概率的奧秘概率無(wú)處不在，影響日常決策本課程幫您揭示概率之美什么是概率？基本定義事件發(fā)生可能性的數(shù)值表示分?jǐn)?shù)表達(dá)如：拋硬幣正面朝上概率為1/2小數(shù)表達(dá)同樣情況可表示為0.5百分比表達(dá)表示為50%更直觀概率的歷史起源古代骰子游戲最早的概率應(yīng)用17世紀(jì)賭博問(wèn)題催生理論研究費(fèi)馬-帕斯卡爾通信1654年奠定理論基礎(chǔ)生活中的概率案例天氣預(yù)報(bào)"明天降雨概率60%"實(shí)際含義預(yù)測(cè)區(qū)域中60%地方會(huì)下雨彩票中獎(jiǎng)雙色球中獎(jiǎng)概率約為1/1700萬(wàn)比被閃電擊中概率還低隨機(jī)事件與樣本空間隨機(jī)事件結(jié)果不確定的事件如：拋硬幣、擲骰子樣本空間所有可能結(jié)果的集合記作Ω或S實(shí)例擲骰子樣本空間={1,2,3,4,5,6}拋兩枚硬幣={HH,HT,TH,TT}事件的分類(lèi)必然事件概率為1的事件樣本空間中任意元素必發(fā)生不可能事件概率為0的事件空集?表示互斥事件不能同時(shí)發(fā)生的事件交集為空對(duì)立事件事件與其補(bǔ)集概率和為1基本概率公式古典概型：P(A)=有利結(jié)果數(shù)/所有可能結(jié)果數(shù)頻率定義：P(A)≈發(fā)生次數(shù)/試驗(yàn)總次數(shù)統(tǒng)計(jì)概率：基于大數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)概率估計(jì)概率的基本性質(zhì)概率定義域0≤P(A)≤1互斥事件可加性P(A∪B)=P(A)+P(B)當(dāng)A∩B=?全集概率等于1P(Ω)=1概率與直覺(jué)的偏差賭徒謬誤認(rèn)為過(guò)去結(jié)果影響未來(lái)概率硬幣連續(xù)正面下次仍為1/2概率輪盤(pán)連續(xù)黑色紅色出現(xiàn)概率不變認(rèn)知偏差人腦不擅長(zhǎng)直覺(jué)判斷概率概率的基本問(wèn)題回顧抽牌問(wèn)題從52張牌中抽取紅桃A概率為1/52擲骰子問(wèn)題擲兩枚骰子和為7的概率為6/36=1/6生日問(wèn)題23人中至少兩人同一天生日概率>50%概率模型的概念確定隨機(jī)試驗(yàn)定義實(shí)驗(yàn)條件和觀察對(duì)象構(gòu)建樣本空間列出所有可能結(jié)果定義概率測(cè)度為每個(gè)事件分配概率值應(yīng)用概率規(guī)則使用公理計(jì)算復(fù)雜事件概率古典概率模型等可能原理每個(gè)基本結(jié)果概率相等拋硬幣模型正反面各1/2概率擲骰子模型1-6點(diǎn)各1/6概率抽牌模型每張牌被抽中概率相等幾何概率模型長(zhǎng)度比例一維線(xiàn)段上隨機(jī)點(diǎn)位置面積比例平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)位置體積比例三維空間隨機(jī)點(diǎn)位置圓周問(wèn)題：隨機(jī)在圓周上取兩點(diǎn)，組成的弦長(zhǎng)>r概率為1/3條件概率記號(hào)含義P(A|B)已知B發(fā)生條件下A發(fā)生的概率計(jì)算公式P(A|B)=P(A∩B)/P(B)前提條件P(B)>0例：抽兩張牌，第一張為紅桃，第二張為紅桃的概率為12/51全概率公式100%樣本空間總概率所有可能性之和B?...B?完備事件組互斥且覆蓋全部可能∑公式核心條件概率的加權(quán)和P(A)=P(B?)P(A|B?)+P(B?)P(A|B?)+...+P(B?)P(A|B?)貝葉斯公式已知結(jié)果觀察到結(jié)果A推測(cè)原因計(jì)算各種可能原因B?概率計(jì)算公式P(B?|A)=P(B?)P(A|B?)/P(A)應(yīng)用案例醫(yī)學(xué)檢測(cè)假陽(yáng)性分析獨(dú)立性與相關(guān)性獨(dú)立事件定義：P(A∩B)=P(A)P(B)一個(gè)事件發(fā)生不影響另一事件拋兩次硬幣結(jié)果互相獨(dú)立不同人生日通常獨(dú)立相關(guān)事件定義：P(A∩B)≠P(A)P(B)事件間存在影響關(guān)系下雨與帶傘相關(guān)學(xué)習(xí)努力與考試成績(jī)相關(guān)概率樹(shù)圖起始節(jié)點(diǎn)試驗(yàn)開(kāi)始分支可能結(jié)果及概率完整路徑多階段實(shí)驗(yàn)的全部過(guò)程概率計(jì)算路徑上各分支概率相乘概率的"乘法原理"一般情況P(A∩B)=P(A)P(B|A)獨(dú)立事件P(A∩B)=P(A)P(B)三個(gè)事件P(A∩B∩C)=P(A)P(B|A)P(C|A∩B)獨(dú)立的三個(gè)事件P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)常見(jiàn)概率題型歸納古典概型問(wèn)題抽球、抽卡、擲骰子等等可能性問(wèn)題條件概率問(wèn)題已知部分條件下的事件概率貝葉斯問(wèn)題已知結(jié)果反推原因概率隨機(jī)變量問(wèn)題計(jì)算隨機(jī)變量數(shù)字特征隨機(jī)變量概述隨機(jī)變量定義樣本空間到實(shí)數(shù)集的函數(shù)用X,Y,Z等大寫(xiě)字母表示離散隨機(jī)變量取值為有限個(gè)或可數(shù)無(wú)限個(gè)如：拋硬幣正面數(shù)量用概率質(zhì)量函數(shù)描述連續(xù)隨機(jī)變量取值為不可數(shù)無(wú)限個(gè)如：隨機(jī)點(diǎn)與原點(diǎn)距離用概率密度函數(shù)描述概率分布定義離散型隨機(jī)變量概率質(zhì)量函數(shù)(PMF)P(X=x)表示X取值為x的概率連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)(PDF)f(x)≥0且∫f(x)dx=1分布函數(shù)F(x)=P(X≤x)描述隨機(jī)變量不超過(guò)x的概率二項(xiàng)分布n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)每次成功概率為p記錄成功次數(shù)XX~B(n,p)概率質(zhì)量函數(shù)P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)實(shí)例：投10次硬幣，恰好5次正面概率C(10,5)×(1/2)^10=0.246泊松分布適用場(chǎng)景單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生次數(shù)1記號(hào)X~P(λ)，λ為參數(shù)2概率質(zhì)量函數(shù)P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!3應(yīng)用例子呼叫中心每小時(shí)來(lái)電數(shù)4正態(tài)分布x值概率密度鐘形曲線(xiàn)：f(x)=(1/σ√2π)e^(-(x-μ)2/2σ2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：μ=0，σ=1記作X~N(μ,σ2)正態(tài)分布的實(shí)際意義身高分布人群身高近似服從正態(tài)分布智商分布IQ分?jǐn)?shù)設(shè)計(jì)成正態(tài)分布測(cè)量誤差工業(yè)生產(chǎn)誤差通常正態(tài)分布"三西格瑪"法則：數(shù)據(jù)約68%在μ±σ范圍，95%在μ±2σ范圍，99.7%在μ±3σ范圍均勻分布概率密度函數(shù)：f(x)=1/(b-a),a≤x≤b分布函數(shù)：F(x)=(x-a)/(b-a),a≤x≤b期望：E(X)=(a+b)/2方差：Var(X)=(b-a)2/12指數(shù)分布無(wú)記憶性分布已等待時(shí)間不影響未來(lái)等待參數(shù)λ單位時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生率概率密度函數(shù)f(x)=λe^(-λx),x>0應(yīng)用場(chǎng)景電子元件壽命、排隊(duì)等待時(shí)間隨機(jī)變量的期望離散隨機(jī)變量E(X)=∑x_iP(X=x_i)連續(xù)隨機(jī)變量E(X)=∫x·f(x)dx線(xiàn)性性E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)常見(jiàn)解釋隨機(jī)變量的平均值或重心方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差：Var(X)=E[(X-E(X))2]=E(X2)-[E(X)]2標(biāo)準(zhǔn)差：σ=√Var(X)離散型計(jì)算：Var(X)=∑(x_i-μ)2P(X=x_i)連續(xù)型計(jì)算：Var(X)=∫(x-μ)2f(x)dx大數(shù)定律簡(jiǎn)介定律表述隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)增多，頻率趨近概率樣本均值趨近總體期望X?_n→μ(當(dāng)n→∞)投擲硬幣實(shí)驗(yàn)：隨著投擲次數(shù)增加，正面朝上的頻率越來(lái)越接近0.5應(yīng)用：保險(xiǎn)公司利用大數(shù)定律設(shè)計(jì)費(fèi)率，賭場(chǎng)利用大數(shù)定律確保長(zhǎng)期盈利中心極限定理核心思想大量獨(dú)立同分布隨機(jī)變量和趨于正態(tài)1數(shù)學(xué)表述(S_n-nμ)/(σ√n)→N(0,1)2適用條件獨(dú)立同分布且n足夠大3實(shí)際意義解釋自然界正態(tài)分布廣泛存在4概率在醫(yī)療中的應(yīng)用術(shù)語(yǔ)含義靈敏度病人檢測(cè)陽(yáng)性概率P(+|D)特異度健康人檢測(cè)陰性概率P(-|H)假陽(yáng)性健康人檢測(cè)陽(yáng)性P(+|H)假陰性病人檢測(cè)陰性P(-|D)貝葉斯公式應(yīng)用：P(D|+)=[P(D)P(+|D)]/[P(D)P(+|D)+P(H)P(+|H)]概率在金融投資里的作用股票漲跌模型隨機(jī)游走與布朗運(yùn)動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)度量VaR（風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值）計(jì)算投資組合理論馬科維茲模型分散風(fēng)險(xiǎn)期權(quán)定價(jià)布萊克-斯科爾斯模型概率在人工智能中的應(yīng)用樸素貝葉斯分類(lèi)器垃圾郵件過(guò)濾經(jīng)典算法馬爾可夫模型預(yù)測(cè)序列數(shù)據(jù)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出層使用概率分布表示結(jié)果彩票與概率大樂(lè)透中獎(jiǎng)概率C(35,5)×C(12,2)種可能，約1/21,000,000認(rèn)知誤區(qū)小概率事件主觀判斷偏差期望值分析長(zhǎng)期來(lái)看總是負(fù)收益與現(xiàn)實(shí)對(duì)比：被閃電擊中概率約1/700,000，遠(yuǎn)高于大樂(lè)透中獎(jiǎng)體育比賽中的概率博彩賠率轉(zhuǎn)換為概率：賠率5.0對(duì)應(yīng)概率約為1/5=0.2多場(chǎng)比賽連串：獨(dú)立事件概率相乘偏好校正：主場(chǎng)優(yōu)勢(shì)、歷史交鋒數(shù)據(jù)調(diào)整排隊(duì)論與概率隊(duì)列模型M/M/1：?jiǎn)畏?wù)器指數(shù)到達(dá)指數(shù)服務(wù)M/M/c：多服務(wù)器模型M/G/1：一般服務(wù)時(shí)間分布關(guān)鍵參數(shù)λ：平均到達(dá)率μ：平均服務(wù)率ρ=λ/μ：系統(tǒng)利用率L：隊(duì)列中平均人數(shù)W：平均等待時(shí)間保險(xiǎn)與概率壽險(xiǎn)基于死亡率表計(jì)算費(fèi)率車(chē)險(xiǎn)事故風(fēng)險(xiǎn)概率與賠付額相結(jié)合財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)災(zāi)害發(fā)生率與保險(xiǎn)金額定價(jià)保費(fèi)計(jì)算期望損失+管理成本+利潤(rùn)交通與概率λ車(chē)輛到達(dá)率每分鐘通過(guò)路口的車(chē)輛數(shù)T平均等待時(shí)間紅燈期間的累積車(chē)輛ρ交通密度道路容量使用比例泊松分布模擬車(chē)流，指數(shù)分布描述車(chē)間距，馬爾可夫過(guò)程建模信號(hào)燈轉(zhuǎn)換天氣預(yù)報(bào)中的概率應(yīng)用降雨概率"60%降雨概率"的真正含義集合預(yù)報(bào)多模型預(yù)測(cè)結(jié)合概率分布不確定性表達(dá)臺(tái)風(fēng)路徑預(yù)測(cè)的"錐形區(qū)"網(wǎng)絡(luò)安全中的概率模型威脅評(píng)估攻擊概率與損失估計(jì)異常檢測(cè)統(tǒng)計(jì)模型識(shí)別異常流量加密安全性隨機(jī)數(shù)生成與密鑰強(qiáng)度概率在廣告投放中的應(yīng)用點(diǎn)擊率預(yù)估CTR預(yù)測(cè)用戶(hù)點(diǎn)擊廣告概率特征：用戶(hù)畫(huà)像、歷史行為、上下文模型：邏輯回歸、GBDT、深度學(xué)習(xí)廣告位競(jìng)價(jià)實(shí)時(shí)競(jìng)價(jià)計(jì)算預(yù)期收益公式：預(yù)期收益=點(diǎn)擊概率×出價(jià)A/B測(cè)試驗(yàn)證效果生活小趣味：生日悖論問(wèn)題多少人同屋概率>50%至少兩人同一天生日？計(jì)算求補(bǔ)集：都不同生日概率P=365!/[365^n×(365-n)!]答案只需23人，遠(yuǎn)低于直覺(jué)估計(jì)啟示小概率事件在大樣本中容易發(fā)生趣味問(wèn)題：蒙提霍爾悖論問(wèn)題描述三門(mén)選一，主持人開(kāi)一無(wú)獎(jiǎng)門(mén)后是否換門(mén)？概率分析不換門(mén)：獲獎(jiǎng)概率1/3換門(mén)：獲獎(jiǎng)概率2/3結(jié)論應(yīng)該換門(mén)！獲獎(jiǎng)概率提高一倍概率與非理性思維可得性偏差容易回憶的事件被高估概率例：飛機(jī)事故報(bào)道后恐飛癥增加代表性偏差根據(jù)刻板印象評(píng)估概率例：職業(yè)猜測(cè)中忽視基礎(chǔ)概率小數(shù)定律小樣本推斷整體分布例：連輸幾次就認(rèn)為游戲不公平確認(rèn)偏誤尋找支持已有信念的證據(jù)例：只記住預(yù)測(cè)成功的案例經(jīng)典賭局與概率悖論圣彼得堡悖論無(wú)限期望值的賭局?jǐn)?shù)學(xué)分析期望值無(wú)限但實(shí)際愿付有限效用理論收益邊際效用遞減啟示人類(lèi)決策不僅基于期望值概率前沿：量子概率經(jīng)典概率基于測(cè)度論建立科爾莫戈羅夫公理系統(tǒng)確定性隨機(jī)性概率和為