2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)隱圓與蒙日圓問

題（解析版）

隱圓與蒙日圓同題

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1隱圓類型一:到定點的距離等于定長】...................................................2

【題型2隱圓類型二:到兩定點距離的平方和為定值】.............................................4

【題型3隱圓類型三:到兩定點的夾角為直角】...................................................5

【題型4隱圓類型四：定弦定角、數(shù)量積定值】....................................................7

【題型5阿波羅尼斯圓】........................................................................9

【題型6蒙日圓］..............................................................................11

?命題規(guī)律

1.隱圓與蒙日圓問題

從近幾年的高考情況來看，在近幾年全國各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及隱圓、蒙日圓,這些問

題聚焦了軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題,難度為中高檔，需要靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1隱圓與阿波羅尼斯圓】

1.隱圓問題

在題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題目中，要通過分析、轉(zhuǎn)化、發(fā)現(xiàn)圓（或圓的方程），從而最終

利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱圓問題”.

2.隱圓問題的幾大類型

（1）隱圓類型一:到定點的距離等于定長；

（2）隱圓類型二:到兩定點距離的平方和為定值；

（3）隱圓類型三:到兩定點的夾角為直角；

（4）隱圓類型四：對角互補、數(shù)量積定值；

（5）隱圓類型五:阿波羅尼斯圓.

3.阿波羅尼斯圓

"阿波羅尼斯圓”的定義:平面內(nèi)到兩個定點4-a,0）,B（a,0）（a>0）的距離之比為正數(shù)股片1）的點的軌跡

是以c（滬10）為圓心，?產(chǎn)［|為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓.

【知識點2蒙日圓】

1.蒙日圓

在橢圓二十三7（。A0）上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上,它的圓心是橢圓的中

心，半徑等于橢圓長半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個圓叫蒙日圓.

設(shè)P為蒙日圓上任一點，過點P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點4為原點，如圖.

A舉一反三

【題型1除圓類型一:到定點的距離等于定長】

1.（2024?全國?二模）已知直線=板+5pG_R）與直線笈力+如—1+4=0（土C_R）相交于點P,且點P到

點Q（Q,3）的距離等于1,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.[—2-\/2"—3,—2^/2'—1]B.[—2^/2^—3,2\/2^—1]

C.[-2A/2-3,-2V2-1]U[2A/2+1,2V2+3]D.[-272-3,-2V2-1]U[2V2-3,272-1]

22

2.（24-25高三上?江西南昌?開學(xué)考試）已知橢圓E號+號=1的右焦點為尸，則右上滿足1Pl=V3的

尸點有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2024.陜西咸陽.模擬預(yù)測）已知a,不是兩個單位向量，且忖+可=根一間,若向量A滿足/一日一間=2,則

|c|的最大值為（）

A.2-V2B.2+V2C.V2D.2^/2

4.（23-24高三下?湖南長沙?階段練習(xí)）已知跖如仇），N（g,陰）是圓。：俳+2）2+（y-4）2=1上的兩個不

同的點，若|AW|=2,則也-加+也一統(tǒng)I的取值范圍為（）

A.[10,14]B.[8,16]C.[5V2,7V2]D.[472,872]

【題型2隱圓類型二:到兩定點距離的平方和為定值】

5.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）平面上一動點尸滿足：|尸M『十|pN]2=6且M（-l,0））7V（l,0），貝慟點P

的軌跡方程為（）

A.（x+I）2+j/2=3B.（X—I）2+y2=3C.x2+y2=2D.x2+y2=3

6.（2024?河南?三模）在平面a內(nèi)，已知線段AB的長為4,點P為平面a內(nèi)一點，且|E4『+上砰=10,則

/.PAB的最大值為（）

A.46B.44c.43D.42

7.（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（2,0），若點出滿足M42+

MO2=10,則點M的軌跡方程是/+娟_2力—3=0.

___________________F

8.（23-24高二上?福建廈門?期末）已知圓O-.x1+才=1和圓Q：（①一2了+才=匕過動點p分別作圓O,圓

Q的切線PA,PBG4,8為切點），且+啟研=18,則?的最大值為V15.

【題型3隱圓類型三:到兩定點的夾角為直角】

9.（2024?浙江嘉興"二模）已知圓。:湖一5）*+（沙+2）2=產(chǎn)（r>0）,A（_6,0）,8（0,8）,若圓。上存在點P使

得可，28,則「的取值范圍為（）

A.（0,5]B.[5,15]C.[10,15]D.[15,+?））

10.（2024?北京平谷?模擬預(yù)測）設(shè)點4（1,0）,動直線Z：c+ay+2a—1=0,作AM1.1于點則點雙到坐

標(biāo)原點。距離的最小值為（）

A.1B.V2+1C.V2-1D.V3

11.（23-24高三下?江蘇揚州?開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知為圓x2+y2=9上兩點，點

人（1,2）,且則線段MN的長的取值范圍是（）

A.[4—A/2,4+A/2^]B.[V13—^/2,V13+^/2]

C.[4--x/5^,4+V5^]D.[V13—V5^,V13+V5^]

12.（2024?廣西南寧?二模）已知直線y=kx+7n（km￥0）與c軸和0軸分別交于4B兩點，且\AB\=2V2,

動點。滿足CALC?,則當(dāng)Q巾變化時，點。到點0（1,1）的距離的最大值為（）

A.4V2B.3V2C.2V2D.V2

【題型4隱圓類型四:定弦定角、數(shù)量積定值】

13.（2024?北京?三模）已知圓C:Q—&y+已―1）2=1和兩點4（f0）,B?,0）?>0）,若圓。上存在點P,

使得兩?無=0,則1的取值范圍為（）

A.（0,1]B.[1,3]C.[2,3]D.[3,4]

22

14.（2024?全國.模擬預(yù)測）M點是圓C：（x+2產(chǎn)+才=1上任意一點，為圓C1：（x-2）+y=3的弦，且

|人目=2四，^^為4口的中點，則也亞|的最小值為（）

A.1B.2C.3D.47

15.（2024.江西贛州.一模）在邊長為4的正方體ABCD-A.B.C.D,中，點E是的中點，點P是側(cè)面

瓦A內(nèi)的動點（含四條邊），且1211乙49。=配2114以哈,則。的軌跡長度為（）

A匹R2KO'4兀D8加

A，9民9。9g

16.（2024?河南關(guān)B州?二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)4（2,4）,3（-2,-4），動點P滿足用?應(yīng)=—1,則

tanZPBO的最大值為（）

A2歷口4例c2函nV2_

-21-2941-2

【題型5阿波羅尼斯圓】

17.（23-24高二上?遼寧沈陽?期中）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，

指的是：已知動點M與兩定點Q,P的距離之比濯~=,那么點M的軌跡就是阿波羅尼

斯圓.已知動點又的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為小+才=I,Q為力軸上一定點，且a=

2,則點Q的坐標(biāo)為（）

A.（-1,0）B.（1,0）C.（-2,0）D.（2,0）

18.（23-24高二上?江西南昌?階段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞

歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲

線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,指的是：已知動點M與兩定點Q,P的距離之比器^=N

僅>0"￥1）,那么點河的軌跡就是阿波羅尼斯圓，已知動點的M與定點Q（m,0）和定點P（-y,0）的

距離之比為2,其方程為"+/=1,若點口（u）,則2|乂尸|+也少|(zhì)的最小值為（）

A.V6B.V7C.VWD.VTT

19.（23-24高二上?陜西咸陽?階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262-公元前190年）的著作

《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果.其中有這樣一個結(jié)論:平面內(nèi)與兩點距離的比為常數(shù)的

點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點0（0,0）,43,0）,動點。（工,夕）滿足篇^=十，

則點P的軌跡與圓C：3—2）2+娟=1的公切線的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

20.（23-24高二上?湖南益陽?期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山

大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一

書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知動點河與兩定點Q,P的距離之比=4（4

>0"￥1）,那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為d+〃

=1,其中，定點Q為①軸上一點，定點P的坐標(biāo)為（一=3,若點5（1,1）,則3\MP\+\MB\的最小

值為（）

A.VWB.VHC.V15D.V17

【題型6蒙日圓】

21.（23-24高三上?安徽六安?階段練習(xí)）橢圓4+^7=l（a>0,b>0,a￥b）任意兩條相互垂直的切線的交

a2b2

點軌跡為圓：/+才=/+*,這個圓稱為橢圓的蒙日圓.在圓3—4）2+3—3）2=/（『>0）上總存在

點P,使得過點P能作橢圓/+4=1的兩條相互垂直的切線，則r的取值范圍是（）

O

A.[1,7]B.[1,9]C.[3,7]D.[3,9]

22.（2024?貴州銅仁?二模）法國數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢

圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.

若橢圓「:%+卷=l（a>b>0）的蒙日圓為C:x2+y2=Jc?,過。上的動點m作r的兩條切線，分別

abJ

與。交于P,Q兩點，直線PQ交「于A,B兩點，則橢圓「的離心率為（）

23.（2024高三.山東?專題練習(xí)）“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理,該定理的內(nèi)容為:橢圓上兩條互相

垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓.若橢圓+直=1

Q+1a

（a>0）的離心率為義,則橢圓。的蒙日圓方程為（）

A.x2+y2=9B.x2+y2=7C.x2+y2=5D.rr2+y2=4

24.（23-24高二上.江蘇徐州?期中）畫法幾何學(xué)的創(chuàng)始人--法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn):與橢圓相切

的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已

222

知橢圓亳+%=l（a>b>0）的蒙日圓方程為/+才=&2+次若圓（c—3y+（9一4）2=9與橢圓,

+才=1的蒙日圓有且僅有一個公共點，則義的值為（）

A.+3B.+4C.±5D.2V5

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習(xí)）已知動點朋?與兩個定點0（0,0）,4（3,0）的距離之比為2,那么直線

。河的斜率的取值范圍是（）

A.[2V6,6V2]D.(-3,-f)

2.（23—24高三上?重慶?期中）已知Q為拋物線C:靖=42上的動點，動點M滿足到點4（2,0）的距離與

到點F（斤是。的焦點）的距離之比為與，則|QM|+|QW的最小值是（）

A.3—y/2B.4—y/2C.4+A/2^D.4

3.（23-24高二下?貴州六盤水?期末）已知線段的長度為4,動點M與點、A的距離是它與點B的距離

的2倍，則/WAB面積的最大值為（）

A.8V2B.8C.4V2D.畢

o

4.（23-24高二上?河北石家莊?期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線/=夕+1與c軸相交于兩點，P是

平面內(nèi)一點，且滿足|EA|=2|28|,則△R4B面積的最大值是（）

A.V3B.2V3C.V2D.272

5.（23—24高二下?陜西寶雞?期中）已知點A為直線3*+40一5=0上一動點，點P（m+2,1—八）,8（2,0）,

且滿足病+/=271—4m—4,則2|4P|+|BP|的最小值為（）

A.4B.[C.曄^D.（

5355

6.（2024?廣東?二模）法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾,蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn):橢圓的兩條相互垂直切線的交點軌

跡為圓，我們通常稱這個圓為該橢圓的蒙日圓.根據(jù)此背景，設(shè)“為橢圓。/+冬=1的一個外切長

方形（M的四條邊所在直線均與橢圓C相切），若“在第一象限內(nèi)的一個頂點縱坐標(biāo)為2,則M的面積

為（）

A.13V3B.26C.羋D.歲

55

7.（23—24高二下?浙江?期中）在△ABC中，8。=2,/R4C=春，。為8c中點，在△ABC所在平面內(nèi)有

O

一動點P滿足屈?屈=歷?阮，則》?瓦的最大值為（）

A.?B.C.V3D.

8.（23-24高二下?山東青島?開學(xué)考試）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞

歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點P到兩個定點的距離之比為常數(shù)久（久＞0,且4W1）,

那么點P的軌跡為圓,這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點。到A（-l,0）,B（l,0）的距離之比為V3，則點

。到直線力一29+8=0的距離的最小值為（）

A.2V5-V3B.V5-V3C.2V5D.V3

二、多融

9.（23-24高二上?福建泉州?期中）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262?前190）發(fā)現(xiàn):平面內(nèi)到

兩個定點A,B的距離之比為定值才僅￥1）的點的軌跡是圓.后來,人們將這個圓以他的名字命名，稱為

阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系cOy中，已知A（—l,0）,B（2,0）,動點P滿足腎=

2，直線—4+?n+1=0,則（）

A.直線Z過定點（—1,1）

B.動點P的軌跡方程為（2+2）2+才=4

C.動點尸到直線，的距離的最大值為2+1

________________________________.

D.若點。的坐標(biāo)為（—1,1）,則\PD\+2\PA\的最小值為視

10.（2024?山西太原?二模）已知兩定點4—2,0）,8（1,0）,動點M滿足條件\MA\=21M冽，其軌跡是曲線C,

過B作直線Z交曲線。于P,Q兩點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.|PQ|取值范圍是[2代,4]

B.當(dāng)點Q不共線時，△APQ面積的最大值為6

C.當(dāng)直線，斜率k￥0時，AB平分乙B4Q

D.tan/B4Q最大值為居

11.（23-24高二上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn):在橢圓+4

=l（a>b>0）中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于

長、短半軸平方和的算術(shù)平方根,這個圓就稱為橢圓。的蒙日圓，其圓方程為x2+y2=a2+b2.已知橢

圓。的離心率為平，點4B均在橢圓。上，直線帖①+明―4=0,則下列描述正確的為（）

A.點A與橢圓。的蒙日圓上任意一點的距離最小值為b

B.若I上恰有一點P滿足:過P作橢圓C的兩條切線互相垂直,則橢圓C的方程為4+y=1

C.若Z上任意一點Q都滿足3?下>0,則0<6<1

D.若b=1,橢圓。的蒙日圓上存在點河滿足MA，MB,則△AO8面積的最大值為今

三、填空題

12.（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習(xí)）已知點A（-3,0）,3（1,0）,平面內(nèi)的動點P滿足PR—3R4=0,則

點P的軌跡形成的圖形周長是.

13.（23-24高二下?湖南?開學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262?公元前190年）的著作《圓錐

曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果，其中有這樣一個結(jié)論:平面內(nèi)與兩點距離的比為常數(shù)4（/101）的點的軌

跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓，已知點0（0,0）,/（3,0）,動點滿足=],則點P的

軌跡與圓C：Q—1）2+才=1的公切線的條數(shù)為.

14.（23-24高二上?山東棗莊?階段練習(xí)）蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線

的交點的軌跡是圓，所以這個圓又被叫做“蒙日圓”，已知點為橢圓g+1=1（0<6<四）上任

意兩個動點，動點P在直線4c+34-10=0上，若NAP8恒為銳角，則根據(jù)蒙日圓的相關(guān)知識，可知橢

圓。的離心率的取值范圍為

四、解答題

15.(23-24高二下?廣東惠州?階段練習(xí))已知點0(0,0),43,0),動點P滿足|上4|=2|PO|,

(1)求動點P的軌跡方程；

(2)設(shè)動點P的軌跡為曲線C,若直線Z過點8(0,2),且曲線。截Z所得弦長等于2V3,求直線I的方程.

16.(2024高三.全國.專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，已知點4(2,3),8(5,0),M是平面內(nèi)的一動點，且滿

足照斗=2,記點河的運動軌跡為曲線E.

\MB\

(1)求曲線E的方程；

(2)過點B的直線Z與曲線E交于P,Q兩點，若△OBP的面積是△O8Q的面積的3倍,求直線I的方

程.

17.(23-24高二上?四川成都?期末)已知橢圓r的方程為4+三=l(a>b>0),稱圓心在坐標(biāo)原點O,半

ab

徑為〃衣記的圓為橢圓r的“蒙日圓”，橢圓r的焦距為2,離心率為咚.

(1)求橢圓r的方程；

(2)若直線1與橢圓「交于兩點，與其“蒙日圓”交于C、。兩點，當(dāng)|CD|=4時，求面積的最

大值.

18.(23-24高二上?河北邯鄲?期末)古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn):平面上到兩定點48距離之比為常

數(shù)4M>0且義￥1)的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓被稱為阿波羅尼斯圓.已知AABC

中，A(—3,0),C(3,0),|AB|=2\BC\.

(1)求AABC的頂點B的第I跡方程；

(2)若圓。：Q—+(9—3>=4和頂點8的軌跡交于兩點P,Q,求直線PQ的方程和圓心D到PQ的

距離.

19.(2024?陜西西安.一模)數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日創(chuàng)立的《畫法幾何學(xué)》對世界各國科學(xué)技術(shù)的發(fā)展影響深遠.

在雙曲線一與=l(a>0,b>0)中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是

ab~

雙曲線的中心，半徑等于實半軸長與虛半軸長的平方差的算術(shù)平方根,這個圓被稱為蒙日圓.已知雙曲

線。的實軸長為2a，其蒙日圓方程為/+才=4.

(1)求雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點F(3,l)關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為Q,不過點P且斜率為￡的直線與雙曲線C相交于M,N兩

點，直線PM與QN交于點。(&，灰)，求直線OD的斜率值.

______________阪

隱圓與蒙日圓同題

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1隱圓類型一:到定點的距離等于定長】......................................................2

【題型2隱圓類型二:到兩定點距離的平方和為定值】...............................................4

【題型3隱圓類型三:到兩定點的夾角為直角】......................................................5

【題型4隱圓類型四：定弦定角、數(shù)量積定值】.......................................................7

【題型5阿波羅尼斯圓】............................................................................9

【題型6蒙日圓］..................................................................................11

?命題規(guī)律

1.隱圓與蒙日圓問題

從近幾年的高考情況來看，在近幾年全國各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及隱圓、蒙日圓,這些問

題聚焦了軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題，難度為中高檔，需要靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1隱圓與阿波羅尼斯國】

1.除圓問題

在題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題目中，要通過分析、轉(zhuǎn)化、發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而最終

利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱圓問題”.

2.除圓問題的幾大類型

(1)隱圓類型一:到定點的距離等于定長；

(2)隱圓類型二:到兩定點距離的平方和為定值；

(3)隱圓類型三:到兩定點的夾角為直角；

(4)隱圓類型四：對角互補、數(shù)量積定值；

(5)隱圓類型五:阿波羅尼斯圓.

3.阿波羅尼斯圓

"阿波羅尼斯圓”的定義:平面內(nèi)到兩個定點4-a,0),B(a,0)(a>0)的距離之比為正數(shù)股片1)的點的軌跡

是以c(滬10)為圓心，?產(chǎn)［|為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓.

【知銅點2蒙日圓】

1.蒙日圓

在橢圓二十三~\(a>b>0)上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上,它的圓心是橢圓的中

a*b~

心，半徑等于橢圓長半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個圓叫蒙日圓.

設(shè)P為蒙日圓上任一點，過點P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點A,為原點，如圖.

A舉一反三

【題型1除圓類型一:到定點的距離等于定長】

1.(2024?全國?二模)已知直線h：y=tx+5(t&R)與直線l2-x+%—4+4=0(t€B)相交于點P,且點P到

點Q(a,3)的距離等于1,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[—2V2^—3,—2ypi—1]B.[—2A/2—3,2\/2^—1]

C.[-2V2-3,-2V2-1]U[2V2+l,2V2+3]D.[-272-3,-272-1]U[272-3,272-1]

【解題思路】根據(jù)給定條件，求出點P的方程，再利用兩圓有公共點列出不等式求解即得.

【解答過程】直線li.y=tx+5過定點4（0,5）,直線l2:x+切-1+4=0過定點B（—4,1）,又直線。_L

因此點P?y）的軌跡是以線段AB為直徑的圓（除點（0,1）外），圓心。（一2,3）,半徑r=272,

圓。的方程為（x+2>+（沙-3）2=8（2片0且y/1）,又Q（a,3）,|PQ|=1,顯然點（0,1）與Q的距離大于1,

則點P在圓Q:（x—a）2+（y—3）2—1上,依題意，圓。與圓Q有公共點，

于是22一14|CQ|<2V2+1,即22一14|a+21&272+1,

解得一—3<a<-2\/2—1或2A/^"—34aW2A/2—1,

所以實數(shù)a的取值范圍是[一2?一3,—2，^一1]“22一3,22一1].

故選：D.

2社2

2.（24-25高三上?江西南昌?開學(xué)考試）已知橢圓E:~+y=1的右焦點為F,則E上滿足\PF\="的

P點有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解題思路】求出點F的坐標(biāo)，由|PF|=出求出P點的軌跡方程，與橢圓方程聯(lián)立求解判斷即可.

【解答過程】橢圓后:亨+弓=1的右焦點為F（l,0）,設(shè)P（x,y），由|PF|=通,得（C—I）?+才=3,

22

f（^-l）+y=3.,「

由（3/,2°消去?/得，—8c+4=0,而一24cW2,解得c=4—

+y=3"

當(dāng)①=4-2四時，對應(yīng)的V值有2個，所以E上滿足|PF|=《的P點有2個.

故選：B.

_____________眇

3.（2024.陜西咸陽.模擬預(yù)測）已知落日是兩個單位向量，且B+間=歸一露若向量3滿足歸一a=2,則

|c|的最大值為（）

A.2-V2B.2+V2C.V2D.272

【解題思路】根據(jù)模長公式可得根據(jù)向量的坐標(biāo)運算不一4=（t—1,9一1）,利用尼一4一百=

V（^-l）2+（y-l）2=2,可得點。的軌跡是以（1,1）為圓心，2為半徑的圓，求得圓心到原點的距離為

\OM\=Vl2+12=血，從而可得答案.

【解答過程】已知落，是兩個單位向量，且\a+b\^\a-b\,

則a2+2a-b+^=a2-2a-b+i?,

則4?b=0,則4_Lb,

設(shè)分別是/軸與g軸正方向上的單位向量，

則a—（1,0）,b—（0,1）,a-\-b—（1,1）,

設(shè)3=（劣,g）,則c—a—b=—,

因為\c-a—b\=V（^—1）2+（?/—l）2=2,

所以（/-iy+（g—l）2=4,

故才=。苕中，點。的軌跡是以（1,1）為圓心，『=2為半徑的圓,

圓心河（1,1）到原點的距離為|oM=々十仔二伍

忖max=QM+r=2+2.

故選：B.

4.（23-24高三下?湖南長沙?階段練習(xí)）已知河（如仇），N（g,必）是圓C：Q+2）2+（y-4）2=1上的兩個不

同的點，若|AW|=則|3一%|+山一列的取值范圍為（）

A.[10,14]B.[8,16]C.[5V2,7V2]D.[472,872]

【解題思路】先確定中點的軌跡為圓，再利用圓上的點到直線的最值求解.

【解答過程】由題設(shè)知，圓。的圓心坐標(biāo)。（一2,4）,半徑為1,

因為|九亞|=，5,所以皈_1前.

設(shè)P為AW的中點，所以|CP|=?.

所以點P的軌跡方程為（c+2y+（0-4）2=1.

2

其軌跡是以。（一2,4）為圓心，半徑為彳的圓.

設(shè)點M,N,p到直線立一9=0的距離分別為4,必，d,

能?/E一如,\x-y\,4+弓2

所以必=一^一,為=2一2,d=^,

所以同一如+也一統(tǒng)I=2（4+&2）=2V2d.

因為點。到直線力一y=0的距離為--2廠圖=3V2,

V2

所以3四一字Wd432+字，即考與2,

所以以所以同一如+1的一改|的取值范圍為[10,14].

故選：A.

【題型2隱圓類型二:到兩定點距離的平方和為定值】

5.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）平面上一動點尸滿足：|尸M『十|pN]2=6且M（-1,O）,7V（1,O），貝慟點P

的軌跡方程為（）

A.（x+I）2+j/2=3B.（X—I）2+y2=3C.x2+y2=2D.x2+y2=3

【解題思路】設(shè)P（c,沙），借助兩點間距離公式代入計算后化簡即可得.

【解答過程】設(shè)P（x,y）,由\PM[+|PN『=6,所以（2+I）?+娟+Q—I）?+婿=6,

整理得/+才=2,即動點P的軌跡方程為x2+y2=2.

故選：C.

6.（2024.河南.三模）在平面a內(nèi)，已知線段的長為4,點P為平面a內(nèi)一點，且=10,則

2PAB的最大值為（）

A2LTD兀Cc?百兀D

6B-7-1

【解題思路】建立直角坐標(biāo)系，求出點P的軌跡時一個圓，再根據(jù)_R4與圓。相切時角最大求得結(jié)果.

【解答過程】如圖，以線段所在的直線為立軸，線段AB的中垂線為沙軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy,

設(shè)P（c，9）,因為|AB|=4,不妨設(shè)A（—2,0）,B（2,0）,

由IBA?+任引2=J。,得Q+2）2+4+（①一2）2+4=I。,

化簡得/+#=1,即點p的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓，

當(dāng)24與圓。相切時，取得最大值，此時OP_LQ4.

因為QP|=1,|。川=2,所以sin/R4B=],且/E4B為銳角，

故的最大值為4.

故選:A.

7.（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點4（2,0），若點河滿足AM2+

MO2=10,則點M的軌跡方程是x2+y2-2x-3=0.

【解題思路】設(shè)點M3y）,借助兩點間距離公式代入計算即可得.

【解答過程】設(shè)Af（①U）,則有（X—2）2+（y—0）2+x2+y2=10,

化簡得/+才一2c-3=0,即點M'的軌跡方程是0^+才—2a;—3=0.

故答案為:x2+y2—2x—3=0.

8.（23-24高二上?福建廈門?期末）已知圓O-.x2+，=1和圓O^x—2丫+才=i,過動點p分別作圓O,圓

2

Oi的切線PA,PB（A,B為切點），且IBA/+|PjB|=18，則\PA\的最大值為V15.

【解題思路】根據(jù)題意得出P的軌跡方程，結(jié)合圖像即可求解.

【解答過程】

如圖，連接PO,POr,OA,OxB,因為R4,PB與圓相切，

所以|PO|2+IPO/=\PAf+\OA\2+\PB\2+|。畫2=18+1+1=20,

設(shè)P(x,y)，所以叱+才+3—2)2+y2=2a?+2婿-4又+4=20,

整理得Q—以+d=9,所以P在以(1,0)為圓心，3為半徑的圓上運動，

\PA\=V|PO|2-1WV42-l=,當(dāng)且僅當(dāng)P在(4,0)時等號成立，

故答案為：，訪.

【題型3障圓類型三:到兩定點的夾角為直角】

9.(2024?浙江嘉興?二模)已知圓C-.(x-5)2+(夕+2)2=O),A(—6,0),8(0,8),若圓。上存在點P使

得四，。6,則「的取值范圍為()

A.(0,5]B.[5,15]C.[10,15]D.[15,+<?)

【解題思路】由PAd.得到點P的軌跡是以AB為直徑的圓，依題意，問題轉(zhuǎn)化為兩個圓有公共點的問題，

解不等式組即得.

如圖，由K4_LPB可知點P的軌跡是以48為直徑的圓，設(shè)為圓M,

因A(-6,0),B(0,8),故圓M：(x+3)2+(y-4)2=25.

依題意知圓M與圓。必至少有一個公共點.

因。(5,-2),河(一3,4),則|CM|=J(5+3)2+(_2—4)2=10,

由|r—5|W|CM|W5+r,解得：5W/W15.

故選：B.

10.(2024.北京平谷.模擬預(yù)測)設(shè)點4(1,0),動直線Z：c+ay+2a—1=0,作AM±I于點河，則點“到坐

標(biāo)原點。距離的最小值為()

A.1B.V2+1C.V2-1D.V3

【解題思路】根據(jù)直線的垂直關(guān)系可得點河的軌跡是以C(l,—1)為圓心，半徑r=1的圓，即可得1Moim=

—i.

【解答過程】由AM-LI以及aj+ag+2a—1=0可得直線411的方程為y—a(a;—1),

聯(lián)立［二:器;)T=°,消去a整理可得(IT+("+1)2=1；

所以可知點河的軌跡是以(7(1,—1)為圓心，半徑r=l的圓；

因此|_WO|min=\CO\—r=(1—0)2+(—1—O)2—1=V2—1.

故選:C.

11.(23-24高三下?江蘇揚州?開學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知為圓x2+y2=9上兩點，點

入(1,2),且411，4",則線段郎的長的取值范圍是()

A.[4-V2,4+V2]B.[V13-V2,V13+V2]

C.[4—V5,4+V5^]D.[V13-V5,V13+V5]

【解題思路】易知以AM,AN為鄰邊作平行四邊形AMPN為矩形，由平面向量可證|dl|2+|OP|2=|(w|2+

|而「，再由|AW|=|AP|可得其取值范圍.

(解答過程】以AM,AN為鄰邊作平行四邊形AMPN,

由AMI.4V可得四邊形4MpN為矩形，如下圖所示：

\OA^+\OP^\ON+^+\OM+^^ON2+N^+2ON-NA+OM2+MP2+2OM-MP

^ON2+OM2+2N^+2NA-MN

=ON2+OM2+2e_2\NA\\MN\cosAMNA

=ON2+OM2,

可得歷蘇HI而『=9+9,

解得I討『=9+9—|刀F=13,即|OF|=V13,

即P點軌跡是以(0,0)為圓心，半徑為，叵的圓，

易知\MN\=\AP\<\OP\+|OA|=V13+V5,\AP\>\OP\+|OA|=V13-V5,

所以線段AW的長的取值范圍是通,

故選：D.

12.(2024?廣西南寧?二模)已知直線y=kx+m(km^0)與c軸和"軸分別交于A,B兩點，且\AB\=2V2,

動點。滿足C4_LCB,則當(dāng)k,小變化時，點。到點0(1,1)的距離的最大值為()

A.4V2B.3V2C.2A/2D.V2

【解題思路】先求得力，B兩點坐標(biāo)，根據(jù)\AB\=2V2得到(一支+加=8,再結(jié)合CA±CB可得到。軌跡

為動圓，求得該動圓圓心的方程，即可求得答案.

【解答過程】由y—kx+7n(km/0),得A(-半,O),B(O,?TZ),由\AB\—22,得(—華)+m2=8,

由CA_LCB,得通工反5=0,設(shè)C(c,g)，則(2+與?(①“一^)=0,

\k7

___________F

即缶+翳華f=圾+年=2,因此點。的軌跡為一動圓，

\2K7'274k4

設(shè)該動圓圓心為@',y），即有a/=—答",式=與，則~——2x',m—2式代入（一半）+加=8,

2k2k

整理得：x'2+y'2=2，即。軌跡的圓心在圓"2+y2=2上（除此圓與坐標(biāo)軸的交點外），

點0（1,1）與圓/+/=2上點（—1,—1）連線的距離加上圓。的半徑即為點。到點。（1,1）的距離的最大

值，

所以最大值為<\/[1—（―1）]2+[1—（―I）]2+V2=3A/2^.

故選：B.

【題型4陋圓類型四:定弦定角、數(shù)■積定值】

13.（2024?北京?三模）已知圓。：3-叱y+（y—園=1和兩點0）出（力,0）（±>0）,若圓。上存在點P,

使得屈?屈=0,則t的取值范圍為（）

A.（0,1]B.[1,3]C.[2,3]D.[3,4]

【解題思路】由方?屈=0知點P的軌跡方程是以AB位直徑的圓，可得怙一l|<|OC|Wt+l,即可求出t的

取值范圍.

【解答過程】向?4=0說明P在以AB為直徑的圓22+才=F上，

而P又在圓。上，因此兩圓有公共點，

則圓心距位于半徑差的絕對值與半徑和的閉區(qū)間中，

所以H&QC&+1,即|t—l|W2Wt+l,又t>0,解得

14.（2024.全國.模擬預(yù)測）M?點是圓。：3+2）2+才=1上任意一點，點二為圓G：Q—23+才=3的弦，且

[48|=20，"為48的中點,則匹亞|的最小值為（）

A.1B.2C.3D.47

【解題思路】根據(jù)弦長公式先求出|GN|=1,然后可知點N在以G（2,