專題04指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及塞函數(shù)

目錄

題型一：指數(shù)運算及指數(shù)函數(shù)

易錯點01對根式性質(zhì)理解不到位出錯

易錯點02忽略底數(shù)對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的影響

題型二對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)

易錯點03忽視對數(shù)式成立的條件而出錯

易錯點04判斷對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性忽略定義域

易錯點05利用換元法求值域遺忘范圍

題型三幕函數(shù)

易錯點06錯判基函數(shù)的性質(zhì)

題型一：指數(shù)運算及指數(shù)函數(shù)

易錯點01：對根式性質(zhì)理解不到位出錯

，易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三?全國?專題）下列說法正確的個數(shù)是（）

①49的平方根為7；②（婀③病=°；④正3）2-3）-

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)根式的運算，逐一判斷即可.

【詳解】49的平方根是±7,故①錯誤；

3（1V

（嫗）=4=〃，故②正確；

病=同，故③錯誤；

而可=3§，故④錯誤.

故選:A.

【易錯剖析】

本題容易混淆根式的性質(zhì)和分數(shù)指數(shù)塞的運算律而認為J/=a，長1=(-3)：成立而誤選C.

【避錯攻略】

1.根式的概念

一般地，如果無"=a,那么x叫做。的〃次方根，其中〃>1,且〃eN*.

(1)當(dāng)〃是奇數(shù)時,正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的九次方根是一個負數(shù),這時,。的〃次方根用符號標

表示.

(2)當(dāng)“是偶數(shù)時，正數(shù)。的〃次方根有兩個，記為土布，負數(shù)沒有偶次方根.

(3)0的任何次方根都是0,記作而=0.

式子而叫做根式，其中〃(">1,且〃627*)叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).

2.根式的性質(zhì)

根據(jù)“次方根的意義，可以得到：

(1)(而)"=a.(2)當(dāng)"是奇數(shù)時,"=山當(dāng)"是偶數(shù)時?二:=["'""：

v{-a,a<0

3.分數(shù)指數(shù)幕的意義

m__

正分數(shù)指數(shù)塞規(guī)定〃〃=y/a^^>0,且〃>1）

m]

分數(shù)指數(shù)累規(guī)定〃n=~^（〃>0,加,幾￡!^*,且〃>1）

負分數(shù)指數(shù)幕

an

0的分數(shù)指數(shù)幕0的正分數(shù)指數(shù)早等于0,0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義

易錯提醒：(1)處理根式問題一定要注意分析根指數(shù)的奇偶性，因為根指數(shù)奇偶性的不同，被開方數(shù)的取值

范圍不同，如(標)"中當(dāng)〃為奇數(shù)時,為偶數(shù)時,a.0,另外根式的化簡結(jié)果也不同；

m

—72

⑵分數(shù)指數(shù)累?！ㄖ械囊徊荒茈S便約分，要注意底數(shù)取值范圍的改變.

m

舉一反三

1.(2024?河南?三模)若atO,6eR,則化簡2幅3+(6了+病的結(jié)果是()

A.3+a+Z?B.3+a+回

C.2+a+〃D.2+a+MI

2.(2025高一?全國?課后作業(yè))。(3—2)=()

A.3—7tB.7i—3

C.|3-7i|D.當(dāng)〃為奇數(shù)時，3-71；當(dāng)”為偶數(shù)時，71-3

3.（24-25高一上?黑龍江大慶?期中）下列根式與分數(shù)指數(shù)幕的互化正確的是（）

A?-yfx=(-X)，

-11

C.13=(x>0)

易錯題通關(guān)

1.（23-24高一上?北京延慶?期末）#(-2)4的值為()

A.±2B.±4C.2D.4

1

2.（23-24高三上?山東濰坊?期中）將療寫成分數(shù)指數(shù)幕的形式為)

7a

447_7

A,7BD.

a-QC.a4a*

3.（23-24高一上?廣東佛山?階段練習(xí)）下列運算結(jié)果中正確的是（)

A.anB.(-=Q6

D.

a12

4.（23-24高三上?廣東中山?階段練習(xí)）設(shè)。＞0,將1〒表示成指數(shù)嘉的形式，其結(jié)果是（）

y/ayja3

73

B.i

A?〃2aC.a6D,標

5.（24-25高三上?江蘇鹽城?開學(xué)考試）（多選）下列選項中正確的有（）

A.府=。B.若aeR,貝!]一“+1）=1

______4

為=匠

C.#尤4+y3=x3+yD.

6.（24-25高三上?寧夏銀川?階段練習(xí)）（多選）下列運算正確的是（）

236

A.B.(a)=a

C.log43=21og23D.Ig54-lg2=log25

7.（24-25高三上?海南?？?階段練習(xí)）（多選）若代數(shù)式G萬+忘二I有意義，則

4-2x+l+&X_2）4=.

8.（2023高三?全國?專題練習(xí)）（多選）?_2），+8（-3）4的值為

易錯點02：忽略底數(shù)對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的影響

易錯陷阱與避錯攻略

Q

典例（2024?四川攀枝花?模擬預(yù)測）已知奇函數(shù)外）="+力1（。>071）在［-1』上的最大值為■!，則。=

（）

A.工或3B.l或2C.3D.2

32

【答案】A

【分析】根據(jù)奇偶性求得6,分類討論函數(shù)的單調(diào)性得出最大值，根據(jù)已知條件列方程求解即可.

【詳解】因為〃x）是奇函數(shù)，所以〃r）=—f（x）,所以/（—x）+/（x）=0.

BPa-x+bax+ax+b-ax^O,則（6+1乂,+才、）=0,解得6=—1,

經(jīng)檢驗6=T符合題意，所以〃耳="-/，

當(dāng)4>1時，0<-<1,

a

則函數(shù)y=優(yōu)在［T1］上單調(diào)遞增，y=在［一U］上單調(diào)遞減，

所以〃力="-「在［-1,1］上單調(diào)遞增，

Q

l

所以，/（X）max=f（l）=a-a=-f整理得34_8?！?=0，

解得。=3或。=-;（舍去），所以。=3；

當(dāng)Ovavl時，—>1,

a

貝IJ函數(shù)y="在［-1,1］上單調(diào)遞減,y=］在［-1,1］上單調(diào)遞增，

所以在［-1,1］上單調(diào)遞減,

Q

所以，/Wmax=/（-1）=整理得3a2+8。一3=0，

解得°或a=-3（舍去），所以4=；,

綜上，a=§或3.

故選：A.

【易錯剖析】

本題求解時容易忽略底數(shù)對指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響沒有對a進行討論而漏解.

【避錯攻略】

1指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)y=/（a〉O,且awl）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，底數(shù)。是一個大于0且不等

于1的常量，定義域是R.

【注意】學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的定義，注意一下幾點

（1）定義域為：R

（2）規(guī)定。＞0,且awl是因為：

①若a=l,則丁=優(yōu)三1（恒等于1）沒有研究價值；

②若。=0,則%＞0時，y=優(yōu)三0（恒等于0）,而當(dāng)xWO時，優(yōu)無意義；

③若a＜0,則中加為偶數(shù)，〃為奇數(shù)時，無意義.

④只有當(dāng)0＜a＜l或a＞l時，即a＞0,且awl,x可以是任意實數(shù).

2底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)的影響

（1）底數(shù)。與1的大小關(guān)系決定了指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)（。＞0且awl）圖象的“升”與“降”.

①當(dāng)。＞1時，指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的，且當(dāng)%＞0時，底數(shù)a的值越大，函數(shù)的圖象越“陡”，

說明其函數(shù)值增長的越快.

②當(dāng)0＜。＜1時，指數(shù)函數(shù)的圖象是“下降”的，且當(dāng)了＜0時，底數(shù)。的值越小，函數(shù)的圖象越

“陡”，說明其函數(shù)值減小的越快.

（2）底數(shù)。的大小決定了圖象相對位置的高低：不論是。＞1還是0＜。＜1,底數(shù)越大，在第一象

限內(nèi)的函數(shù)圖象越“靠上”.

在同一平面直角坐標系中，底數(shù)。的大小決定了圖象相對位置的高低；

在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即“底數(shù)大圖象高”；

在y軸左側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大，即“底數(shù)大圖象低”；

易錯提醒：當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)時，若應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，一定要討論底數(shù)與1的大小關(guān)系.

舉一反三

1.（23-24高一上.湖南株洲?期末）若函數(shù)〃%）=優(yōu)（4>0且中1）在。1］上的最小值與最大值的和為3,則

函數(shù)y=2奴-1在［0」上的最大值是.

2.已知函數(shù)/（x）=a后（a>0且awl）在區(qū)間［2,3］上單調(diào)遞增，則。的取值范圍為（）

3.函數(shù)>=3-優(yōu)在區(qū)間卜I?上的最小值是_3,貝心的值是.

■易錯題通關(guān)

1.函數(shù)y=aX-2（a>0且&力1,一1<%<1）的值域是［一|,1］,則實數(shù)a=（）

A.3B.C.3或之

2.（23-24高三上.北京海淀?階段練習(xí)）已知a>0且分1,函數(shù)〃尤）=°""1若函數(shù)在區(qū)間

-x+a,x>l

［0,2］上的最大值比最小值大!?，則a的值為（）

A.彳1或2B.7；或2C.2或彳7D.1彳或7:

23222

一、、口，［（a-2）x+4a+l,x<2一人

3.（23-24高三上.安徽六安?階段練習(xí)）己知函數(shù)/（無）=：1c（。>0且"1）,若，⑴存在

［2a,x>2

最小值，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.嗎B.

C.uD.fo,1u（l,2）

5.（23-24高一上.黑龍江綏化?階段練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)f（x）="在［-1』上的最大值與最小值之差為2,則

實數(shù)。的值為（）

'三B.邑2近+3

D.72+1

2

6.（2024高三.全國.專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=a'（。>0且。司）在區(qū)間［-2,4］上的最大值是16,求實數(shù)

a的值；

7.（2024高三下.全國.專題練習(xí)）函數(shù)，（x）=/，+優(yōu)+1（a>o,且aHl）在［-U］上的最大值為13,求實

數(shù)a的值.

8.（21-22高一上.河北.階段練習(xí)）已知函數(shù)=且。41）.

（1）若"2）=；,求/（-2）的值；

（2）若〃x）在［-1,1］上的最大值為"求。的值.

9.（23-24高三上?甘肅蘭州?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃無）=/+尸、+機（優(yōu)-尸）（。>0且"1）.

⑴若利=2,求函數(shù)的最小值；

（2）若/（x）2-1恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

題型二對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)

易錯點03：忽略對數(shù)式成立的條件而出錯

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?山西太原?期中）已知函數(shù)〃x）=log“x（。>0,的圖象經(jīng)過點（2,-1）,則不等

式-1）的解集為.

【答案】圖

【分析】由題意建立方程，結(jié)合對數(shù)運算可得參數(shù)的值，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，建立不等式組，可得答案.

【詳解】由題意可得〃2）=log.2=—1,貝H=2,解得。=g,

由函數(shù)=10§1%在（。,+e）上單調(diào)遞減，

2

x>2x-l

則—可得x>0,解得

2x-l>0

故答案為：gj.

【易錯剖析】

x>0,

本題在求解過程中容易忽略對數(shù)式成立的條件，漏掉這一隱含條件而出錯.

[21>0

【避錯攻略】

1.對數(shù)的定義

一般地，如果優(yōu)=雙（?！?,且。工1）,那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log〃N,其中。叫

做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

2.常用對數(shù)與自然對數(shù)

通常我們將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),記為lgN.在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828...

底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并記為InN.

3.指數(shù)與對數(shù)的互化

當(dāng)。>0,aw1時，a、'=N=x=logflN.

4.對數(shù)的性質(zhì)

（1）logfl1=0；（2）logfla=l；（3）零和負數(shù)沒有對數(shù).

5.對數(shù)運算性質(zhì)

如果a>0,且awl,M>0,N>0,那么：

⑴logfl（M-N）=logflM+logflN；

M

（2）log—=logflM-logaN；

n

（3）logaM=nlogaM{ne7?）.

【注意】對數(shù)的這三條運算性質(zhì)，都要注意只有當(dāng)式子中所有的對數(shù)都有意義時，等式才成立.

易錯提醒：基于對數(shù)式log“N,其中對應(yīng)的參數(shù)各自有其成立的條件，分別為底數(shù)a>0且真數(shù)N>0,

在解決對數(shù)問題時，一定要充分考慮對應(yīng)的隱含條件或限制條件，避免出現(xiàn)遺漏或多解.

舉一反三

1.（24-25高一上?廣東廣州?期中）（1）已知log—），-7x+13）=0,求x的值；

2.（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）若log2（x+l）W0,則實數(shù)x的取值范圍是.

3.（24-25高三上?湖北武漢?期中）若P：log/a-l）<g,4：a2-2a-3<0,則P是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

,易錯題通關(guān)》

1.（2025?廣東?模擬預(yù)測）若Iog2%+logj=2,則病”=（）

A.3B.4C.9D.16

2.（24-25高三上?四川成都?階段練習(xí)）已知集合4={M（^尤VI},B=（x|0<x<4）,則A8=（）

A.{x|x<2}B.{x|無44}

C.{x[0<x44}D.1x|0<x<2}

3.（24-25高三上?內(nèi)蒙古赤峰?期中）已知。，6eR,Iga+lg（力）=1,則4a+6的最小值為（）

A.20B.472C.2.75D.4行

4.（2024.廣東廣州.模擬預(yù)測）若x,yeR,貝『2-2'>0”是“111（%7）>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（24-25高三上?四川綿陽?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)7（彳）=/,，則不等式/（2皿3力+八3-log3尤）<0的解集是

（）

A.B.,4C.（0,27）D.（27,y）

6.（24-25高三上?湖北?期中）若關(guān)于尤的函數(shù)〃x）=lg[log0（/+ax+2）]的定義域為R,則實數(shù)。的取值范

圍為（）

A.（O,1）U（1,2）B.（O,l）u（1,272）C.（1,2）D.（1,20）

2

7.（24-25高三上?上海閔行?期中）設(shè)0<a<1,若logfl（x+l）>10gli（3尤+5）,則實數(shù)x的取值范圍是.

8.（23-24高三下.上海.階段練習(xí)）方程坨（2-*）+聯(lián)3-*）=312的解是.

9.（24-25高三上?河南?期中）已知函數(shù)〃"=1。82]占-1）為奇函數(shù).

（1）求。的值；

（2）求滿足"X）<log?（x+2）-log點X的x的取值范圍.

易錯點04：判斷對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性忽略定義域

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?遼寧大連?期中）函數(shù)”x）=log3（d-4）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（0,+oo）B.（-oo,0）C.（2,+00）D.（-00,-2）

【答案】C

【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計算可得.

【詳解】函數(shù)〃x）=log3（d-4）,令f_4>0,即（x—2）（x+2）>0,解得x>2或x<-2,

所以的定義域為（-力「2）52,+功，

又y=log3X在定義域上單調(diào)遞增，y=Y-4在（2,+⑹上單調(diào)遞增，在（-口,-2）上單調(diào)遞減，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（2,e））.

故選：C

【易錯剖析】

本題求解時容易錯解中忽視了函數(shù)力力的定義域，因為單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，在解函

數(shù)問題時，一定要樹立“定義域優(yōu)先”的意識.

【避錯攻略】

1.復(fù)合型函數(shù)單調(diào)性規(guī)律

若函數(shù)y=/（M）在A內(nèi)單調(diào)，M=g（x）在8內(nèi)單調(diào)，且集合{〃/〃=g（x）,xe3}GA.

⑴若y=/（〃）是增函數(shù)，M=g（x）是增（減）函數(shù)，則y=/[g（x）]是增（減）函數(shù)

⑵若y=/1）是減函數(shù)，M=g（x）是增（減）函數(shù)，則y=/[g（x）]是減（增涵數(shù)

2.復(fù)合型函數(shù)單調(diào)性判斷步驟

第一步：求函數(shù)的定義域

第二步：令內(nèi)函數(shù)為M=g（x）,畫出其圖像，從而確定其函數(shù)的單調(diào)性

第三步：畫出外函數(shù)y=/（M）的圖象并確定其單調(diào)性

第四步：利用結(jié)論同增異減判斷.

易錯提醒：在處理對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時，一定要注意兩個易錯點：（1）注意分析對數(shù)底數(shù)對單調(diào)

性的影響；（2）樹立定義域優(yōu)先的思想.

舉一反三

1.（24-25高三上?寧夏石嘴山?階段練習(xí)）函數(shù)/（無）=lnx+ln（2-尤）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.D.（1,+co）

2.（24-25高三上?山東德州?期中）已知關(guān)于x的函數(shù)>=1°8［（爐+辦+。-1）在［-3,-2］上單調(diào)遞增，則實數(shù)。

2

的取值范圍是（）

A.a<4B.a<4

C.a<3D.a<3

3.（24-25高三上?江蘇泰州?期中）函數(shù)〃x）=ln（x2—8x+12）的單調(diào)遞增區(qū)間為.

易錯題通關(guān)

1.（24-25高三上?北京房山?期中）已知函數(shù)〃x）=ln［三）下列說法第誤的是（）

A./⑺的定義域為（-M）B./（x）的圖象關(guān)于.v軸對稱

C.〃x）的圖象關(guān)于原點對稱D./"）在（0,1）上單調(diào)遞增

2

2.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中）已知函數(shù)/（x）=log2（x-2ax）,aeR,貝甘241”是“函數(shù)/（x）在（1,+?）

上單調(diào)遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=l°g!（4-x）+log^x的單調(diào)增區(qū)間為（）

22

A.（2,4）B.（0,2）C.（2,+8）D.（一8,2）

4.（24-25高三上?江蘇常州?期中）己知函數(shù)/（x）=log.（2-or）（a>0,且awl）.3xe［l,2］,使得

成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.g"B._|』［（U］

C.（1,2］D.1,2

5.（2024?海南?模擬預(yù)測）已知a>0且"1,若函數(shù)="與g（x）=1鳴，+4辦+7）在［―1,y）上的單

調(diào)性相同，則。的取值范圍是（）

A.]o,gB.1,ljC.（1,2）D.（1,+s）

6.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)）（多選）關(guān)于函數(shù)〃x）=ln（e，+eT-2）,以下說法正確的是（）

A.為奇函數(shù)

B./（x）為偶函數(shù)

C./⑺在區(qū)間（0,+8）單調(diào)遞增

D.f（x）在區(qū)間（0,+e）單調(diào)遞減

7.（24-25高三上?天津南開?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃元）=上2（-/+依+15）在1,4上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的

取值范圍為.

8.（24-25高三上?河南?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=ln卜inx+cosx+30）.

⑴證明：〃尤）是周期函數(shù)；

（2）求外力的單調(diào)遞增區(qū)間.

9.（24-25高三上?寧夏銀川?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=log.（2—x）+log/x+4）（a>0,且awl）.

（1）若。>1,求函數(shù)〃尤）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)〃尤）的最小值為-g,求。的值.

易錯點05：求解指對復(fù)合函數(shù)值域忽略新元范圍

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?河南焦作?階段練習(xí)）若函數(shù)f（x）=l+lgx,則函數(shù)尸（x）=2[/⑹T㈤尤e4/0°的

值域為（）

A.[1,16]B.[1,8]C.[2,16]D.[1,16]

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)的單調(diào)性可得”x）e[0,3],再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】函數(shù)/5）=1+1改在[上,100]上單調(diào)遞增，

又(；)1+坨2=1-1=°，/(100)=l+lgl00=l+2=3,故”x)e[0,3],

令t=[/(x)]2-f(x2)="(尤)f-1-21gx=[/(x)]2-2/(x)+1=[/(x)-l]2e[0,4],

而函數(shù)y=2,在［0,4］上單調(diào)遞增，貝h42Y16,

所以函數(shù)尸(x)=2"(切5四的值域為［1,16］.

故選：D.

【易錯剖析】

本題在換元后容易因忽略新元的取值范圍而出錯.

【避錯攻略】

1.指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法

(1)形如y=于(/)(〃>0,且awl)的函數(shù)求值域

借助換元法：令優(yōu)二%,將求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求/⑺的值域，但要注意“新元廣的范圍

(2)形如y=(a>0,且aHl)的函數(shù)求值域

借助換元法：令〃=/(x),先求出〃=/(x)的值域，再利用y=的單調(diào)性求出y=的值域。

2.對數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法

(1)形如y=/(logax)(a>0,且a#l)的函數(shù)求值域

借助換元法：令log“x="先求出log.x=f的值域河，再利用y=/(f)在河上的單調(diào)性，再求出

y=的值域。

(2)形如y=loga/(X)(a>0,且awl)的函數(shù)的值域

借助換元法：令〃=/(%),先求出〃=/(X)的值域，再利用y=log〃〃的單調(diào)性求出y=log。/(%)

的值域。

易錯提醒：再用換元法求指數(shù)、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、最值問題時，一定要注意新元的范圍，以免因范

圍變大而出錯.

?舉一反三

W+4%+3

1.(24-25高三上?海南省直轄縣級單位?期中)已知函數(shù)y,則下列說法正確的是()

A.定義域為R

B.值域為（0,2]

C.在卜2,內(nèi)）上單調(diào)遞增

D.在[-2,+oo）上單調(diào)遞減

2.（2024?上海?模擬預(yù)測）函數(shù)〃尤）=1。82（2司」喉（8力的最小值為.

3.（22-23高一下.青海西寧.開學(xué)考試）若函數(shù)〃%）=4+.守+9月的值域為[°，+8），則a的取值范圍

是.

易錯題通關(guān).

1.（23-24高二下?浙江?期末）已知函數(shù)y=ln（/-3x+2）的定義域為集合A,值域為集合3,則金A=（

A.（y,l>（2,y）B.（一C.（1,2）D.[1,2]

2.（24-25高三上?山西?階段練習(xí)）已知,則函數(shù)〃尤）=的值域是（）

A.B.（0,3]C.D.[3,+co）

3.（2024.吉林長春.模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（無）單調(diào)遞增

B.函數(shù)值域為（0,2）

C.函數(shù)〃尤）的圖象關(guān)于（0,1）對稱

D.函數(shù)〃尤）的圖象關(guān)于（L1）對稱

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃力=2喋2彳-豌2（廠1）,的最小值是.

5.（23-24高一上?廣東茂名?期中）函數(shù)>=[坨（2，+1）[-4*2':+1）+6的值域是.

（[、J-/+2尤+3

6.（24-25高三上?重慶涪陵?開學(xué)考試）函數(shù)y=；的值域為.

7.（23-24高一上?浙江湖州?期末）設(shè)函數(shù)〃x）=（2e：l）,xe[0,^）,則函數(shù)〃尤）的值域是.

8.（23-24高三上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）當(dāng)xWl時，函數(shù)/（x）=4、-2.+2的值域為.

9.（24-25高三上?山西晉城?階段練習(xí)）已知函數(shù)/⑺滿足，（2x）Togz（4x2-8尤+〃?）.

2

⑴求“X）的解析式；

（2）若機=8,求外力的值域;

（3）討論〃%）的定義域.

題型三幕函數(shù)

易錯點06：錯判塞函數(shù)的性質(zhì)

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?海南海口?階段練習(xí)）已知幕函數(shù)〃x）=J（m,“eN*,加，〃互質(zhì)），下列關(guān)于/（元）

的結(jié)論正確的是（）

A.m,"是奇數(shù)時，塞函數(shù)/（x）是奇函數(shù)

B.7"是奇數(shù)，〃是偶數(shù)時，幕函數(shù)/（X）是偶函數(shù)

C.m是偶數(shù)，力是奇數(shù)時，塞函數(shù)Ax）是偶函數(shù)

D.0＜己＜1時，幕函數(shù)/（無）在（0,內(nèi)）上是增函數(shù)

m

【答案】ABD

【分析】對于ABC：根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合奇偶性的定義直接判斷即可；對于D：根據(jù)嘉函數(shù)的性質(zhì)直接

判斷即可.

【詳解】對于選項A：若叫"是奇數(shù)時，則/（同=丘，

此時f（x）的定義域為R,且=而彳=-而=〃x）,

所以嘉函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，故A正確；

對于選項B：若他是奇數(shù)，〃是偶數(shù)時，則〃尤）=獷，

此時Ax）的定義域為R,且/（-x）=而彳=正=〃x）,

所以幕函數(shù)/（元）是偶函數(shù)，故B正確；

對于選項C：機是偶數(shù)，”是奇數(shù)時，則/（尤）=丘，

此時了（尤）的定義域為［0,+8）,不關(guān)與原點對稱,

所以累函數(shù)f（x）不具有奇偶性，故C錯誤；

對于選項D：0＜二＜1時，由塞函數(shù)性質(zhì)可知：/（元）在（0,+電）上是增函數(shù)，故D正確；

m

故選：ABD.

【易錯剖析】

對于募函數(shù)/（x）=x-,整數(shù)機,“取不同的值，對塞函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、定義域以及圖像分布都有影響，

這一點在判斷用函數(shù)的性質(zhì)時是一個容易出錯的知識點,要在復(fù)習(xí)中高度重視..

【避錯攻略】

1.幕函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域

幕函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)＞=/叫做幕函數(shù)，其中X是自變量，。是常數(shù).

p_

解析式：y=/=x'

【注意】定義域：當(dāng)。為不同的數(shù)值時，募函數(shù)的定義域的不同情況如下：

1.如果。為負數(shù)，則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果〃為

偶數(shù)，則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；

2.如果同時“為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù).

當(dāng)x為不同的數(shù)值時，嘉函數(shù)的值域的不同情況如下：

1.在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù).

2.在x小于。時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù).

而只有。為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域.

由于x大于0是對a的任意取值都有意義的.

2.基函數(shù)的性質(zhì)

所有的幕函數(shù)在（0,+8）上都有各自的定義，并且圖象都過點（1,1）.

（1）當(dāng)。＞0時，塞函數(shù)y=/有下列性質(zhì)：

。、圖象都通過點（1,1）（0,0）；

b,在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨尤的增大而增大；

c、在第一象限內(nèi)，。＞1時，圖象開口向上；0＜。＜1時，圖象開口向右；

d、函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間［0,+8）上是增函數(shù).

（2）當(dāng)。＜0時，幕函數(shù)y=V有下列性質(zhì)：

。、圖象都通過點（1,1）;

氏在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，圖象開口向上；

C、在第一象限內(nèi)，當(dāng)無從右趨于原點時，圖象在y軸上方趨向于原點時，圖象在y軸右方無限逼近y軸，

當(dāng)無趨于+8時，圖象在x軸上方無限地逼近無軸.

（3）當(dāng)a=0時，幕函數(shù)y=/有下列性質(zhì)：

a、y=x°是直線y=l去掉一點（0,1）,它的圖象不是直線.

易錯提醒：|塞函數(shù)有關(guān)的問題，一定要注意哥指數(shù)對函數(shù)定義域的影響，這也是這類問題的高頻錯點，另

外還要注意平常說的指數(shù)符號對應(yīng)的單調(diào)性是相對第一象限而言.

舉一反三

1.（24-25高三上?江西宜春?階段練習(xí)）已知累函數(shù)〃可過點2,,若〃°+1）</（3-20，則實數(shù)°的

取值范圍是.

2.（2024?北京延慶?一模）已知函數(shù)/（x）=N（0<a<l）在區(qū)間（-1,0）上單調(diào)遞減，則a的一個取值為

____tn

3.（2025高三上?全國?專題練習(xí)）如圖所示是函數(shù)（辦〃eN*且互質(zhì)）的圖象，貝U（）

y-x

A.m,〃是奇數(shù)且竺<1B."是偶數(shù)，”是奇數(shù)，且‘<1

nn

c.機是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，且多>1D.m,“是偶數(shù)，且%>1

nn

易錯題通關(guān)

1.（24-25高三上?上海?期中）下列函數(shù)在區(qū)間（0,1）上為增函數(shù)的是（）

A.y=l°gMB.y=d-2x

3

C.y=y[xD.y=—

x

2.（24-25高三上?江蘇淮安?期中）已知幕函數(shù)〃%）二"2一一1卜2T的圖象與丁軸無交點，貝"的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2024?天津?模擬預(yù)測）下列圖象中，不可能成為函數(shù)〃切=丁+工的圖象的是（）

X

4.（2024.四川南充.二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則”元）的解析式可能是（）

士—±3-

A.y=X?B.y=y-1C.y—XD?y=x3

5.（23-24高一上.浙江?期中）塞函數(shù)〃尤）=/（品（”eN*）的大致圖像是（）

6.（24-25高三上?河北邢臺?階段練習(xí)）（多選）下列關(guān)于幕函數(shù)〃勸=尤1的說法正確的有（

A./（x）的定義域為RB./(x)的值域為(-8,0>(0,+8)

C.7(X)為偶函數(shù)D.不等式/(x)>l的解集為(0,1)

33

7.(23-24高一上?上海浦東新?期中)不等式(x+2尸<(5-2x尸的解集為.

19

8.(24-25高三上?甘肅白銀?階段練習(xí))已知幕函數(shù)/。)=32_3)鐘+"一2在(°，+8)上單調(diào)遞減，則。的值

為.

9.(2024高三.全國?專題練習(xí))己知函數(shù)〃彳卜一士加右曠)，且該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2,忘).

⑴確定m的值；

(2)求滿足條件f(2-a)>的實數(shù)a的取值范圍.

10.(22-23高二下?江蘇蘇州?階段練習(xí))已知幕函數(shù)〃X)=(3川-2加卜m(meR)在定義域上不單調(diào).

(1)試問：函數(shù)/'(x)是否具有奇偶性？請說明理由；

(2)若，求實數(shù)的取值范圍.

殼題04指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及塞函數(shù)

目錄

題型一：指數(shù)運算及指數(shù)函數(shù)

易錯點01對根式性質(zhì)理解不到位出錯

易錯點02忽略底數(shù)對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的影響

題型二對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)

易錯點03忽視對數(shù)式成立的條件而出錯

易錯點04判斷對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性忽略定義域

易錯點05利用換元法求值域遺忘范圍

題型三幕函數(shù)

易錯點05錯判幕函數(shù)的性質(zhì)

題型一：指數(shù)運算及指數(shù)函數(shù)

易錯點01：對根式性質(zhì)理解不到位出錯

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三?全國?專題）下列說法正確的個數(shù)是（）

①49的平方根為7；②的丫=a；③后=a；④，（一3『=（-3）；.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)根式的運算，逐一判斷即可.

【詳解】49的平方根是±7,故①錯誤；

（五）="=a,故②正確；

行=同，故③錯誤；

,------------1

y（-3）2=3弓,故④錯誤.

故選:A.

【易錯剖析】

本題容易混淆根式的性質(zhì)和分數(shù)指數(shù)塞的運算律而認為"=a,攻彳=（-3）1成立而誤選C.

【避錯攻略】

1.根式的概念

一般地，如果￡=a,那么x叫做。的〃次方根，其中”>1,且“eN*.

（1）當(dāng)〃是奇數(shù)時，正數(shù)的幾次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的〃次方根是一個負數(shù),這時,。的“次方根用符號布

表示.

（2）當(dāng)"是偶數(shù)時，正數(shù)。的〃次方根有兩個，記為土加，負數(shù)沒有偶次方根.

（3）0的任何次方根都是0,記作而=0.

式子G叫做根式，其中“5>1,且"eN*）叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).

2.根式的性質(zhì)

根據(jù)“次方根的意義，可以得到：

（1）而）"=a.⑵當(dāng)〃是奇數(shù)時，江=必當(dāng)”是偶數(shù)時，折

［一〃，〃<。

3.分數(shù)指數(shù)事的意義

m___

正分數(shù)指數(shù)塞規(guī)定a”=〃EN*,且

分數(shù)指數(shù)嘉

負分數(shù)指數(shù)幕規(guī)定。"=—(a>Q,m,n&K,JELZZ>1)

an

0的分數(shù)指數(shù)幕0的正分數(shù)指數(shù)累等于0,0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義

易錯提醒：（1）處理根式問題一定要注意分析根指數(shù)的奇偶性，因為根指數(shù)奇偶性的不同，被開方數(shù)的取值

范圍不同，如（孤）"中當(dāng)〃為奇數(shù)時,為偶數(shù)時,a.O,另外根式的化簡結(jié)果也不同；

—mF7_

⑶分數(shù)指數(shù)幕中的一不能隨便約分，要注意底數(shù)取值范圍的改變.

m

叁舉一反三

1.（2024.河南.三模）若a?0,6eR,則化簡2幅3+（6>+9的結(jié)果是（）

A.3+a+bB.3+a+|Z?|

C.2+a+bD.2+々+網(wǎng)

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)運算法則和對數(shù)運算法則化簡求值即可.

【詳解】由2晦3=3,（而『=〃，癥=例可知，

2%3+（6）2+后=3+0+瓦

故選：B

2.（2025高一?全國?課后作業(yè)）2（3-兀）"（〃eN,〃22）=（）

A.3-71B.7i-3

C.|3-7t|D.當(dāng)〃為奇數(shù)時，3-兀；當(dāng)〃為偶數(shù)時，n-3

【答案】D

【分析】當(dāng)“為奇數(shù)時，如3-兀）"=3-兀;當(dāng)〃為偶數(shù)時，.（3—五）"即可求解.

【詳解】當(dāng)"為奇數(shù)時，0（3-2"=3-兀;

當(dāng)〃為偶數(shù)時，乂（3—兀）"=|3—兀卜兀一3.

故選：D

3.（24-25高一上?黑龍江大慶?期中）下列根式與分數(shù)指數(shù)幕的互化正確的是（）

A，-y/x=(-x)5B.

-11

C.X3=五口>。)

【答案】C

【分析】根據(jù)分式與指數(shù)幕的互化逐項判斷可得答案.

【詳解】對于A選項：-?=-x5（xZ0），（-x）5="（xW0），故A錯誤;

對于B選項:療"=_y3(y<0)，故B錯誤;

11,八、

對于C選項:x§1=荻">°，故C正確;

X3

,291311

對于D選項:當(dāng)了<0時,4=（_￡^=（_力5,而當(dāng)X<0時，/=正沒有意義，故D錯誤.

故選：C

易錯題通關(guān)

1.（23-24高一上.北京延慶.期末）4-2）4的值為（）

A.±2B.±4C.2D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)根式的運算求得正確答案.

【詳解】痣可=卜2|=2.

故選：C

1

2.（23-24高三上.山東濰坊.期中）將療寫成分數(shù)指數(shù)塞的形式為（）

4477

A-a1