水利工程測(cè)量

第6章

測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)主講教師：高飛5/10/2025

1合肥工業(yè)大學(xué)第6章測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)

§6.1概述§6.2測(cè)量誤差的種類§6.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)§6.4衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)§6.5誤差傳播定律§6.6同精度直接觀測(cè)平差§6.7不同精度直接觀測(cè)平差§6.8最小二乘法原理及其應(yīng)用

5/10/2025

2合肥工業(yè)大學(xué)

◆測(cè)量與觀測(cè)值

◆觀測(cè)與觀測(cè)值的分類

●觀測(cè)條件

●等精度觀測(cè)和不等精度觀測(cè)

●直接觀測(cè)和間接觀測(cè)

●獨(dú)立觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)§6.1測(cè)量誤差概述5/10/2025

3合肥工業(yè)大學(xué)§6.1測(cè)量誤差概述

◆測(cè)量誤差及其來(lái)源●測(cè)量誤差的來(lái)源（1）儀器誤差：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗(yàn)等。（3）外界條件的影響：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等

●

測(cè)量誤差的表現(xiàn)形式

●

測(cè)量誤差（真誤差=觀測(cè)值-真值）（觀測(cè)值與真值之差）（觀測(cè)值與觀測(cè)值之差）5/10/2025

4合肥工業(yè)大學(xué)例：誤差處理方法

鋼尺尺長(zhǎng)誤差ld

計(jì)算改正

鋼尺溫度誤差lt

計(jì)算改正

水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng)

操作時(shí)抵消(前后視等距)

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C

操作時(shí)抵消(盤左盤右取平均)

…………2.系統(tǒng)誤差

——誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)相同，或按規(guī)律性變化，具有積累性?！裣到y(tǒng)誤差可以消除或減弱。

(計(jì)算改正、觀測(cè)方法、儀器檢校)測(cè)量誤差分為：粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差§6.2測(cè)量誤差的種類1.粗差(錯(cuò)誤)——超限的誤差5/10/2025

5合肥工業(yè)大學(xué)3.偶然誤差——誤差出現(xiàn)的大小、符號(hào)各不相同，表面看無(wú)規(guī)律性。

例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對(duì)中等誤差，導(dǎo)致觀測(cè)值產(chǎn)生誤差

。

●準(zhǔn)確度(測(cè)量成果與真值的差異）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●測(cè)量平差（求解最或是值并評(píng)定精度）4.幾個(gè)概念:

●精（密）度（觀測(cè)值之間的離散程度）5/10/2025

6合肥工業(yè)大學(xué)舉例:

在某測(cè)區(qū)，等精度觀測(cè)了358個(gè)三角形的內(nèi)角之和，得到358個(gè)三角形閉合差

i(偶然誤差，也即真誤差)，然后對(duì)三角形閉合差i

進(jìn)行分析。

分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯?！?.3偶然誤差的特性5/10/2025

7合肥工業(yè)大學(xué)5/10/2025

8合肥工業(yè)大學(xué)用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)：

頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對(duì)稱于y軸。

頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于1。

各條形頂邊中點(diǎn)連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律

圖6-1誤差統(tǒng)計(jì)直方圖5/10/2025

9合肥工業(yè)大學(xué)◆從誤差統(tǒng)計(jì)表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤差的四個(gè)特性：

特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性(4)具有實(shí)用意義。

3.偶然誤差的特性(1)在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值(有界性)；(2)絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多(趨向性)；(3)絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等(對(duì)稱性)；(4)當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零

(抵償性)：5/10/2025

10合肥工業(yè)大學(xué)

偶然誤差具有正態(tài)分布的特性當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無(wú)限增多(n→∞)、誤差區(qū)間d無(wú)限縮小(d→0)時(shí)，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性。圖6-1誤差統(tǒng)計(jì)直方圖5/10/2025

11合肥工業(yè)大學(xué)1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差

由正態(tài)分布密度函數(shù)式中、為常數(shù)；

=2.72828…x=

y正態(tài)分布曲線(a=0)令：

，上式為：§6.4衡量精度的指標(biāo)5/10/2025

12合肥工業(yè)大學(xué)

標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)意義

表示的離散程度x=

y較小較大稱為標(biāo)準(zhǔn)差：上式中，稱為方差：5/10/2025

13合肥工業(yè)大學(xué)

測(cè)量工作中，用中誤差作為衡量觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)。中誤差:觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)，用標(biāo)準(zhǔn)差表示偶然誤差的離散情形：上式中，偶然誤差為觀測(cè)值

與真值X之差：觀測(cè)次數(shù)n有限時(shí)，用中誤差m表示偶然誤差的離散情形：

i=

i-

X5/10/2025

14合肥工業(yè)大學(xué)5/10/2025

15合肥工業(yè)大學(xué)

m1小于m2,說(shuō)明第一組觀測(cè)值的誤差分布比較集中，其精度較高；相對(duì)地，第二組觀測(cè)值的誤差分布比較離散，其精度較低：

m1=2.7是第一組觀測(cè)值的中誤差；

m2=3.6是第二組觀測(cè)值的中誤差。5/10/2025

16合肥工業(yè)大學(xué)2.容許誤差(極限誤差)

根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概率為：誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：

將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7

測(cè)量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|5/10/2025

17合肥工業(yè)大學(xué)

3.相對(duì)誤差(相對(duì)中誤差)

——誤差絕對(duì)值與觀測(cè)量之比。

用于表示距離的精度。

用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。

分?jǐn)?shù)值較小相對(duì)精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對(duì)精度較低。

K2<K1，所以距離S2精度較高。例2：用鋼尺丈量?jī)啥尉嚯x分別得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。計(jì)算S1、S2的相對(duì)誤差。

0.0210.021

K1=——=——；K2=——=——

100500020010000解：5/10/2025

18合肥工業(yè)大學(xué)一.一般函數(shù)的中誤差令的系數(shù)為，(c)式為：由于和是一個(gè)很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得對(duì)(a)全微分：(b)設(shè)有函數(shù)：為獨(dú)立觀測(cè)值設(shè)有真誤差，函數(shù)也產(chǎn)生真誤差(a)§6.5誤差傳播定律5/10/2025

19合肥工業(yè)大學(xué)對(duì)Z觀測(cè)了k次，有k個(gè)式(d)對(duì)(d)式中的一個(gè)式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)對(duì)K個(gè)(e)式取總和：(f)5/10/2025

20合肥工業(yè)大學(xué)(f)(f)式兩邊除以K，得(g)式：(g)由偶然誤差的抵償性知：(g)式最后一項(xiàng)極小于前面各項(xiàng)，可忽略不計(jì)，則：<<前面各項(xiàng)即(h)5/10/2025

21合肥工業(yè)大學(xué)(h)考慮，代入上式，得中誤差關(guān)系式：(6-10)上式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。5/10/2025

22合肥工業(yè)大學(xué)

通過(guò)以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們可以總結(jié)出求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的步驟：

1.列出函數(shù)式；2.對(duì)函數(shù)式求全微分；3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差公式。5/10/2025

23合肥工業(yè)大學(xué)1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式(x為觀測(cè)值，K為x的系數(shù))全微分得中誤差式例：量得地形圖上兩點(diǎn)間長(zhǎng)度=168.5mm

0.2mm,計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms解：列函數(shù)式求全微分中誤差式二.幾種常用函數(shù)的中誤差

5/10/2025

24合肥工業(yè)大學(xué)2.線性函數(shù)的中誤差

設(shè)有函數(shù)式

全微分

中誤差式例：設(shè)有某線性函數(shù)其中、、分別為獨(dú)立觀測(cè)值，它們的中誤差分別為求Z的中誤差。解：對(duì)上式全微分：由中誤差式得：5/10/2025

25合肥工業(yè)大學(xué)

函數(shù)式全微分中誤差式3.算術(shù)平均值的中誤差式

由于等精度觀測(cè)時(shí)，，代入上式：得由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測(cè)值的中誤差縮小了倍。

●對(duì)某觀測(cè)量進(jìn)行多次觀測(cè)(多余觀測(cè))取平均，是提高觀測(cè)成果精度最有效的方法。5/10/2025

26合肥工業(yè)大學(xué)4.和或差函數(shù)的中誤差

函數(shù)式：

全微分：

中誤差式：當(dāng)?shù)染扔^測(cè)時(shí)：上式可寫成：例：測(cè)定A、B間的高差，共連續(xù)測(cè)了9站。設(shè)測(cè)量每站高差的中誤差，求總高差的中誤差。

解：

5/10/2025

27合肥工業(yè)大學(xué)觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測(cè)值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

5/10/2025

28合肥工業(yè)大學(xué)誤差傳播定律的應(yīng)用用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形內(nèi)角時(shí)，每個(gè)內(nèi)角觀測(cè)4個(gè)測(cè)回取平均，可使得三角形閉合差m

15

。例1：要求三角形最大閉合差m

15

，問(wèn)用DJ6經(jīng)緯儀觀測(cè)三角形每個(gè)內(nèi)角時(shí)須用幾個(gè)測(cè)回？?

=(1+2+3)-180解：由題意：2m=

15

,則m=

7.5

每個(gè)角的測(cè)角中誤差：由于DJ6一測(cè)回角度中誤差為：由角度測(cè)量n測(cè)回取平均值的中誤差公式：5/10/2025

29合肥工業(yè)大學(xué)誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測(cè)量的精度。解:(1)測(cè)量水平距離的精度

基本公式：

求全微分：

水平距離中誤差：

其中：

5/10/2025

30合肥工業(yè)大學(xué)誤差傳播定律的應(yīng)用例2：試用中誤差傳播定律分析視距測(cè)量的精度。解:(2)測(cè)量高差的精度基本公式：

求全微分：

高差中誤差：

其中：

5/10/2025

31合肥工業(yè)大學(xué)誤差傳播定律的應(yīng)用例3:(1)用鋼尺丈量某正方形一條邊長(zhǎng)為求該正方形的周長(zhǎng)S和面積A的中誤差.解:(1)周長(zhǎng),(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長(zhǎng)為其中:求該正方形的周長(zhǎng)S和面積A的中誤差.

面積,

周長(zhǎng)的中誤差為全微分:面積的中誤差為全微分:5/10/2025

32合肥工業(yè)大學(xué)解:(1)周長(zhǎng)和面積的中誤差分別為例3:(2)用鋼尺丈量某正方形四條邊的邊長(zhǎng)為其中:求該正方形的周長(zhǎng)S和面積A的中誤差.

(2)周長(zhǎng);周長(zhǎng)的中誤差為面積得周長(zhǎng)的中誤差為全微分:但由于5/10/2025

33合肥工業(yè)大學(xué)▓觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值)▓用觀測(cè)值的改正數(shù)v計(jì)算觀測(cè)值的中誤差(即:白塞爾公式)§6.6同（等）精度直接觀測(cè)平差5/10/2025

34合肥工業(yè)大學(xué)

一.觀測(cè)值的算術(shù)平均值(最或是值、最可靠值)

證明算術(shù)平均值為該量的最或是值：

設(shè)該量的真值為X，則各觀測(cè)值的真誤差為

1=

1-

X

2=

2-

X

······

n=

n-

X對(duì)某未知量進(jìn)行了n次觀測(cè)，得n個(gè)觀測(cè)值

1,2,···,n,則該量的算術(shù)平均值為：x==

1+2+···+n

nn上式等號(hào)兩邊分別相加得和：L=5/10/2025

35合肥工業(yè)大學(xué)當(dāng)觀測(cè)無(wú)限多次時(shí)：

得兩邊除以n：由

當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值就是該量的真值；當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均

值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。L≈X5/10/2025

36合肥工業(yè)大學(xué)觀測(cè)值改正數(shù)特點(diǎn)二.觀測(cè)值的改正數(shù)v：以算術(shù)平均值為最或是值，并據(jù)此計(jì)算各觀測(cè)值的改正數(shù)v，符合[vv]=min的“最小二乘原則”。Vi=L-

i(i=1,2,···,n)

特點(diǎn)1——改正數(shù)總和為零：對(duì)上式取和：以代入：

通常用于計(jì)算檢核L=

nv=nL-

nv

=n-

=0v

=0

特點(diǎn)2——[vv]符合“最小二乘原則”：則即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-

=0

x=

n5/10/2025

37合肥工業(yè)大學(xué)精度評(píng)定

比較前面的公式，可以證明，兩式根號(hào)內(nèi)的部分是相等的，即在與中：精度評(píng)定——用觀測(cè)值的改正數(shù)v計(jì)算中誤差一.計(jì)算公式(即白塞爾公式)：5/10/2025

38合肥工業(yè)大學(xué)證明如下：真誤差：改正數(shù)：證明兩式根號(hào)內(nèi)相等對(duì)上式取n項(xiàng)的平方和由上兩式得其中:5/10/2025

39合肥工業(yè)大學(xué)證明兩式根號(hào)內(nèi)相等中誤差定義:白塞爾公式:5/10/2025

40合肥工業(yè)大學(xué)解：該水平角真值未知，可用算術(shù)平均值的改正數(shù)V計(jì)算其中誤差：例：對(duì)某水平角等精度觀測(cè)了5次，觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表，求其算術(shù)平均值及觀測(cè)值的中誤差。算例1:次數(shù)觀測(cè)值VVV備注176

42

49

-416276

42

40

+525376

42

42

+39476

42

46

-11576

42

48

-39平均76

42

45

[V]=0[VV]=6076

42

45

±1.74

5/10/2025

41合肥工業(yè)大學(xué)距離丈量精度計(jì)算例算例2：對(duì)某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術(shù)平均值；②觀測(cè)值的中誤差；③算術(shù)平均值的中誤差；④算術(shù)平均值的相對(duì)中誤差：

凡是相對(duì)中誤差，都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。5/10/2025

42合肥工業(yè)大學(xué)§6.7不同精度直接觀測(cè)平差一、權(quán)的概念權(quán)是權(quán)衡利弊、權(quán)衡輕重的意思。在測(cè)量工作中權(quán)是一個(gè)表示觀測(cè)結(jié)果可靠程度的相對(duì)性指標(biāo)。1權(quán)的定義：設(shè)一組不同精度的觀測(cè)值為li