江蘇省海門中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月質(zhì)量調(diào)研測試

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知向量04=(2,3),OB=(x,5),若。4_LA5,則x=()

A.qB.1

C-D.-1

3J2

2.已知?！辏?,兀），tancr=-,則cos2。=()

2

A.-LB.312

7D.——

5515

3.設(shè)向量a=(x+l,x),b=(尤,2),則()

A."％=-3"是的必要條件B."工=-3”是的必要條件

C."％=0”是匕工廠的充分條件D.=-1+百”是“〃11b”的充分條件

4.設(shè)。為所在平面內(nèi)一點，BC=4CD,貝!I（）

14

A.AD=——AB+-ACB.AD=-AB--AC

3344

C.AD=--AB+-ACD.AD=-AB--AC

4433

5.己知a終邊與單位圓的交點,且a是第二象限角，則-sin2tz+J2+2cos2a的

值等于

A.-B.—C.3D.—3

55

-TTTC

6.在AABC中，若sinAcos（5-3）=l-sin（5-A）cos5,則這個三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

7.為了得到y(tǒng)=sin2x+cos2x的圖象，只要把y=0cos2x的圖象上所有的點（）

A.向右平行移動g個單位長度B.向左平行移動弓個單位長度

OO

C.向右平行移動7個單位長度D.向左平行移動3個單位長度

44

8.我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體II?黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用強互作

用力（SIM）材料所制成的宇宙探測器，因為其外形與水滴相似，所以被人類稱之為“水滴”

小王是《三體》的忠實讀者，他利用幾何作圖軟件畫出了他心目中的“水滴”：由線段AB,AC

和優(yōu)弧圍成，AB,AC與圓弧分別切于點8、C,直線與水平方向垂直（如圖），已知

“水滴”的水平寬度與豎直高度之比為9：5,貝lJcosNB4C=（）

A119R1204"

16916954

二、多選題

9.對于任意的非零平面向量。，b,c,下列結(jié)論正確的是（）

A.a-b=b-aB.若a.b=Q.C，貝Ub=c

C.[a+b^-c=a-c+b'CD.〃?伍,c）=（a?8）c

10.已知1、&+">]，則下列不等關(guān)系一定正確的是（）

A.sin（a+4）>sina+sin力B.cos（6Z+/?）<cosa+cos[3

C.sina+sinJ3>1D.cosa+cosP<A/2

11.蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整

的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自

然成熟的蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口A3CDER它的邊長為1,點尸是△?？?/p>

試卷第2頁，共4頁

3

B.ACBD=-

4

C.若P為跖的中點，則CP在EC上的投影向量為-&EC

D.卜石+正耳的最大值為近

三、填空題

12.已知:=(3,4),8=(4,-2),若2a-6與h+2b為共線向量，則實數(shù)左=.

13.己矢口$111]&-巳]+<30$(/='!,貝lj+.

14.如圖，在VABC中，點P滿足3尸=2PC，過點尸的直線與鉆，AC所在的直線分別交于

點、M,N,AM=AAB,AN=/JAC,(2,//>0),則2+2〃的最小值為.

四、解答題

15.已知1。1=1,也|=2,d與6的夾角是60。，計算

⑴計算a-b,|。+6|;

⑵求a+b^Wa的夾角的余弦值.

16.在①tantz=4g,@cos2a=~口吆'=4^中任選一個條件，補充在下面問

49sina2

題中，并解決問題.

TT

已知。<a〈耳，且

⑴求sin(a用的值；

(2)若0<p<a<■|>sin(a—4),求夕.

說明：若選擇多個條件解答，則按第一個選擇給分.

17已知向量Q=(2COSX,1),XG0,-

2

⑴若4〃〃，求力的值；

TT

⑵記〃尤)=°心，若對于任意工,％e0,-,而|/(占)-/(尤2)區(qū)2恒成立，求實數(shù)％的最小

值.

(1)設(shè)點G是VABC的重心，證明：0G=§(“+b)；

⑵設(shè)點A，4是線段AB的三等分點，044,044及△O48的重心依次為GGC.

①試用向量a,b表示OGj+06+OG,；

②依據(jù)①的推理，設(shè)點A，4,…，4T線段A8的N等分點，G，…，G”分別是

044,,…“OATB的重心.請你寫出：OG|+OG++0。及。+31

(用a,b表示不必證明);

③若小氣=24,0408=16,求。GjOGs.

19.對于常數(shù)集合"=但0,??}和變量。，定義

"=————"-----——又----------——U為。相對集合M的,兀余弦萬差”.

n

⑴若集合〃==0,求。相對集合M的二元余弦方差.

⑵當集合時，求6相對集合Af的三元的余弦方差.

(3)在直角坐標系中，己知4-2,3),8(2,6)〃=14}〃為6相對集合"的一元余弦方差，函

數(shù)雙。)=4〃，且夕(x)=?：-。-2,請問在y=p(x)的圖象上，是否存在一點P,使得

APA.BP，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

試卷第4頁，共4頁

《江蘇省海門中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月質(zhì)量調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案DBCCCDAAACBCD

題號11

答案AD

1.D

【分析】利用向量減法和數(shù)量積的坐標運算可表示出0448=0,解方程即可.

【詳解】AB=OB-OA=(x-2,2),OAIAB^.'.OA-AB=2(x-2)+6=0,解得：x=-l.

故選：D.

2.B

【分析】根據(jù)二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式，將cos2a轉(zhuǎn)化為用tana表示，再代入計

算即可.

【詳解】因為aC(0,兀)，所以cos2a=cos2a-sin2?=儂％』％=Ian),

cosa+sina1+tana

21_1

d1byc1-tana43

又tana=7,所以cos2a=■；-------=-T=~,

21+tan]+J_5

4

故選：B.

3.C

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示以及充分條件、必要條件的定義逐項判斷即可.

【詳解】對A,當時，則03=0,所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或一3,即必要性

不成立，故A錯誤；

對B,當q//b時，貝1]2(%+1)=/，解得x=l±g,即必要性不成立，故B錯誤；

對C,當x=0時，a=(1,0)/=(0,2),i^a-b=0,所以alb，即充分性成立，故C正確；

對D,當彳=-1+6時，不滿足2(x+l)=V,所以a/必不成立，即充分性不立，故D錯誤.

故選：C.

4.C

【分析】根據(jù)平面向量共線性質(zhì)和平面向量加法的幾何意義進行求解即可.

【詳解】因為BC=4Cn，

答案第1頁，共12頁

所以AB+瓦”AB+9gC=A8+3BA+9AC=-.5+9AC,

44444

故選：C

5.C

【解析】利用二倍角的正弦，余弦公式進行化簡，再把求值.

【詳解】因為a終邊與單位圓的交點尸卜,gj,且a是第二象限角，

34

所以sina=y,C0S6T=--,貝|

Vl-sin2a+，2+2cos2a

=Jl—2sinacosa+^2（1+cos20

=J（sinfz-cos6z）*2*67+A/4COS2a

78

=|sina-cosa\+2|cosa|=—+—=3

故選：C

【點睛】本題考查了正弦函數(shù)的定義以及二倍角公式進行化簡求值，屬于較易題.

6.D

【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角差的余弦公式計算可得；

TTTT

【詳解】解：因為sinAcosq-B）=l—sin（萬一A）cos5

所以sinAsinB=1—cosAcosB

所以cosAcos5+sinAsin5=1

所以cos（A_3）=l

因為所以A—3=0,即A=3

所以三角形為等腰三角形；

故選：D

7.A

【分析】利用誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名，再根據(jù)函數(shù)y=Asin3x+°）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)

論.

【詳解】y=sin2x+cos2x=&sin|2x+^],

答案第2頁，共12頁

由誘導(dǎo)公式可知：y=V5cos2x=V5sin2x+：=夜sin2卜+：

2

又y=血sin+：J=后sin|_21x+-^jj

則:一2=2,即只需把圖象向右平移弓個單位.

4888

故選：A

8.A

【分析】設(shè)圓弧所在圓心為0,半徑為一，連接。AOBOC,由題意得可得

1r_|_O人Q

OB1AB,ZOAB^-ZBAC,且一^==，根據(jù)三角函數(shù)定義，可得sin/OAB的值，根據(jù)

二倍角公式，即可得答案.

【詳解】設(shè)圓弧所在圓心為。，連接04,08,OC,可知O3，AB,/OAB=L/A4C,

2

設(shè)圓。的半徑為「，依題意，有r弋+O’A=(9，即廠=15。4，

所以sinZOAB=得,ABAC=2N0AB

11O

所以cosABAC=1—2sin2ZOAB=—.

B

故選：A

9.AC

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】因為COS〈Q,3=cos〈Z?,a〉，所以選項A正確；

a-b=a-c^>a(b-c)=0=>?±(Z?-C),顯然b=c不一定成立，所以選項B不正確；

因為(a+b)-c=a-c+Z?-c,所以選項C正確；

因為向量分(兒。)與a共線，向量/力卜。與c共線，所以a?6-c)=(a/>c不一定成立,

因此選項D不正確，

答案第3頁，共12頁

故選：AC

10.BCD

【分析】利用兩角和的正弦公式結(jié)合作差法可判斷A選項；求出a+月的取值范圍，根據(jù)

cos(a+0<O可判斷B選項；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出sinocosp,利用輔助角公式

結(jié)合正弦型函數(shù)值域可判斷D選項.

【詳解】因為。、4則sine、cos。、sin尸、cos(0,1),

對于A選項，sin(cir+一(sina+sin/)=sincrcosf3+cosorsin/-(sina+sin

=sina(cosA—l)+sin；0(cosa-l)<O,故sin(a+4)vsina+sin力，A錯；

對于B選項，因為a、?+^>|,則+

所以，cos(cr+y0)<O<cos6r+coSy0,B對；

對于c選項，a、/a+/3>^,則

且函數(shù)y=sinx在(ogj上為增函數(shù)，所以，sine>sin[-/7]=cos/7,

故sincr+sin0>cos/+sin尸=^2sin(尸+：J,

因為0<P<9,則:〈夕+：〈當，故也<sin(分+三]41,

24442

故sina+sin〃>0sin[〃+￡)>1,C對；

對于D選項，cosa+cos0<cosa+sina=sin[a+：)，

因為0<々<^，則二<a+四<生，故@<sin[a+K]wi,

24442(4)

故cosa+cos〃<V^sin[c+：j4及，gpcos?+cos<72,D對.

故選：BCD.

11.AD

【分析】對于A：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)結(jié)合向量的線性運算求解；對于C：根據(jù)CEL成結(jié)

合投影向量的定義分析判斷；對于BD：建系，根據(jù)向量的坐標運算求解.

uunuunuunuumiuum

【詳解】對于選項A：因為DE=OE-OD=AP--AD,故A正確；

2

答案第4頁，共12頁

對于選項C：由題意可知：CELEF,

若尸為所的中點，所以“在上的投影向量為-淺，故C錯誤;

對于選項BD：如圖，建立平面直角坐標系,

則比=；,曰，"=(x+l,y),可得FE+FP=x+^,y+

可知當x=g,y=岑，即點P與點。重合時，,E+FP|的最大值為近，故D正確;

故選：AD.

12.-4

【分析】由已知，分別表示出和必+26的坐標形式，再根據(jù)兩向量共線，列出等量

關(guān)系即可完成求解.

【詳解】因為。=(3,4),6=(4,-2),所以2a—6=(2,10),左。+2匕=(3%+8,4左一4),

因為2a/與桁+26為共線向量，所以2(4"4)=10(3左+8),解得：k=^.

故答案為：—4.

7

13.—/0.28

25

答案第5頁，共12頁

【分析】利用三角恒等變換化簡得出如上+今|的值，再利用二倍角的余弦公式可求得

cos(2a+1］的直

【詳解】因為

sin"9+8sa=gina」cosa+cosa=gina+Losa=sinZ+』=3

<6)22226)5

=l-2sin2^a+^=l-2x=~^'

所以,

故答案為：得.

14.3

121212

【分析】先由題意得AP=wAB+wAC=AM+丁AN,進而由共線定理得+=1,

3373273〃3/13〃

接著結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】因為8尸=2尸C，AM=AAB,AN=JUAC,(A.〃>0),

所以A尸=43+8尸=AB+g8C=A8+g(AC-A8)=gAB+gAC=(AM+"AN,

12

因為M、P、N三點共線，所以7T+丁=1(尢〃>0),

JA,3〃

12=?*奪2翁新泊=3,

所以X+2〃=(%+2〃)一+一

323〃

當且僅當或=取即"=2=】時等號成立.

所以；1+2〃的最小值為3.

故答案為：3.

【點睛】思路點睛：根據(jù)已知條件關(guān)系和所求問題的特征，結(jié)合向量的環(huán)境優(yōu)先考慮共線定

理中的三點共線系數(shù)和為1,故先由題意得AP=：AB+￡AC=27AM+=AN,從而由共

33343〃

線定理得上+:=1,接著結(jié)合基本不等式可求解.

3Z3〃

15.(1)Q.。=1，\a+b|=中

⑵￥

【分析】(1)利用數(shù)量積的定義可求出a-b，先求出|。+勿2,即可得出|a+b|；

答案第6頁，共12頁

(2)先求出+根據(jù)向量夾角關(guān)系即可求出.

【詳解】(1)由題可得a-b=NWyos60o=lx2xg=l,

\a+b^=a+2a-b+b=l+2xl+4=7>所以;

(2)(a+b\a=a+a-b=1+1=2,

設(shè)a+b和“的夾角為

a+b\'a22幣

所以cos6=A

|a+fe|-|fl|V7xl-7.

16.⑴°

14

(2)工

-3

【分析】(1)對三個條件逐一研究，求出sina=迪,cosa=L,再得用兩角差的正弦公式

77

將sin-展開后代入計算即可；

(2)利用角的變換，/3=a-(a-/3),再通過sinQ=sin[e—(a-￡)]展開后求值，得到

sin〃=￥，結(jié)合角的范圍即可求出夕的大小.

71

【詳解】(1)—sina>0,cos1>0,

2

若選①tana=4百，由sin2a+cos2a=1

徂-4A/31

倚：sincr=-----,coscr=—

77

若選②cos2。=l-2sin2a=--,則sin2a=—,\aef0,—\?.sina=,

4949I2J7

則cosa-Vl-sin2a=—

若選③1.c°sa=_j_,貝“2(1-cosa)=A/3sina,y/3sina+2cosa=2,

sina2

T7.2214S?A-y/3I

Xsina+cosa=1付sina=-----,cosa=—

77

綜上：sina=迪,cosa」

77

.71.7111

/.sina-工=sinacos—cosasin——=—

I66614

答案第7頁，共12頁

(2)0</?<tz<—

--1<一/<0,0<a一夕<]

?(小_3百.(m_13

sin(6z—P)—，]4",??cos(a—p)—,

又由(1)知sina=^^,cosa='，

77

/.sin0=sin[cr-(a-77)]

=sinacos(a一6)一cosasin(a-p)

4A/3131373V3

=----x------x----=---，

7147142

3

71

17.(D尤=§

3

(2)2的最小值為:

【分析】(1)根據(jù)向量平行，得到cosx=-cos(

x+由xe°5y求解即可；

(2)利用向量的數(shù)量積運算得到了(x)解析式，由1/@)-/。2)區(qū)之恒成立，再通過求解

TT

f(x)在xe0,-的最值，即可得到4的最小值

【詳解】(1)由〃〃/?,則4=/ib,則(2cosx,l)=〃(一cos(x+—),—),

2cosx=-^/cos^x+j^,1=3，故2cosx=_2cos[x+；1,

(兀)晶工0,y,所以COSX=一COs[x+g)=COs]兀一[x+三

COSX=-COSlx+y1,由于Xw

TTTT

所以x=n-(x+,),則無=§.

(1萬、1)o(1

(2)/(x)=a-b=(2cosx,l)

II3j2jI3j2

.11

ffx\——2cosx,-cosx-smx+—

v7122J2

=^-sin2x--cos2x=sin|2A

22I

兀5%].(.[11

XG0,一，2%---E.—

L2j6L66」，16)[2」

答案第8頁，共12頁

vi/(^)-/(x2)區(qū)幾恒成立，，2>|/(^)一A9)11mx=i-1一]J=5,

33

從而於5,即41n=].

18.(1)證明見解析

YI〃—128

(2)0a+b?,②。G]+OG?+-+0Gn=—(a+b),OA^+OA2++OAn}=---(a+6)；(3)-^-

【分析】(1)根據(jù)中線以及重心的性質(zhì)即可求解，

(2)由(1)的結(jié)論，即可根據(jù)向量的線性運算法則求解①，根據(jù)中線的性質(zhì)即可兩式相加

求解②，③根據(jù)數(shù)量積的運算律，聯(lián)立方程即可求解.

【詳解】(1)連OG,并延長交48于C,由G是VA3C的重心，則C為48的中點.

則OC=J_(OA+O3)=J_(a+6).

22

2

由G是VABC的重心，則0G=—0C,

3

由(1)可得：0G|=g(0A+04)，0G2=g(a4,+04)，0G3=g(04+0B),

1Q

OGX+OG2+OG3=+6)++04),

②取AB的中點為M,貝”04+04++。4.1)+(。4一1+。4一2++04+04)

=(OA+OAi)+(o4+04-2)+(OAT+OA)=(〃-1)仍+o*)=5t)20M

答案第9頁，共12頁

二(〃-l)(Q4+Q5)=+,

.,?.fi—1

故。4+04++0*=——(d+b),

()()()

OGI+OG2++0G“=g0A+0A+g0A+04++|OA-1+O5.

=1[(OA+O4)+(04+04)++(04J+OB)\.

=](。4+。3)+§[(。4+。4++OAn_^=-(a+b^+^—^-{d+b')=—(a+b^,

-------------------n

故OG]+OG2++OGn=-(a+b)

775

=-a2+-b2+-a-b=2^)

999

又OAOB=ab=16(**)

由上面(*)(**)得：Q2+》2=68,

.?.0Gg=；(0A+0A)T(0B+04)=gg—a+—b\L+工

333

U1""竺由萬28

9999T

3

19.(1)-

⑵38

(3)存在,尸(0,2)

【分析】(1)根據(jù)余弦方差的計算公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，直接計算，即可求解；.

(2)由余弦方差的計算公式，得到結(jié)合余弦的倍角

〃=

公式和三角恒等變換的公式，進行化簡求值，即可得到答案;

(3)由余弦方差的計算公式，求得〃=；3(26+三卜：，得到6(。)=2+2網(wǎng)2。+三

得至U9(x)=cos^,設(shè)“X,2COS￡|,根據(jù)AP-8P=0,化簡得[2COS]T]=?一無？，結(jié)

答案第1