重難點04二次函數(shù)解答題

明考情?知方向

北京中考數(shù)學中，二次函數(shù)通常以綜合題的形式出現(xiàn)，尤其是在試卷的倒數(shù)第三題或壓軸題中。這類題目

不僅考查二次函數(shù)的基本知識（如開口方向、對稱軸、頂點坐標等），還結(jié)合幾何圖形或其他數(shù)學知識進

行綜合分析，要求學生具備較強的數(shù)形結(jié)合能力和邏輯推理能力。例如，2021年北京中考第26題就涉及二

次函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，并結(jié)合幾何圖形進行分析。北京中考二次函數(shù)題目不僅考查學生對基礎知識的

掌握，還注重考查學生的數(shù)學思維能力和實際應用能力。例如，2024年北京中考第26題要求學生綜合運用

二次函數(shù)的知識解決實際問題，并通過分類討論的方法得出結(jié)論。這種題目設計旨在培養(yǎng)學生的邏輯推理

能力和問題解決能力。

熱點題型解讀

【題型1求對稱軸】

考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標特征：掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關系是解題的

關鍵.直接根據(jù)對稱軸公式可得對稱軸直線方程。

1.（2024年北京市陳經(jīng)綸中學中考一模）在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線y=a?-2/x-3（a/0）

⑴求該拋物線的對稱軸（用含。的式子表示）；

（2）若。=1,當-2Vx<3時，求V的取值范圍；

⑶己知/（2"1,必），C（a+2,%）為該拋物線上的點，若（%-%）（%-%）>0,求。的取值范圍.

【答案】⑴直線x=a

（2）-4<y<5

⑶a<-1或a>3

【詳解】（1）解：=a/_2〃％一3,

???該拋物線的對稱軸為直線％。；

（2）解：當a=l時，y=x2-2x-3,對稱軸為直線x=l,圖象開口向上，

.?.當％=1時，J；min=一生

當工=-2時，>=5；當工=3時，歹二。；

?."max=5，

???當-2<x<3時，歹的取值范圍為-4<”5；

（3）解：「E-JSX%-%）〉。，

二當必>%時，%>%，即

??,對稱軸為直線x=a,

a>0,且a+2-a<|a-（2a—1）|,

解得，a>3；

當必<%時，％<%，即M<%<%，

?.?對稱軸為直線x="，

a<0,且a+2-a<卜-（2a-1）,

解得，a<—1,

綜上所述，。<-1或。>3.

2.（2024?北京平谷?二模）在平面直角坐標系xS中，M（xx,vj,N5,%）是拋物線了=--2加x+加2一1

上任意兩點.

⑴求拋物線的對稱軸（用含加的式子表示）；

出若馬=占+"(">0),點〃\"中至少有一個點位于工軸的上方，直接寫出"的范圍;

⑶若對于-1<再<2?2=加+2時，都有必<%,求加的取值范圍.

【答案】(l)x=w：

(2)">2；

(3)0<m<1.

【詳解】(1)I?：vy=x2-2mx+m2-l=(x-m)2-1,

拋物線的對稱軸為％=

(2)由(1)可得，拋物線的頂點坐標為(加，-1),

令歹=0,得至Ux=加一1或1=機+1,

???拋物線與X軸的兩個交點為A(m-LO),B(m+1,0),

AB=2,

若點M、N中至少有一個點位于x軸的上方

只需〃>2；

(3),拋物線的對稱軸為x=，",

(加+2,%)點一定位于對稱軸的右側(cè)，

它的對稱點為(加-2,%),

\m—2<—1

'[m+2>2'

解得0?加《1.

3.(2024?北京昌平?二模)在平面直角坐標系xQy中，M(再,必)，是拋物線V=。尤2+6x+c(a>0)

上任意兩點，其中再<馬.

⑴若拋物線經(jīng)過點(4,C),

①求拋物線的對稱軸；

②當玉+龍2>4時，比較乂，%的大小，并說明理由；

⑵設拋物線的對稱軸為直線X=?,若存在實數(shù)加，當區(qū)7〃時，xx=m,x2=m+\,都有|必一為之2,直接

寫出。的取值范圍.

【答案】（1）①x=2；②弘<%,理由見解析

（2）a>2

【詳解】（1）解：①??,拋物線經(jīng)過點（4,。）和點（O,C）,

???拋物線的對稱軸是：直線》=中=2,

2

②弘<必，理由如下：

6Z>0,

???離對稱軸越近，函數(shù)值越小，

???Xx<X2,再+工2>4,

2X2>XX+X2>4,

???x2>2,

當％2>再上2時，x2-2>xl-2,

即點比點N（X2，%）離對稱軸更近，

當、2>2>歷時，

+x2>4

%—2>2-%],

即點M（芯,必）比點N（%,%）離對稱軸更近，

???必<歹2，

綜上所述：乂<%.

,,

（2）.t<m<m+l&flt<xl<x2f開口向上，

???必<為，

，|必一%|=%一必

=（辦;+bx2+0）一（辦；+姐+c）

=a（加+1『+6（加+i）+c-（〃加2+力加+。）

2

=Q（加+1/-am+b（加+]）_bm+c—c

=a（2加+1）+6

=2am+a+b,

2〃>0,

???I"隨著m的增大而增大，

要使得存在實數(shù)加，當區(qū)7〃時，都有|必-為22,

只需保證|必一為L22,

即當［=-1=加時，I必-%L=2a［：］+a+b=aN2,

二。的取值范圍是。22.

4.（2024年北京市第H-中學中考三模）在平面直角坐標系xQy中，B（t,y2）,C（/+2,八）三

點都在拋物線y=加-2狽+4（。>0）上，

（1）這個拋物線的對稱軸為直線;

⑵若無論/取何值，點/、2、C中至少有兩點在x軸上方，結(jié)合函數(shù)圖象，求。的取值范圍.

【答案】⑴x=l

（2）0<a<—

【詳解】（1）解：對稱軸為x=-g=l,

2a

故答案為：X=l;

⑵解：a>0,

二拋物線y=a無2-2ax+4的圖象開口朝上，

無論/取任何實數(shù)，點A,B,C中都至少有兩個點在x軸的上方，

有兩種情況滿足題意，

①當拋物線與X軸有兩個相同的交點或者沒有交點時，滿足題意，

BPA<0,

???（-2Q）2-4x?x4<0,

化簡得4a（〃-4）（0,

丁a〉0,

—4W0,

解得〃44,

???止匕時0<tz<4；

②函數(shù)圖象與X軸有交點，且兩個交點的距離小于1時滿足題意，

此時三點中，水平距離最近的/和3不能同時在X軸下方，

臨界情況/、2兩點分別是這兩個交點，

?.?對稱軸為x=l,

/—1+/{

X-

2

得f=T，則有：拈，o］，唱'4

此時代入y=ax2-2ax+4,解得a=y,

???在二次函數(shù)中，二次項的系數(shù)絕對值越大，則拋物線的開口越小，

二止匕時。<”；

3

綜上所述，0<a<g.

5.（2024?北京海淀■一模）在平面坐標系xQy中，點（私〃）在拋物線>二^^+云缶〉。）上，其中心/0.

（1）當加=4,〃=0時.求拋物線的對稱軸；

（2）已知當0<加<4時，總有"0.

①求證：4a+b<0-

②點尸體,弘），0（3人,%）在該拋物線上，是否存在a,b,使得當1（為<2時，都有必<%?若存在，求出。

與b之間的數(shù)量關系；若不存在，說明理由.

【答案】⑴拋物線的對稱軸為直線x=2

（2）①證明見解析；②存在，4a+b=0,理由見解析

【詳解】（1）解：由題意可知，點（4,0）在拋物線>=0?+云（0>0）上，

16a+4b=0,

b=-4a,

.b-4a

?.——乙,

—2?！?。

,拋物線的對稱軸為直線x=2；

（2）解：①方法一：

令歹=0,貝！jax2+bx=0（a>0）,

解得：元=0或x=-2,

a

?二拋物線歹="2+及（。>0）與％軸交于點（0,0）,,

,/（2>0,

拋物線開口向上，

（z）當b<0時，一2>0,

a

.,.當0<x<—2時，歹<0；當％<0或時，y>0,

aa

???當0<加<4時，總有〃<0,

a>0,

4a+b<0f

(ii)當b>0時，—<0,

a

，當一2cx<0時，歹<0；當或x>0時，y>0,

aa

.??當0<%<4時，H>0,不符合題意，

綜上，4a+b<0,

方法二：

?二由題意可知，am2+bm-n.

若〃<0,貝Ua加之+人加=加(。加+b)<o.

,/m>0,

am+b<0.

62>0,

b

.,.機<.

a

.,.當0<加<—2時，n<0.

a

???當0<加<4時，總有〃<0.

a

tz>0,

4a+b<0f

②存在，

設拋物線的對稱軸為X=t,貝卜=-二，

2a

(2>0,

.?.當時，V隨工的增大而增大；當時，V隨工的增大而減小,

\'l<k<2,

:.3<3k<6,k<3k,

(z)當KI時，

t<k<3k,

符合題意，

(n)當1<M2時,

當左<2時,

'：t<k<?>k,

必<為，

當1</</時,

設點「信,乂)關于拋物線對稱軸x=t的對稱點為點尸'伉,必),

貝U%,t-k=xQ-t,

XQ—2/—k,

,：\<k<t9\<t<2,

2t—k<3,

/./<x0<3,

3<3左<6,

/.t<x0〈3k,

必<%，

.?.當1-W2時，符合題意，

(Hi)當2<，43時，

13

令k=t,3k=不,則必=%，不符合題意，

(iv)當3</<6時，

令3k=t,貝ij左<3左V%,

，%>為，不符合題意，

(v)當此6時，

k<3k<t,

???必“2,不符合題意，

.?.當心2,即一二42時，符合題意，

,/tz>0,

+6>0,

由(1)可得4Q+6W0,

4。+6=0.

【題型2比較函數(shù)值的大小】

主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題等，數(shù)形結(jié)合思想及求二次函數(shù)與一次函數(shù)交

點需要聯(lián)立方程是解題基礎.結(jié)合函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得結(jié)論。

6.(2024?北京大興?二模)在平面直角坐標系xS中，點，(-1,加)和點8(4,〃)在拋物線》="2+反-2

(a>0)上，設拋物線的對稱軸為x=f.

(1)若m=l,n=6,求才的值；

(2)己知點C(l,yJ,在該拋物線上，若加>-2,?<-2,比較乂，%的大小，并說明理由.

【答案】⑴1

(2)%>%,見解析

【詳解】(1)解：<加=1,n=6,

???把點/Tl和點84,6代入廣辦2+為-2得：L，4，

[16Q+4/?-2=6

[a=\

解得：,

[b=-2

???對稱軸為X=/,

b1

:.t=-----=1.

2a

(2)丁a>0,

.?.當x>t時，y隨X的增大而增大.

令x=0,得>=-2,

???拋物線與V軸交點坐標為(0,-2).

m>-2,n<-2,-1<0<4,

.?.(Tm),(0,-2)在對稱軸的左側(cè)，

設點(0,-2)關于對稱軸x=t的對稱點坐標(x0,-2),

..XQ-2t.

.?.點(0,-2)關于對稱軸X=/的對稱點坐標為(2/,-2).

n<-2f

2t>4.

:.t>2.

點C0，M)在對稱軸左側(cè)，點。在對稱軸右側(cè).

設點。(1,%)關于對稱軸x=t的對稱點坐標(匕,弘)，

XQ—2t—1.

，點C（1,J1）關于對稱軸x=t的對稱點坐標為⑵-1,%）.

一31

2t—1—t——t—1>0

22

3

2t—1>—t.

2

7.（2024?北京石景山?一模）在平面直角坐標系中，拋物線>=--（2+加卜+2"7的對稱軸為直線尤=:.

（1）求/的值（用含機的代數(shù)式表示）；

⑵點CQ+1,%）在該拋物線上.若拋物線與x軸的一個交點為（％,0）,其中0<%<2,

比較必，％,為的大小，并說明理由.

【答案】（1”=手

（2）%<為<乂，詳見解析

【詳解】（1）解：由題意得，對稱軸為直線x=——（2+"）=/,

2

口門2+加

2

（2）解：為<%<%.

理由如下：

令y=0,得x?一（2+加）x+2加=0.

.,.玉=2,x2=m.

???拋物線與x軸的兩個交點為（2,0）,（m,0）.

???拋物線與x軸的一個交點為（/，0）,其中0</<2,

0<m<2.

2+m

=----，

2

：A<t<2.

—2<—t<—1f2</+l<3.

設點4（—，乂）關于拋物線的對稱軸x=f的對稱點為題"，必）.

???點/（一，％）在拋物線上，

???點也在拋物線上.

n-t=t-（-t）,得，=3f.

3<3/<6.

?,"<￡+1<3,.

,?,拋物線的解析式為V=-(2+加)x+2加,

???此拋物線開口向上.

當》之￡時，V隨工的增大而增大.

???點式3%),C(t+l,y3),4(33%)在拋物線上，且<+1<3￡,

???y2<y3<yx

8.(2023?北京西城?二模)在平面直角坐標系xQy中，點(西,必)，(>2/2)者8在拋物線歹=辦2-2"+8(。<0)

上，且一1<玉<2,l-m<x2<m+l,

(1)當加=-2時，比較外，%的大小關系，并說明理由；

(2)若存在不，％,滿足以=%,求加的取值范圍.

【答案】理由見解析

(2)m>-2

【詳解】(1)解：必〉必，理由如下，

vy=ax2-2辦+8=Q(X-1)2+8-tz,

???拋物線的對稱軸是直線x=l,二次函數(shù)圖像的開口向下，在對稱軸的左邊V隨％的增大而增大，在對稱軸

的右邊V隨工的增大而減小，

?.?當—1<%<2時，、=一1時，%的值最小，

.??必>QX(-1)2_2〃x(-l)+8,即%>3Q+8,

當機=一2時，3<x2<5,

則當3</<5時，x=3時，%有最大值，

??.巴<ax3?-2。x3+8,即％<3。+8,

?,?當-1<玉<2時的最小值大于3<工2<5時的最大值，

(2)解：,/1-m<x2<m+7,

1-m<m+7,

???m>-3,

??,存在冷x2,滿足%=%，且一1<再<2,

1-m<3,

.,?m>-2,

綜上所述，加的取值范圍加>-2.

9.(北京市第二十七中學2022-2023學年九年級上學期12月)在平面直角坐標系歹中，拋物線

了="2-2辦與X軸交于4,2兩點（/在3的左側(cè)）.

（1）求點/,2的坐標及拋物線頂點坐標；

（2）己知點（L5,%）,（2,%）在該拋物線上，比較必，必，力的大小，并說明理由.

⑶己知點C。,-2）向右平移兩個單位再向下平移一個單位得到點。，若拋物線與線段CD只有一個公共點,

直接寫出。的取值范圍.

【答案】⑴4（0,0），雙2,0）,頂點坐標為。,一。）

（2）當a>0時，％<%<%,當a<0時，弘<%<為

⑶a22或aV-1

【詳解】（1）解：令歹=。時，則有爾-2G=0,

解得：X]=0,%=2,

8（2,0）,

vy=ax2-2ax=a^x-\y-a,

?,?頂點坐標為（1,-a）;

（2）解：由（1）可知該二次函數(shù)的對稱軸為直線x=l,

???點（-1,%）,。點%）,（2,%）在該拋物線上,

它們到二次函數(shù)對稱軸的距離分別為卜1-1|=2,|1.5-1|=0.5,|2-1|=1,

.?.當a>0時，二次函數(shù)圖象的開口向上，貝值％<為<必；

當。<0時，二次函數(shù)圖象的開口向下，則有必<%<%；

（3）解：由題意得點。（3,-3）,則可分：

①當。>0時，且二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點C,則把代入二次函數(shù)解析式得：

-CI=-2,

??.Q=2,符合題意，

假設二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點。（3,-3）,則有9。-6a=-3,

解得：〃=-1<0,不符合Q>0,

根據(jù)二次函數(shù)的開口越小，則回越大，

???當拋物線與線段CD只有一個公共點，則aN2；

②當。<0時，由①可知拋物線只能經(jīng)過點。，即。=-1,

???當拋物線與線段CD只有一個公共點，則a4-1,

綜上所述：當拋物線與線段CD只有一個公共點，貝Ua22或a4-1.

10.（2022?北京海淀?二模）在平面直角坐標系xOy中，點（加-2,力），（如竺），（2-m,y3）在拋物線

y=x2~2ax+1其中冽且加工2.

⑴直接寫出該拋物線的對稱軸的表達式(用含。的式子表示)；

(2)當加=0時，若乃=乃，比較為與處的大小關系，并說明理由;

⑶若存在大于1的實數(shù)"?，使川>竺>73，求。的取值范圍.

【答案】(l)x=。

(2)y2<ylt理由見解析

⑶。的取值范圍是0<。<1

【詳解】(1)解：X=-W=4;

2

(2)當7〃=0時，

這三個點分別為(-2,%)，(0,%),(2,%),

"必=%，

??.(-2,必)與(2,%)關于對稱軸對稱，

拋物線的對稱軸為x=0,

即a=0.

???函數(shù)解析式為了=，+1

(0,%)為拋物線的頂點.

???拋物線的開口向上，

?1?當x=0時，％為函數(shù)y=x,-2ax+l的最小值.

?1?y2<yi-

(3)將工=機一2,x=加和x=2—加分別代入，得：

yt=(m-2y—2a(?;—2)+1,

2

y2=m-2am+1,

y3=(2-n?y+2a(2-m)+l.

貝Ij有：yi-y2=4(a+l-m),

%-%=4("l)(l一加),

于是M>y2>y3成立，即為必-%>。和%-%>o同時成立，

也即為a>m-l和(”1乂1-機)>0同時成立.

①當時，m-l<a<0,

故加W1,不存在大于1的實數(shù)加；

(2)當”1時，a-l>0,

要使則加<1,也不存在大于1的實數(shù)"；

③當a=l時，(?-1)(1-?)=0,不符合題意；

（4）0＜。＜1時，

只需取滿足1＜加＜a+1的機即可滿足前述兩個不等式同時成立，

即%＞%＞%成立.

綜上所述，a的取值范圍是0＜。＜1.

【題型3求參數(shù)的范圍】

考查了求二次函數(shù)的頂點式，二次函數(shù)的性質(zhì)，運用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關鍵.首先I

可求得拋物線的解析式及對稱軸所在的直線，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得結(jié)論；分兩種情況，即開|

口向上和向下時，分別討論計算即可求得.

11.（北京市三帆中學2021-2022學年九年級下學期一模）在平面直角坐標系xQy中，點（L%），

（2,%）在拋物線y=爾+6x+c上.

⑴若。=-1,b=-2,c=0,求該拋物線的對稱軸并比較%，%,%的大?。?/p>

（2）已知拋物線的對稱軸為x=f,若％求才的取值范圍.

【答案】

【詳解】（1）解：,.?〃二一1,b=-2fc=0

-2

?.?該拋物線的開口向下，對稱軸為直線x=-F=-1,

當x=-l時，y取最大值，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小

（2）解：當x=O時，y=c,

①當a＞0時，若必＜。＜%＜必，

t＞0

則函數(shù)圖象如圖所示：

??J?3

t<A

11

2

②當“<0時，拋物線開口向下

t<0

.,.x>0時，y隨x的增大而減小

，%勺2<。，與力不符合

故不存在此種情況

綜上，/的取值范圍為;</<!.

12.(2024?北京,中考真題)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線》=G2-2/4.片0).

(1)當。=1時，求拋物線的頂點坐標；

(2)已知M(X],必)和N(%2，%)是拋物線上的兩點.若對于%=3a,3<x2<4,都有必<%,求。的取值范圍.

【答案】⑴((T；

(2)0<。<1或〃<-4

【詳解】(1)解：把a=1代入y=q2—2/%得，y=x2-2x=(x-l)2-l,

???拋物線的頂點坐標為(1,-1);

_?/72

（2）解：分兩種情況：拋物線的對稱軸是直線x=-*=a；

2a

①當a>0時，如圖，此時3a<3,

???Q<1,

又a〉0,

解得a<-4,

又4<0,

綜上，當0<。<1或〃<一4,都有必<為.

13.（2024?北京東城?二模）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax?+一％。>0）.

⑴求該拋物線的頂點坐標（用含加的式子表示）；

⑵若對于該拋物線上的三個點-2,%），B（2m,y2）,C（2,〃-2,%）,總有%>%>力，求實數(shù)加的取值

范圍.

【答案】⑴（加,-4）

（2）1<m<2

【詳角軍】（1）角至：vy=ax2-2amx+am2-a-2mx+m2^-4=a（^x-m^2-4,

???該拋物線的頂點坐標為（m,-4）

（2）解：由（1）可得：拋物線的對稱軸為直線工="7,拋物線開口向上，

;對于該拋物線上的三個點/（加-2,%），B（2m,y2）,C（2m-2,%）,總有%>%>%，

???點A距離對稱軸的距離大于點B距離對稱軸的距離大于點C距離對稱軸的距離，

|m—2—m|>\2m—m\>|2m—2—m|,

解得：1<m<2,

,??實數(shù)冽的取值范圍為1(加<2.

14.(2024年北京市燕山區(qū)中考一模)在平面直角坐標系xQy中，"(加,乃)，"("2+2,為)是拋物線

?=狽2+/+以.>0)上兩點.設該拋物線的對稱軸為x=f.

(1)若對于%=1,有%=%,求/的值；

(2)若對于1<加<2,都有弘<%,求f的取值范圍.

【答案】⑴2

(2)?<2

【詳解】(1)解：?.?對于機=1,有必=%,

.,.點河(心,%)，N(m+2/2)關于直線x=f對稱，

t—\—3—t,

:.t=2.

(2)解：〉0,

.?.當尤之/時，了隨x增大而增大，當工</時，y隨x增大而減小.

①當綏1時,

1<m<2,

3<m+2<4,

.,-t<m<m+2,

符合題意；

②當1</W2時，

(z)當時，

3<m+2<4,

.*./<m<m+2,

<y2,符合題意；

(ii)當時，

設點關于x=/的對稱點為AT,則點的坐標為“⑵-加,必)，

<2,

^m<2t—m<3.

3<m+2<4,

?,?必<歹2，符合題意；

③當2<，<3時，令加=,一1,貝!J加+2=，+1,

?,?必=%，不符合題意;

37

④當EN3時，令加=,,貝!J加+2=5,

.,?必〉外，不符合題意；

綜上所述，，的取值范圍是*2.

15.（2024?北京西城?模擬預測）在平面直角坐標系xQy中，拋物線歹=辦2+麻+以。〉0）經(jīng)過點

/（I,加）,3（2,加+2）,C（0,—1）.

（1）。=，機的取值范圍是;

⑵點M（XI，M）,N（X2/2）在拋物線〉="2+反+°（4>0）上，若對于0<石<2,都有必<為,求冽

的取值范圍.

【答案】⑴—1;m<\

（2）-1<m<1

【詳解】（1）解：把。（0,-1）代入y="2+6%+以。>0）,得：c=-l；

才巴4（1,加）,5（2,m+2）,代入角犁析式，得：a+b-l=m?,4a+2b-i=m+2@f

②-①，得：3〃+6=2,

???b=2-3。，

???加=Q+2—3。-1=1-2Q,

????！?,

???1一2。<1,

.1em<1；

故答案為：-1；m<l；

（2）設拋物線的對稱軸為直線％=/，

Q>0,

拋物線的上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，

?.,0<再<2,

??,對于0<玉<1,1<工2<2,都有必<%,

???〃（西,弘）,N（乙,%）的中點在對稱軸右側(cè),

1

t一,

2

2a2

-b<a,

由（1）知：b=2—3。，

，3。一2Wa,

tz<1,

?<.0<a<1,

「?—2?~~2a<0

-l<m=l-2a<1,

故-1<m<\.

【題型4最值問題】

二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的對稱軸公式，增減性，頂點坐標|

等知識是解題關鍵.

16.（2024年北京市廣渠門中學中考二模）已知拋物線了=辦2+瓜+<:（0>0）的對稱軸為直線了=?.

（1）當f=2時，

①寫出6與。滿足的等量關系；

②當函數(shù)圖象經(jīng)過點（1,3）,（毛,匕），（玉+2,%）時，求必+%的最小值；

（2）已知點/（一1,加）,5（3,77）,c（x0,p）在該拋物線上，若對于3<%<4,都有加>p>",直接寫出/的取值

范圍.

【答案】⑴①6=-4。；②6

3

⑵尸43

【詳解】（［）解：①當r=2時，對稱軸為直線x=2.

b.

..x—------=2,

2a

「?b--4a；

②由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當（。匕），（再+2,%）關于對稱軸對稱時必+力取最小值，

???對稱軸為直線x=2,點（1,3）關于對稱軸的對稱點為（3,3）,

（9，乂）與點（1,3）重合,（現(xiàn)+2,為）與點（3,3）重合時，%+必取最小值，

最小值為：3+3=6.

（2）解：vy=ax2+bx+c（<a>0）,

???拋物線開口下上，

V-1<3<XO,m>p>n,

.?.點在對稱軸的左側(cè)，點3（3,〃）在對稱軸上或?qū)ΨQ軸的右側(cè)，C（Xo，p）在對稱軸的右側(cè)，點到/

對稱軸的距離大于點。到對稱軸的距離,

[/-(-l)>x0-Z

解得

,.<3<x0<4,

17.（2022年北京市一零一教育集團九年級下學期零模）已知二次函數(shù)尸-—4女+3°.

⑴該二次函數(shù)圖象的對稱軸是天=；

⑵若該二次函數(shù)的圖象開口向下，當14x44時，V的最大值是2,求當14x44時，了的最小值：

⑶若對于該拋物線上的兩點尸（國,%）,0（%，%），當，4網(wǎng)4/+1,々25時，均滿足必2%,請結(jié)合圖象，直接

寫出/的最大值.

【答案］⑴2

（2）-6

（3）4

【詳解】（1）解：對稱軸x=-?=2.

2a

（2）解：?.?該二次函數(shù)的圖象開口向下，且對稱軸為直線x=2,

.,.當x=2時，了取到在1VXW4上的最大值為2.

4。一8a+3。=2.

a——2,y=—2x~+8x—6,

?.?當"xW2時，了隨x的增大而增大，

當尤=1時，V取到在14x42上的最小值0.

?.?當24x44時，了隨x的增大而減小，

.,.當x=4時，y取至（J在2VxV4上的最小值一6.

.,.當1VXV4時，V的最小值為-6.

（3）解：?.?當WZ+1,馬25時，均滿足必2%,

當拋物線開口向下，點P在點。左邊或重合時，滿足條件，

tN-1且f+145

—14/44,

??/的最大值為4.

屬于中考?？碱}型.

18.(北京師范大學實驗中學2022-2023學年九年級下學期二模)在平面直角坐標系xOy中，拋物線

y=o?+bx+3a(fl*0)與x軸的交點為點”(1,0)和點B.

(1)用含a的式子表示b；

(2)求拋物線的對稱軸和點B的坐標；

⑶分別過點P&0)和點。(/+2。)作x軸的垂線，交拋物線于點M和點N,記拋物線在N之間的部分為

圖象G(包括N兩點).記圖形G上任意一點的縱坐標的最大值是加，最小值為".

①當4=1時，求機一〃的最小值；

②若存在實數(shù)3使得加-〃=1,直接寫出。的取值范圍.

【答案】(1)6=-4。

(2)x=2,(3,0)

(3)①1；@0<a<l^-l<a<0

【詳解】(1)解：把點出1，0)代入>=辦2+加+3°得：

a+b+3a=0,

b=-4a；

(2)解：由(1)知拋物線為歹=af_4ax+3a,

???拋物線的對稱軸為直線X=-h=2,

2a

而41,0)關于直線x=2的對稱點是(3,0),

由拋物線對稱性得：點B坐標(3,0)；

(3)解：①如圖：

當a=］時，y=ax2-4ax+3a=a(x-l)(x-3)=(x-l)(x-3),

???拋物線與x軸交點坐標為(1,0),(3,0),與抗軸交點坐標為(0,3),頂點坐標為(2,-1),

由圖象知：當圖象G為對稱圖形時加-〃有最小值，

又尸(J0),Q(t+2,0),

2—￡=(￡+2)—2,

.,.t=1,

???過點尸&0)和點。?+2,0)作X軸的垂線，交拋物線于點”和點N,

.■.W,0),N(3,0),

???頂點坐標為(2,-1),

-m-n的最小值為0-(-1)=1；

②???點PC0)和點Q(t+2,0)作x軸的垂線，交拋物線于點〃和點N,

由(1)知拋物線為>=--4ax+3a,

-4?Z+3a),N(f+2,a(t+2)2-4a(t+2)+3a),

又；拋物線對稱軸為直線x=2,頂點坐標為(2,-“)，

根據(jù)M、N點的相對位置和拋物線的開口方向可分以下四種情況討論。的取值:

(I)當a>0,且-+2V2時，即圖象G在對稱軸左側(cè)時，

此時M點的縱坐標最大，N點的縱坐標最小，

:.at~—4at+3a—+2)~—4a。+2)+3a]-1,

解得

又40,tz>0,

1------W0.且a〉0,

4。

0<aW—；

4

(H)當。>0,且此2時，即圖象G在對稱軸右側(cè)時，

此時N點的縱坐標最大，M點的縱坐標最小，

/.u,(t+2)2—4a(%+2)+3a—(a/—4a￡+3a)-1,

解得，=1+；，

4。

又a〉0,

1H-----22且a〉0,

4a

0<aW—,

4

(HI)當?！?,且0W1時，即最低點是拋物線頂點且M點縱坐標大時，

此時加=—4at+3a,〃=~a，

4at+3(2(~〃)=1,

解得，=2±?,

a

X*.,O</<1,tz>0,

.1=2一逅,

0<2-<1,

a

??一<QW1;

4

(IV)當a>0,且1</2時，即最低點是拋物線頂點時且N點縱坐標大，

此時加+2)2-4a。+2)+3〃，n=-a,

ci(jt+2)2—4Q(/+2)+3a-(-a)=1,

解得

a

又,.TW2,a〉0,

a

一Va<1,

4

綜上所述，當0<aVl時，m-n=l,

同理可得：當。<0時，也符合條件，

■■a的取值范圍為0<aWl或-1Wa<0.

19.(2021?北京順義?二模)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2-4ax+2(a>0)與y軸交于點力.

(1)求點/的坐標及拋物線的對稱軸；

(2)當04x45時，y的最小值是一2,求當0WxW5時，y的最大值；

(3)拋物線上的兩點P(X1，%)，Q(乙，%)，若對于，<玉<*1,t+2<x2<t+3,都有%*力，直

接寫出/的取值范圍.

【答案】(1)A(0,2)；對稱軸是x=2；(2)7；(3)或d1.

【詳解】解：(1)令尤=0則》=2,

????點力坐標為(0,2).

vy=ax2—4ax+2=a(x2-4.r+4)+2-4a=a[x-2)2+2-4a,

???二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=2；

(2)'.^>0,

拋物線開口向上，

?.?當04x45時，y的最小值是一2,拋物線對稱軸為x=2,

??-2—4a=—2,

解得a=l.

二次函數(shù)表達式為y=x2-4x+2,

.?.在0V尤45時，當x=5時，y有最大值，^=52-4x5+2=7；

(3),?,點P(Xj,%)，Q(x2,%),且/<玉<，+1,t+2<x2<t+3,都有%

???①當點尸、。都在對稱軸x=2左側(cè)時，%此時/+3S2,解得《1；

②當點尸、0都在對稱軸x=2右側(cè)時，必此時會2；

③當點尸在對稱軸x=2左側(cè)，點Q在對稱軸x=2右側(cè)時，且%*%，

此時2-(f+1)>(汁3)-2或2依(什2)-2,解得住0,或尼1,

綜上所述，或此1.

20.(2021?北京石景山?二模)在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)y=/+6x+c.

(1)當b=-2時，

①若c=4,求該函數(shù)最小值；

②若2VxV3,則此時x對應的函數(shù)值的最小值是5,求c的值；

(2)當c=26時，若對于任意的x滿足bVxWb+2且此時x所對應的函數(shù)值的最小值是12,直接寫出6的

值.

【答案】(1)①3；②5；(2)6=2或者一2-2也

【詳解】解：(1)①當加-2,c=4時，二次函數(shù)變形為：

y=x2-2x+4

=(x-1)+3,

當x=l時函數(shù)的最小值為3；

②,地物線為y=x2-2x+c.

此時拋物線開口向上，對稱軸為x=l.

.,.當x>l時，了隨x增大而增大.

-■?1<2<X<3,

.?.取值范圍位于對稱軸的右側(cè)，

.?.當x=2時，y最小=5,

?--5=22-2X2+C.

。=5.

(2)當拒0時,

???二次函數(shù)y=/+6x+26的對稱軸為x=-g<0,

.?---<0<b<x<b+2,

2

.??取值范圍位于對稱軸的右側(cè)，

二當x=6時，函數(shù)有最小值，

■-b2+b2+2b=]2,

解得6=2或6=-3(舍去)；

當6<0時，

???二次函數(shù)y=x2+為+26的對稱軸為x=-g>0,

當對稱軸位于取值范圍bVxW8+2內(nèi)時，，

、x=-g時，函數(shù)有最小值，

???/—86+48=0,此時無解；

當對稱軸不位于取值范圍+2內(nèi)時，，

.?.bVxVb+2位于對稱軸的左側(cè)，

??0隨x增大而減小，

.??x=6+2時，函數(shù)有最小值，

.?.（6+2）2+6（6+2）+26=12,

整理，得/+46-4=0；

解得6=-2-2亞或6=-2+20（舍去）；

■--b=2或者-2-242-

限時提升練

（建議用時：30分鐘）

1.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線）=依2-2/彳-3（°20）.

⑴求該拋物線的對稱軸（用含。的式子表示）；

（2）/（再,必），2（/，%）為該拋物線上的兩點，若再=-2a,x2=a+1,且外>%>-3,求。的取值范圍.

【答案】⑴…

（2）!<a<l

【分析】（1）根據(jù)配方法化為頂點式，即可求解；

（2）分。>0和。<0,分別討論，根據(jù)%>力>-3列出不等式，進而即可求解.

【詳解】（1）解：y=ax2-2a2x-3=a（x-a）-3-a3

???拋物線的對稱軸為直線x=a

(2)解：?.?拋物線的對稱軸為直線x=a,

當。>0時，拋物線開口向上，對稱軸在了軸的右側(cè),

項=-la,x2=tz+1,

xx<a<x2

Ji>%>-3，

口r—2a+Q+1

即---------<a,

2

解得：

歹2〉-3

???a(a+1)2-2a2(4+1)-3>-3,即a(a+1)(1-a)〉0

,?,Q〉0

解得：6Z<1

1?

—<Q<1

3

當