專題21立體幾何綜合題

1.(2023?新高考I)如圖，在正四棱柱ABC。-A8CQ中，皿=2,懼=4?點(diǎn)兒,約，C2,鼻分

另IJ在棱相，BB「CC[,DD[上,A4j=1,BB2=DD2=2,CC2=30

(1)證明：B2C2//A,D2；

(2)點(diǎn)p在棱B耳上，當(dāng)二面角尸-4c2為150。時(shí)，求22P.

【答案】見解析

【詳解】(1)證明:根據(jù)題意建系如圖,則有：

B2(0,2,2),C2(0,0,3),4(2,2,1),A(2,0,2),

(0-2,1),AA=(0,-2,1),

瓦以=4瓦，又為，。2,4,3四點(diǎn)不共線，

/.B2c2//4。2；

(2)在(1)的坐標(biāo)系下，可設(shè)P(0,2,/),/e[0,4],

又由(1)知。2(。，0,3),&(2,2,1),D2(2,0,2),

.\C^=(2,2,-2),QP=(0,2,t-3)f4^=(0,-2,1),

設(shè)平面尸4c2的法向量為成=(%y,z),

[m-CA=2x+2y—2z=0口

則<_?/，取玩=Q—1,3—1,2),

m-C2P=2y+(t—3)z=0

設(shè)平面AGA的法向量為為=(。,仇。)，

fn-CA=2。+2b-2c=0口

則<J2?>，取為=(1,1,2),

n?=—2b+c=0

，根據(jù)題意可得Icos15001=1cos<m,n>|J比加

|利為|

.也=__________6__________

-2^(r-l)2+(3-z)2+4x^/6

/—4f+3=0,又fe[0,4],

解得f=1或f=3,

,尸為片當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)或2#的中點(diǎn),

2.(2022?新高考I)如圖，直三棱柱ABC-的體積為4,△ABC的面積為2后.

(1)求A到平面\BC的距離；

(2)設(shè)。為AC的中點(diǎn)，AAI=AB,平面ABC,平面A3BM，求二面角A-BD-C的正弦值.

【答案】見解析

【詳解】(1)由直三棱柱ABC-4耳￡的體積為4,可得！,0=；匕甌,一^=：，

設(shè)A到平面ABC的距離為d,由YVABC=VA.ABC，

A-S-d=-,：.-x2y/2-d=-,解得d=0.

3"ABC333

(2)連接A4交AB于點(diǎn)E,?.?AA=AB,.?.四邊形ABB。為正方形，

AB.LA.B,又?.?平面48C_L平面AB44,平面A^CC平面ABgA=耳3,

.-.ABX±平面43c,:.ABX±BC,

由直三棱柱ABC一A4G知BB]±平面ABC,BB]±BC,又A片0|BB,=用，

二.BC_L平面ASMA，BC±AB,

以3為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA,臺(tái)片所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

R

AAl=AB,:.BCxy/2ABx-=2-/2,又；ABxBCxA4,=4,解得AB=BC=朋=2,

則8(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),A(。，2-2),。(1,1,1),

則麗=(0,2,0),前=(1,1,1),而=(2,0,0),

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為為=(尤，y,z),

,n,BA=2y=0人.

則n｛__，令％=1,貝！Jy=0,z=—1,

h-BD-x+y+z=0

二.平面ABD的一個(gè)法向量為為=(1,0,-1),

設(shè)平面3CD的一個(gè)法向量為沆=(〃，b,c),

in?BC=2a=0

令6=1,則a=0,c=—1,

m?BD=a+b+c=0

平面5co的一個(gè)法向量為沅=（0,1,-1）,

__11

cos<n,m>=尸=—,

,x/2,^22

二面角a—9―c的正弦值為=#.

3.（2021?新高考I）如圖，在三棱錐A-BCD中，平面相D_L平面BCD,AB^AD,。為BD的中

點(diǎn).

（1）證明：Q4_LCD；

⑵若AOCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱仞上，DE=2E4,且二面角的大小為45。，求

三棱錐A-BCD的體積.

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：因?yàn)?。為的中點(diǎn)，所以AOJ.BD,

又平面TWC>_L平面BCD,平面ABDC平面3CD=3￡>,AOu平面ABD,

所以AO_L平面BCD,又CDu平面3CD,

所以AO_LCD；

(2)方法一：

取OD的中點(diǎn)P,因?yàn)锳OCD為正三角形，所以CFL8,

過。作OM//CF與3c交于點(diǎn)M,則Q0_LOD,

所以Q0,OD,OA兩兩垂直，

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)M,OD,。4所在直線為龍軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則8(0,-1,0),C(^,1,0),。(0,1,0),

設(shè)A(0,0,f),則E(0,；,g),

因?yàn)椤?_L平面BCD,故平面BCD的一個(gè)法向量為次=(0,0,r),

設(shè)平面BCE的法向量為n=(尤,％z),

又覺=（?,|,0）,麗=（0,：,1）,

區(qū)x+%=0

n-BC=0?

所以由<一，得z《<22

n-BE=042t八'

—yd--z=0

13，3

令x=g,貝！Iy=-1,z=—,故而=（6

tt

因?yàn)槎娼荅-BC-O的大小為45。,

所以|cos<為,OA>\=J為2五

\n\\OA\小2

解得/'=1，所以O(shè)A=1,

又S&OCD=3*1*1義弓=手，所以SgcD=~

故%"=9皿。4=9冬1=名

332o

方法二:

過百作￡F_L3D,交班＞于點(diǎn)R,過產(chǎn)作FG_LBC于點(diǎn)G,連結(jié)EG,

由題意可知，跖//AO,又AO_L平面BC/D1

所以￡F_L平面BCD,又3Cu平面3CD,

所以EFLBC,又BC工FG,FGp\EF=F

所以3C_L平面￡FG,又EGu平面EFG,

所以3C_LEG,

則NEGF為二面角E—3C—D的平面角，即NEG尸=45。,

又CD=DO=OB=OC=l,

所以NBOC=120°，則Z.OCB=ZOBC=30°,

故ZBCD=90。，

所以FG//CD,

曰srDEDFEF2

因?yàn)橐?—

ADODAO3

31?

貝I」AO=—ERO尸=—,。尸=—

233

1

所以巖晦，則紡=二1

23

所以跖=Gb=—,貝ljAO=—E5=l,

32

所以匕/xlxl邛

4.(2023?深圳一模)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，且PD=PB,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱

TT

形，ZBAD^-.

3

(1)證明：平面以C_L平面ABCD；

(2)若以_LPC,求平面與平面PBC夾角的余弦值.

B

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：連接DB,交AC于點(diǎn)O,連接尸O,

?.?A5CD是菱形，.〔BDJLAC,且O為瓦)的中點(diǎn)，

?：PB=PD,:.POYBD,

AC,POu平面APC,且4?「|尸。=。，二血，平面河C,

?.?3Du平面ABCD,平面APC_L平面ABCD.

(2)取AB中點(diǎn)連接。加交AC于點(diǎn)H,連接

ABAD=-,.?.△45。是等邊三角形，；.。0_145,

3

■PDYAB,PD^\DM=D,PD,DMu平面POM,

AB_L平面PDM,AB_LPH,

由(1)知且4BnBD=B，，PH_L平面ABCD,

?.?ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，在AABC中，A"=期=述,AO=ABcos30。=若，

cos3003

由AP_LF。，在AAPC中，

PH2=AH-HC=—x^=-,:.PH=—,

3333

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，03所在直線為x軸，OC所成直線為y軸，過。作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，

AB=(1,V3,0),CB=(1,-A/3,0),BP=(-1,-

設(shè)平面的法向量為力=(x,y,z),

.n,BP=—x------yH--------z=05/2

則＜33，令A(yù)y=l,得而=(一百,1,------),

n?AB=x+6y=0

設(shè)平面尸3C的法向量為沆=(。，b,c),

-RP_6「娓-n

則33，取6=1,得沅=(6,1,0),

m-CB=a-也b=0

設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為e,

則…制

平面PAB與平面PBC夾角的余弦值為—.

3

5.(2023?廣州模擬)如圖，已知四棱錐尸-ABCD的底面ABCD是菱形，平面PBC_L平面

ABCD,ZACD=3O°,E為4)的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在R4上，AP^AF.

(1)證明：PC//平面BEF;

(2)若ZPDC=ZPDB,且PD與平面ABCD所成的角為45。，求平面與平面3EF夾角的余弦值.

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：設(shè)AC,BE的交點(diǎn)為O,連接尸O,

1AF1

則。為的重心，——=一,

AC2~AP2

AF_1

.?.在AAPC中，—=

AC~AP~2

,尸O//PC,又FOu平面BEF,PC?平面3EF,

r.PC〃平面3EF；

(2)?.-ZACD=30°,:.ZACB=3Q°,

ADCS為等邊三角形，:.DC=DB,又NPDC=4PDB,

:.APDB=APDC,:.PB=PC,

取8C的中點(diǎn)為“，連接PH,則P”_L8C,

又平面尸8C_L平面ABCD,平面「3CC平面ABCD=3C,

.一.陽(yáng)_L平面ABCD,

.一.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線HD,HB,HP分別為x,y,z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

PD與平面ABCD所成的角為ZPDH=45°,PH=DH,

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2,則尸〃=。a=6,

.?.尸(0,0,揚(yáng),5(0,1,0),A(G,2,0),￡)(6,0,0),E電1,0),

XAP=3AF,F(

屈=(0,T0),麗=(0,0,0),

設(shè)平面AEF的法向量為為=(%,y,z)，

n-AE=-y=0

則n?EF=-^-x+—y+Q,取萬(wàn)=(1,0,1),

——2=0

333

同理可取平面BEF的法向量m=(0,也,-1),

cos〈沆㈤=^^=一",

\m\\n\4

，平面AEF與平面5跖夾角的余弦值為〃.

4

6.(2023?廣州二模)如圖，在直三棱柱ABC-A耳￡中，ABnACuAA=3,點(diǎn)。是3c的中點(diǎn)，點(diǎn)E在

例上，AD//平面

(1)求證:平面BC]E_L平面BBC。；

(2)當(dāng)三棱錐瓦-的體積最大時(shí)，求直線AC與平面所成角的正弦值.

B

【答案】見解析

【詳解】（1）證明：可取CC1的中點(diǎn)連接DM,AM,

又。為3c的中點(diǎn)，可得DM//BC；,

平面8CE,可得O0//平面2G&

又AD//平面BGE,AD^DM=D,可得平面AD暇〃平面2弓￡

所以AM〃平面8￡￡;

又平面BC|EC平面AACG=GE,可得AM//GE,即有E為例的中點(diǎn),

因?yàn)锳B=AC,。為BC的中點(diǎn)，可得AD1.3C,

由直三棱柱ABC—A4G中，21B_L底面ABC,可得42_LAZ）,

由=可得AD_L平面84clC,

取BG的中點(diǎn)“，連接即，可得EF///AD,即有EH_L平面

而EHu平面BC.E,可得平面BQE±平面BB￡C;

(2)設(shè)3c=2a,可得AD=A/9—/

三棱錐耳-BCjE的體積V=gEH-S的G=1V9-o2-x3x2a=W9-a2?1（a2+9-a2）=|（當(dāng)且僅當(dāng)

a=還取得等號(hào)），

2

可得當(dāng)ABLAC時(shí),三棱錐用-BCE的體積取得最大值.

由于AG//AC,可得直線AC與平面BGE所成角即為直線AG與平面BQE所成角.

設(shè)A到平面BCXE的距離為隊(duì)由BE=GE=小9+；=當(dāng)，BCt=J9+18=3力,

1L'4527_9A/6

可得SBCF=—X3^3X

△DC|C2丁：一丁

=%巫=巫人,又kcE」3」x3x3,

所以匕2T1-BVC]EL-j

344B-AC正3224

又匕-BCE=VBYCE，解得"=近^

zl|D/1|

又AG=3,可得直線AG與平面BQE所成角的正弦值為2=Y5

36

即有直線AC與平面BC}E所成角的正弦值為理.

6

7o（2023?廣州一模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，AR4D是以AD為斜邊的等腰直角三角形,

BC//AD,CD1AD,AD=2CD=2BC=4,PB=243.

(1)求證：ADYPB-,

(2)求平面R4B與平面ABCD夾角的正弦值。

【答案】見解析

【詳解】（1）證明：取/1D的中點(diǎn)O,連接。P,03,

因?yàn)槭且裕?D為斜邊的等腰直角三角形，所以O(shè)PLAD,

在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳O=2BC=2OD,BC//AD,

所以四邊形3cDO為平行四邊形，

又C￡>_LAr>,所以O(shè)3_LAZ）,

因?yàn)椤Ｊ竱。3=。，。尸、OBu平面尸03,

所以AD_L平面尸OB,

因?yàn)镻Bu平面POB,所以AD_LPS.

p.

（2）解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(4,0,0),8(2,2,0),

由（1）知，A￡）_L平面

因?yàn)锳Du平面ABCD,所以平面ABCD_L平面尸03,

又OP=OB=2,PB=2拒,所以NPOB=120°,

所以尸（2,-1,否）,

所以Q=(-2,-1,73),AB=(-2,2,0),

設(shè)平面正池的法向量為用=（x,y,z）,則卜"=°,即］-2x-y+&=0,

令光=1,則y=l,z=石，所以沆二（1,1,正）,

易知，平面ABCD的一個(gè)法向量為為=（0,0,1）,

設(shè)平面與平面ABCD的夾角為氏則cos6=|cos〈玩，）〉|=］玩.利=叵,

\m\-\n\V5xl5

所以sin6=A/1-cos26-,

故平面PAB與平面ABCD夾角的正弦值為—.

5

8.（2023?深圳二模）在三棱柱ABC—A耳G中，AB=BC=2,ZABC=—,A.QLA.B.

ci）證明：AA=AC；

（2）若AA=2,BQ=714,求平面A*與平面BCC內(nèi)夾角的余弦值.

B

【答案】見解析

【詳解】（1）證明：取AC的中點(diǎn)O,連接。4,,OB,

因?yàn)?所以O(shè)3_LAC,

因?yàn)锳G_LA3，AG//AC,

所以AC_LAB，

又O^nAB=B,OB、ABu平面\BO,

所以AC_L平面480,

因?yàn)锳Ou平面48。，所以AC，A。，

因?yàn)椤锳C的中點(diǎn)，所以AA=AC.

(2)解：因?yàn)锳B=3C=2,ZABC=g,所以AC=AG=2右,

又ACJ_AB，BC|,所以G5=J14-12=應(yīng),

而04=08=1，所以。42+03?=4笈，即。4,_LOB,

所以。A，OB,OC兩兩垂直，

故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,1),4(1,51),C(0,A/3,0),B(1,0,0),

所以蒲=(1,g,0),璃=(1,0,1),函=(0,也,1),

設(shè)平面A0的法向量為慶=(x,y,z),則/絲=°,即卜+島=°,

[卅Cg=0[x+z=0

令y=l,貝U尤=一6，z=#),所以沅=(-J§\1,0)，

同理可得，平面8CG4的法向量萬(wàn)=（6,1，-后,

_\m-n\_|-3+1-3|_5

設(shè)平面4c4與平面BCQBi夾角為6,則cos。=|cos＜慶,，2>~\m\-\n\~百義幣~7'

故平面\CBX與平面BCCR夾角的余弦值為-.

9o(2023?佛山一模)如圖，AACD和ABCD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面ACD_L平面3CD,EB1.

平面BCD.

(1)證明：￡B//平面ACD；

(2)若點(diǎn)E到平面ABC的距離為百，求平面ECD與平面3CD夾角的正切值。

F

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：如圖，取CO的中點(diǎn)，連接AO,則AO_LCO,

又因?yàn)槠矫鍭CD_L平面38,且平面ACDC平面BCD=CD,AOu平面ACD,

則AO_L平面BCD,

又所，平面3CD,所以EB//AO,

又￡?仁平面ACD,AOu平面ACD,所以EB//平面ACD.

(2)如圖，連接EO,30,取3c的中點(diǎn)連接DF,則DF_L3C,

C

因?yàn)閨AB\=7lAO|2+|B0|2=76，

則等腰Afi4c的面積為％短=9幾'半=等，

所以三棱錐E—ABC的體積為力加。='x巫x君=上叵，

326

因?yàn)镋B_L平面5co，。萬(wàn)u平面5CD,則DF_L￡B,

又因?yàn)镈F_L3C,EB[\BC=B,￡BU平面￡BC,3CU平面￡BC,則。E_L平面￡BC,

因?yàn)椤闎//AO，則點(diǎn)A到平面EBC的距離等于點(diǎn)O到平面EBC的距離等于-|DF|=—

22

因?yàn)閊^=:'2><|￡洌=|￡3|,則GEBc=!x|EB|xg=g|E8|,

232o

又LABC=GEBC，所以|E8|=5，

因?yàn)镋B_L平面BCD,BCu平面BCD,BDu平面BCD,則￡B_L3C,￡B_L3D,

所以|EC|=|￡O|,所以EOLCD,

所以平面ECD與平面BCD夾角的平面角為ZEOB，

\EB\_5_573

則tanZEOB=

\0B\~lj3~~

所以平面￡CD與平面3CD夾角的正切值為述.

3

10.（2023?廣東一模）如圖所示的在多面體中，=所=國(guó)7,平面/WE>_L平面BCD,平面3CE_L

平面BCD,點(diǎn)P,G分別是CD,班>中點(diǎn).

（1）證明：平面AFG//平面BCE；

(2)^BC±BD,BC=BD=2,AB=y/2,BE=45,求平面AFG和平面ACE■夾角的余弦值.

【詳解】（1）證明:如圖，取3C中點(diǎn)H,連接EH,因?yàn)樗?EC,所以EHLBC,

又因?yàn)槠矫?CE_L平面BCD,平面BCEC平面BCD=BC,EHu平面BCE,

所以EH_L平面BCD,

同理可得AG_L平面BCD,

所以EH//AG,

又因?yàn)锳G仁平面BCE,EHu平面BCE,所以AG//平面BCE,

因?yàn)辄c(diǎn)尸，G分別是CD,%）中點(diǎn)，所以尸G/ABC,

又因?yàn)?GC平面BCE,BCu平面3CE,所以bG//平面BCE,

又因?yàn)锳G「|BG=G,AG,FGu平面AFG,所以平面AFG//平面BCE.

（2）因?yàn)?C_LBD,BC/AFG,所以bG_LBD,

由（1）知AG_L3D,AG_L平面BCD,GFu平面BCD,

所以AG_LGF,

所以Gb,GB,G4兩兩相互垂直，

如圖，以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GF,GB,G4分別為無(wú)軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)锳2=A/I,2E=百，所以G4=GB=1,EH=2,9=1,

則A(0,0,1),C(2,1,0),E(l,1,2),

平面AFG的一個(gè)法向量為麗=（0,2,0）,

設(shè)平面ACE的法向量為力=（尤,y,z）,

由衣=(2,1,-1),屈=(-1,0,2),

y=一3x

n-AC=0即2x+y1=0解得2

—x+2z—0X

n-CE=0z=-

2

取x=2,得為=(2,-3,1),

設(shè)平面AFG和平面ACE的夾角為0,

635

貝ljcos0=|cos〈拓,DB)|=?為DB]

\n\\DB\2xV1414

所以平面AFG和平面ACE的夾角的余弦值為主叵.

14

11.（2023?佛山二模）中國(guó)正在由“制造大國(guó)''向"制造強(qiáng)國(guó)〃邁進(jìn)，企業(yè)不僅僅需要大批技術(shù)過硬

的技術(shù)工人，更需要努力培育工人們執(zhí)著專注、精益求精、一絲不茍、追求卓越的工匠精神，這是傳承工

藝、革新技術(shù)的重要基石.如圖所示的一塊木料中，ABCD是正方形，24,平面ABCD,上4=AB=2,點(diǎn)

E

,F是PC,AD的中點(diǎn)。

（1）若要經(jīng)過點(diǎn)E和棱他將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請(qǐng)說明理由并計(jì)算截面周長(zhǎng);

（2）若要經(jīng)過點(diǎn)3,E,b將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線，請(qǐng)說明理由.

【答案】見解析

【詳解】（1）因?yàn)锳B//。，仁平面PCD,CDu平面尸CD,

所以AB//平面尸CD,又ASu平面ABE,

設(shè)平面ASEC平面PCD=/,則AB///,

設(shè)PD的中點(diǎn)為G,連接EG,AG,則EG//CD,又AB//CD,

所以AB//EG,即EG為/,BE,EG,AG就是應(yīng)畫的線，

p

G

因?yàn)锳4_L平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以又ABJLAD,PA^\AD=A,PA,ADu平面PAD,

所以AB_L平面AGu平面BID,

所以ABJ_AG,即截面ABEG為直角梯形，又F4=AB=2,

所以AG=J^,EG=1,BE=7（2-l）2+（^）2=上,

所以，截面周長(zhǎng)為\/^+3；

（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，麗，而，而分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),￡>(O,2,0),尸(0,0,2),E(l,1,1),F(O,1,0),

所以詼=(-1,1,1),蘇=(-2,1,0),而=(0,2,-2),

設(shè)平面BEF的法向量為n=(尤,y,z),

?.n-BE=-x+y+z=O.

則,令x=l,可得尢=(1,2,-1),

n-BF=—2x+y=0

設(shè)PDC平面B￡F="，設(shè)麗=X麗=〃0,2,—2),又。(0,0,2),

二.H(0,22,2-22),BH=(-2,22,2-22),

由麗?而=(—2,24,2—24)?(1,2,—1)=0,w62-4=0,即；l=—,

3

即“為PD的三等分點(diǎn)=連接股7,FH,即EH,"H就是應(yīng)畫的線.

12.(2023?廣東模擬)如圖,在三棱柱ABC-A烏G中,平面ACGA，平面8CG耳，側(cè)面ACC4是邊長(zhǎng)

為2的正方形，G3=C|C=2,_LAC,E、尸分別為BC、A片的中點(diǎn)。

(1)求證：BC1±EF；

(2)求二面角4-/G-8的余弦值.

【答案】見解析

【詳解】（1）證明：?.?平面ACGA_L平面BCC[Bi,平面ACGAC平面BCQB]=CQ,AC±CC,,

AGu平面Acea，

AG±平面BCC,Bt,

BC\u平面BCGBi,

AGBC、,

又?.?3G_LAC,AGp|AC=A，AG，ACu平面ACGA，

BC[±平面Acea,

取AG的中點(diǎn)G,連接FG、CG,

^.?CGu平面ACGA，

BC{±CG,

又?：FGUBGUEC,FG=EC=^BlCl,

四邊形EFGC為平行四邊形,

:.EF//CG,

BCX±EF；

(2)解：BC；_L平面ACC】A，CCju平面ACC】A，

BQ±eg,

如圖，以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，QB,QC,1看的方向分別為X軸、y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

q旦=(2,-2,0),41=C,B=(2,0,0),

設(shè)平面2/G的一個(gè)法向量為比=(x”X，zJ,貝,歷=2占-2%=。

GF.比=菁_%+2]=0

令％=1,貝Z]=0,故玩=(1,1,0),

設(shè)平面FQB的一個(gè)法向量為而=(無(wú)2,必吃2)，

則["5=2x2=。,解得：％=0,取%=1,則+1,

[QF-n=X2-y2+Z2=0

n=(0,1,1),

設(shè)二面角4-尸G-g為e,由圖可知：。為銳角，

貝(!cos0=|cos(m,n)|=■?為?=—―尸=—,

\m\-\n\2

所以二面角B.-FC.-B的余弦值為1.

13.(2023?汕頭一模)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD與ABEF均為直角梯形，AD//BC,

■//BE,ZM_L平面AB±AF,AD^AB^IBC=2BE=2.

(1)已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，且AG=2,求證：3G與平面OCE不平行；

(2)已知直線班'與平面DCE所成角的正弦值為好，求該多面體ABCDEF的體積.

5

D

C

A

B

%E

F

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：?.?D4_L平面ABEF,鉆，AFu平面,

:.DA1,AB,ZM_LAF,又AB_LAF,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AF,9，AD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則8(0,2,0),EQ,2,0),C(0,2,1),0(0,0,2),G(2,0,0),

.-.EC=(-1,0,1),ED=(-1,-2,2),BG=(2,-2,0),

設(shè)平面OCE的法向量為力=(無(wú)，y,z),

\n-EC=-x+z=Q.?

則《一，令x=2,z得為=(2,1,2),

n-ED=-x—2y+2z=0

?：n-BG=2,且不存在2,使得前=彳為，即旃與法不共線，

BG與平面DCE不平行且不垂直。

(2)設(shè)A尸=。(。＞0且owl),貝1］尸(40,0),BF=(a,-2,0),

直線BF與平面DCE所成角的正弦值為好，

5

,75?命:、|\BF-n\|2?-2|

5\BF\-\n\J/+4X3

化簡(jiǎn)得11片—40。-16=0,解得"=4或〃=——(舍)，

11

???AD//6C,A4_L平面ABEF,5C_L平面ABEF,

???ABu平面5Eu平面

.\BC.LAB,BCLBE,又AB_LAF,AF//BE,s.AB^BE,

BC[\BE=B,5C,B石u平面BCE,「.AB，平面5C￡,

SgCE=gxlxl=/'

?，?%―BCE=§W9CE=3X2X5=],

SABEF=；(1+4)X2=5，

-'-^D-ABEF=J'S/1BEF=]X2x5=w，

一^ABCDEF=VD-BCE+^D-ABEF=耳"

14.(2023?廣州二模)在四棱錐尸-?1BCD中，平面BU5_L底面ABCD,底面ABCD是菱形，E是PD

的中點(diǎn)，PA=PD,AB=2,ZABC=60°.

(1)證明：尸3//平面￡AC.

(2)若四棱錐P-"CD的體積為生網(wǎng),求直線EC與平面X4B所成角的正弦值。

3

【答案】見解析

【詳解】（1）連接風(fēng)）交AC于F,連接￡F,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以尸是血的中點(diǎn),

又￡■是的中點(diǎn)，所以EF//PB,

因?yàn)镋Fu平面K4C,尸平面E4C,

所以PB//平面E4c.

(2)取AD的中點(diǎn)O,連接PO,則PO_LAD,

因?yàn)槠矫鍾4D_L平面ABCD且交線為AD,尸Ou平面BLD,

所以PO_L平面ABCD.

22

設(shè)PD=a,則Vp_ABco=gx~~x2x2xyla—1=~~>解得a=3.

因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，Z4BC=60。，所以O(shè)C_LA￡>,且OC=Q.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C,OD,。尸所在直線分別為x軸，軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,-1,0),B(A/3,-2,0),C(A/3,0,0),P(0,0,2^),O(0,l,0),E(0,g,應(yīng))，

CE=(-73,g,虛)，存=(0,1,2點(diǎn)),AB=(A-1,0),

設(shè)平面的法向量為后=(%,y,z),

.fn-AP=y+2也z=0

則n《一L，

n?AB=y/3x—y=0

故可設(shè)為=（4,4百,一布）,

gg.為?4版

則|cos〈近㈤|=|

\CE\-\n\35

所以直線EC與平面PAB所成角的正弦值為生叵o

B

X

15.(2023?湛江一模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面ABCD為平行

四邊形，且AZ)=四，PB±BC,ZAZ)C=45°o

(1)證明：點(diǎn)尸在平面ABCD的正投影在直線上;

(2)求平面PBC與平面PDC夾角的余弦值.

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：如圖，過點(diǎn)B在平面ABCD內(nèi)作30垂直于AD,

且30交ZM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O,連接OP,

-,-PBVBC,AD//BC,

:.PB±DO,又BO1DO,PB,3Ou平面尸03,MBC>QPB=B,

.?.r>O_L平面POB,又POu平面PQB,

:.DO±PO,即AO_LPO,

?.?NADC=45。，ABHDC,

.?."45=45°,又。4_LO8,

ZOBA=45°=ZOAB,:.OA=OB,

AR4B為等邊三角形，..A4=PB,又PO=PO,

APQ4MAp03,又尸O_LQ4,

:.PO1OB,又OA,OBu平面ABCD,^.OA^\OB=O,

;.PO_L平面ABCD,

.?.點(diǎn)。為點(diǎn)尸在平面ABCD的正投影,又點(diǎn)O在直線AD上，

.?.點(diǎn)P在平面ABCD的正投影在直線上；

(2)由⑴得PO,OB,兩兩垂直，

分別以O(shè)B,Q4,O尸所在直線為x,y,z軸，建系如圖，

z

p

由題意可得PO=OB=OA=y/2,又AD=y/2,

5(72,0,0),P(0,0,^2),C(V2,^,0),D(0,2應(yīng),0),

=(0,72,0),定=(夜，應(yīng)，—應(yīng))，DC=(72,-A/2,0),

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

n-BC=A/5y=0

則一廠廠「，取"(1，?！?，

n-PC=yj2x+y/2y—y/2z=0

設(shè)平面PDC的法向量為沆=3,仇c),

.m-DC=后Q-yflb=0口

則n_：:L，取玩=(1,1,2),

m-PC=，2Q+y/2b—J2c=0

.,..\n-m\-J3

.」c°s〈色附1=而而=5,

16.（2023?荔灣區(qū)校級(jí)模擬）已知正方形的邊長(zhǎng)為4,E、尸分別為A￡＞、3C的中點(diǎn)，以砂為棱將正

方形ABCD折成如圖所示的60。的二面角，點(diǎn)M在線段AB上。

（1）若"為"的中點(diǎn)，且直線與由A,D,E三點(diǎn)所確定平面的交點(diǎn)為O,試確定點(diǎn)。的位置，

并證明直線OD//平面EMC；

（2）是否存在點(diǎn)M,使得直線DE與平面￡3經(jīng)所成的角為60。？若存在，求線段A欣的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)

說明理由.

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：直線叱u平面ABFE,故點(diǎn)O在平面ABFE也在平面ME內(nèi),

所以點(diǎn)O在平面ABEE與平面ADE的交線上，如圖所示，

因?yàn)锳O/ABb，”為的中點(diǎn)，

所以△aWMAA/BF1,

所以=AO=BF,

所以點(diǎn)。在K4的延長(zhǎng)線上，且AO=2,

連結(jié)正交EC與點(diǎn)N,因?yàn)樗倪呅蜟DEF為矩形,所以點(diǎn)N是EC的中點(diǎn)，

連結(jié)MN,因?yàn)闉锳E3的中位線，所以ACV//OD,

又因?yàn)锳/Nu平面項(xiàng)Q,所以直線QD〃平面EMC；

(2)解：由已知可得，EF^AE,EFLDE,4母］〃石=石，隹，0石匚平面ME,

所以EF_L平面ADE,又EFu平面所以平面平面ADE,

取AE的中點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則E(-1,0,0),D(0,0,^),C(0,4,^3),F(-l,4,0),

所以方=(1,0,73),EC=(1,4,布),

設(shè)M(l,t,0)(噴巾4),則麗=(2j,0),

設(shè)平面EMC的法向量為麗=(x,y,z),

m-EM=Oan[2x+ty=Q

，即彳r

m-EC=O[x+4y+y3z=°

令y=-2,貝!Jx=，,z=,故玩=億一2,

因?yàn)橹本€DE與平面EMC所成的角為60。，

Q

所以I_

22+7

所以，2—4%+3=0,解得，=1或，=3,

故存在點(diǎn)M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°,

當(dāng)f=l時(shí)，M(l,1,0),又4(1,0,0),所以AM=J(1_1)2+(1_0)2+(O_0)2=]；

當(dāng)/=3時(shí)，M(1,3,0),又A(1,0,0),所以AM=-^(1—I)2+(3—0)~+(0—0)2=3.

所以AM=1或3.

17.(2023?茂名一模)如圖所示，三棱錐尸—ABC,3c為圓O的直徑，A是弧8C上異于3、C的點(diǎn).

點(diǎn)。在直線AC上，OD//平面R4B,E為尸C的中點(diǎn).

(1)求證：￡>E//平面RLB;

(2)PA=PB=PD^AB^AD=4,求平面與平面PBC夾角的余弦值。

A

【答案】見解析

【詳解】(1)證明：因?yàn)镺D//平面R4B,平面C4BC平面=ODu平面C4B,

所以QD/MB.

又。為3C中點(diǎn)，所以。為AC中點(diǎn).

又E為尸C中點(diǎn)，所以DE//R4,

因?yàn)锳4u平面R鉆，。后仁平面R鉆，

所以DE//平面E4B；

⑵如圖1,取的中點(diǎn)F,連結(jié)PF、AF-

由已知底面AABC在半圓O上，5c為圓。的直徑，可得AD_LAB.

因?yàn)殂@=AZ)=4,

所以BD=^AB-+AD2=4應(yīng),

所以FA=FB=FD=2y/i.

又PB=PD=4,貝1|有加+吁=32=即2,

所以尸3_LPQ,FP=2y[2,

所以小+而=i6=PB)FP2+F^=16=PA2,FP'+FD1=16=PD2,

所以￡?，用，F(xiàn)P^FA,FP^FD,

又歹=歹，E4u平面ABD,用u平面ABD。

所以PF_L平面ABD.

如圖2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由AB=AD=4,尸尸=2應(yīng)，可得AC=8,

所以A(O,0,0),8(0,4,0),D(4,0,0),C(8,0,0),F(2,2,0),尸(2,2,2及),

所以與=(0,4,0),BC=(8,-4,0),而=(2,-2,2回.

設(shè)加=(%，M，Z|)為平面R鉆的一個(gè)法向量，

則「品”。，取心(_立(),1),

々.BP=2%一2M+2A/2Z]=0

設(shè)石=(乙,>2%2)為平面PBC的一個(gè)法向量,

則,如…=。，取二（2,4,a

%?BP=2X2—2%+2>/2Z2=0

設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為4,

18.（2023?廣東模擬）已知四棱錐尸-ABC?的底面是平行四邊形，側(cè)棱上4,平面/1BCD,點(diǎn)Af

在棱DP上，且=點(diǎn)N是在棱PC上的動(dòng)點(diǎn)（不為端點(diǎn)）.

（1）若N是棱PC中點(diǎn)，完成：

（i）畫出APBD的重心G（在圖中作出虛線），并指出點(diǎn)G與線段AN的關(guān)系：

（ii）求證：尸3//平面4VW；

（2）若四邊形ABCD是正方形，且AP=AD=3,當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí)，直線24與平面AMN所成角的正弦值

取最大值.

【答案】見解析

【詳解】（1）⑺解:設(shè)AC與皮）的交點(diǎn)為O,連接PO與期交于點(diǎn)G,

,點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)N為尸C中點(diǎn)，

PO與AN的交點(diǎn)G為APAC的重心，

:.PG=2GO,

又尸。為APBD在BD邊上的中線，

,點(diǎn)G也為AFBD的重心,即重心點(diǎn)G在線段4V上.

(n)證明:連接DG并延長(zhǎng)交PB于點(diǎn)、H,連接MG,

?.?點(diǎn)G為AP皮)的重心，

:.DG=2GH,

又?：DM=2MP,

:.MG//PH即又MG在平面AAW內(nèi)，3P不在平面AAW內(nèi)，

所以「3//平面4VW.

(2)解：?.?四邊形ABCD是正方形，且A4_L平面ABCD,

:.AB>AD,AP兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，通方向?yàn)閤軸正方形建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,如圖所示,

則點(diǎn)A(0,0,0),尸(0,0,3),C(3,3,0),M(0,1,2),

則麗=(0,0,3),AM=(0,1,2),PC=(3,3,-3),

設(shè)PNrPC則麗=2PC=(32,32,-32),

A/V=AP+/W=(32,32,-32+3),

設(shè)平面AMN的法向量為n=(x,y,z)