專題09.六類幾何最值模型專項(xiàng)訓(xùn)練

本專題包含將軍飲馬、遛馬（造橋）、瓜豆、費(fèi)馬點(diǎn)、胡不歸、逆等線模型。

1.（23-24八年級下?四川成都?期中）如圖，己知點(diǎn)A（2,a）是直線y=x上一點(diǎn)，點(diǎn)C是無軸上一定點(diǎn)，四邊

形6MBe是平行四邊形，在直線丫=%上有一動點(diǎn)P,若PC+P3的最小值為20,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

2.（23-24八年級上?重慶?階段練習(xí)）如圖，在Rt^ABC中，/。=90。,4。=305=5,3。是45。的角平

分線，點(diǎn)。點(diǎn)N分別是8。AC邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)M在8C上，且8M=1，則尸”+PN的最小值為（）

A.3B.2及C.3.5D.3亞

3.（23-24八年級上?河北張家口?期末）如圖，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,AB=母,

點(diǎn)、M,N分別為直線3C,AC上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A做AD〃BC,且AD=AB.

（1）AM的最小值為；（2）+的最小值為.

4.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知A（3,0）,B（0,2）,過點(diǎn)B作，軸的垂

線/,P為直線/上一動點(diǎn)，連接尸。，PA,則尸O+24的最小值為

5.（23-24八年級上?重慶沙坪壩,期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，己知A（-百,0）,B（26,0）,C（0,3）,

動點(diǎn)尸在射線AB上，S.ZQPB=ZCAB,當(dāng)AP=PQ時(shí)，則OQ+8Q的最小值為

6.（23-24八年級上?內(nèi)蒙古興安盟?期末）如圖，在VAOB中，NOA4=90。，點(diǎn)A（4,4）,C（2,0）,D（4,2）,

P為。4上一動點(diǎn)，連接PC,PD,則尸C+PD的最小值為（）

A.2B.3C.4D.6

7.（23-24八年級下?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0,l）,B（0,2）,

線段8（點(diǎn)。在點(diǎn)C右側(cè)）在x軸上移動，且CD=1,連接AC、BD.則AC+3少的最小值為（）

8.（2024?陜西西安?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2,0）,B（0,l）,C（0,3）,將線段AB沿x軸向

右平移得到A0,連接AC,B'C,則A'C+B'C的最小值為.

9.（23-24八年級下?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖，在VABC中，NA=60。，ZC=75°,AB=10,點(diǎn)。、E、

產(chǎn)分別在AB、BC,C4上，則戶周長的最小值為（）

A.15B.10拒C.5A/6D.20

10.（2024,陜西漢中,統(tǒng)考一模）如圖，在11ABe中AB=AC=2,BC=2及,點(diǎn)。是上的動點(diǎn)，連接AD,

過點(diǎn)C作CE//AD，過點(diǎn)A作AE〃臺。交CE于點(diǎn)E,當(dāng)OE取得最小值時(shí),則四邊形ADCE的周長為

11.（2024,福建八年級期末）如圖，在邊長為2的等邊AABC中，。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，連

接BE,在BE的下方作等邊ABEF,連接DE當(dāng)ABDF的周長最小時(shí)，ND段'的度數(shù)是.

12.（23-24八年級上?浙江寧波?期末）在等腰直角ABC中，AB=AC,在斜邊BC上取點(diǎn)。，使得9=34,

E為AB邊上一動點(diǎn)，以O(shè)為直角頂點(diǎn)，DE為直角邊構(gòu)造等腰直角DEF（月在DE右側(cè)），當(dāng)C/最小時(shí),

ZAED=

13.（23-24八年級上?安徽亳州?期末）如圖，邊長為。的等邊..71BC中，即是AC上中線且=點(diǎn)。

在BF上,連接AD,在AD的右側(cè)作等邊VADE,連接E產(chǎn)，EC.

（1）ZACE=（2）△AEF周長的最小值是.（用含a、6的代數(shù)式表示）

14.（22-23八年級上?江蘇?期中）如圖，在VABC中，ZBAC=30°,且AB=AC,尸是VABC內(nèi)一點(diǎn)，若

AP+8P+CP的最小值為4夜，貝IBC、.

同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理

學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)"或"托里拆利點(diǎn)

⑴下面是該問題的一種常見的解決方法，分兩種情況討論，請補(bǔ)充以下推理過程：

①當(dāng),ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，

如圖1,將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AP'C,連接PP，

0繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得至上A'P'C0PC=P'C,NPCP=60°

El△PCP,為三角形，SPP'=PC

0△APC絲△A'PCSP'A^PA^PA+PB+PC=PP'+PB+A'P'

由幾何公理：可得：PP'+PB+AP'>AB

回當(dāng)B,P,P',A在同一條直線上時(shí)，上4+PB+PC取最小值，

如圖2,叢+尸3+尸C最小值為A3,此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)"，MWZAPC=ZBPC=ZAPB=

②當(dāng)sABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，"費(fèi)馬點(diǎn)"為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，證明略.

⑵如圖3,在ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120。，且NABC=60。，AB=5,BC=3,若尸為ABC的"費(fèi)馬點(diǎn)”，

求巴4+尸3+尸€?的值；

⑶如圖4,設(shè)村莊A,B,C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知AC=4km,BC=2?km,ZACB=60。.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站尸沿直線向A,B,C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊4,B,C的鋪設(shè)成本分別為1

萬元/km,].萬元/km,亞萬元/km,則總的鋪設(shè)成本最少是萬元.

16.(23-24八年級下?四川成都?階段練習(xí))如圖，在等腰VABC中，A8=AC=4后，NB4c=90。，AE=AF,

BE、CF交于點(diǎn)。，過A作BE的垂線交8c于。，過。作CF的垂線交BE于G.連接AO并延長交BC于M.⑴

求證：BO=AD；(2)連接AG、CG.求證：AG=CG.⑶作射線MG,在MG上是否存在一點(diǎn)K,使

K4+KM+KC的和有最小值，若有請求出這個(gè)最小值，并求出此時(shí)AE的長；如果不存在，請說明理由.

A

B-

D

17.（23-24八年級下?遼寧鞍山?開學(xué)考試）如圖，已知在等邊VABC中，AD±BC,AB=86,若點(diǎn)尸在

線段AD上運(yùn)動，當(dāng)+有最小值時(shí)，最小值為____.

2

18.（23-24八年級下?江蘇無錫?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,2抬），將線段Q4繞著

點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。后得到線段。B,連接A5,直線AB交x軸于點(diǎn)C.

⑴求直線A2的解析式.⑵若點(diǎn)。是點(diǎn)C關(guān)于直線08的對稱點(diǎn)，3OC沿著直線CB平移得到△與。G，求

DC,+：G01的最小值，及此時(shí)4的坐標(biāo).

19.（2023.成都市八年級期中）如圖，.ABCD中，ZDAB=6O°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動

點(diǎn)，則PB+且尸。的最小值等于

2----

20.（23-24八年級上?浙江湖州,期中）如圖，等腰Rt^ABC的直角邊長為隨，D,E分別為邊AB,AC上

兩個(gè)動點(diǎn)，且=則CD+3E的最小值______.

A

Z\E

n

Bc

21.（23-24九年級上?四川?階段練習(xí)）如圖，在等邊三角形ABC中，AD±BC,BC=4,點(diǎn)、E、尸分別是

AD.AC上的動點(diǎn)，且AE=C尸，則破+CE的最小值為.

22.（2023?廣東廣州?三模）如圖：等邊三角形ABCAB=1,E,F分別是邊AB、AC上的動點(diǎn)，且CF=2BE,

則3b+2CE的最小值為（）

A.5/3B.^/5C.5/7D.s/5—1

23.（23-24八年級下?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C（0,Y）在'軸上，動點(diǎn)尸從點(diǎn)臺區(qū)^）出發(fā)，沿線段2。

方向勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)。時(shí)停止.動點(diǎn)P從點(diǎn)3開始運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)尸相同的速度

沿x軸正方向勻速運(yùn)動，點(diǎn)尸停止運(yùn)動時(shí)點(diǎn)0也停止運(yùn)動.連接BQ,PC,則8Q+PC的最小值是.

24.（2024八年級下?山東?專題練習(xí)）如圖，在ABC中，/C=120。，AC=BCtAB=66，點(diǎn)、N是BC邊

上一點(diǎn)，點(diǎn)M為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)。、E分別為CN,的中點(diǎn)，則DE的最小值是

MB

25.（2023?廣東廣州?一模）如圖，RtaABC中，AB=AC=3,點(diǎn)。在AC上，且AO=1,。為BC上任意

一點(diǎn)，若將的繞4點(diǎn)逆時(shí)