T(i—q)>。，即%.>%,故D正確.

故選：C.

10.【答案】C

【分析】結(jié)合點(diǎn)M在正方體的棱上，可分點(diǎn)M在棱和棱G2上，在棱BB1,棱5C,棱CC「棱

2cl上兩類討論即可

【詳解】因?yàn)閨49+困。=2>6,所以點(diǎn)〃不在棱4片，棱上，

所以當(dāng)點(diǎn)M在棱8片上時(shí)，設(shè)|MB|=九，連"G，

在△MBC］中，眼￡|=百一%，由余弦定理可得，［MC］「"人歷『+忸忸G|cosNMBC］,

即(6-x)2=X2+V22-20XCOS卷,可解得1M=曰把<1，

所以在棱8片上存在滿足題意的一個(gè)點(diǎn)M-,

由對(duì)稱性可知在棱5C,棱CG，棱4G上各存在一個(gè)點(diǎn)M；

因?yàn)殚|+四。］|=百+1>百，所以點(diǎn)M不在平面期DQ內(nèi).

所以當(dāng)點(diǎn)M在棱G2上時(shí)，設(shè)|MCj=x,連MB,

在直角三角形△血水；中，—x,

所以|MB「=|MG「+忸G「，即(百一幻2=犬+夜2,可解得MG|=￡<I,

所以在棱￡2上存在滿足題意的一個(gè)點(diǎn)M；

由對(duì)稱性可知在棱AB上也存在一個(gè)點(diǎn)M；

綜上可知滿足題意的點(diǎn)M共6個(gè).

故選：C.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.【答案】60

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式4+]求解即可.

2r123

【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式：Tr+}=q(xf=(-2)qx-\

令12—3r=6,解得r=2,

所以可得第三項(xiàng)中%6的系數(shù)是(-2)2cf=4x15=60.

故答案為：60

12.【答案】縣

2

2

【分析】將點(diǎn)代入漸近線方程得b勺=上1，結(jié)合離心率公式即可得解.

a24

22

【詳解】由題意雙曲線漸近線方程為=-5=0(。>0/>0),它過點(diǎn)(-2,1),

ab

所以1一占=°，即所以其離心率為e=￡=j咳*=J1+"=、福=好.

?b-a-4a\a2\a2\42

故答案為：出J?.

2

13.【答案】—2

31

【分析】由已知求得tana=-1,tan/?=2,再根據(jù)兩角差的正切公式計(jì)算即可.

343

【詳解】因?yàn)椤Ｊ堑谒南笙藿乔襰in。二一一,所以cosa=—,tana=-一,

554

因?yàn)?sin/—cos/=。，所以tan尸二g,

31

tana-tan/?

貝ijtan(1_/?)=

1+tan6Ztan0

故答案為：-2.

1

14?【答案】①.10②.—00,--------

In2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合數(shù)列峰值的定義即可求出數(shù)列的峰值；構(gòu)造函數(shù)

=%lnx—>1),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合數(shù)列峰值的定義即可得解.

【詳解】由4=—3〃2+11〃,

函數(shù)y=-3x2+1lx的對(duì)稱軸為%二

又q=8,%=10，

所以的〈為〉。3>。4〉〉4，

所以｛可｝的峰值為%=1°；

若?！?〃!1”一〃，則a1=-1,。2=/1112-2,

令/(%)=rlnx-x,(x>l),則/,(x)=--1=-~-,(%>1),

XX

當(dāng)心1時(shí)，f(x)<o,所以函數(shù)“力在［l,w)上單調(diào)遞減，

則數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，符合題意；

當(dāng).>1時(shí)，4/，(x)>0,則lWx<f,令廣(x)<0,則%>/,

所以函數(shù)/(%)在［1J)上單調(diào)遞增，在&+8)上單調(diào)遞減，

要使數(shù)列｛4｝不存在峰值，

故答案為：io；［——nJ，

15.【答案】①③④

【分析】賦值法判斷①；數(shù)形結(jié)合判斷②④；利用導(dǎo)函數(shù)判斷③,

【詳解】取左=0,得/(x)=|ln|x—1|+2,

因?yàn)橛?2—x)=|ln|2—%—l||+2=|ln|l—x||+2=y(x),

所以三人<1,使得/(x)關(guān)于直線x=l對(duì)稱；故①對(duì)；

由/(%)=|ln|x-l||-fof+2,

In(x-l)-Ax+2,x>2

所以/00=阿犬_1|_"+2=<

—In(x—1)—kx+2,1<x<2

若k>l,

當(dāng)力22時(shí),令/(x)=ln(x—l)—Ax+2,則/(%)=」——k,

令/?)=」一—k,則〃(x)=-［、2<0,

x-l(%—1)

所以/'(X)=」一一左在［2,+8)單調(diào)遞減，所以;■，(％)=」一—k<f\2)=l-k<0,

X~1X~1

所以/(X)在［2,+8)單調(diào)遞減，

當(dāng)1<%<2時(shí)，令=—底+2,則/(%)=——-——k<0,

X-1

所以/(X)在(1,2)單調(diào)遞減，

所以Vk>1,/(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減，故V左>1,/(幻不存在最小值，故②錯(cuò)，③對(duì),

若k>l,則當(dāng)函數(shù)〃(尤)=阿%—與直線丁=爪一2的圖象相切時(shí)，

設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為％,此時(shí)/7(x)=Tn(l-x),則〃(尤)=」—,

J_=k

得到方程組|1一%)，化簡得111左=左一3,易得左e(4,5),

-In(1-)=kx°—2

則此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，圖象見下圖，

當(dāng)上>1時(shí)，只需將上圖相切時(shí)的直線向左偏一點(diǎn)，圖象如下圖所示,

則兩函數(shù)會(huì)出現(xiàn)三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)，如下圖所示,

N

尸g-l||

AI

O^2x

x=l

-2

故④對(duì),

故答案為：①③④

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題我們常將其轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，其次就是

相切的臨界狀態(tài)將是零點(diǎn)變化得關(guān)鍵位置.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.【答案】（1）證明見解析

⑵騫

【分析】（1）由線面平行的判定與性質(zhì)定理得證;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【小問1詳解】

在矩形ABCD中，AB//DC,

又平面。CP,DCu平面。CP,

所以46〃平面。CP,

又因?yàn)锳Bu平面ABE,且平面ABEc平面。CP=￡E,

所以AB〃FE.

【小問2詳解】

由（1）可知尸E〃DC,

又因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以E是PZ）的中點(diǎn)，

因?yàn)镃F=6，即=非,故CD=2.

因?yàn)镻D,平面ABCD,OCu平面ABCD,

所以

又在正方形ABCD中，AD±CD,

所以。尸兩兩垂直.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

Z1

則B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),￡(0,1,D,F(0,0,l).

所以BE=(—2,—1,1),BE=(-2,-2,l),BC=(-2,0,0),

設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).

BFn=0f-2x-2y+z=0

由，得cc，

BC-n=0_2x=0

令y=l,得〃=(0,l,2),

設(shè)直線BE與平面BCF所成角為。，

IIBEn\iJ30

貝(Isin0=cosBE,n\=----；一-=——產(chǎn)=----.

11BE\\n\76X7530

故直線BE與平面BCF所成角的正弦值為叵.

30

17.【答案】(1)6=4(2)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換，即可求解；

(2)若選擇①②，應(yīng)用余弦定理結(jié)合銳角三角形，即可判斷；若選擇③應(yīng)用余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)

系，以及三角形面積公式即可求解.

【小問1詳解】

在VABC中，因?yàn)?，?-^=—

sinAsinBsinC

再由2bcosA+2acosB=3b

可得2sinAcos5+2sinBcosA=3sinB.

所以2sin(A+=3sinB,即2sinC=3sinB,

所以2c=36.

因?yàn)椤?6,所以6=4.

【小問2詳解】

選擇條件①：。=4,b=4,c=6,

由余弦定理得cosC=16+16-36cef^,7r1

2x4x48[2)

因?yàn)閂A5c為銳角三角形，所以不符合題意，不存在三角形;

選擇條件②：在ABC中，設(shè)點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，則CD=J萬，AD=3,

ACD中，根據(jù)余弦定理17=16+9—2x3x4xcosA

角軍得cosA=J，所以a?=沙2+。2—2cbx工=16+36—2義4義6義工=36,所以。=6,

333

因?yàn)閏=a=6/=4,所以VA5C為銳角三角形，

所以sinA=A/1-COS2A=其2,

3

在VABC中，S-—/jcsinA=—x4x6x-8^/2.

ABKCr223

選擇條件③：在VA5c中，VA5c為銳角三角形,

因?yàn)閟inB=sin2C，所以sinB=2sinCbosC,

所以〃=2ccosC,b=4,c=6,所以cosC='

3

1810

所以片9=。92+9/—2/^—,所以36=16+/9——。，解得〃=6或〃=——舍.

333

所以。=。=61=4,所以VA6C為銳角三角形,

所以sinC=Jl-cos2c=2。一，

3

在VABC中，S=-^sinC=-x6x4x^^=8V2.

ABC223

18.【答案】（1）-

8

（2）分布列見解析，-

7

（3）E（+>ES）.

【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得解；

（2）求出隨機(jī)變量的概率，列出分布列，求期望即可；

（3）分別計(jì)算兩個(gè)隨機(jī)變量的期望，即可得解.

【小問1詳解】

記“周一和周四的大集中各隨機(jī)選一次大集，恰好選的都是延慶鎮(zhèn)大集”為事件4

由表可知，周一選一次大集，恰好選的是延慶鎮(zhèn)大集的概率為

周四選一次大集，恰好選的是延慶鎮(zhèn)大集的概率為

4

所以P（A）=，XL=L.

''248

【小問2詳解】

隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,

C°C310?

根據(jù)題意,P（X=0）=-^-=—=y,

2d

P（X=1）半c'c204。”=2）=號(hào)C2？c51

J357357

隨機(jī)變量X的分布列是:

X012

24j_

P

777

數(shù)學(xué)期望石（乂）=0*,+1><9+2><；=3.

【小問3詳解】

E8>ES）.

由題意，&可能取值為01,2,

「心。）嚕*「（1）=警端尸3）喑得

i^E^）=0x—+lx—+2x—=—

91919191

由題意，〃可能取值為0』,2,

n/Cs28Z八C'C'24C3

P（〃=0）=k?，P（〃=l）=k=?，nP/^=2）=—=—,

]JJ^"^11JJV_X||JJ

、c28,24c36

故￡（77）=Ox----l-lx----l-2x——=——,

55555511

所以EC）＞E（"）.

2

r

19.【答案】（1）—+y2=1

4

（2）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,6）或（4,-6）

【分析】（1）由題意得2a=4,工=3,再結(jié)合^=々2—02求出從而可求出橢圓石的標(biāo)準(zhǔn)方程;

a2

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P,使得NPAN=NQMN,則""MQ,設(shè)P（4,為）,兇（和％）,由左”=左眼結(jié)合

點(diǎn)/（%,%）在直線5P上，可求得%=1,再由/（占,%）在橢圓上可求出力,從而可求出為,進(jìn)而可求出

點(diǎn)P的坐標(biāo).

【小問1詳解】

’2。=4

由題意得，,』，解得a=2,c=A/3,

、a2

22

所以/=a-c=4-3=1,

2

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為±r+y2=1；

4

【小問2詳解】

假設(shè)存在點(diǎn)P,使得/PAN=ZQMN,則"〃,

所以％AP=，

設(shè)尸（4,%）,“（%1，%）,貝”AP=卷，。=X/，=乎，

O玉一4Z

所以曰=一:，直線第的方程為y=&（x—2）,

6國一42

因?yàn)辄c(diǎn)"（3,X）在直線3P上，所以％2）,

所以園揖一）,

6Xj-4

因?yàn)辄c(diǎn)P是直線x=4上不同于點(diǎn)。的一點(diǎn)，所以先/0,

1%,-2

所以廠",解得當(dāng)"

因?yàn)辄c(diǎn)M（3,X）在橢圓上，所以:+城=1,解得%=#或%=一日，

當(dāng)y當(dāng)時(shí)，%_2，得先=一6，

2/口

、省--zr

當(dāng)％=一-—時(shí)，%_2，得及）=6，

2/-E

所以存在點(diǎn)尸，使得NB4N=NQMN,點(diǎn)p的坐標(biāo)為（4,e）或（4,-J5"）

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定點(diǎn)問題，

第(2)問解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為左轉(zhuǎn)=左功，再結(jié)合直線8P的方程和橢圓方程可求得結(jié)果，考查數(shù)

學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題.

2

20.【答案】(1)y=(l-e)XH----C

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,ln(—a)),單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,0),(ln(-?),+a))

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可得解；

(2)求出導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)/'(%)=0得出方程的根，列表即可求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

(3)求出/(加)+/(八)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性求出函數(shù)最小值即可得證.

【小問1詳解】

由a=l,所以/(x)=_、+x,/'(x)=l_e2x

所以左=/'⑴=7,

2

又"1)=1一e萬，

所以曲線y=/(x)在(1,/⑴)處的切線方程為y—1--=(l-e2)(x-l),

乙)

即y=(l-e2)xH—e.

【小問2詳解】

由/(x)=ax+(l—。)6工—光-，定義域?yàn)镽，

/,(x)=G+(l-?)eA-e2r=(eA+a)(1-e)

令/'(x)=0得占=0或々=ln(-a)(a<-l).

因?yàn)閍<—1,所以—a>l.

所以%=ln(-a)>lnl=0,

列表：

X(-00,0)0(0,ln(-a))In(-tz)(ln(-tz),+oo)

r（x）—0+0—

/(x)遞減遞增遞減

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,ln(—a)),單調(diào)遞減區(qū)間為(—8,0),(ln(-fl),+oo)

【小問3詳解】

因?yàn)?'(x)=(e*+a)(l-e),

又a<-1,f'(m)=f\n)=Q(m<ri),

所以鏟,e"是方程d—(1—a)］。=0的兩個(gè)根.

e"+e〃=l—a

依題意,有《

e"?e〃=-a

所以e用+"=_〃，即m+〃=ln(-a),

2根2n

rnCHe

所以/(加)+/(〃)=am+(l-a^C------------FClYl+(l-6i)e--

2

2m2n

C+e

=加+〃)+(l—ae+e

)2

(em+en)2-2emen

=aln(—a)+(1—a)一

2

=aIn(—〃)+(!.一〃)—)+1“

2

12

令g(a)=〃ln(-Q)+e(l-Q)-a,則g，(Q)=ln(-a)+a_l,

4^h(a)=gf(a)=ln(-6?)+a-l,貝|/(a)=，+l.

因