全等三角形綜合訓練(三)

1.在AABC中，已知AB=8C,NABC=90。，點E是BC邊延長線上一點，如圖所示，將

線段AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AF,連接C/交直線于點G,若黑空,貝4空=

CE3BG

()

【答案】D

【詳解】解：過點F作FDJ_AG,交AG的延長線于點D

..BC5

?CE~3

設BC=5x,則CE=3x

.\BE=BC+CE=8x

VAB=BC=5x,ZABC=90°,

：.ZBAC=ZBCA=45°

JNBCA二NCAE+ZE=45°

由旋轉(zhuǎn)可知NEAF=90。，AF=EA

ZCAE+ZFAD=ZEAF-NBAO45。

???ZFAD=ZE

在^FAD和aAEB中

/FAD=NE

<ZD=NABE=90°

AF=EA

AAFAD^AAEB

AAD=EB=8x,FD=AB

ABD=AD-AB=3x,FD=CB

在A尸口6和4CBG中

ZFDG=ZCBG=90°

<ZFGD=ZCGB

FD=CB

.,.△FDG^ACBG

i3x

???DG=BG=：BD=—

22

13x

，AG=AB+BG=—

2

13x

?生=工=上

*"BG-3x-3

2

故選D.

【點睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握構(gòu)造全等三角形的方法和全等三角

形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

2.如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都是1,點A,B,C,。都在格點

上，連接AC,3D相交于P,那么ZAPS的大小是（）

A.80°B.60°C.45°D.30°

【答案】C

【詳解】解：取格點EF,M,連接ME>,MB,

由已知條件可知：MF=BE,DF=EM,ZDFM=ZMEB=90°,

/.^DFM^AMEB,

：.MD=MB,ZDMF=ZMBE,

同理可得：AACB=ABME,

：.ZCAB=ZMBE,

???AC//BM，

：.ZAPB=ZPBM,

,/NBME+ZMBE=90。,

JNBME+ZDMF=90°,

：?NDMB=90。,

???ADMB是等腰直角三角形,

JZDBM=45°,

即NAP5=45。，

故選：C.

3.如圖，CA1AB,垂足為點A,AB=24cm,AC=12cm,射線8M1A8,垂足為點5,一動

點石從A點出發(fā)以3cm/s沿射線AN運動，點。為射線5M上一動點，隨著E點運動而運

動,且始終保持即二C3,當點E經(jīng)過（）秒時，△。口與△5C4全等,（注：點E與A

C.4、8、12D.4、12、16

【答案】D

【詳解】解：①當石在線段A3上，AC=3E時，AACB”ABED,

VAC=12cm,

BE=12cm,

：.AE=24-12=12cm,

.?.點E的運動時間為12+3=4（秒）；

②當E在BN上，AC=BE時，AACB咨ABED,

"."AC=12cm,

.'.BE=12cm,

AE=24+12=36cm,

點E的運動時間為36+3=12（秒）；

③當E在BN上,時，AACB絲△BOE,

VAB=24cm,

BE=24cm,

AE=24+24=48cm,

.?.點E的運動時間為48+3=16（秒），

綜上所述/的值為：4,12,16.共3種情況.

故選D.

4.如圖，在四邊形ABCZ）中，AB//CD,ZB=90°,NZMB與NAOC的平分線相交于BC

邊上的M點，則下列結(jié)論：①乙4〃。=90。；②點M為8c的中點；③A8+C0=A。；

④△ADM的面積是梯形ABC。面積的一半.其中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【詳解】解：過M作于E,如圖所示：

?/與/AOC的平分線相交于BC邊上的M點,

AZMDE=^ZCDA,ZMAD=^ZBAD,

'：DC//AB,

：.ZCDA+ZBAD=ISO°,

AZMDA+ZMAD=^(ZCDA+ZBAD)=1xl80°=90°,

AZAMD=180°-90°=90°,故①正確；

*：AB//CD,ZB=90°,

：.MC±DC,

?「OM平分NCDE,MELDA,

：.MC=ME,

同理ME=MB,

：.MC=MB=ME,

???點M為3C的中點，故②正確；

在RtbDCM和RtXDEM中，

[MC=ME

[DM=DM'

:.RtADCM^RtADEM(HL),

：.CD=DE,

同理：R3ABM咨RdAEM(HL),

：.AB=AE,

：.AB+CD=AE+DE=ADf故③正確；

.：RtXDCMQRtbDEM,RtLABM咨RtAAEM,

：.SADEM=SADCM,SAAEM=SAABM,

...SAADM=IS梯形ABCD,故④正確；

故選：D.

5.如圖，在A/1BC中，點。是8C邊上一點，已知/ZMC=a,ADAB=90°-^,CE平

分NACB交于點E,連接。E,則—DEC的度數(shù)為()

【詳解】解：過點E作￡M，AC于M,EN工AD于~N,EH工BC于■H,如圖,

一2I2J2

AE平分NM4D,：.EM=EN,

:CE平分ZACB,：.EM=EH,二EN=EH,

：.DE平分^ADB,：.Zl=-NADB,

2

11

?.,由三角形外角可得：Zl=ZDEC+Z2,Z2=-ZACB,：.ZDEC+-ZACB,

ffi]ZADB=ZDAC+ZACB,：.ZDEC=-ZDAC=-a.

22

故選：B.

6.如圖所示，AC平分N&LD,ZB+ZD=180°,CEJ_A￡＞于點E,AD=13cm,

AB=7cm,那么DE的長度為cm.

【答案】3

【詳解】證明：如圖,

F

過C作CF1AB的延長線于點F,

：AC平分/胡D,

二ZFAC=AEAC,

'：CE±AD,CF1,AB,

ZBFC=ZCED=90°9

在△AFC和△AEC中，

NFAC=/EAC

<ZCFA=ZCEB,

AC=AC

：.AAFC^AEC(AAS),

AF=AE,CF=CE,

???ZABC+ZD=180°,

/FBC=/EDC,

：.^FBC^EDC(AAS),

BF=ED,

AB^AD=AE+ED+AF-BF=2AE,

VAZ)=13cm,AB=7cm,

???13+7=2AE,

AE=10cm,

???DE=AT>-AE=13-10=3cm.

故答案為：3

7.如圖，四邊形ABC。中，對角線平分/ABC,ZACB=78°,ZABC=60°,并且

ZBAD+ZCAD=180°,則ZBDC的度數(shù)為.

A

【答案】21。

【詳解】解：過點。作。EL54于點E,小，3。于點F，DGLAC于點G,

對角線8。平分ZABC,ZABC=60°,

ZDBA=ZDBC=30°,DE=DF,ZBDE=ZBDF=60°,

■：ZBAD+ACAD=180°,ZBAD+ZDAE=18Q°,

:.ZCAD=ZDAE,

:.DE=DG,

:.DE=DG=DF,

NADE絲AADG,ADGCgADRC(HL),

/.ZADG=NADE=-ZGDE

2

ZCDG=ZCDF=-ZGDF,

2

ZADG+ZCDG=1(NGDE+ZGDF)=|ZEDF,

-.-ZBDE=ZBDF=60°,

/.Z￡DF=120°,

ZADG+ZCDG=60°即ZADC=60°,

???ZABC=60°,ZACB=78°,

ABAC=180°-60°-78°=42°,

ACAD=-NCAE=-x(180°-42°)=69°,

22

ZBDA=180。—30°-42°-69°=39°,

/.NBDC=ZADC-ZBDA=60°-39°=21°.

故答案為：21°.

8.如圖在△ABC中，。為A5中點，DELAB,ZACE+ZBCE=180°,E/_L3C交AC于

【答案】10

【詳解】解：連接AE,過點E作EG,AC交AC的延長線于點G,如圖所示:

???。為A3中點，DE±AB,:.EA=EB,

VZACE+ZBCE=180°,ZACE+ZECG=180°,：.ZECG=ZBCE,

VEF±BC,EG.LAC,：.EG=EF,

EF=EG

在RtXEFC和RtbEGC中，〈，

[EC=EC

:?RtbEFCQRt〉EGC(HL),：.CF=CG,

.,.12-CF=8+CF,解得：CF=2,.\BF=12-2=10,

故答案為：10.

9.如圖，在四邊形ABC。中，AC是四邊形的對角線，ZCAZ)=30°,過點。作于

點E,ZB=2ZBAC,ZACD+ZBAC=60°f若A3的長度比CD的長度多2,則3E的長為

【答案】1

【詳解】解：在AE上截取EQ3E,連接CF

VCE±AB,

???CE垂直平分BF,

：.BC=FC,

：.NB=NBFC,

'：ZB=2ZBAC,

：./BFC=2/BAC,

ZBFC=ZBAC+ZACF,

：.NACF=/BAC,

：.AF=CF,

過點尸作尸交AC于點M,過點C作CNLAO,交AD的延長線于點N,則有

/AMF=NN=90。,AC=2AM9

VZCAD=30°,ZN=90°,

：.AC=2CN,

；?AM=CN,

?.*ZACD+ZBAC=60°,

：.ZACD=60°-ZBACf

o

：.ZCDN=ZACD+ZCAD=60°-ZBAC^30=90°-ZBACf

：.ZNCD=90°-ZCDN=90°-(90°-ZBAC)=NBAC,

：.ZMAF=ZNCD,

ZMAF=NNCD

在△?1而和△CZ)N中，］AM=CN,

ZAMF=AN

:AAFM%ACDN(ASA),

：.AF=CD,

VAB的長度比CD的長度多2,

AB-CD=AB-AF=2BE=2,：.BE=lf

故答案為：1.

10.如圖，在四邊形ABC。中，AD=AB,DC=BC,ZDAB=60°,ZDCB=120°,E在

AZ)上，尸是AB延長線上一點，＞DE=BF,若G在A3上，且NECG=60。，則。回、

EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系是.

【答案】DE+BG=EG

【分析】連接AC,利用全等三角形的判定和性質(zhì)，求解即可.

【詳解】解：猜想。E、EG、3G之間的數(shù)量關(guān)系為：DE+BG=EG.理由如下:

連接AC如圖所示,

AB=AD

在△ABC和△AOC中，<BC=CD,AAABC^AADC(SSS),

AC=AC

：.ZBCA=ZDCA=-ZDCB=60°

2

又???NECG=60。，AZDCE=ZACG,ZACE=ZBCG,

VZD^ZDAB+ZABC+ZDCB=360°,/DAB=60。,ZDCB=120°,

ZD+ZABC=360°-60°-120°=180°,

又,.?NCB尸+NA5C=1800,AZD=ZCBF,

DC=BC

在△CDE和△C5尸中，\ZZ)=ZCBF,

DE=BF

?,.△CDEQ^CBF(SAS),

:?CE=CF,ZDCE=ZBCFf

：.ZBCG+^BCF=ZACE+ZDCE=60°,即NbCG=60。，

:?/ECG=/FCG,

在^。石6和4CbG中，

CE=CF

</ECG=ZGCF,

CG=CG

:?△CEGQ^CFG(SAS),

：.EG=FG,

又?.?DE=BF,FG=BF+BG,

:?DE+BG=EG,故答案為：DE+BG=EG

11.如圖，在△ABC中，A”是高，AE//BC,AB=AEf在AB邊上取點。，連接。及DE

=AC,若SBC=5S*,BH=L則BC=—.

【答案】2.5

【詳解】解：如圖，過點片作瓦UAS交A4的延長線于點尸,

F

VEFXAB,AHLBC,

：.NEFA=/AHB=NA"C=90。,

9：AE//BC,

：.ZEAF=ZB,

在與△￡>!廠中，

ZAHB=ZEFA

</B=/EAF

AB=EA

.?.AABH^AEAF(AAS),

???AH=EF,^/\ABH=*^AE4F，

在RtAACW與Rt^EDF中，

[AH=EF

[AC=DE

：.RtAACH^RtAEDF(HL),

??^AACH=S/^EDF=S/\FAF+^AADE，

?S/vlBC=+S—cH=5s△^后,

??S/MBH+'LEAF+S&DE=^^AADE，

??2s+S/\ADE~5s△^E,

解得：S^ABH=2S^ADE，

??SAACW=5sA―SAAB”=^^AADE，

S/\ABH2sA

^CHAH°

-2=3

*"12，

BHAH”

2

即空3

BH2

又,：BH=\,

：.CH=1.5,

：.BC=BH+CH=2.5,

故答案為：2.5.

12.(1)如圖1,在AABC中，AB=4,AC=6,A。是8C邊上的中線，延長AD到點E使

DE=AD,連接CE,把AB,AC,2A。集中在AACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得4D的

取值范圍是;

(2)如圖2,在AA8C中，是2C邊上的中線，點、E,尸分別在AB,AC上，且

DELDF,求證：BE+CF>EF；

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，NA為鈍角，NC為銳角，ZB+ZADC=180°,D4=

DC,點E,尸分別在BC,A3上，且/連接斯，試探索線段AF,EF,

CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【詳解】(1),:CD=BD,AD=DE,ZCDE=ZADB,

：.△CDE^ABDA(SAS),EC=AB=4,

V6-4<AE<6+4,：.2<2AD<10,：.1<AD<5,

故答案為：1<AD<5；

(2)如圖2中，延長ED到H,使得DH=DE,連接。H,FH.

,:BD=DC,/BDE=NCDH,DE=DH,

：.(SAS),：.BE=CH,

:FDLEH,又DE=DH,

：.EF=FH,在ACM中，CH+CF>FH,

'：CH=BE,FH=EF,：.BE+CF>EF；

(3)結(jié)論：AF+EC=EF.理由：延長BC到H,使得CH=AF.

VZB+ZAZ)C=180°,

ZA+ZBCD=180°,

:/DCH+NBCD=18Q。,：.A=ZDCH,

'：AF=CH,AD=CD,：.AAFD^ACHD(SAS),

：.DF=DH,ZADF=ZCDH,：.ZADC=ZFDH,

,：ZEDF=^ZADC,：.ZEDF=^ZFDH,：.ZEDF=ZEDH,

,:DE=DE,：./\F.DF^/\F.r>H(SAS),：.EF=EH,

"：EH=EC+CH=EC+AF,：.EF=AF+EC.

13.

（D如圖1,在RSABC中，ABAC=9Q°,AB=AC,分別過B、C兩點作過點A的直線/

的垂線，垂足為。、E；當。、E兩點在直線BC的同側(cè)時，猜想，BD、CE、OE三條線

段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

（2）如圖（2）,將（1）中的條件改為：在“IBC中，AB=AC,D、A、E三點都在直線機

上，并且有N3D4=NAEC=N3AC=cn其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論

DE=BD+CE是否成立?如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

（3）如圖3,ZSAC=90°,AB=22,AC=28.點P從8點出發(fā)沿8—A—C路徑向終點C

運動；點。從C點出發(fā)沿C—ATB路徑向終點B運動.點P和。分別以每秒2和3個單

位的速度同時開始運動，只要有一點到達相應的終點時兩點同時停止運動；在運動過程

中，分別過尸和0作尸尸，/于F。3，/于6.問：點尸運動多少秒時，APFA與

△QAG全等？（直接寫出結(jié)果即可）

【答案】（1）DE=3O+CE；（2）成立，證明見解析；（3）6或10.

【詳解】（1）解：證明：根，CELm,

NBDA=ZAEC=90°,

又：ZBAC=90°,

ZBAD+ZCAE=90°,

???ZBAE+ZABD=90。,

ZABD=ZCAE,

在aADg和△CE4中，

ZABD=ZCAE

<ABDA=NCEA,

AB=AC

?.△ADB'CEA(A4S),

AE=BD,AD=CE,

/.DE=BD+CE；

(2)解：成立.

證明：vZBDA=ZAEC=a,

ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-cr,

ZABD=ACAE,

在和△CE4中，

ZABD=ZCAE

<NBDA=NCEA

AB=AC

?.AADB'CEA(A4S),

/.AE=BD,AD=CE,

DE=BD+CE；

28

(3)解：①當0W與■時，點尸在A5上，點。在AC上,

貝!JBP=2t,CQ=3t,AB=22,AC=28,

當PA=Q4即22—2/=28—3/,解得"6時，

PF□于F,。6，/于6,ZBAC=90°,

z.ZPFA=ZQGA=ABAC=90°,

ZPFA=90°一ZGAQ=ZAQG,

在△尸E4和△QAG中，

ZPFA=ZAGQ

<ZPAF=AQG,

PA=AQ

△尸E4慫△0AG(A4S)；

28

②當石時，點P在AB上，點。也在AB上，

此時相當于兩點相遇，貝第2f+31=22+28,解得f=10,

③當■時，點。在A3上，點尸在AC上，

當PA=QA即2"22x2=22,解得t=33時（舍去）；

綜上所述：當t等于6秒或10秒時，與△QAG全等；

故答案為：6或10.

14.如圖1,0P是/MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以。尸所在直線為對稱軸的全

等三角形，并將添加的全等條件標注在圖上.

請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

①如圖2,在AABC中，ZACB是直角，N3=60。，AD.CE分別是/BAC和N3C4的平分

線，AD.CE相交于點孔求NEE4的度數(shù)；

②在①的條件下，請判斷FE與ED之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

③如圖3,在AABC中，如果4cB不是直角，而①中的其他條件不變，試問在②中所得結(jié)

論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

【答案】見解析；①60。；②FE二FD,理由見解析；③成立，證明見解析

【詳解】解：在NMON的兩邊上以。為端點截取O8=OC,在OP上任意取一點￡>,連接

BD、CD,則AOBD與AOCD即為所求作的三角形，如圖1所示：

圖1

①如圖2,,/^ACB=90°,NB=60。,：.ZBAC=3Q)°,

,/AD、CE分別是ABAC和ZBCA的平分線，

ZDAC=-ZBAC=15°,^ECA=-^ACB=45°,

22

：.^EFA=^DAC+^ECA=150+45°=60°；

?FE=FD.理由如下：在AC上截取AG=AE,連接FG,如圖2所示:

"?AD是ABAC的平分線，，NEAF=ZGAF,

在和AG4F中，

'AE=AG

?：<ZEAF=ZFAG,△EAF^AGAF(SAS),

AF=AF

:.FE=FG,^EFA=^GFA=60°,NGPC=180°—60°—60°=60°,

又,；ZDFC=ZEFA=(fiP,；.NDFC=ZGFC,

在△EDC和&FGC中

ZDFC=ZGFC

'：<FC=FC,：.AFDC均FGC(ASA),:.FD=FG,：.FE=FD.

NFCG=/FCD

③在②中的結(jié)論FE=FD仍然成立.

在AC上截取=連接FH,如圖所示:

圖3

同②可得：AEAFmAHAF,FE=FH,ZEFA=ZHFA,

又由①知/網(wǎng)C=L/8AC,ZFCA^-ZACB,

22

ZFAC+ZFCA=；(ZBAC+ZACB)=-xl20°=60°

2

ZAFC=180?！?2771C+/PC4)=120。，/EM=/7ffi4=180?！?20。=60。,

同②可得AFDC'FHC,：.FD=FH,：.FE=FD.

15.(1)如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90。，E、歹分別是邊

BC、CD上的點，S.ZEAF=^ZBAD.求證：EF=BE+FD；

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別是邊3C、CD1.

的點，§LEF=BE+FD-,求證：ZEAF=^ZBAD,

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、尸分別是邊

BC、CD延長線上的