模型01"鉛筆頭”模型

模型基本圖形添加輔助線方法

ABzB

_____________________〉

___

CDCD

條件：ABWCD,求乙4BE、乙BED、NCDE?的數(shù)量關(guān)系。

輔助線：過點(diǎn)、E作EF〃AB。

結(jié)論：UBEHBED+乙CDE=360。

證明：過點(diǎn)E作EF〃AB,

；.EF〃AB||CD

：EF〃AB,

:.ABE+乙BEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

：EF〃CD

"FED+乙EDC=l80°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

UBE+乙BED+乙CDE=36Q°

"鉛筆頭”模型拓展

己知48IICD,如圖，當(dāng)存在〃個(gè)E點(diǎn)時(shí)，求乙8+乙0+/_￡1+乙%+...+4助

【例1】（1）如圖①，已知4BIIDE,你能得出N8,乙BCD,之間的數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)說明理由;

（2）如圖②，已知4BIIEF,根據(jù)（1）中的猜想，直接寫出乙8+4。+4。+4石的度數(shù).

①②

【變式1-1[（1）如圖1,AB||CD,求噂+N2EC+”的度數(shù).

解:過點(diǎn)E作EFII4B.

EF||AB（已作），

???Z71+^AEF=180°（）.

XAB||CD（已知），

II（平行關(guān)系的傳遞性），

ZC￡F+Z=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

N4+NAEF+乙CEF+ZC=360°（等式性質(zhì)），

即乙4+/-AEC+NC=；

（2）根據(jù)上述解題及作輔助線的方法，在圖2中，AB||EF,則NB+“+〃+”=；

（3）根據(jù)（1）和（2）的規(guī)律，圖3中ABIIGF,猜想：zB+zC+zD++zF=；

（4）如圖4,AB||CD,在3,D兩點(diǎn)的同一側(cè)有Mi，M2,M3,....M”共〃個(gè)折點(diǎn)，則NB+NM[+...+4

Mn的度數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）.

【變式1-2】如圖1,已知48||CD,求證：U"+NCFP=NEPF；小明想到了以下方法，請(qǐng)幫助他完成

證明過程:

(1)如圖1,過點(diǎn)P作PGIIAB,貝|N4EP=.()

AB\\CD,

???PG||()

???LCFP=()

又+Z2=AEPF,

■■Z.AEP+Z.CFP=/.EPF.

⑵如圖2,AB||CD,請(qǐng)寫出乙4即+乙壯?+”尸。的和并說明理由；

(3)如圖3AB||CD,請(qǐng)直接寫出圖3中N4EP+NEPQ+NPQF+“F0"D.

【變式1-3】【問題提出】如圖①，乙4BE和NDCE的邊4B與CD互相平行，邊BE與CE交于點(diǎn)E.若

乙ABE=140°,ZDCE=120°,求NBEC的度數(shù).

【問題解決】

(1)請(qǐng)你完成下面的求解過程.

解：如圖②，過點(diǎn)E作EFII48.

:.乙BEF+AABE=180°().

/.ABE=140°,

:.乙BEF=180°-4ABE=180°-140°=40°.

-■AB||CD,

EF||CD().

???/.CEF+(_)=180°.

?:乙DCE=120°,

???LCEF=180°-/.DCE=180°-120°=60°.

."BEC=乙BEF+乙CEF=()°.

【遷移應(yīng)用】

(2)如圖③，D、E分別是N4BC邊AB、BC上的點(diǎn)，在直線DE的右側(cè)作DE的平行線分別交邊BC、4B于點(diǎn)

F、G.P是線段DG上一點(diǎn)，連結(jié)PE、PF.若ADEP=40。,NGFP=30。，求NEPF的度數(shù).

圖①圖②圖③

【變式1-4](1)如圖①，M41IIM42，則以1+乙42=

如圖②，MXi||NA3,貝UNAI+N42+4人3=;

如圖(2),MAi||NA4,貝+Z.7I2+z.^3+4人4=.

利用圖②，說明你所填寫的結(jié)論的正確性；

(2)如圖④，M4iIINAn,貝！+N&2+4^3+…+=；

(3)利用上述結(jié)論解決問題：如圖⑤，已知4B||CD,N力BE和NCDE的平分線相交于點(diǎn)

F/E=m°(0<m<180),用含m的代數(shù)式表示N8FD的度數(shù).

【變式1-5】【探究發(fā)現(xiàn)】

如圖1,EFWBC,點(diǎn)/在EF,BC之間，連接ZE,AB.求證：乙4+N4EF+A4BC=360。.

E

F

A

B-------------------C

圖1

【學(xué)以致用】

哈爾濱某商場(chǎng)地下車庫出口處安裝了“兩段式欄桿”，如圖2所示，點(diǎn)/是欄桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn)，點(diǎn)￡是欄桿兩

段的聯(lián)結(jié)點(diǎn).當(dāng)車輛經(jīng)過時(shí)，欄桿AEF升起到如圖3所示的位置，其示意圖如圖4所示（AB1BC,EFW

BC,欄桿寬度忽略不計(jì)），已知乙4EE=150。，填空：乙BAE=度.

如圖5,已知GFIIBC,點(diǎn)E在GF上，點(diǎn)/在GF,BC之間，力D14E交BC于點(diǎn)。，過點(diǎn)N作AB1CD于點(diǎn)

B,4H平分NBA。，4C平分NE48,^^AEC+/.GEC=180°,^ACE=求NGEA的度數(shù).

模型02"豬蹄”模型

模型基本圖形添加輔助線方法

S

__________________(

/餐■TTIZ

F

CIIC11

條件：ABWCD,求乙4BE、乙BED、NCAE的數(shù)量關(guān)系。

輔助線：過點(diǎn)、E作EF〃AB。

結(jié)論：UBE+乙CDE=LBED

證明：過點(diǎn)E作EF〃AB,

；.EF〃AB||CD

VEF//AB,

：.ABE=^BEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

VEF/7CD

：./.FED=/-EDC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

/-ABE+/.CDE=^BED

"豬蹄”模型拓展（鋸齒模型）

已知/8IICD,如圖，當(dāng)存在〃個(gè)￡點(diǎn)，”個(gè)尸點(diǎn)時(shí)，5Rz￡1+z￡,2+...+^En=zB+zD+zF7+zF2...+zF

ABABAB

/B

聲

---^>r

F2E3v■-

4-E2《一E3^^-

限于

CD

CDCDCD

乙B+乙F\+乙F2+乙D/_5+Z_Z)+Z_尸/+ZJ^2…+4/n

乙B+乙D=2E乙B+(D+乙F=(Ei+乙E2

=^Ei+乙E2+乙E3=Z-E1+4氏+...+乙En

兩條平行線的一端有鋸齒狀的線段，并且相鄰兩條線段交于一點(diǎn)，可以過這一點(diǎn)作兩條平行線的平行線，

利用平行線的性質(zhì)可得角度之間的數(shù)量關(guān)系。

【例2］推理能力

【模型發(fā)現(xiàn)】某校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)：如圖①所示的幾何圖形很像小豬的豬蹄，于

是大家就把這個(gè)圖形形象地稱為“豬蹄模型”.“豬蹄模型”中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2

【結(jié)論】(1)如圖1,AB||CD,〃是AB、CD之間的一點(diǎn)，連接BM,DM.試說明：乙B+乙D=LBMD；

【運(yùn)用】(2)如圖2,AB||CD,M,N是AB、CD之間的兩點(diǎn)，且=3/N.請(qǐng)你利用(1)中“豬蹄模

型”的結(jié)論,求出NB、NC、NM三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【變式2-1](1)如圖①，AB||CD,試問N2與41+N3的關(guān)系是什么？并說明理由;

(2)如圖②，AB||CD,試問42+N4與41+43+N5的關(guān)系是什么？請(qǐng)直接寫出結(jié)論;

(3)如圖③，AB||CD,試問/2+44+46與41+43+45+47的關(guān)系是什么？請(qǐng)直接寫出結(jié)論.

【變式2-2】【模型發(fā)現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)：圖①中的幾何圖形，很像小豬的豬蹄，于是

將這個(gè)圖形稱為“豬蹄模型”，“豬蹄模型”中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系.

①②③

(1)如圖①，AB||CD,M是4B,CD之間的一點(diǎn)，連接若NM=100。，求NB+ND的度數(shù)；

【靈活運(yùn)用】

(2)如圖②，AB||CD,M,N是4B,CD之間的兩點(diǎn)，當(dāng)NB—NC=±BMN時(shí)，請(qǐng)找出NBMN和NMNC之間的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【拓展延伸】

(3)如圖③，48||CD,E,￡G均是AB,CD之間的點(diǎn)，如果NE+NF=24G=70。，直接寫出NB+AD的度

數(shù).

【變式2-3】已知直線4B||CD,E為平面內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)PQ分別在直線力B,CD上，連接PE,EQ.

圖3

⑴如圖1,若點(diǎn)E在直線48,CD之間，試探究NBPE,乙DQE,NPEQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)如圖2,若點(diǎn)E在直線48,CD之間，PF平分乙4PE,QF平分NCQE,當(dāng)"EQ=100。時(shí)，求NPFQ的度數(shù).

(3)如圖3,若點(diǎn)E在直線48的上方，QF平分4CQE,PH平分N2PE,PH的反向延長(zhǎng)線交QF于點(diǎn)F,當(dāng)

乙PEQ=50°時(shí)，求NPFQ的度數(shù).

【變式2-4］如圖1,ABWCD,在AB、CD內(nèi)有一條折線EPF.

圖1圖2備用圖

⑴求證：乙4EP+乙CFP=4EPF；

(2)在圖2中，畫NBEP的平分線與NDFP的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)Q,請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，試探索NEP尸與

NEQF之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

⑶在(2)的條件下，已知NBEP和ADFP均為鈍角，點(diǎn)G在直線4B、CD之間，B.^^BEG=^BEP,

NDFG=^DFP,(其中n為常數(shù)且1),直接寫出NEGF與NEPF的數(shù)量關(guān)系.

【變式25】已知,如圖，點(diǎn)P在48、CD兩線之間，且在BC所在直線的左側(cè).

(1)如圖1,當(dāng)4BIICD,NBPC=a時(shí)，

①若B。平分乙4BP,CO平分4DCP,貝此8。。=；

②若N4B0=弘4BP,乙DCO=l^DCP,貝ij/BOC=；

③若448。=%ABP,Z.DCO=》DCP,貝!UBOC=.

(2)如圖2,當(dāng)力B與CD相交，點(diǎn)4點(diǎn)D重合時(shí)，猜想NBPC、乙B、NC與"之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

⑶如圖3,直接運(yùn)用(2)的結(jié)論探究下列問題：

①若B。平分N4BP,C。平分A4CP,當(dāng)NBPC=120。，NBOC=95。時(shí)，求”的度數(shù)；

②若448。=%ABP,^ACO=|zXCP,當(dāng)乙BPC=a,乙BOC=￡時(shí)，求的度數(shù).

模型03"靴子"模型與"骨折”模型

靴子模型基本圖形骨折模型

一

__________________4F,,

AB

CD

CD

條件：AB\\CDf求乙4BE、乙BED、乙CDE的數(shù)量關(guān)條件：ABWCD,求乙4BE、乙BED、乙CDE的數(shù)量關(guān)

系。系。

輔助線：過點(diǎn)、E作EF//AB。輔助線：過點(diǎn)、E作EF〃AB。

結(jié)論：乙BED=UBE-乙CDE結(jié)論：Z-BED=Z-CDE-Z.ABE

證明：過點(diǎn)E作EF〃AB證明：過點(diǎn)E作EF〃AB

???EF〃AB||C。???EF〃AB||CD

VEF//ABVEF/7AB

：.ABE=^BEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）：.ABE=Z-BEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

VEF/7CDVEF/7CZ）

：.^FED=ACDE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）：.^FED=^CDE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

/-BED=Z-BEF-Z.FED,?"ED=（FED-乙BEF

〃ED=UBE-（CDE：.^BED=/LCDE-Z.ABE

【例3】直線4B||CD,P為直線48上方一點(diǎn)，連接PA、PD.

B

（1）如圖1,若N4=100°,乙D=130°,求乙4PD的度數(shù)；

（2）如圖1,設(shè)NP4B=a,乙CDP=6,求“PD的度數(shù)（用含a、￡的式子表示）；

/APC

（3）如圖2,N為NP4B內(nèi)部一點(diǎn)，4BAN=3乙PAN,連接CN,若乙DCN=34PCN,求之標(biāo)的值.

【變式3-1】小華在學(xué)習(xí)“平行線的性質(zhì)”后，對(duì)圖中NB,AD和NBOD的關(guān)系進(jìn)行了探究:

⑴如圖1,AB||CD,點(diǎn)。在ZB,CD之間，試探究AB,ND和NBOD之間有什么關(guān)系？并說明理由；小華添

加了過點(diǎn)。的輔助線。M,并且。MII請(qǐng)幫助他寫出解答過程；

(2)如圖2,若點(diǎn)。在CD的上側(cè)，試探究NB,功和NBOD之間有什么關(guān)系？并說明理由；

(3)如圖3,若點(diǎn)。在4B的下側(cè)，試探究NB,AD和NB。。之間有什么關(guān)系？請(qǐng)直接寫出它們的關(guān)系式.

【變式3-2】已知直線川1%，直線b和直線h，L交于點(diǎn)C和己點(diǎn)P是直線一上一動(dòng)點(diǎn).

圖1圖2圖3

⑴猜想論證：如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，“AC,AAPB,NPBD之間存在什么數(shù)量關(guān)系？并說明理

由.

請(qǐng)把下列過程補(bǔ)充完整：

猜想：AAPB=/.PAC+乙PBD.

證明：過點(diǎn)P作PM&.

/11〃2，

(如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行).

又???PMhPMII%,

???AAPM=APAC,=4PBD().

VZ-APB=Z.APM+乙BPM,

???Z.APB=/-PAC+乙PBD().

⑵類比探究：

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，上述(1)中的結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出NP4C,

UPB,NPBD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段DC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出NP2C,乙4PB,NP80之間的數(shù)量關(guān)系，不必寫

理由.

【變式3-3】如圖a,AB||CD,猜想NBPD與NB、ND的關(guān)系，并說明理由.

⑴填空：

解：猜想NBPD+NB+ND=360。.理由：過點(diǎn)P作EFIIAB,如圖e所示，所以NB+NBPE=180°

(①).因?yàn)锳BIICD,EF||AB,所以(如果兩條直線都和第三條直線平行，那么

②),所以NEPD+ND=180°(③),所以NB+乙BPE+乙EPD+ND=

(4),即N8+4BPD+=360°；

(2)依照上面的解題方法，觀察圖從已知||CD,猜想圖中的NBPD與NB、ND的關(guān)系，并說明理由;

⑶觀察圖c和圖d,已知A8||CD,猜想圖中的ABPD與NB、ND的關(guān)系，不需要說明理由.

【變式3-4】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，欣欣為了探究在平行線的條件下角之間的變化規(guī)律，進(jìn)行了如下的探究實(shí)

驗(yàn).如圖1,已知：直線||CD,點(diǎn)”、N分別為ZB、CD上的點(diǎn)，點(diǎn)尸為EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

⑴初步探究：當(dāng)點(diǎn)尸在48上方時(shí)，連接PM、PN,她通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)兩個(gè)結(jié)論①NMPN=NPMA—NPNC；

②乙MPN=Z.PND—APMB；請(qǐng)你證明①中的結(jié)論；

(2)大膽嘗試：當(dāng)點(diǎn)P在4B與CD之間時(shí)，她通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)①NMPN=NPND+APMB；②請(qǐng)你猜想NMPN、

乙PNC、APM4之間的關(guān)系式為.

(3)思維拓展：當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到CD下方時(shí)，NPM4的平分線ML與APNC的平分線NZ的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q,

請(qǐng)你猜想NMPN與NMQN的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【變式3-51【閱讀理解】

我們經(jīng)常過某個(gè)點(diǎn)作已知直線的平行線，以便利用平行線的性質(zhì)來解決問題.

例如：如圖①，已知2BIICD,點(diǎn)尸分別在直線ZB,CD上，點(diǎn)P在直線4B,CD之間，設(shè)NAEP=Na/CFP

=N0,求證：ZP=ZCt+Z/?.

證明：如圖②，過點(diǎn)P作PQIIAB,Z-EPQ=N4EP=Na,

-■?PQ||AB,ABIICD,：.PQ||CD,???4FPQ=Z.CFP=邛,

，乙EPF=Z-EPQ+乙FPQ=Na+z/?,=乙仇+乙0.

可以運(yùn)用以上結(jié)論解答下列問題：【類比應(yīng)用】

(1)如圖③，已知力B||C。/。=15O/GA8=70。，求NP的度數(shù).

(2)如圖④，已知4BIICD,點(diǎn)E在直線CD上，點(diǎn)P在直線2B上方，連接P4、PE,貝此P28、乙CEP、^APE

之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖⑤，已知4B