21.1一元二次方程『引入』

(1)如圖，小明同學(xué)用一張長10cm，寬7cm的矩形紙板制作一個底面積為20

cm2的無蓋長方體紙盒，他將紙板的四個角各剪去一個同樣大小的正方形，再將四周向上折疊即可(損耗不計)．設(shè)剪去的正方形邊長為xcm，則可列出關(guān)于x的方程為

，化簡，得

＝0．

2x2－17x＋25

(10－2x)(7－2x)＝20

(2)某校初三準備在秋季運動會進行籃球比賽，若每兩個班都進行一場比賽，一共進行了55場比賽，設(shè)這個學(xué)校初三共有x個班級，則可列式為

，化簡，得

＝0．

x2－x－110方程(1)(2)有什么共同點？

知識點?

一元二次方程的定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

①③

注意：判斷是否為一元二次方程之前先將方程化簡，如x2＋3x＋1＝x2－2x，需先化簡為5x＋1＝0，再判斷是否為一元二次方程．典例2若關(guān)于x的方程(a－2)x2－2x＋3＝0是一元二次方程，則a的值為(

)A．0B．2C．－2D．不等于2的任意實數(shù)

D

變式2若方程(m－3)xn＋2x－3＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則(

)A．m＝3，n≠2B．m＝3，n＝2C．m≠3，n＝2D．m≠3，n≠2

C

一元二次方程必須滿足三個條件：①等號兩邊都是整式；②化簡后只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．

其中二次項為3x2，一次項為－5x，常數(shù)項為2．典例3將方程3x2＋2＝5x化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、一次項及常數(shù)項．解：移項，得3x2－5x＋2＝0．

一元二次方程的項、系數(shù)：在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．知識點?一元二次方程abcx2－3x＋4＝0

3x2－5＝06x2－x＝0變式3寫出下列一元二次方程的二次項系數(shù)a、一次項系數(shù)b及常數(shù)項c．1－3430－56－10知識點?

一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．典例4下列哪些數(shù)是方程x2＋x－6＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．解：－3，2．變式4以－2為根的一元二次方程是(

)A．x2－x＋2＝0B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0D．x2＋x－2＝0

D

B

B

3．若關(guān)于x的方程(m＋1)x2＋mx－1＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是(

)A．m≠－1B．m＝1C．m＞1

D．m≠0

A

4．將下列一元二次方程化為一般形式，并寫出二次項系數(shù)a、一次項系數(shù)b及常數(shù)項c．一元二次方程一般形式abc4x2＝5－x4＝x(x－5)(x＋2)(x－2)＝04x2＋x－5＝041－5x2－5x－4＝01－5－4x2－4＝010－45．若關(guān)于x的方程ax2＋4x＝2x2－3是一元二次方程，則a的值不可能是(

)A．2B．－2C．3D．06．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除捷法》中記錄了有關(guān)“直田(矩形)面積與其長、闊(寬)”的問題，今有一塊矩形面積是1

575平方步，其中寬與長的和為80步，問寬和長各幾步？若設(shè)長為x步，則可列方程

．

x(80－x)＝1

575

A

7．【核心素養(yǎng)·模型觀念】若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0(a≠0)有一根為x＝2

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