解答01解三角形

帽架導(dǎo)航

Z--------------------------------------X

解三角形

常規(guī)的邊角互化

需借助2R或需將數(shù)代成邊的邊角互化

向量、三角函數(shù)、解三角形的結(jié)合

三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

多三角形中的解三角形

考點(diǎn)訓(xùn)練

,卜仔角形的中線與角平分線

基本不等式求最值

三角函數(shù)法求最值

解三角形與數(shù)列

存在問題

模擬題訓(xùn)練

真題訓(xùn)練

g考點(diǎn)訓(xùn)煉

【考了01常規(guī)的邊角互化】

［例1］在VABC中,角A,5,C對(duì)應(yīng)的邊分別為〃也c,sin2A—sin2B=sin2C—y/3sinBsinC.

⑴求角A；

(2)若cos3=2也，a+b=5,求VABC的面積.

3

【例2】已知VABC中，角A民。的對(duì)邊分別是〃，瓦。，且石。-csinA=^QCOSC.

(1)求角A的大??；

(2)若。=3,0為5c的中點(diǎn)，|AD|=2,求VABC的面積.

【變式1-1】記VA6C的內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知asinA+csinC=Z?sin5+asinC,且VABC

的面積為地.

2

⑴求B；

⑵求公；

(3)若〃一。=1,求

【變式1-2］已知VABC內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,且〃+b=2ccos及

(1)若C=］,求&

(2)若a=l,b=3,求c.

【變式1-3］已知〃，b,。分別為VA3C三個(gè)內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊，a2+3b2=3abcosC-3bccosA,a=6.

⑴求兒的最大值;

⑵若VMC的面積為浮'。為BC中點(diǎn)“求sinwc的直

【考點(diǎn)02需借助2R或需將數(shù)代成邊的邊角互化】

【例3】在VA5c中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,c=l,aSmA-SmC=sin(A+C),a^b.

a-b

(1)求VA3C的外接圓半徑;

(2)若VA3C為銳角三角形，求VA3c周長(zhǎng)的取值范圍.

【例4】已知VABC的內(nèi)角A,民C的對(duì)邊分別為a,6,c,且5a+46=5a?s3.

⑴求cosC；

(2)若2a+b=4sinA+2sinB,求VA3C周長(zhǎng)的最大值.

【變式2-1］在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。,瓦。，已知a=l,cosC+ccosA-26cos3=0.

⑴求B；

⑵若衣=2瓦，且BD=6,求J

【變式2-2］在VABC中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別是d仇。，已知b=l,c=cosA+立”.

2

⑴求B；

(2)若〃=百，求VA3C的面積.

【變式2-3】銳角三角形A3C的內(nèi)角A,民C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知》=2,(a+c)(a-c)=2。-°).

⑴求A.

(2)求VABC面積的取值范圍.

【考點(diǎn)03向量、三角函數(shù)、解三角形的結(jié)合】

【例5】已知VABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量用=(a,耳)，w=(cosAsinB),且

mlIn.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若a=6=2,求VABC的面積.

【例6】設(shè)xeR,函數(shù)/(x)=cos(0x+e)](y>O,—/<的最小正周期為兀，且圖象向左平移巳后

得到的函數(shù)為偶函數(shù).

0

1

2

⑴求“X)解析式，并通過列表、描點(diǎn)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)/(X)在［0,句上的圖象；

(2)在銳角VABC中，a,6,c分別是角AB,C的對(duì)邊，若士!=\,求”3)的值域.

cosBcosC

【變式3-1】已知m=(2cosx,2>^sinx),b=(cosx,-cosx),/(x)=a-b.

(i)求函數(shù)y=〃x)的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若銳角AASC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、C,若/(A)=_l,a=l,求AABC周長(zhǎng)的取值范

圍.

【變式3-3】在銳角VABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,且滿足(2a—c)麗?前=。麗?瓦.

(1)求角2的大小；

(2)若c=3,求VABC面積的取值范圍.

【考點(diǎn)04多三角形中的解三角形】

【例7】設(shè)VABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a也c,>(a-c)-sin(5+C)=(/?-c)-(sinB+sinC),&=73.

⑴求B；

⑵若|麗+前|=3,求VABC的周長(zhǎng)；

2

(3)如圖，點(diǎn)。是VABC外一點(diǎn)，^ZBAC=ZDAC=3,S.ZADC=-TC,記△BCD的面積S,求S關(guān)于。的

關(guān)系式，并求S的取值范圍.

【例8】如圖，在平面四邊形ABCD中，AC與D5的交點(diǎn)為E,平分NADC,AB=BC=CD=2,AD>2.

⑴證明：BD2=2(A￡)+2)；

47rF

(2)若=求隹.

4DE

【變式4-1］如圖，在平面四邊形A5C。中，ZD=2ZB,CD=3AD=3,BC=?cosB=心~

3

⑴求四邊形ABCD的周長(zhǎng);

(2)求四邊形A3C。的面積.

TT

【變式4-2］如圖，在平面四邊形ABCD中，ZACD=-,若E是AD上一點(diǎn)，CD=CE,AC=mAE.

2

(1)證明：cos2ZADC+sinZACE=0；

7T

(2)^AB=1,BC=3,ZACE=-.

6

①求加的值；

②求8。的最大值.

【變式4-3］如圖，四邊形A5co中，AB^1,CD=AD^2,BC^,ABAD+ZBCD=TI.

D

⑴求44。；

（2）尸為邊BC上一點(diǎn)，且△PCD的面積為白，求AAB尸的外接圓半徑.

【考點(diǎn)05三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】

【例9】某城市平面示意圖為四邊形A5CD（如圖所示），其中AACD內(nèi)的區(qū)域?yàn)榫用駞^(qū)，VABC內(nèi)的區(qū)域

為工業(yè)區(qū)，為了生產(chǎn)和生活的方便，現(xiàn)需要在線段A3和線段AD上分別選一處位置，分別記為點(diǎn)E和點(diǎn)產(chǎn)，

修建一條貫穿兩塊區(qū)域的直線道路跖，線段所與線段AC交于點(diǎn)G,EG段和GP段修建道路每公里的費(fèi)

7T

用分別為10萬元和20萬元，已知線段AG長(zhǎng)2公里，線段和線段A￡＞長(zhǎng)均為6公里，AB1AC,ZCAD=,

6

設(shè)NAEG=，.

（1）求修建道路的總費(fèi)用y（單位：萬元）與。的關(guān)系式（不用求。的范圍）;

（2）求修建道路的總費(fèi)用y的最小值.

【例10］如圖，相距10m的乙，之間是一條馬路a，4可近似看作兩條平行直線），為了測(cè)量河對(duì)岸一點(diǎn)A到

馬路一側(cè)4的距離力，小明在4這一側(cè)東邊選擇了一點(diǎn)B,作為測(cè)量的初始位置，其中與4交于點(diǎn)

現(xiàn)從點(diǎn)8出發(fā)沿著乙向西走15m到達(dá)點(diǎn)N,測(cè)得繼續(xù)向西走300m到達(dá)點(diǎn)Q,其中4Q與4交于點(diǎn)

P,繼續(xù)向西走5m到達(dá)點(diǎn)R,測(cè)得尸R，4.根據(jù)上述測(cè)量數(shù)據(jù)，完成下列問題.

(1)求sin/BAQ的值;

⑵求力的值.

【變式5-1］如圖，現(xiàn)有一直徑AS=2百米的半圓形廣場(chǎng)，4B所在直線上存在兩點(diǎn)C,D,滿足03042

百米（。為A8的中點(diǎn)），市政規(guī)劃要求，從廣場(chǎng)的半圓弧上選取一點(diǎn)E,各修建一條地下管道EC和EO

通往C、。兩點(diǎn).

CAOBD

（1）設(shè)試將管道總長(zhǎng)（即線段EC+即）表示為變量。的函數(shù)；

（2）求管道總長(zhǎng)的最大值.

【變式5-2】某校高中“數(shù)學(xué)建?！睂?shí)踐小組欲測(cè)量某景區(qū)位于：“觀光湖”內(nèi)兩處景點(diǎn)A,C之間的距離，如

7T7T

圖,B處為碼頭入口,D處為碼頭,BD為通往碼頭的棧道,且3。=100m,在B處測(cè)得ZABD=—,ZCBD=—,

46

27r37r

在。處測(cè)得=子，=（A,B,C,。均處于同一測(cè)量的水平面內(nèi)）

AC

D

B

(1)求A,C兩處景點(diǎn)之間的距離;

(2)棧道所在直線與A,C兩處景點(diǎn)的連線是否垂直？請(qǐng)說明理由.

【變式5-3］如圖，某公園有一三角形的花壇ABC,已知圍欄8c長(zhǎng)5米，AC長(zhǎng)7米，8=60。，擬在該花

壇中修建一條直圍欄PQ(即線段尸。，點(diǎn)尸、。分別在三角形的兩邊上)，以種植兩種不同顏色的菊花供游客

觀賞，花壇設(shè)計(jì)者希望通過圍欄實(shí)現(xiàn)兩種菊花的種植面積相等且同一時(shí)刻花壇邊游客近距離賞花的人數(shù)的

最大值相等.試問：在VA3C的邊上是否存在尸、。兩點(diǎn)，使得線段PQ既平分VA3C的面積又平分其周長(zhǎng)？

若存在，求出所有滿足要求的點(diǎn)AQ的位置(結(jié)果精確到01米)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)06三角形的中線與角平分線】

【例11】在VA3c中，角A、B、C的對(duì)邊分別為b、c.已知2ccosA=26—a.

(1)求角C的大?。?/p>

⑵設(shè)M為AB邊的中點(diǎn)，若c=娓,a-b=l,求|前|的大小.

［例12］VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知(sinB+sinC?=sir?A+sin3sinC.

⑴求A；

(2)若°=6，/BAC的角平分線交BC于點(diǎn)O,求線段4)長(zhǎng)度的最大值.

【變式6-1］在VABC中，角A,民C的對(duì)邊分別是。，瓦c,且sinC+J3cosc=縣.

b

⑴求角8；

(2)若"c=2,b=?ZABC的角平分線交AC于點(diǎn)O,求BD.

【變式6-2］在VA3C中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c,且滿足A=§,a=BA.AC=3,

AD是VABC的中線，求AD的長(zhǎng).

【變式6-3】VABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知2a—%=2ccosB.

⑴求角C；

(2)若b=3,c=屈、CD平分/ACB交AB于點(diǎn)O,求CD的長(zhǎng).

【考點(diǎn)07基本不等式求最值】

【例13】在VABC中，內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別為。也c,且吧U=‘粵

cosAcosn

(1)證明：A=B.

(2)若。是BC的中點(diǎn)，求/C4D的最大值.

A/3COSA

【例14】記VABC的內(nèi)角A,民C的對(duì)邊分別為",6c已知?=

sin(A+B)

⑴求A；

(2)若VABC的面積為白，求。的最小值.

a+ccosA+cosC

【變式7-1】已知VABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、匕、。，且

labca2+c2—b1

⑴求8；

(2)設(shè)。為AC的中點(diǎn)，6=2；求：①VABC面積的最大值；②8。的最大值.

【變式7-2】在銳角VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,S為VABC的面積，S.2S=a2-(b-cf.

(1)求sinA+2cosA的值;

(2)已知。=2,求VA3C的面積的最大值.

【變式7-3]在VA3C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足bsinA=ocos[8-看

(1)求23；

(2)若6=2,求VABC周長(zhǎng)的取值范圍.

【考點(diǎn)08三角函數(shù)法求最值】

2c2

【例15】在銳角VABC中，內(nèi)角A,氏C的對(duì)邊分別為。，4c,且tanA+tanB

a2+c2-b2'

(1)求角A的大??；

(2)若8c=2,點(diǎn)。是線段的中點(diǎn)，求線段AO長(zhǎng)的取值范圍.

2

【例16】VA3C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2c2=(/+02-Z?)(tanA+tanB).

⑴求A；

(2)若VABC為銳角三角形，且6=2,求VABC面積的取值范圍.

【變式8-1】記銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bcosA=石—acosB，

2asinC=y/3■

(D求A.

(2)求VABC面積的取值范圍.

【變式8-2】已知銳角三角形A3c中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,向量沆=(1,病inB-cos4,

n=(cosA,cosC),miln.

⑴求A；

(2)求烏2h的取值范圍-.

c

【變式8-3】在VABC中，已知A2=2石,8C=3+也,AC=3&.

⑴求，ABC；

(2)若在BC邊上存在點(diǎn)E,使AABE為銳角三角形，求鉆+BE的取值范圍.

【考點(diǎn)09解三角形與數(shù)列】

兀兀

【例17］已矢口函數(shù)/(%)=4sinxcosx—4石sin%--COSX--

⑴若函數(shù)尸/⑺-3在［0,2可上的零點(diǎn)從小到大依次為不，號(hào)…，五,設(shè)數(shù)列｛玉｝的前〃項(xiàng)和為九求S,的

值；

(2)在銳角VABC中，角A,3,C的對(duì)邊分別為〃，匕，。，若/(A)=2,,=2近，BC邊上的中線AO=§,

求sin5的值.

【例18】在VABC中，A氏C的對(duì)邊分別為〃,加。，且sinA=2sinC,a=6,Z?=5.

⑵延長(zhǎng)CB至點(diǎn)A，使得地=1,延長(zhǎng)84至點(diǎn)4，使得A4=L……，依此規(guī)律得到點(diǎn)歹U｛4｝,且

4+0+2=l，ieN,記AATMQWN*)的面積為d“，證明數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，并求｛4｝的前〃項(xiàng)和S”.

【變式9-1】已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，，1的公差為2,又?jǐn)?shù)歹1］低｝滿足〃,=。““心

⑴求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和

Q2兀

(2)在VABC中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為“，"c,且A=石，求AABC面積的最大值.

【變式9-2】已知在數(shù)列｛4｝中，q=1，。用=售1.

⑴求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列弧戶向｝的前〃項(xiàng)和S.；

(2)在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且。=」-----,bcosC+ccosB=-2acosA,求VABC

%a?

面積的最大值.

【變式9-3］在VABC中，角A,民C所對(duì)的邊分別是a,6,c,且出+乎=1.

abc

⑴證明：”,c,b成等比數(shù)列.

(2)求(1)中數(shù)列的公比的取值范圍和角C的最大值.

(2025?廣東茂名?一模)已知a1,c分別為VABC三個(gè)內(nèi)角AB,C的對(duì)邊，且2次》sC=acosC+ccosA.

⑴求C；

(2)若,=加，且VA3c的面積為3石，求。也

sinA_cosA

2.(2025?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè))已知在△ABC中,

sinB+sinCcosB+cosC

⑴求A；

(2)證明：AB^AC<2BC.

3.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,4c.已知

sinB(?cosB+Z?cosA)=ccos^B-^.

(1)求角B的大??；

(2)若/ABC的角平分線8。與邊AC相交于點(diǎn)。，BD=雪,b=幣,求VABC的周長(zhǎng).

4.(2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))已知VA3C中，角AB,C所對(duì)的邊分別為a/,c,且川否-cosC)=csin[B+：

(1)若c=?,求cosC的值；

s

(2)記VABC的面積為S,當(dāng)cos5取得最小值時(shí)，求二的值.

5.(2024.上海虹口.一模)設(shè)〃%)=sins(0>0).

(1)當(dāng)函數(shù)y=y(x)的最小正周期為2兀時(shí)，求y=/(x)+cosx在上的最大值；

(2)若。=2,且在VASC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)為。、b、c,銳角A滿足=0,AB.AC=4,

求"的最小值.

6.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))已知在VABC中，a,b,。分別為角A,且C的對(duì)邊，VABC的面積為。2$足。.

⑴求萼的值;

sinB

⑵若c=5,證明：y<a<10.

7.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知VABC中，內(nèi)角A5,C所對(duì)的邊分別為〃也c,且滿足.八.「二'

sinB+smCb

7T

（1）若C=],求6；

（2）求審/7+的r取值范圍.

b

8.（2025?陜西渭南?一模）在VABC中.已知券=等=誓

⑴求cosA.

（2）若點(diǎn)。為AB的中點(diǎn).且CZ）=JQ.求VABC的面積.

2

9.（2025?重慶?一模）在VABC中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為。，b,。，已知b2=ac,且cos5=§.

⑴求一半不的值;

sinAsinC

⑵設(shè)BABC=|,求a+c的值.

10.（2025?遼寧沈陽(yáng)?一模）VA3C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,/ABC的平分線交AC于

若指sin(B+小-sin[B5)=0,

點(diǎn)。，8E為VABC的中線a=1,c—2?

⑴求BE的長(zhǎng);

⑵求5。的長(zhǎng).

1

（2024?北京?高考真題）在VA3C中，內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a/,c,一A為鈍角，a=7,sin2B=—Z?cosB.

7

⑴求/A；

（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得VA3C存在，求VA3C的面積.

條件①：6=7；條件②：cosB=1|；條件③：csinA=1^.

142

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

2.(2024?全國(guó)?高考真題)記VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA+若cosA=2.

⑴求A.

(2)若a=2,@sinC=csin2B，求VA3c的周長(zhǎng).

3.（2024?廣東江蘇?高考真題）記VABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinC=0cosB，

ci~+b~_

⑴求5

（2）若VABC的面積為3+石，求c.