2025年高考數(shù)學全真模擬卷02

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.若（3+4i）z=5i,則彳=（）

43.c43.

A.-+-1B.——1

5555

^34.n34.

D.———1

5555

2.已知sin,+j

=-cos6^,則tan(7i_g)=()

口石V3

A.-V3rD.6

33

3.設加，”是兩條不同的直線，名方是兩個不同的平面，且ap=m,則是“〃，力”的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知圓%2+4〃zx—2〃)+〃z=0(〃zeR)與x軸相切，則〃1=()

A.1B.?；颍–.0^1D.1

5.某校為了解本校高一男生身高和體重的相關關系，在該校高一年級隨機抽取了7名男生，測量了他們的

身高和體重得下表:

身高X（單位：cm）167173175177178180181

體重y（單位：kg）90545964677276

由表格制作成如圖所示的散點圖:

y單位：on

10()

90

K0

70

60

50

40

30

20

10

q

由最小二乘法計算得到經(jīng)驗回歸直線4的方程為9=3+%,其相關系數(shù)為小經(jīng)過殘差分析，點（167,90）對

應殘差過大，把它去掉后，再用剩下的6組數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸直線，2的方程為9=為九+。2,相關系數(shù)為公

則下列選項正確的是（）

A.4<4，4>〃2”〈馬

B.4<偽,6<〃2，彳>G

C.4A%,可<出,司>馬

D.白>白,%>〃2，4<2

6.數(shù)列｛““｝對任意的〃￡N*有4+1=%+'4二；1）,成立,若％2=不，則的等于（）

A.1B.2C.3D.4

7.在三棱錐尸-ABC中，尸。=3直，其他棱長都是2君，則三棱錐尸-ABC外接球的表面積是（）

人20671nc八c20兀n”

A.-----B.20,5兀C.----D.20兀

33

8.在平面直角坐標系宜刀中，把到定點耳K（a,。）距離之積等于/（.>0）的點的軌跡稱為雙紐線.若

a=2,點網(wǎng)%,%）為雙紐線C上任意一點，則下列結論正確的個數(shù)是（）

①C關于x軸不對稱

②c關于y軸對稱

③直線y=無與c只有一個交點

④c上存在點尸，使得|P耳|=|正耳|

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知向量a,。滿足卜+2.=同，a-b+a2=QS.\a\=2,貝（）

A.仰=2B.a+b=0C.|?-2/?|=6D.a-b=4

10.已知直線尤=，是函數(shù)〃x）=sin（ox+5+o>0）圖象的一條對稱軸，則下列結論正確的是（）

A.。的最小值為62

B.兀不可能是〃x）的零點

C.若在區(qū)間\兀,無]上有且僅有2個對稱中心，則0=g

2

D.若〃尤）在區(qū)間（兀,2兀）上單調(diào)遞減，則

11.已知關于x的方程:|xe*T-l|=mx（x>0）有兩個正根網(wǎng),尤2（王<尤2），則下列說法正確的有（）

A.九2B.再+%2<2

C.x<—D.Inm+1<x<em+1

1m2

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分。

..2

12.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為b,c,已知cosC=],a=3,b=4,則cos3=.

13.為了將課堂所學的專業(yè)理論知識與實際生活相結合，提升學生的個人綜合素質，增強社會責任感和使

命感，某知名大學的校團委安排該校一個大學生志愿服務團體在暑假期間開展“環(huán)境保護”、“社區(qū)文化”、“便

民服務”、“法律援助”、“教育服務”、“公益慈善”六項社區(qū)服務活動，并對活動開展順序提出了如下要求，

重點活動“法律援助”必須排在前三位，且“便民服務”和“教育服務”兩項活動必須排在一起，則這六項活動完

成順序的不同安排方案種數(shù)是.（用數(shù)字作答）

22

14.已知乙、尸2分別為雙曲線鼻一2=1（。>0）>0）的左右焦點，過片的直線與雙曲線左支交于A,8兩點，

ab

且|州|=3忸周，以。為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點8,則雙曲線的離心率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

已知三棱柱中，AC=AAi=4,BC=2,ZACB=9Q°,1AQ

B\

(1)求證：平面AACG，平面A3c

⑵若N&4C=60。，且尸是AC的中點，求平面地尸和平面AACC的夾角的正弦值.

16.（15分）

已知數(shù)列｛%｝中,。用=2%-。.

⑴若%,。2，。3依次成等差數(shù)列，求4；

(2)若4=1,證明：數(shù)列卜為等比數(shù)列;

(3)若求｛%｝的前鼠項和S”.

17.(15分)

下表為某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示:

紅色外觀藍色外觀

棕色內(nèi)飾812

米色內(nèi)飾23

(1)若小明從這些模型中隨機抽一個模型，記事件A為小明取到的模型為紅色外觀，事件2為取到的模型是

米色內(nèi)飾，求尸(8),尸(網(wǎng)A),并據(jù)此判斷事件A3是否相互獨立.

(2)該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中抽兩個汽車模型.現(xiàn)做

出如下假設：

假設1.抽取的情況有三種可能，外觀和內(nèi)飾均同色、外觀和內(nèi)飾均異色、外觀和內(nèi)飾有一個同色；

假設2.一等獎為600元，二等獎為300元，三等獎為150元；

假設3.按抽到的結果的概率大小，概率越小，獎金越高.

請你幫該公司判斷哪種情況分別為一、二、三等獎.設獎金為X,寫出X的分布列，并求X的期望.

18.(17分)

已知函數(shù)/(/)=改_10%_1.

⑴求””的單調(diào)區(qū)間；

⑵若“X)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有最小值，求。的取值范圍；

(3)若關于x的方程〃司=。有兩個不同的解入,乙,求證：X,+X2>2.

19.(17分)

22歷

已知橢圓￡:1r+%=l(a>b>0)經(jīng)過點M1,丁，其右頂點為4,上頂點為耳，。為坐標原點，且離心率

為當

⑴設G在點”處的切線，，其斜率為左,0M的斜率為無，求左能的值；

(2)過G在第一象限的點A作橢圓G的切線，分別與X軸，y軸交于點4，不，且A為線段4坊的中點，記

以點。為中心，x軸，y軸為對稱軸，且過點4,當?shù)臋E圓為Q，依此類推，，L,過橢圓c“在第一象限的

點匕作橢圓c”的切線，分別與x軸，y軸交于點4+i，B.,且匕為線段4M紇M的中點，記以點。為中心，

x軸，y軸為對稱軸，且過點4+i，紇M的橢圓為c”+「由此得到一系列橢圓￡(2(3，,cn,cn+l.

(i)求C"的方程；

(ii)過點(1,0)作直線/與橢圓c-分別交于以,&,求證：黑+卜？二個+”.

22

(附：若以如為)為橢圓［+馬=1上一點，則橢圓在點T處的切線方程為：筆+笠=1)

abab

2025年高考數(shù)學全真模擬卷02

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.若（3+4i）z=5i,則彳=（）

43.3.

A.—+—1B—1

55-I5

=34.34.

C.-+—1D.---------1

5555

【答案】B

【分析】利用復數(shù)的除法求出Z,進而求出一

【詳解】由（3+4i）z=5i,得2=工5i-(3—4i)_20+15_43.

(3+4i)(3-4i)-25-551

所以-z=4#3i.

故選：B

2.已知sin（6>+/）=-cos6>,則tan（兀-8）=（）

A._小B.-3C.3D.百

33

【答案】D

【分析】利用正弦函數(shù)的和角公式與誘導公式即可得到結果.

【詳解】因為sin[e+P]=走sine+』cos6）=-cose,故tan6=-石，

故tan（兀-8）=-tan8=g.

故選:D.

3.設人幾是兩條不同的直線，①夕是兩個不同的平面，且。f3=m,貝『5_L4"是“的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

6/23

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由充分（必要）條件的判定，結合線面垂直的判定和性質判斷即可.

【詳解】由題，ap=m,則加u，，

若"，口，根據(jù)線面垂直的性質，則定有〃，機，故“八，，”是的充分條件；

當"_1_"時，”也可以在夕內(nèi)，故不一定有尸，

故“n±m(xù)"不是"〃，，，的必要條件，

故選：A.

4.已知圓x?+寸+4〃zx—2〃w+〃2=0（meR）與x軸相切，貝lj〃i=（）

A.1B.0或工C.0或1D.-

44

【答案】D

【分析】根據(jù)一般式得圓的標準式方程，即可根據(jù)相切得r=，5病-加=同求解.

【詳解】將公+9+4〃優(yōu)-2,學+m=O（meR）化為標準式為：（%+2加丫+（y-"?y=5〃/_

故圓心為（-2〃%m）半徑為r=^Si-rr-m，且機>（或機<0,

由于爐+;/+4〃a-2沖+”?=O（〃zeR）與x軸相切，故廠==|時,

解得加=1,或〃?=0（舍去），

故選：D

5.某校為了解本校高一男生身高和體重的相關關系，在該校高一年級隨機抽取了7名男生，測量了他們的

身高和體重得下表：

身高X（單位：cm）167173175177178180181

體重y（單位：kg）90545964677276

由表格制作成如圖所示的散點圖:

八F通位:cm

10()

H661681701721741761781801821單位，kg

7/23

由最小二乘法計算得到經(jīng)驗回歸直線4的方程為3=3+%,其相關系數(shù)為小經(jīng)過殘差分析，點(167,90)對

應殘差過大，把它去掉后，再用剩下的6組數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸直線4的方程為夕=打九+4,相關系數(shù)為公

則下列選項正確的是()

b[<仇，4>a2,r\<r2

<%,q<%,彳>弓

b1>b2,a{<a2,rx>r2

D.bx>a^rx<r2

【答案】A

【分析】根據(jù)(167,90)的特點判斷斜率和截距；由于去掉(167,90),其它點的線性關系更強，從而可判斷相

關系數(shù).

167+173+175+177+178+180+1811231”

【詳解】身高的平均數(shù)為-----------------------------------=-----?I/O,

因為離群點(167,90)的橫坐標167小于平均值176,縱坐標90相對過大，

所以去掉(167,90)后經(jīng)驗回歸直線的截距變小而斜率變大，故&<區(qū)，4>4,

去掉(167,90)后相關性更強，擬合效果也更好，且還是正相關，

故選：A.

6.數(shù)列%｝對任意的“eN*有%+1=%+1―/八八/成立,若知=一，則出等于()

n\ji+\j6

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【分析】變形給定的遞推公式，利用構造法，結合等差數(shù)列通項公式求解.

則an+x-^-=an--+\,數(shù)列｛a.-2｝是公差為1的等差數(shù)列，

〃+1nn

2273

于是62-二=凡-彳+1°，而陽所以“2=12-9=3。

1226

故選：C

7.在三棱錐P-ABC中，PC=3應,其他棱長都是2相，則三棱錐尸-ABC外接球的表面積是()

.20非it

A.------20國D.20K

3

【答案】D

8/23

【分析】如圖，利用線面垂直的判定定理可得尸平面ABC,進而跖=。0，,0尸=。召=1,結合勾股定

理和球的表面積公式計算即可求解.

【詳解】如圖，取棱A3的中點E,連接PE,CE,則且PE=CE,

設VABC外接圓的圓心為。，三棱錐尸-ABC外接球的球心為0,

連接OO',OP,OC,作OFLPE,垂足為尸.

由題意得PE=CE=3,O'E=1,O'C=2.

因為尸C=3a,所以PE?+CE?=PC?,所以PE_LCE.

又PE上AB,CEAB=E,CE、ABu平面ABC,

所以PEJL平面ABC,則EF=OO'=1,O尸=O'E=1.

設三棱錐尸一ABC外接球的半徑為R,貝！|我=（PE—OO,y+of2=qo,2+℃2,

2

即R=（3-oof+『=oo，i+22,解得&2=§,

故三棱錐尸-ABC外接球的表面積是4兀店=20兀.

故選：D

8.在平面直角坐標系宜為中，把到定點月（-。,。）,月（a,。）距離之積等于a2（a>0）的點的軌跡稱為雙紐線.若

。=2,點P（x。,%）為雙紐線C上任意一點，則下列結論正確的個數(shù)是（）

①C關于x軸不對稱

②c關于y軸對稱

③直線y=x與c只有一個交點

④c上存在點尸，使得|尸耳|=|尸耳|

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】用定義法把動點的軌跡方程求出來（Y+y2『=8（/一>2）,利用—x,一y代換，方程沒有變化，可知

雙紐線關于X軸，y軸，原點對稱，再利用它與y=x聯(lián)立方程組，解得只有一組解，可知③正確，再利用

原點到印工的距離正好是2,可知滿足題意，所以④正確，從而可以做出所有選項的判斷.

【詳解】①設M（x,y）到定點耳（-2,0）,F2（2,0）的距離之積為4,

可得"（x+2）2+/.7（x-2）2+y2=4,整理得（x2+/）2=8（x2-/）,

9/23

即曲線C的方程為，+力2=8代_y2）,

由X用T代換，方程沒變，可知曲線c關于y軸對稱，

由y用代換，方程沒變，可知曲線C關于X軸對稱，

由x用-X代換，y用-丫同時代換，方程沒變，可知曲線c關于原點對稱,

圖象如圖所示：

所以①不正確，②正確;

③聯(lián)立方程組，卜）=8卜--曠），可得》4=0,即尤=0,所以y=0,

y=x

所以直線y=x與曲線C只有一個交點0（0,0）,所以③正確.

④原點0（0,0）滿足曲線C的方程，即原點0在曲線C上，則|o耳|=|。閶,

即曲線C上存在點P與原點。重合時，滿足I尸耳1=1尸閶，所以④正確.

故選:C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知向量a,Z?滿足,+2,=同，a-b+a2=0且同=2,則（）

A.忖=2B.a+b=0C.卜-2.=6D.a-b=4

【答案】ABC

【分析】由卜+2.=同，得〃.〃+/?2=0,又〃./?+/=0且同=2,得仰=2,b=-4f可得

a

''誹A|=-1@訃!=R,有〃+人=0,卜-2*6,可判斷各選項.

【詳解】因為卜+24=同，所以,+2匕1=同2,即必+4〃./7+4。2=〃2,整理可得〃2+82=0,

再由〃./?+〃2=（），且同=2,可得〃2=。2=4，所以網(wǎng)=2,a-b=-49A選項正確，D選項錯誤;

“"〃，〃［加二T，即向量八》的夾角,，耳=兀，故向量。，人共線且方向相反，所以〃+b=0,B選

項正確；

10/23

\a-26卜J（a-2"=y/a2-4a-b+4b2=J4+16+16=6,C選項正確.

故選：ABC

10.已知直線尤是函數(shù)/（x）=si《8+1[（o>0）圖象的一條對稱軸，則下列結論正確的是（）

A.。的最小值為親2

B.兀不可能是的零點

C.若/（尤）在區(qū)間（:私無]上有且僅有2個對稱中心，則。

?

D.若“X）在區(qū)間（兀,2兀）上單調(diào)遞減，貝|o=g

【答案】ABD

【分析】根據(jù)對稱性可得。=*卡，左eZ,即可求解A,根據(jù)716y+]=m7C,meZ即可求解B,利用對稱性

與周期的關系可得手<n-亨V當即可求解C,利用單調(diào)性與周期的關系即可求解D.

444

【詳解】直線片當是函數(shù)圖象的一條對稱軸，則號。+￡=M+W/eZ,解得

4432

4<1A19^+70

°=2=「^，％eZ，又。>0,則0的最小值為:，故A正確；

假設兀是/（X）的零點，則兀。+1=5,mez,解得。=加一；=27，m?2,與。=笥^,ZeZ矛盾，

假設不成立，故B正確；

設函數(shù)〃x）的周期為7=^,直線x=，是函數(shù)圖象的一條對稱軸，/（x）在區(qū)間兀上有且僅有2個

對稱中心，

3T3兀，5T口口32兀兀，52兀M加,^12%+2627486

——<兀---<——,即-----<—<-----,解得6VGK10,又①=------，女zwZ,「.CO=---,----,----9故C錯

44446y44。9999

誤;

77r9

“X）在區(qū)間（兀,2兀）上單調(diào)遞減，貝!）必有2兀一兀4二，即0<O41,:.0=；,

2co9

此時/（尤）=sin[x+?！竈符合題意，故D正確.

故選：ACD

11.已知關于x的方程:|xe*T-l|=wx（x>0）有兩個正根國,尤2（再〈尤2），則下列說法正確的有（）

A.0<%<1<九2B.玉+%<2

11/23

C.玉<一D.Inm+1<x<em+1

m2

【答案】ACD

——e*T,0<x<l

【分析】把等式分離參數(shù)并構造函數(shù)g(x)=x,單調(diào)探討性，結合零點的意義判斷A；取值

e"-1--,%>1

X

判斷B；利用不等式的性質判斷C；利用不等式性質，結合對數(shù)函數(shù)性質，作差并利用導數(shù)確定正負判斷

D.

--ex-1,0<x<l

Q1”,,函數(shù)y=eTy=-工在(0,+功上遞增,

【詳解】對于A,m=C------

Xe」,Ml%

X

--ex-1,0<x<l

因此函數(shù)g(x)=“在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增，g(x)2g(D=0,

產(chǎn)」,尤21

X

王，工2是直線〉=加與函數(shù)'=8。)的兩個交點，則A正確;

2

對于B,取用=?2-；，g(x2)=rn=e=^(3),貝！|々=3,而

此時玉+%>2,B錯誤;

對于C,mxx<1,而m>0,因此王〈,，C正確;

m

X2lX2-1

對于D,rwc2=x2e~-1<x2e,貝jJln利+1口々<lnx2+x2-1,于是Inm+lv9,

X2

em+l-x2=e-—+l-x2,令函數(shù)力(無)=e，-￡+l-x,x>l,〃'(x)=e，+:一1>0,

工2XX

函數(shù)/z(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,h{x}>h(l)-0,因此em+lf>0,即e/n+l〉％,D正確.

故選：ACD

【點睛】關鍵點點睛：作差構造函數(shù)，利用導數(shù)探討單調(diào)性是判斷選項D的關鍵.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分。

2

12.ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知cosC=1,a=3,b=4,貝!Jcos/=

【答案】|

【分析】由余弦定理求解即可;

12/23

【詳解】由余弦定理8sC=y近可得品贊卜

解得c=3,

所以cosB1一+L*9+9-161

2ac2x3x3~9

故答案為：—.

13.為了將課堂所學的專業(yè)理論知識與實際生活相結合，提升學生的個人綜合素質，增強社會責任感和使

命感，某知名大學的校團委安排該校一個大學生志愿服務團體在暑假期間開展“環(huán)境保護”、“社區(qū)文化”、“便

民服務”、“法律援助”、“教育服務”、“公益慈善”六項社區(qū)服務活動，并對活動開展順序提出了如下要求，

重點活動“法律援助”必須排在前三位，且“便民服務”和“教育服務”兩項活動必須排在一起，則這六項活動完

成順序的不同安排方案種數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【答案】120

【分析】分別在“法律援助”排第一位，第二位，第三位時，結合捆綁法及分步乘法計數(shù)原理求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，由于活動“法律援助”必須排在前三位，分3種情況討論：

①“法律援助”排在第一位，活動“便民服務”和“教育服務”必須排在一起，

則活動“便民服務”和“教育服務”相鄰的位置有4個，考慮兩者的順序，有2種情況，

將剩下的3個活動全排列，安排在其他三個位置，有A；=6種安排方法，

則此時有4x2x6=48種安排方案；

②“法律援助”排在第二位，活動“便民服務”和“教育服務”必須排在一起，

則活動“便民服務”和“教育服務”相鄰的位置有3個，考慮兩者的順序，有2種情況,

將剩下的3個活動全排列，安排在其他三個位置，有A；=6種安排方法，

則此時有3x2x6=36種安排方案；

③“法律援助”排在第三位，活動“便民服務”和“教育服務”必須排在一起，

則活動“便民服務”和“教育服務”相鄰的位置有3個，考慮兩者的順序，有2種情況,

將剩下的3個活動全排列，安排在其他三個位置，有A；=6種安排方法，

則此時有3x2x6=36種安排方案；

故符合題意的安排方案有48+36+36=120種.

故答案為：120.

22

14■已知小工分別為雙曲線，方=1人。"。）的左右焦點，過片的直線與雙曲線左支交于48兩點，

且I曲|=3班I，以。為圓心，。后為半徑的圓經(jīng)過點8,則雙曲線的離心率為

【答案】巫

2

【分析】由以月月為直徑的圓經(jīng)過點8,可得/月3耳=90,結合雙曲線的性質和勾股定理，再結合離心率

13/23

公式，即可解答.

【詳解】

22

因為小尸2分別為雙曲線，-七=1（a>0力>0）的左右焦點，

過片的直線與雙曲線左支交于A,B兩點，

且|筋|二3忸媼，以。為圓心，OFZ為半徑的圓經(jīng)過點B,得/片5工=90,

設忸周=加，貝1]忸閭==3旬=3機+2〃,[43]=4機，

在RtA5Q中，由勾股定理得（2〃+M）2+?機產(chǎn)=（3機+2〃）2,解得機=〃，

則忸浦=Q,忸閭=3〃，

在Rt片5心中，由勾股定理得/+9/=4/,化簡得，5/=2〃，

所以c的離心率0=￡=坐.

a2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

已知三棱柱ABC-ABIG中，AC=AA1=4,BC=2,ZACB=9Q°,\B1AC,

（1）求證：平面AACG，平面ABC

⑵若4,AC=60。，且尸是AC的中點，求平面網(wǎng)尸和平面A&CG的夾角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

14/23

(2邛

【分析】(D作出輔助線，由菱形得到ACLAG,結合ABLAG得到線面垂直，進而得到AG，BC,結

合ACL3C得到線面垂直，從而證明出面面垂直；

(2)建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面的法向量，利用法向量求出面面角的余弦值，結合同

角三角函數(shù)關系得到正弦值.

【詳解】(1)在三棱柱A8C-A耳G中，四邊形AACG是平行四邊形，而AC=M，

則平行四邊形AACG是菱形，連接AC,

如圖，則有A。，AG，

因為AB_LAG，A]BcAC=A],4B，ACu平面ABC,

所以AG，平面ABC,而BCu平面ABC,則AG，8C,

由ZACB=90。，得ACLBC,又ACcAC|=A,AC,AQu平面AACq,

從而得2C_L平面AACC],又BCu平面ABC,所以平面AACC|_L平面45C；

(2)在平面AACG內(nèi)過C作CQLAC,

由(1)知平面AACG，平面ABC,平面AACGc平面ABC=AC,CQu平面AACQ

則C。，平面ABC,

以C為原點，以射線CAC3,CQ分別為x軸，y軸，z軸正半軸建立空間直角坐標系，

15/23

如圖，因為幺AC=60。，AC=AAI=4,

所以41c為等邊三角形，

又尸是AC的中點，則A/，AC,故AP=PC=2,

由勾股定理得4尸=JM-A產(chǎn)=2石,

又3c=2,

則C（0,0,0）,4（4,0,0）,3（0,2,0）,A（2,0,2港），P（2,0,0）,

則有四=（2,-2,2右），BP=（2,-2,0）.

一A,,r/、[n-BA.=2x-2y+2y/3z=Q,fy=x

設平面BA尸的一個法向量〃=x,y,z）,則有，解得：fn

nBP=2x-2y=01z=0

令x=l得〃=(U,0),而平面AACG的一個法向量加=(0」,0),

依題意，H〃，砌=儲=共黑端去=《二￥，

設平面54/和平面AAC￡的夾角的夾角是凡

貝!Icos8=|cos^n,m^|=~~~9.=sin°=Jl-cos29=,

所以平面網(wǎng)尸和平面AACG的正弦值為?

16.（15分）

已知數(shù)列｛%｝中,an+1=2a?.

⑴若%,%,。3依次成等差數(shù)列，求4；

(2)若%=g,證明：數(shù)列,“-m為等比數(shù)列;

16/23

4,、

(3)若[=],求｛%｝的前〃項和S..

【答案】⑴

(2)證明見解析

(3電=2〃-點」

【分析】(1)利用遞推關系得到%=2%-|,%=4?！父?，再結合等差中項的性質建立方程，求解q即可.

(2)利用等比數(shù)列的定義證明即可.

(3)結合(2)求出4=2"一+，，再利用等比數(shù)列前〃項和公式分組求和即可.

【詳解】(1)由題意得在數(shù)列｛%｝中，4卜1=2%一訶

令〃=1,得到%=2%-j,令〃=2,得至?-5

（J%=2〃2-力，

5、5/105.35

=2(2a——)------=44------------=------,?

19271927127

因為4,%，。3依次成等差數(shù)列，所以2g=1CI3,

gp2｛2ax+4^-,解得力=得

\j乙/乙/

(2)由題意得首項為a「g=l,

中英1-951-96-=2a-----=2\a|,

因為%+1-m=""-產(chǎn)一產(chǎn)=24"一齊1"3"["3"J

1

4加一套了r11

所以——卜=2,故＞“一三是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.

一

(3)由(2)可得a“-g=lx2i=2i,則%=2"T+g,

+2"-i）+f4+4++-

由等比數(shù)列前"項和公式得S?=(2°+21+

）U323"

1八1、1八1

」x(l一2")3、(\2〃H3X(3^；）11

1

一1-2?1一2=2l+2x（l3.），

33

17.（15分）

17/23

下表為某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示:

紅色外觀藍色外觀

棕色內(nèi)飾812

米色內(nèi)飾23

(1)若小明從這些模型中隨機抽一個模型，記事件A為小明取到的模型為紅色外觀，事件8為取到的模型是

米色內(nèi)飾，求尸(2),尸伊⑷，并據(jù)此判斷事件A,3是否相互獨立.

(2)該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中抽兩個汽車模型.現(xiàn)做

出如下假設：

假設1.抽取的情況有三種可能，外觀和內(nèi)飾均同色、外觀和內(nèi)飾均異色、外觀和內(nèi)飾有一個同色；

假設2.一等獎為600元，二等獎為300元，三等獎為150元；

假設3.按抽到的結果的概率大小，概率越小，獎金越高.

請你幫該公司判斷哪種情況分別為一、二、三等獎.設獎金為X,寫出X的分布列，并求X的期望.

【答案】(1)PCB)=(，P(B|A)=|,A8相互獨立

(2)一等獎：外觀和內(nèi)飾均異色；二等獎：外觀和內(nèi)飾均同色；三等獎：外觀和內(nèi)飾恰有1個同色，分布列

見解析；期望為271

【分析】(1)由題目的數(shù)據(jù)，利用古典概型的概率計算，結合條件概率的公式與獨立事件的判斷方法，可

得答案；

(2)由古典概型的概率計算與組合數(shù)的計算,可求得每個情況的概率,根據(jù)分布列與數(shù)學期望的相關概念，

可得答案.

【詳解】(1)紅色外觀共8+2=10個，."(A)卷彳

米色內(nèi)飾共2+3=5個，./2)=三=:，

2

紅色外觀且米色內(nèi)飾有2個，P(AB)=—,

2

/(財=普冷總

5

尸(AB)=尸(A)?尸(3),二AB相互獨立.

C；+C；2+C；+C；49

(2)當外觀和內(nèi)飾均同色，則每種情況中抽2個，概率為

一150'

C'C'+C'C'484

當外觀和內(nèi)飾均異色，則各種情況抽1個，概率為6JZIN__________

300—25'

18/23

C；C；+C；2C；+C；C；2+C；C；_154_77

外觀和內(nèi)飾恰有1個同色，則概率為

300150

44977

—<---<---,

25150150

.?.一等獎：外觀和內(nèi)飾均異色；二等獎：外觀和內(nèi)飾均同色，三等獎：外觀和內(nèi)飾恰有1個同色.

44977

P(X=600)=一，尸(X=300)=—,P(X=150)=——，

25150150

其分布列為

X150300600

77494

p

15015025

44977

.-.￡(X)=600x—+300x—+150x—=271.

150150

18.(17分)

已知函數(shù)=.

⑴求””的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有最小值，求。的取值范圍；

(3)若關于x的方程〃尤)=。有兩個不同的解4，馬，求證：為+々>2.

【答案】⑴答案見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)求出的導數(shù)，通過討論。的范圍，判斷尸⑺的符號，得到函數(shù)/(元)的單調(diào)區(qū)間即可;

(2)通過討論。的范圍，判斷在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)性，從而得出。的取值范圍；

(3)根據(jù)題意分析可得：若馬是關于尤的方程/(力=0的兩個不同的解，通過聯(lián)立方程組消去再

通過換元％=火?>1)，整理得到g(。=。+l)lnt-2r+2?>1),結合的g⑺單調(diào)性分析運算得到工外>1，

從而無i+Z>2得證.

【詳解】(1)“天)的定義域為(。,+力)，r(x)=?-p

當aWO時，r(x)<0,所以“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞增區(qū)間；

當a>0時，f\x),/'(X)隨x的變化情況如下表所示：

—,+(x)

a

19/23

—0+

/(x)JT

所以“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為1，J,單調(diào)遞增區(qū)間為&，+'.

綜上，當。WO時，/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+力)，無單調(diào)遞增區(qū)間；

當a>0時，/⑺的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為，,+“；

(2)當"V；時，r(x)=fl--<|--<0,所以/(X)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減，無最小值，不合題意.

當;<"1時/(x)=U}

當「時，r(x)<。，〃X)單調(diào)遞減，

當時，r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以“可在戶工處取得最小值.