分式方程及其應(yīng)用【七大題型】

題型1分式方程的解

題型5分式方程的應(yīng)用之行程問題

題型2由分式方程無解或存在增根求參數(shù)

題型6分式方程的應(yīng)用之工程問題專題06分式方程及其應(yīng)用

題型3由分式方程的解的取值范圍求參數(shù)

題型7分式方程的應(yīng)用之銷售問題

題型4解分式方程

g基礎(chǔ)知識

務(wù)實(shí)去砒,5t貪兔/扣犯體泰

1分式方程的概念

含分式，且分母含有未知數(shù)的方程;

2解分式方程的步驟

①能化簡的先化簡；

②去分母，把方程兩邊同乘各分母的最簡公分母（這里會產(chǎn)生增根）；

③解整式方程，得到整式方程的解；

④檢驗(yàn)，把所得整式的解代入最簡公分母中，如果最簡公分母為0,則元方程無解，這個

解是原方程的增根；如果最簡公分母不為0,則是原方程的解.

3列方程（組）解應(yīng)用題基本步驟

（1）審題，分析題中各個量之間的關(guān)系；

（2）設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題意及各個量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)；

（3）列方程（組），根據(jù)題中各個量的關(guān)系列方程（組）；

（4）解方程（組）；

（5）答.

zhg

基本方法模塊也為a,空造解敢像力

【題型11分式方程的解

【典題1】已知分式方程之+1=鬻的解為久=3,則。的值為（）

XiZA."i4

A.2B.3C.7D.13

【答案】C

【分析】本題考查了分式方程的解，將％=3代入總+1=震進(jìn)行計(jì)算即可.

%十ZA,4

【詳解】解：把X=3代入白+1=鬻得：1+1=等，

解得：a=7,

故選：C.

【鞏固練習(xí)】

1.下列分式方程中，解為%=-1的是（)

A41_x+1?C.2+吃=0D-京一擊=°

A?二1二嚏B-n=°x—lx+2

【答案】C

【分析】根據(jù)方程解的意義，使方程左右兩邊相等的式子值叫方程的解，分別代入判斷即可.

【詳解】當(dāng)x=—1時，

A.白=（中，左邊=一2,右邊=—1,A不符合題意；

B.巖=°中，x2-l=0,分母等于0,分式無意義,B不符合題意；

o1

二十-=°中，左邊=—=右邊，符合題意；

C.%—1x+Z1+1=°C

71

D.后一米=°中，分母％+1=0,D不符合題意?

故答案是：C

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，解決本題的關(guān)鍵是正確理解分式方程解的意義，做題時

要考慮分母是否為0的情況.

X-n

2.已知關(guān)于％的分式方程其=2的解為％=4,貝必的值為（）

A.4B.3C.0D.-6

【答案】D

【分析】本題考查了分式方程的解，通過已知分式方程的解求未知數(shù)的知識.解題的關(guān)鍵是

將x的值回代到原方程.將尤=4回代到方程中即可求出a值.

【詳解】解：將久=4代入方程，

得：三=2，

解得a=-6,

故選：D.

3.已知關(guān)于x的分式方程：+方=0的解為久=4,則常數(shù)。的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】將x=4代入方程即可求解.

【詳解】解：將x=4代入方程得：3+號=0

即：;肄。

解得：a=3

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分式方程的解求參數(shù).將方程的解代入原方程即可.

【題型2】由分式方程無解或存在增根求參數(shù)

【典題1】若關(guān)于x的分式方程m=三一2有增根，則根的值是（）

A.-7B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】把分式方程的增根代入去分母后的整式方程即可.

【詳解】解：

去分母得：1—x=-m—20—2）,

把增根％=2代入可得：

1—2——m,

解得：m=1,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的增根問題，令分母為零可以得到增根，理解增根的產(chǎn)生原

因是解本題的關(guān)鍵.

【鞏固練習(xí)】

1.關(guān)于X的方程分=2+占有增根，則k的值為（）

X-oX一□

A.2B.-6C.-2D.6

【答案】A

【分析】本題考查了分式方程增根的應(yīng)用，屬于簡單題，將分式方程化成整式方程再代入增

根解題是關(guān)鍵.根據(jù)方程有增根,先求出增根為x=3,再將分式方程化成整式方程,將％=3

代入求值即可.

【詳解】解：蕓=2+三，

方程兩邊每一項(xiàng)同時乘x—3得：x-1=2（x-3）+A：

整理得：k=—x+5

???方程有增根，

.,.把x=3代入方程k=—x+5得,k=2.

故選A.

2.已知關(guān)于x的分式方程黑=七無解，貝妹的值為（）

A.k=—2B.k=2C.k=—1D.k=1

【答案】A

【分析】去分母，把分式方程化為整式方程，把增根代入整式方程可得答案.

【詳解】解：?；黑=七，

?_k_+1_—----x

"x-i-x-r

fc+1=-x,

???方程的增根是％=L

把％=1代入/c+1=—%得：

???k=-2.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的增根問題，掌握把分式方程的增根代入去分母后的整式方程求

未知系數(shù)的值是解題的關(guān)鍵.

3.若分式方程昌一言=怒有增根％=—1，則k的值是()

JCAXX?JC

A.-1B.3C.6D.9

【答案】D

【分析】本題考查解分式方程，增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為

0的根.本題的增根是x=-l,把增根代入化為整式方程的方程即可求出k的值.

【詳解】解：方程兩邊都乘以X+1)0—1),得

x(fc—1)—(x+1)=(fc—5)(x—1),

???增根為％=-1

A1_fc=(fc_5)x(-2)

fc=9.

故選：D.

4.若關(guān)于x的方程詈+等=—1無解，則小的值為()

X—J□一X

A.3B.一：C.3或一§D.—1或--

【答案】D

【分析】本題考查解分式方程的解，分式方程無解即最簡公分母為0.分式方程去分母轉(zhuǎn)化為

整式方程，由分式方程無解確定出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出山的值.

【詳解】解:：凳+籌=一1無解，

去分母得:3—2x—2—mx——x+3,解得(m+1)久=—2,

當(dāng)加+1=0時，即m=—1,方程無解；

由分式方程無解，得X—3=0,解得:x=3,

.?.把％=3代入整式方程得:3-6-2-3m=0,解得:m=-|,

方程無解則小的值為一1或一,

故選:D.

【題型3】由分式方程的解的取值范圍求參數(shù)

【典題1］已知關(guān)于無的分式方程g+二=1的解是非負(fù)數(shù)，則小的取值范圍是()

A.m>5B.m>5C.m>5或m豐6D.m>5或m中6

【答案】C

【分析】本題考查了解分式方程，分式方程的解，解分式方程可得"=巾一5,即得

m-5>0,得到巾25,又由％—1不0得到小76,據(jù)此即可求解，正確求出分式方程的解

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：分式方程去分母得，m-6=x-l,

解得％=m—5,

..?分式方程含+2=1的解是非負(fù)數(shù)，

m—5>0,

m>5,

又1WO,即m—6W0,

.,.m6,

.,.m>5且THW6,

故選：C.

【鞏固練習(xí)】

1.若關(guān)于X的分式方程占一色=2的解為正數(shù)，則加的取值范圍是()

A.m<—2B.m>—2且m豐—1

C.m>—2D.m<2且m豐1

【答案】B

【分析】此題考查了利用分式方程的解求參數(shù)的取值范圍，正確求解分式方程并掌握分式的

分母不等于零的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.先求出分式方程的解，根據(jù)關(guān)于x的分式方程之一三

=2的解為正數(shù)，分式有意義的條件，可得2+6>0且2+巾71,進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：「士-鼻=2,

■■-x+m=2(%-1),

x—2+m,

關(guān)于x的分式方程三一占=2的解為正數(shù)，

?1.x>0且％—1=#0,即x>0,無不1,

2+m>0且2+THW1,

???m>—2且mW—1,

故選：B.

2.若關(guān)于龍的方程匕-2=碧的解為正數(shù)，則加的取值范圍是()

24242

A.--B.-C.m>—5且m70D.巾<目且??1力5

【答案】D

【分析】本題主要考查解分式方程和一元一次不等式組，先解分式方程，根據(jù)分式方程的解

為正數(shù)和分式方程無意義的情況即可求出加取值范圍

【詳解】解：之-2=9，

去分母得，2%—4(%—1)=3m,

整理得，2%—4%+4=3m,

解得，％=空，

??,分式方程的解為正數(shù)，

42

.\m<弓且mH

故選：D

3.已知關(guān)于x的分式方程W+等=1的解為負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是()

X~r±X-1

1111

A.左<萬且k力。B.kW萬且k力。C.左2一,且k#。D.k>—5且ZcKO

【答案】D

【分析】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的

關(guān)鍵.

分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程解為負(fù)數(shù)，確定出左的

范圍即可.

【詳解】解：原方程京+若=1

去分母得：kx—k+x2+(k+l)x+fc=x2—1,

整理得：(2/c+1)%=-1,

.??京+汽=1有意義,

XW±1

/.(2k+1)7-1且一(2卜+1)-1,

解得k?！?且k*0

當(dāng)2k+1<0時,方程的解為正數(shù);

當(dāng)2/c+1=。時,方程無解:

.,.當(dāng)2k+1>0,方程的解為負(fù)數(shù),

解得：fc>—

綜上所述，此時人的范圍為k>—且k羊0,

故選：D.

【題型4】解分式方程

【典題1】（2023?上海崇明?三模）解分式方程：分+3=工

【答案】X=|

【分析】本題考查了解分式方程，先化為整式方程，再解一元一次方程，然后對所求的方程

的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可得.

【詳解】三+3=￡

去分母得，2—x+3（%—3）=—2

解得x=|

檢驗(yàn)：將尤—：代入%—3K0

原方程的解為久=:

【鞏固練習(xí)】

1.（2023?海南?？?模擬預(yù)測）若分式匕與擊的值相等，則x的值為（）

A.7B.-7C.5D.-5

【答案】B

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得到方程含=白，解出即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意言=擊

則2(%+3)=x-l

2x+6=x—1

2x—x=—6—1

x=—7,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=-7是分式方程的解,

/.分式言與右的值相等，則x的值為—7

故選：B.

2.(2024?江蘇南通?中考真題)(1)計(jì)算：2根6瓶一1)一爪(爪+1)；

【答案】(1)—3771(2)X=——

【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解分式方程，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；

(2)根據(jù)解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)2mQm—1)—m(m+1)

=m2—2m—m2—m

=—3m；

%2x

.......-1=------

(2)x+13x4-3

3%—(3x+3)=2x,

3%—3x—3=2x,

檢驗(yàn)，當(dāng)％=一萬時，3%+3。0,

所以，原分式方程的解為x=—?!

3.(2023?湖北?中考真題)(1)計(jì)算：(12x4+6x2)3x-(-2x)2(x+1)；

(2)解分式方程：|-W=0?

【答案】(1)2x-4x2；(2)無=■!

【分析】(1)根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式可進(jìn)行求解；

(2)根據(jù)分式方程的解法可進(jìn)行求解.

【詳解】(1)解：原式=4汽3+2%-4%2(%+1)

=4x3+2x—4x3—4x2

=2%—4x2；

(2)解：兩邊乘以%(%—1)(%+1),得5("1)-(久+1)=0.

解得：%=|.

檢驗(yàn)，將％=萬代入—1)(%+1)w0.

...x=|是原分式方程的解.

【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式及分式方程的解法，熟練掌握

各個運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

【題型5】分式方程的應(yīng)用之行程問題

【典題1】(2024?湖南岳陽?模擬預(yù)測)2022年12月26日上午，常益長高鐵正式開通運(yùn)營,

自此，三湘大地形成高鐵大環(huán)線，串起湖南“金色”大通道.若從常德市到長沙市乘坐高速列

車的路程為150千米，乘坐普通列車的路程為168千米，高速列車的平均速度是普通列車的

平均速度的2.5倍，且高速列車的乘車時間比普通列車的乘車時間縮短了1.8小時.問高速

列車的平均速度是多少千米/時？

【答案】高速列車的平均速度是150千米/時

【分析】此題考查的是分式方程的應(yīng)用，掌握用列表法分析等量關(guān)系并列方程是解決此題的

關(guān)鍵.

設(shè)普通列車平均速度是每小時x千米，則高速列車的平均速度是每小時3x千米，

列表如下：

普通列車高速列車

路程168150

速度X2.5%

168150

時間

X2.5%

然后再根據(jù)“高速列車的乘車時間比普通列車的乘車時間縮短了1.8小時”，列方程并解方程

即可（注：分式方程要驗(yàn)根）.

【詳解】解：設(shè)普通列車平均速度是每小時x千米，則高速列車的平均速度是每小時2.5x千

米

由題意可知：--^=1.8

解得：%-60

經(jīng)檢驗(yàn)：x=60是原方程的解，

，高速列車的平均速度是每小時60x2,5=150千米.

答：高速列車的平均速度是每小時150千米.

【鞏固練習(xí)】

1.（2024?云南紅河?模擬預(yù)測）為了促進(jìn)粵港澳大灣區(qū)城市群的互聯(lián)互通，國家將在珠江口

東西兩岸的深圳市和中山市修建一條集“橋、島、隧、水下互通”于一體的工程，計(jì)劃于2024

年建成通車，屆時深圳與中山將進(jìn)入“半小時生活圈”.現(xiàn)在從深圳到中山的全程約為

126km,建成通車后全程約為28km,平均速度將提高原來的怖，時間將少用90min,則原來

的平均速度是（）

A.63km/hB.60km/hC.72km/hD.80km/h

【答案】C

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵；設(shè)原來

的平均速度是xkm/h,則現(xiàn)在的平均速度為（1+|）久km/h,根據(jù)時間少用90min列出分式方

程并求解即可.

【詳解】解：設(shè)原來的平均速度是xkm/h,則現(xiàn)在的平均速度為（1+》久km/h,

由題意得：子-春峙

解得：x=72,

經(jīng)檢驗(yàn)％=72是原方程的解，且符合題意，

即原來的平均速度是72km/h,

故選：C.

2.(2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)甲，乙二人分別從相距20千米的4B兩地以相同的速度同時相

向而行，相遇后，二人繼續(xù)前進(jìn)，乙的速度不變，甲每小時比原來多走1千米，結(jié)果甲到達(dá)

B地后乙還需30分鐘才能到達(dá)2地，求乙每小時走多少千米？()

A.—5B.—5或4C.4D.6

【答案】C

【分析】本題考查分式方程解實(shí)際應(yīng)用題及解一元二次方程，設(shè)甲，乙相遇前甲每小時走x

千米，相遇后甲每小時走(x+1)千米，則乙每小時走x千米，根據(jù)甲乙相遇前的速度一樣,

可知甲乙相遇時，都是走了總路程的一半即10千米，甲到達(dá)8地后乙還需30分鐘才能到達(dá)4

地，列出方程，求解即可，注意檢驗(yàn).

【詳解】解：設(shè)甲，乙相遇前甲每小時走x千米，相遇后甲每小時走(x+1)千米，則乙每小

時走x千米，根據(jù)題意得：甲乙相遇前的速度一樣，可知甲乙相遇時，都是走了總路程的一

半即10千米，

則吟一(三+券)=,即20(%+1)-20%-10=|x(x+1),

整理得：x2+X-20=0,

解得：x=4或x=-5(舍去)，

當(dāng)x=4時，x(x+1)0,

????=4是原分式方程的解，

則乙每小時走4千米，

故選：C.

3.(2024?貴州畢節(jié)?一模)某校組織學(xué)生去郭永懷紀(jì)念館進(jìn)行研學(xué)活動.紀(jì)念館距學(xué)校120

千米，部分學(xué)生乘坐大型客車先行，出發(fā)12分鐘后，另一部分學(xué)生乘坐小型客車前往，結(jié)

果同時到達(dá).已知小型客車的速度是大型客車速度的1.2倍，求大型客車的速度.

【答案】大型客車的速度為100km/h

【分析】此題考查了分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是

解決問題的關(guān)鍵，此題的等量關(guān)系是快車與慢車所用時間差為12分鐘，設(shè)大型客車的速度

為xkm/h,則小型客車的速度為1.2xkm/h,根據(jù)所用時間差為12分鐘列方程解答.

【詳解】解：設(shè)大型客車的速度為xkm/h,則小型客車的速度為1.2%km/h,

用用HK上e12012012

根據(jù)題思得：----^2x=60；

解得：X=100,

經(jīng)檢驗(yàn)，無=100是原方程的根,

答：大型客車的速度為100km/h.

4.（2024?貴州黔東南?一模）貴州有“橋梁博物館”的美譽(yù).世界第一高橋一北盤江大橋位于

中國云南省和貴州省的交界處，橋面到江面的垂直距離為565.4米，全長約為1341米.在大

橋建成未營運(yùn)之前，甲、乙兩名工程師從橋的一端走到另一端，甲工程師步行先走12分鐘

后，乙工程師騎自行車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá).已知騎自行車的速度是步行速度的3倍,

求甲工程師步行的速度和乙工程師騎自行車的速度.

【答案】甲工程師步行的速度為74.5米/分；乙工程師騎自行車的速度為223.5米/分

【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)甲工程師步行的速度為每分鐘萬米，則乙工程

師騎自行車的速度為每分鐘3x米，根據(jù)題意列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)甲工程師步行的速度為每分鐘x米，則乙工程師騎自行車的速度為每分鐘3x

米.根據(jù)題意，

得號1=片把+12

3x

解得X=74.5,

經(jīng)檢驗(yàn)％=74.5是原分式方程的解,

74.5x3=223.5.

答：甲工程師步行的速度為74.5米/分；乙工程師騎自行車的速度為223.5米/分.

【題型61分式方程的應(yīng)用之工程問題

【典題1】（2024?湖南?模擬預(yù)測）某國產(chǎn)新能源汽車在國內(nèi)國際市場銷售屢創(chuàng)佳績，體現(xiàn)

了中國制造的“大國風(fēng)范”.為進(jìn)一步提升市場占有率，決定增加產(chǎn)量600萬臺.自2020年

初開始實(shí)施后，實(shí)際每年產(chǎn)量是原計(jì)劃的1.2倍，照此進(jìn)度預(yù)計(jì)可提前2年完成任務(wù).

（1）原計(jì)劃每年產(chǎn)量為多少萬臺？

（2）為更快實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，該品牌決定加快生產(chǎn)速度，要求從2023年初后續(xù)不超過5年完成，那

么實(shí)際平均每年產(chǎn)量至少還要增加多少萬臺？

【答案】（1）原計(jì)劃每年產(chǎn)量為50萬臺

(2)實(shí)際平均每年產(chǎn)量至少還要增加36萬臺

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意，正確列出分式方

程和一元一次不等式是解此題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)原計(jì)劃每年產(chǎn)量為x萬臺，則實(shí)際每年產(chǎn)量就是1.2x萬臺，根據(jù)“預(yù)計(jì)可提前2年完

成任務(wù)”列出分式方程，解分式方程即可得出答案；

(2)由(1)可得，實(shí)際每年產(chǎn)量就是1.2x=60萬臺，設(shè)實(shí)際平均每年產(chǎn)量至少還要增加a

萬臺，根據(jù)“要求從2023年初后續(xù)不超過5年完成“列出一元一次不等式，解不等式即可得

出答案.

【詳解】(1)解：設(shè)原計(jì)劃每年產(chǎn)量為x萬臺，則實(shí)際每年產(chǎn)量就是12%萬臺，

由題意得：—=Y^+2,

解得：%-50,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=50是分式方程的解且符合題意，

,原計(jì)劃每年產(chǎn)量為50萬臺；

(2)解：由(1)可得，實(shí)際每年產(chǎn)量就是1.2%=60萬臺，

設(shè)實(shí)際平均每年產(chǎn)量至少還要增加a萬臺，

由題意得：(60+a)X52600—2x60,

解得：a236,

/.實(shí)際平均每年產(chǎn)量至少還要增加36萬臺.

【鞏固練習(xí)】

1.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)暢達(dá)綠脊藍(lán)灣美城，趣享山海戶外天堂.從2022年，深圳市

政府工作報告明確提出，打造“鵬城萬里”多層次戶外休閑步道體系建設(shè)，全面進(jìn)入建設(shè)“超

1000公里遠(yuǎn)足徑郊野徑體系”的實(shí)施階段.需要鋪設(shè)一段全長為1000公里的綠道，為了盡

量減少施工對城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時每天的工效比原計(jì)劃增加25%,結(jié)果提前

30天完成這一任務(wù).設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)x公里綠道,則根據(jù)題意，下列方程中正確的是()

,10001000r1000cc1000

A-x+30=x(l+25%)B.x+3°=X(1-25%)

1000_10001000=_J00^

Jx_x(l+25%)T°uu.x-X(1-25%)

【答案】C

【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題

的關(guān)鍵.

根據(jù)實(shí)際及原計(jì)劃工作效率間的關(guān)系，可得出實(shí)際每天鋪設(shè)(1+25%戶米管道，利用工作

時間=工作總量+工作效率，結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前30天完成這一任務(wù)，即可得出關(guān)于x的

分式方程，此題得解.

【詳解】解：???實(shí)際施工時每天的工效比原計(jì)劃增加25%,且原計(jì)劃每天鋪設(shè)x米管道，

實(shí)際每天鋪設(shè)(1+25%＞米管道.

根據(jù)題意得：

10001000

-----=-----------+30

%%(1+25%)

故選：C.

2.(2024?重慶?中考真題)某工程隊(duì)承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務(wù),

選派甲、乙兩人分別用力、B兩種外墻漆各完成總粉刷任務(wù)的一半.據(jù)測算需要4、B兩種外

墻漆各300千克，購買外墻漆總費(fèi)用為15000元，已知4種外墻漆每千克的價格比8種外墻

漆每千克的價格多2元.

(1)求從B兩種外墻漆每千克的價格各是多少元？

(2)己知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的土乙完成粉刷任務(wù)所需時間比甲

完成粉刷任務(wù)所需時間多5小時.問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米？

【答案】(1)4種外墻漆每千克的價格為26元，貝何種外墻漆每千克的價格為24元.

(2)甲每小時粉刷外墻的面積是25平方米.

【分析】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意建立方程是解本題

的關(guān)鍵；

(1)設(shè)4種外墻漆每千克的價格為尤元，則B種外墻漆每千克的價格為(％—2)元，再根據(jù)總

費(fèi)用為15000元列方程求解即可；

(2)設(shè)甲每小時粉刷外墻面積為y平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是白平方米；利用乙完

成粉刷任務(wù)所需時間比甲完成粉刷任務(wù)所需時間多5小時.從而建立分式方程求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)4種外墻漆每千克的價格為x元，貝何種外墻漆每千克的價格為(％-2)元,

.\300x+300(x-2)=15000,

解得：x=26,

Ax-2=24,

答：/種外墻漆每千克的價格為26元，B種外墻漆每千克的價格為24元.

(2)設(shè)甲每小時粉刷外墻面積為y平方米，則乙每小時粉刷外墻面積是白平方米；

500500

?.?第一

解得：y=25,

經(jīng)檢驗(yàn)：y=25是原方程的根且符合題意，

答：甲每小時粉刷外墻的面積是25平方米.

3.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)一段高速公路需要修復(fù)，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊(duì)參與施工,

已知乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路比甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路多3千米，且甲隊(duì)單獨(dú)修復(fù)60千米公

路所需要的時間與乙隊(duì)單獨(dú)修復(fù)90千米公路所需要的時間相等.

(1)求甲、乙兩隊(duì)平均每天修復(fù)公路分別是多少千米；

(2)為了保證交通安全，兩隊(duì)不能同時施工，要求甲隊(duì)的工作時間不少于乙隊(duì)工作時間的2

倍，那么15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路多少千米？

【答案】(1)甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路6千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路9千米；

(2)15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路105千米.

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用.

(1)設(shè)甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路x千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路(％+3)千米，根據(jù)“甲隊(duì)單

獨(dú)修復(fù)60千米公路所需要的時間與乙隊(duì)單獨(dú)修復(fù)90千米公路所需要的時間相等”列分式方

程求解即可；

(2)設(shè)甲隊(duì)的工作時間為小天，則乙隊(duì)的工作時間為(15—6)天，15天的工期，兩隊(duì)能修

復(fù)公路w千米，求得攻關(guān)于m的一次函數(shù)，再利用“甲隊(duì)的工作時間不少于乙隊(duì)工作時間的2

倍”求得小的范圍，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路x千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路(x+3)千米，

解得x=6,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=6是原方程的解，且符合題意，

x+3=9,

答：甲隊(duì)平均每天修復(fù)公路6千米，則乙隊(duì)平均每天修復(fù)公路9千米；

(2)解：設(shè)甲隊(duì)的工作時間為m天，則乙隊(duì)的工作時間為(15—m)天，15天的工期，兩隊(duì)

能修復(fù)公路w千米，

由題意得w=6m+9(15—m)=—3m+135,

m>2(15-m),

解得m>10,

,?-3<0,

.?.w隨ni的增加而減少，

.?.當(dāng)m=10時，w有最大值，最大值為w=-3x10+135=105,

答：15天的工期，兩隊(duì)最多能修復(fù)公路105千米.

【題型7】分式方程的應(yīng)用之銷售問題

【典題1】(2024?四川眉山?中考真題)眉山是“三蘇”故里，文化底蘊(yùn)深厚.近年來眉山市

旅游產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，促進(jìn)了文創(chuàng)產(chǎn)品的銷售，某商店用960元購進(jìn)的4款文創(chuàng)產(chǎn)品和用780元

購進(jìn)的8款文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量相同.每件4款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價比B款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價多15元.

(1)求4B兩款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價各是多少元？

⑵己知4B文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為100元，B款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為80元，根據(jù)市場需求，商

店計(jì)劃再用不超過7400元的總費(fèi)用購進(jìn)這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品共100件進(jìn)行銷售，問：怎樣進(jìn)貨才

能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？

【答案】(1)2款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價80元，B文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價是65元；

(2)購進(jìn)4款文創(chuàng)產(chǎn)品60件，購進(jìn)B款文創(chuàng)產(chǎn)品40件，才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大

利潤是1800兀.

【分析】(1)設(shè)a款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價a元，貝/文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價是(a—15)元，根據(jù)

題意，列出分式方程即可求解；

(2)設(shè)購進(jìn)4款文創(chuàng)產(chǎn)品久件，則購進(jìn)B款文創(chuàng)產(chǎn)品(100—%)件，總利潤為W,利用一次一

次不等式求出”的取值范圍，再根據(jù)題意求出勿與x的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即

可求解：

本題考查了分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意，列出分式方程和一次函數(shù)解析式

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：設(shè)4款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價a元，貝文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價是(a-15)元，

根據(jù)題意得，等=嚶，

解得a=80,

經(jīng)檢驗(yàn)，a=80是原分式方程的解，

.?.80-15=65

答：4款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價80元，貝/文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價是65元；

(2)解：設(shè)購進(jìn)4款文創(chuàng)產(chǎn)品x件，則購進(jìn)B款文創(chuàng)產(chǎn)品(100—嗎件，總利潤為“，

根據(jù)題意得，80x+65(100-x)<7400,

解得x<60,

又由題意得，W=(100-80)%+(80-65)(100-%)=5x+1500,

???fc=5>0,w隨x的增大而增大，

當(dāng)x=60時，利潤最大，

二購進(jìn)4款文創(chuàng)產(chǎn)品60件，購進(jìn)8款文創(chuàng)產(chǎn)品40件，獲得的利潤最大，”最大

=5X60+1500=1800,

答：購進(jìn)4款文創(chuàng)產(chǎn)品60件，購進(jìn)B款文創(chuàng)產(chǎn)品40件，才能使銷售完后獲得的利潤最大，最

大利潤是1800元.

【鞏固練習(xí)】

1.(2024?重慶?中考真題)為促進(jìn)新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、

乙兩類共30條生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行更新?lián)Q代.

(1)為鼓勵企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)線的設(shè)備更新，某市出臺了相應(yīng)的補(bǔ)貼政策.根據(jù)相關(guān)政策，更新1

條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得3萬元的補(bǔ)貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補(bǔ)

貼.這樣更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補(bǔ)貼.該企業(yè)甲、乙兩類生

產(chǎn)線各有多少條？

(2)經(jīng)測算，購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5

萬元，用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備

數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補(bǔ)貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？

【答案】(1)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；

(2)需要更新設(shè)備費(fèi)用為1330萬元

【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是

解本題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有x條，則乙類生產(chǎn)線各有(30-x)條，再利用更新完這30條生

產(chǎn)線的設(shè)備，該企業(yè)可獲得70萬元的補(bǔ)貼，再建立方程求解即可；

(2)設(shè)購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備為6萬元，則購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備為

(小一5)萬元，利用用200萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類

生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，再建立分式方程，進(jìn)一步求解.

【詳解】(1)解：設(shè)該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有萬條，則乙類生產(chǎn)線各有(30—嗎條，則

3x+2(30—x)=70,

解得：x=10,

則30一￡=20；

答：該企業(yè)甲類生產(chǎn)線有10條，則乙類生產(chǎn)線各有20條；

(2)解：設(shè)購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備為m萬元，則購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備

為(tn-5)萬元,則

200_180

mm—5

解得：m-50,

經(jīng)檢驗(yàn)：巾=50是原方程的根，且符合題意；

則m—5=45,

則還需要更新設(shè)備費(fèi)用為10X50+20X45-70=1330(萬元)；

2.(2024?重慶南岸?模擬預(yù)測)某校為舉辦周年校慶活動，特定制了系列文創(chuàng)產(chǎn)品，其中花

費(fèi)了13000元購進(jìn)紀(jì)念畫冊和骨瓷杯若干，已知骨瓷杯總費(fèi)用比紀(jì)念畫冊總費(fèi)用的3倍還多

1000元.

(1)求紀(jì)念畫冊和骨瓷杯的總費(fèi)用各是多少元？

(2)若每本紀(jì)念畫冊的進(jìn)價比每個骨瓷杯的進(jìn)價多50%,而骨瓷杯數(shù)量比紀(jì)念畫冊數(shù)量多400

個.求每本紀(jì)念畫冊和每個骨瓷杯的進(jìn)價各是多少元？

【答案】(1)紀(jì)念畫冊的總費(fèi)用為3000元，骨瓷杯的費(fèi)用為10000元

⑵每本紀(jì)念畫冊的進(jìn)價為30元，每個骨瓷杯的進(jìn)價為20元

【分析】本題考查了一元一次方程和分式方程的實(shí)際應(yīng)用.

(1)設(shè)紀(jì)念畫冊的總費(fèi)用為%元，則骨瓷杯的費(fèi)用為(3x+1000)元，根據(jù)花費(fèi)了13000

元購進(jìn)紀(jì)念畫冊和骨瓷杯，列出方程求解即可；

(2)設(shè)每個骨瓷杯的進(jìn)價為小元，則每本紀(jì)念畫冊的進(jìn)價為(1+50%)爪=元，根據(jù)

骨瓷杯數(shù)量比紀(jì)念畫冊數(shù)量多400個列出分式方程求解，檢驗(yàn)即可.

【詳解】(1)解：設(shè)紀(jì)念畫冊的總費(fèi)用為x元，則骨瓷杯的費(fèi)用為(3X+1000)元，

由題意：x+3%+1000=13000

解得：3000

???13000-3000=10000元

答：紀(jì)念畫冊的總費(fèi)用為3000元，骨瓷杯的費(fèi)用為10000元.

(2)解：設(shè)每個骨瓷杯的進(jìn)價為m元，則每本紀(jì)念畫冊的進(jìn)價為(1+50%)m=1.5巾元,

10000

由題意:爭=400,解得爪=20

m

經(jīng)檢驗(yàn)，m=20為所列方程的根且符合題意.

???20x1.5=30元

答：每本紀(jì)念畫冊的進(jìn)價為30元，每個骨瓷杯的進(jìn)價為20元.

3.(2024?四川內(nèi)江?中考真題)端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上豬肉粽的進(jìn)價

比豆沙粽的進(jìn)價每盒多20元，某商家用5000元購進(jìn)的豬肉粽盒數(shù)